Exercices

Produit sclaire et calculs

Exercices d'apprentissage

Exercice

Soient \(n \in \mathbb{N}\) et l'application \(\varphi : \mathbb{R}_n[X] \times \mathbb{R}_n[X] \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall P, Q \in \mathbb{R}_n[X], \quad \varphi(P,Q) = \sum_{k=0}^n P(k) Q(k).\]

Correction

On vérifie les différentes propriétés d'un produit scalaire. Soient \(P,Q,R \in \mathbb{R}_n[X]\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\).

• Symétrie : \(\varphi(P,Q) = \varphi(Q,P)\).

• Linéarité à gauche : \(\varphi(\lambda P + Q, R) = \lambda \varphi(P,R) + \varphi(Q,R)\).

• Positivité : Si \(P \geq 0\) alors \(\varphi(P) \geq 0\).

• Définie : Si \(\varphi(P)\) alors \(P(k) = 0\) pour tout \(k\in \{0,..., n\}\). Or \(\text{deg}(P) = n\) donc \(P = 0\).

Exercice

Soient \(E\) un espace préhilbertien réel et \(x,y \in E \backslash \{0\}\). Montrer que

\[\left\lVert \dfrac{x}{\lVert x \rVert^2} - \dfrac{y}{\lVert y \rVert^2} \right\rVert = \dfrac{\lVert x-y\rVert}{\lVert x\rVert \lVert y \rVert}.\]

Correction

Exercice

Soient \(E\) espace vectoriel euclidien et \(f \in L(E)\) tels que

\[\forall x,y \in E, \quad \langle f(x), y\rangle = \langle x, f(y)\rangle.\]

1. Montrer que la matrice de l'endomorphisme \(f\) est symétrique dans toute base orthonormée de l'espace \(E\).

Correction

Soit \(e\) base orthonormée de l'espace \(E\). Alors pour tout \(j\in \{1, ..., n\}\)

\[f(e_j) = \sum_{i=1}^n \langle f(e_j), e_i \rangle e_i.\]

Donc

\[A := \text{Mat}_e(f) = (\langle f(e_j), e_i\rangle)_{1\leq i,j\leq n}.\]

Ainsi, grâce à l'hypothèse sur l'endomorphisme \(f\),

\[A^T = (\langle f(e_i), e_j\rangle)_{1\leq i,j\leq n} = (\langle f(e_j), e_i\rangle)_{1\leq i,j\leq n} = A.\]

2. Montrer que le noyau et l'image de l'endomorphisme \(f\) sont supplémentaires orthogonaux.

Correction

• Soit \(x \in \text{ker}(f) \cap \text{Im}(f)\) : \(f(x) = 0\) et il existe \(y \in E\) tel que \(x = f(y)\). Ainsi

\[\langle x,x \rangle = \langle f(y), x \rangle = \langle y,f(x) \rangle = 0.\]

Donc \(x = 0\).

• Soient \(x \in \text{ker}(f)\) et \(y \in \text{Im}(f)\) : \(f(x) = 0\) et il existe \(z \in E\) tel que \(y = f(z)\). Ainsi

\[\langle x,y \rangle = \langle x,f(z) \rangle = \langle f(x), z\rangle = 0.\]

• Par théorème du rang

\[\text{dim}(E) = \text{dim}(\text{Im}(f)) + \text{dim}(\text{ker}(f)).\]

Exercices d'entrainement

Exercice

Montrer que l'application \(\varphi : C([-1,1], \mathbb{R}) \times C([-1,1], \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall f,g \in C([-1,1], \mathbb{R}), \quad \varphi(f,g) = \int_{-1}^1 f(t) g(t) (1-t^2) dt\]

définit un produit scalaire sur l'espace \(C([-1,1], \mathbb{R})\).

Correction

Exercice

On considère \(E = C^1([0,1], \mathbb{R})\) et l'application \(\varphi : E\times E\longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall f,g \in E, \quad \varphi(f,g) = f(0) g(0) + \int_0^1 f'(t) g'(t) dt.\]

Montrer que l'application \(\varphi\) est un produit scalaire sur l'espace \(E\).

Correction

Exercice

Soient \(E\) espace préhilbertien réel et \(f : E \longrightarrow E\) surjective telles que

\[\forall x,y \in E, \quad \langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y\rangle.\]

Montrer que l'application \(f\) est un endomorphisme.

Correction

Soient \(x,y\in E\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\). Alors

\[\begin{array}{rcl} \langle f(\lambda x + y) - \lambda f(x) - f(y), f(\lambda x + y) - \lambda f(x) - f(y) \rangle & = & \langle f(\lambda x + y), f(\lambda x + y) \rangle - \lambda \langle f(\lambda x + y), f(x) \rangle - \langle f(\lambda x + y), f(y) \rangle - \lambda langle f(x), f(\lambda x + y) \rangle + \lambda \langle f(x), f(x) \rangle + \lambda f(x),y\rangle - \langle f(y),f(\lambda x + y\rangle) + \lambda \langle f(y),f(x) \rangle + \langle f(y),f(y)\rangle \\ & = & \langle \lambda x + y\rangle, \lambda x + y\rangle - \lambda \langle \lambda x + y, x\rangle - ... \\ & = & 0 \end{array}\]

ce qui ne demande pas l'hypothèse de surjectivité. Ou autrement pour tout \(z \in E\)

\[\langle f(\lambda x + y) - \lambda x - y, f(z) \rangle = 0.\]

Donc

\[f(\lambda x + y) - \lambda x - y \in \text{Im}(f)^\perp = \{0\}.\]

Exercice

Soient \(E\) espace préhilbertien réel et \(x,y \in E\). Montrer que les vecteurs \(x\) et \(y\) sont orthogonaux si et seulement si

\[\forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad \lVert x+\lambda y\rVert \geq \lVert x\rVert.\]

Correction

Exercice

Soient \(E\) espace euclidien non nul et \(u\in L(E)\) tel que \(\text{tr}(u) = 0\).

1. Montrer qu'il existe \(x\in E\backslash \{0\}\) tel que

\[\langle u(x), x\rangle = 0.\]

Correction

Soit \(e = (e_1, ..., e_n)\) base orthonormée de l'espace \(E\). Alors

\[0 = \text{tr}(u) = \sum_{i=1}^n \langle u(e_i), e_i\rangle.\]

Si \(n := \text{dim}(E) = 1\) alors le vecteur \(e_1\) convient. Si \(n>1\) alors il existe \(i,j\in \{1, ..., n\}\) distincts tels que

\[\langle u(e_i), e_i \rangle \geq 0, \quad \langle u(e_j), e_j\rangle \leq 0.\]

Ainsi l'application

\[t \longmapsto \langle u((1-t)e_i + te_j), (1-t)e_i + te_j\rangle\]

vérifie le théorème des valeurs intermédiaires sur \([0,1]\). Donc il existe \(t \in [0,1]\) tel que, en notant \(x = (1-t)e_i + te_j\)

\[\langle u(x), x\rangle = 0\]

et \(x \neq 0\) par liberté de la base \(e\).

2. Montrer qu'il existe une base orthonormale de l'espace \(E\) dans laquelle la matrice de l'endomorphisme \(u\) est à diagonale nulle.

Correction

On raisonne par récurrence sur \(n \in \mathbb{N^*}\).

• Si \(n = 1\) alors le résultat vient de la question précédente.

• On suppose le résultat vrai au rang \(n \in \mathbb{N}^*\). Alors on normalise le vecteur \(x\) en \(e_1 = \dfrac{x}{\lVert x\rVert}\) et on complète le vecteur \(e_1\) en une base orthonormée \(e' = (e_1,e'_1, ..., e'_n)\) de l'espace \(E\). Nous avons alors

\[\text{Mat}_{e'}(u) = \left( \begin{array}{cc} 0 & * \\ * & A \end{array} \right).\]

Ainsi

\[0 = \text{tr}(u) = 0 + \text{tr}(A).\]

Donc si l'on considère \(u' \in L(\text{Vect}(e'_1, ..., e'_n))\) tel que

\[A = \text{Mat}_{(e'_1, ..., e'_n)}(u').\]

Alors on peut appliquer l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme \(u'\) : il existe une base orthonormée \(e_2, ..., e_{n+1}\) de l'espace \(\text{Vect}(e'_1, ..., e'_n)\) tel que \(\text{Mat}_{(e_2, ..., e_{n+1})}(u)\) soit de diagoanle nulle. Ainsi \(\text{Mat}_{(e_1, ..., e_{n+1})}(u)\) est de diagoanle nulle.

Exercice

Soit \(e = (e_1, ..., e_n)\) famille de vecteurs unitaires dans un espace euclidien \(E\) de dimension \(n \geq 1\). On suppose que

\[\forall i,j \in \{1, ..., n\}, \quad i\neq j \quad \Longrightarrow \quad \lVert e_i - e_j \rVert = 1.\]

Montrer que la famille \(e\) est une base de l'espace \(E\).

Correction

Soient \(i,j \in \{1, ..., n\}\) distincts. Alors

\[1 = \lVert e_i - e_j \rVert^2 = \lVert e_i \rVert^2 + \lVert e_j \rVert^2 - 2 \langle e_i,e_j\rangle = 2 - 2 \langle e_i,e_j\rangle.\]

Ainsi

\[\langle e_i,e_j \rangle = \dfrac{1}{2}.\]

En particulier la famille \(e\) n'est pas orthnormée et on ne peut pas conclure de cette manière. Soient \(\lambda_1, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}\) tels que

\[0 = \lambda_1 e_1 + ... + \lambda_n e_n.\]

Ainsi pour tout \(j\in \{1, ..., n\}\)

\[0 = \langle 0, e_j \rangle = \sum_{i=1}^n \lambda_i \langle e_i, e_j\rangle = \lambda_j + \dfrac{1}{2} \sum_{i=1, i\neq j}^n \lambda_i.\]

Donc

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & & \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ & \ddots & \\ \left( \dfrac{1}{2} \right) & & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right).\]

Or la matrice est de déterminant non nul donc inversible. Ainsi \(\lambda_1 = ... = \lambda_n = 0\).

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Exercices d'apprentissage

Exercice

Soient \(x_1, ..., x_n \in \mathbb{R}_+^*\) tels que

\[x_1 + ... + x_n = 1.\]

Montrer que

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{x_k} \geq n^2.\]

Préciser les cas d'égalité.

Correction

Nous avons par inégalité de Cauchy-Schwarz

\[n^2 = \left( \sum_{k=1}^n 1 \right)^2 = \left( \sum_{k=1}^n \sqrt{x_k} \dfrac{1}{\sqrt{x_k}} \right)^2 \leq \sum_{k=1}^n x_k \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{x_k} = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{x_k}.\]

Exercice

Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\)

\[\sum_{k=0}^n \sqrt{\binom{n}{k}} \leq \sqrt{2^n(n+1)}.\]

Correction

Exercice

Soit \(E\) espace préhilbertien réel non nul. Montrer que

\[\forall x\in E, \quad \lVert x \rVert = \sup_{y\in S} |\langle x,y\rangle|\]

où \(S = \{x\in E, \lVert x \rVert = 1\}\).

Correction

Nous avons pour \(x \in E \backslash \{0\}\) et pour tout \(y\in S\)

\[|\langle x,y\rangle| \leq \lVert x \rVert\]

avec égalité pour \(y = \dfrac{x}{\lVert x \rVert}\).

Exercices d'entrainement

Exercice

On considère le produit scalaire usuel sur \(C([a,b], \mathbb{R})\) et pour \(f \in C([a,b], \mathbb{R})\) strictement positive

\[l(f) = \int_a^b f(t) dt \int_a^b \dfrac{dt}{f(t)}.\]

1. Montrer que

\[l(f) \geq (b-a)^2.\]

Correction

2. Etudier les cas d'égalités.

Correction

Exercice

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que

\[\forall i\in \{1, ..., n\}, \quad a_{ii} \geq 1\]

et

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\neq i}^n a_{ij}^2 < 1.\]

1. Montrer que

\[\forall X \in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}, \quad X^T AX > 0.\]

Correction

2. En déduire que la matrice \(A\) est inversible.

Correction

Orthogonal d'une partie, d'un sous-espace vectoriel

Exercices d'apprentissage

Exercices d'entrainement

Exercice

On considère le produit scalaire

\[\langle A,B\rangle = \text{tr}(A^T B), \quad A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).\]

1. Montrer que la base canonique \((E_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\) est orthonormée.

Correction

2. Montrer que les sous-espaces \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) et \(\mathcal{A}_n(\mathbb{R})\) sont supplémentaires orthogonaux.

Correction

• Nous savons déjà que

\[\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R}).\]

• Soient \(S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) et \(A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\).

Alors

\[(S^T A)^T = A^T S = -AS^T.\]

Donc

\[\text{tr}(S^T A) = - \text{tr}(AS^T) = - \text{tr}(S^T A)\]

i.e.

\[\text{tr}(S^T A) = 0.\]

3. Montrer que

\[\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \quad \text{tr}(A) \leq \sqrt{n} \sqrt{\text{tr}(A^T A)}\]

et préciser les cas d'égalité.

Correction

Nous avons par inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\),

\[\text{tr}(A) = \text{tr}(I_n^T A) \leq \sqrt{\text{tr}(I_n^T I_n)} \sqrt{\text{tr}(A^T A)} = \sqrt{n} \sqrt{\text{tr}(A^T A)}\]

avec égalité si et seulement si \(A = \lambda I_n\).

Familles orthonormales

Exercices d'apprentissage

Exercice

On considère le produit scalaire usuel sur \(\mathbb{R}^3\). Appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt à la famille de vecteurs suivante.

\[u = (1,0,1), \quad v = (1,1,1), \quad w = (-1,1,0).\]

Correction

Nous avons

\[u' = \dfrac{u}{\lVert u\rVert} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1).\]

Puis

\[v - \langle v,u'\rangle u' = (1,1,1) - \dfrac{2}{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\sqrt{2}} (1,0,1) = (0,1,0)\]

Donc

\[v' = \dfrac{(0,1,0)}{\lVert (0,1,0)\rVert} = (0,1,0).\]

Enfin

\[w - \langle w,u'\rangle u' - \langle w,v'\rangle v' = (-1,1,0) + \dfrac{1}{sqrt{2}} \dfrac{1}{\sqrt{2}} (1,0,1) - (0,1,0) = \dfrac{1}{2} (-1, 0, 1).\]

Donc

\[w' = \dfrac{\dfrac{1}{2} (-1, 0, 1)}{\lVert \dfrac{1}{2} (-1, 0, 1)} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (-1, 0, 1).\]

Exercice

Orthonormaliser la base canonique de \(\mathbb{R}_2[X]\) pour le produit scalaire

\[(P,Q) \in \mathbb{R}_2[X] \times \mathbb{R}_2[X] \longmapsto \int_{-1}^1 P(t) Q(t) dt.\]

Correction

Nous avons

\[e_1 = \dfrac{1}{\lVert 1\rVert} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.\]

Puis

\[X - \langle X,e_1\rangle e_1 = X - \int_{-1}^1 t dt \dfrac{1}{\sqrt{2}} = X - 0.\]

Donc

\[e_2 = \dfrac{X}{\sqrt{\int_{-1}^1 t^2 dt}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} X.\]

Enfin

\[X^2 - \langle X^2, e_1\rangle e_1 - \langle X^2, e_2\rangle = ...\]

Donc

\[e_3 = ... = \dfrac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\left(X^2 - \dfrac{1}{3}\right).\]

Exercice

Orthonormaliser la famille suivante pour le produit scalaire \((A,B) \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \longmapsto \text{tr}(A^T B)\) sur \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

\[A_1 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \quad A_2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right), \quad A_1 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right).\]

Correction

On doit trouver

\[E_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \quad E_2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right), \quad E_3 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right).\]

Exercice

Soient \(E\) espace euclidien muni d'une base orthonormée \(e = (e_1, ..., e_n)\) et \((x_1, ..., x_p)\) famille de \(p\) vecteurs de l'espace \(E\). On note

\[A = \text{Mat}_e(x_1, ..., x_p).\]

Montrer que

\[A^T A = (\langle x_i, x_j\rangle)_{1\leq i,j\leq p}.\]

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

Soient \(E\) espace euclidien de dimension \(n\) et \(v \in L(E)\).

1. Montrer que le réel

\[S = \sum_{i=1}^n \langle v(e_i), e_i\rangle\]

ne dépend pas de la base orthonormée \((e_1, ..., e_n)\) de l'espace \(E\) choisie.

Correction

2. Montrer que le réel

\[T = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle v(e_i), f_j\rangle^2\]

ne dépend pas des bases orthonormées \((e_1, ..., e_n)\) et \((f_1, ..., f_n)\) de l'espace \(E\) choisies.

Correction

3. Que vaut le réel \(T\) lorsque l'endomorphisme \(v\) est un projecteur orthogonal de rang \(r\) ?

Correction

Projections, symétries orthogonales et distances à un sous-espace

Exercices d'apprentissage

Exercice

On considère un espace euclidien \(E\) muni d'une base orthonormée \(b = (i,j,k)\). Ecrire la matrice dans la base \(B\) de la projection orthogonale sur le plan \(P\) d'équation

\[x + y + z = 0.\]

Correction

Nous avons \(n = i+j+k\) vecteur normal au plan \(P\). Donc

\[\forall u \in E, \quad p(u) = u-\dfrac{\langle u,n\rangle}{3} n.\]

Donc

\[\text{Mat}_b(p) = \dfrac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right).\]

Exercice

On considère un espace euclidien \(E\) muni d'une base orthonormée \(b = (i,j,k)\). Ecrire la matrice dans la base \(B\) de la symétrie orthogonale sur le plan \(P\) d'équation

\[x = z.\]

Correction

Exercice

Soient \(E\) espace euclidien muni d'une base orthonormée \(b = (i,j,k)\) et \(p\in L(E)\) telle que

\[\text{Mat}_b(p) = \dfrac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} 5 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{array} \right).\]

Montrer que l'endomorphisme \(p\) est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera une équation.

Correction

Exercice

On considère un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) tel que la base canonique soit orthonormée. Soit \(J\) la matrice carrée de taille \(n\) dont tous les cœfficients sont des \(1\), et \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Calculer

\[\inf_{(a,b)\in \mathbb{R}^2} \lVert M - a I_n - b J\rVert.\]

Correction

Exercice

Soit \(E = C([-1,1], \mathbb{R})\) muni du produit scalaire

\[(f,g) \longmapsto \dfrac{1}{2} \int_{-1}^1 f(x) g(x) dx.\]

1. Montrer que la famille \((1, X, X^2)\) est libre mais non orthogonale.

Correction

2. Orthonormaliser cette famille.

Correction

3. Calculer la projection orthogonale du vecteur \(X^3\) sur le sous-espace \(F = \text{Vect}(1,X,X^2)\) et la distance de \(X^3\) à \(F\).

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

On considère \(\mathbb{R}^4\) muni du produit scalaire usuel et

\[F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4, \quad x+y+z+t = 0 = x-y+z-t\}.\]

1. Déterminer une base orthonormale du supplémentaire orthogoanal \(F^\perp\).

Correction

2. Ecrire la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur le sous-espace \(F\).

Correction

3. Ecrire la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport au sous-espace \(F\).

Correction

4. Calculer \(d(u,F)\) avec \(u = (1,2,3,4)\).

Correction

Exercice

Soient \(E = C([-1,1], \mathbb{R})\) et, pour \(f,g\in E\),

\[\varphi(f,g) = \int_{-1}^1 f(t) g(t) dt.\]

1. Montrer que l'application \(\varphi\) est un produit scalaire sur l'espace \(E\).

Correction

2. On note \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{I}\) les sous-espace vectoriels de l'espace \(E\) formés des fonctions paires et des fonctions impaires. Montrer que

\[\mathcal{I} = \mathcal{P}^\perp.\]

Correction

3. On considère l'application

\[\begin{array}{rcl} \psi : E & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & [x \longmapsto f(-x)]. \end{array}\]

Montrer que l'application \(\psi\) est la symétrie orthogonale par rapport au sous-espace \(\mathcal{P}\).

Correction

Exercice

On considère \(E = C([0,1], \mathbb{R})\) muni du produit scalaire usuel.

1. Déterminer une fonction \(\varphi \in E\) et un sous-espace vectoriel \(F\) de l'espace \(E\) tels que

\[\inf_{a,b\in \mathbb{R}} \int_0^1 (e^t -(at +b))^2 dt = (d(\varphi,F))^2.\]

Correction

2. Calculer le projeté orthogonal \(f\) du vecteur \(\varphi\) sur le sous-espace \(F\).

Correction

3. A l'aide du théorème de Pythagore calculer

\[\inf_{a,b\in \mathbb{R}} \int_0^1 (e^t -(at +b))^2 dt.\]

Correction

Exercice

Calculer

\[\min_{a,b,c\in \mathbb{R}} \int_0^1 (t^3 - at^2 - bt - c)^2 dt.\]

Correction

On note \(F = \mathbb{R}_2[X]\). Alors

\[\min_{a,b,c\in \mathbb{R}} \int_0^1 (t^3 - at^2 - bt - c)^2 dt = d(X^3, F)^2 = \lVert X^3 - p_F(X^3)\rVert^2\]

où \(p_F\) est la projection orthogonale sur le sous-espace \(F\). La famille \((1,X,X^2)\) est une base du sous-espace \(F\) que l'on peut orthonormaliser :

\[e_0 = 1.\]

Puis

\[X - \langle X,e_0\rangle e_0 = X- \dfrac{1}{2}.\]

Donc

\[e_1 = \dfrac{X-\dfrac{1}{2}}{\lVert X - \dfrac{1}{2} \rVert} = \sqrt{\int_0^1 (t^2 - t + \dfrac{1}{4}) dt }\left(X-\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}}\left( X - \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left( X - \dfrac{1}{2}\right).\]

Enfin

\[X^2 - \langle X^2,e_0\rangle e_0 - \langle X^2,e_1\rangle e_1 = X^2 - \dfrac{1}{3} - ...\]