Cours

Objectifs du programme officiel :

Anneau des polynômes à une indéterminée

Anneau intègre
Degré, coefficient dominant, polynôme unitiaire
Degré d'une somme, d'un produit
Composition

Divisibilité et division euclidienne

Divisibilité dans $\mathbb{K}[X]$, diviseurs, mutiples
Caractérisation des couples de polynômes associés
Théorème de la division euclidienne, algorithme

Fonctions polynomiales et racines

Fonction polynomiale associée, racine, caractérisation en termes de divisibilité
Nombre de racines majoré par le degré
Multiplicité d'une racine
Polynôme scindé
Relations entre coefficients et racines

Dérivation

Dérivation formelle
Opérations : combinaison linéaire, produit, formule de Leibniz
Formule de Taylor polynomiale
Caractérisation de la multiplicité d'une racine par les polynômes dérivés successifs

Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$

PGCD de deux polynomes
Algorithme d'Euclide
Ensemble des diviseurs communs égal à l'ensemble des diviseurs du PGCD
PGCD associés, un seul PGCD unitaire
Relation de Bézout, algorithme d'Euclide étendu
PPCM
Couple de polynômes premiers entre eux
Théorème de Bézout, lemme de Gauss
PGCD d'un nombre fini de polynômes, relation de Bézout, premiers entre eux dans leur ensemble ou deux à deux

Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$

Théorème de d'Alembert-Gauss
Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$, théorème de décomposition en facteurs irréductibles dans $\mathbb{C}[X]$
Caractérisation de la divisibilité à l'aide des racines et des multiplicités
Caractérisation d'être premiers entre eux à l'aide des racines communes
Factorisation de $X^n - 1$ dans $\mathbb{C}[X]$
Polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$, théorème de décomposition en facteurs irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$
Deux racines complexes conjuguées d'un polynôme de $\mathbb{R}[X]$ ont la même multiplicité

Formule d'interpolation de Lagrange

Pour $x_1, ..., x_n$ distincts et $y_1,..., y_n$ éléments de $\mathbb{K}$, il existe un unique polynôme $P \in \mathbb{K}_{n-1}[X]$ tel que $P(x_i) = y_i$ pour tout $i \in \{1, ..., n\}$
Expression de $P$
Description des polynômes $Q$ tels que $Q(x_i) = y_i$ pour tout $i\in \{1, ..., n\}$

Fractions rationnelles

Corps $\mathbb{K}(X)$
Forme irréductible d'une fraction rationnelle
Fonction rationnelle
Degré, partie entière, zéros, pôles, multiplicités

Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et $\mathbb{R}$

Existence et unicité de la décomposition en éléments simples, application au calcul de primitives, de dérivées $k$-ièmes
Coefficient de $\dfrac{1}{X-\lambda}$ pour $\lambda$ pôle simple
Décomposition en éléments simples de $\dfrac{P'}{P}$

I. Anneau des polynômes à une indéterminée⚓︎

Définition : Polynôme à une indéterminée

Un polynôme à une indéterminée $P$ est une suite $(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$ nulle à partir d'un certain rang $d+1$. On le note

\[P = a_d X^d + ... + a_1 X + a_0 = \sum_{n=0}^d a_k X^k.\]

On note $\mathbb{K}[X]$ leur ensemble.

Exemple

La suite $(1,0,..., 0,...)$ est notée $1$. La suite $(0,1,0,..., 0, ...)$ est notée $X$.

Remarque

Deux polynômes $P = \sum_{k=0}^{d_P} a_k X^k$ et $Q = \sum_{k=0}^{d_Q} b_k X^k$ sont alors égaux si et seulement si pour tout $k\in \mathbb{N}, a_k = b_k$.

Exemple

Remarque

Pour tous polynômes $P,Q \in \mathbb{K}$ et scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$, les polynômes $P+Q$ et $\lambda P$ sont définis comme pour les suites :

\[P + Q = \sum_{k=0}^{d_P} a_k X^k + \sum_{k=0}^{d_Q} b_k X^k = \sum_{k=0}^{\max(d_P,d_Q)} (a_k + b_k) X_k, \quad \lambda P = \sum_{k=0}^{d_P} \lambda a_k X^k.\]

Exemples

Définition : Multiplication de polynômes

On considère deux polynômes $P = \sum_{k=0}^{d_P} a_k X^k \in \mathbb{K}[X]$ et $Q = \sum_{k=0}^{d_Q} b_k X^k \in \mathbb{K}[X]$. Alors on définit leur produit $PQ$ comme le polynôme de $\mathbb{K}[X]$ défini par

\[PQ = \sum_{k=0}^{d_P + d_Q} c_k X^k, \quad c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{d_Q - i}.\]

Exemple

Proposition

L'ensemble $\mathbb{K}[X]$ est un anneau commutatif intègre pour l'addition et la multiplication. De plus

\[\mathbb{K}[X]^\times = \mathbb{K}^*.\]

Démonstration

Définition : Degré, terme dominant, coefficient dominant

On considère un polynôme $P = \sum_{k=0}^d a_k X^k$.

L'entier $d$ est appelé degré du polynôme $P$ : $d$ est le premier entier tel que pour tout $k\geq d+1, a_k = 0$, on le note $\deg(P)$.
Le polynôme $a_d X^d$ est appelé terme dominant du polynôme $P$.
Le coefficient $a_d$ est appelé coefficient dominant du polynôme $P$.

On note alors $\mathbb{K}_n[X]$ l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n \in \mathbb{N}$.

Exemple

Remarque

Le degré du polynôme nul est par convention définie par $\deg(0) = -\infty$. De plus si $a_d = 1$ alors on dit que le polynôme $P$ est unitaire.

Proposition

On considère deux polynômes $P,Q \in \mathbb{K}[X]$. Alors

\[\deg(P+Q) \leq \deg(P) + \deg(Q)$ et $\deg(PQ) = \deg(P) \deg(Q).\]

Démonstration

Exemples

Corollaire

L'anneau $\mathbb{K}[X]$ est intègre.

Démonstration

Définition : Composition

On considère deux polynômes $P = \sum_{k=0}^{d_P} a_k X^k \in \mathbb{K}[X]$ et $Q = \sum_{k=0}^{d_Q} b_k X^k \in \mathbb{K}[X]$. Alors le polynôme composé $P\circ Q$ est le polynôme de $\mathbb{K}[X]$ défini par

\[P\circ Q = \sum_{k=0}^{d_P} a_k Q^k = \sum_{k=0}^{d_P} a_k \left(\sum_{j=0}^{d_Q} b_j X^j\right)^k.\]

Exemples

Proposition

On considère deux polynômes $P,Q\in \mathbb{K}[X]$. Alors

\[P\circ Q = Q\circ P, \quad P\circ X = P, \quad \deg{P\circ Q} = \deg(P) \deg(Q).\]

Démonstration

Exemples

II. Divisibilité et division euclidienne⚓︎

Remarque

Comme $\mathbb{K}[X]$ est un anneau, on peut y définir les notions de divisibilité, diviseurs et multiples comme dans l'anneau $\mathbb{Z}$.

Proposition : Caractérisation des polynômes associés

On considère deux polynômes $P,Q\in \mathbb{K}[X]$. Alors les polynômes $P$ et $Q$ sont associés si et seulement s'il existe $\lambda \in \mathbb{K}^*$ tel que $P = \lambda Q$.

Démonstration

Exemples

Eléments associésEléments non associés

(de même degré)

Théorème de la division euclidienne

On considère deux polynômes $A,B \in \mathbb{K}[X]$ tels que $B\neq 0$. Alors il existe un unique couple de polynômes $(Q,R) \in \mathbb{K}[X]$ tels que

\[A = QB + R, \quad \deg(R) < \deg(B).\]

Démonstration

Exemples

Remarque

Pour réaliser la division euclidienne en pratique, on cherche les multiples du diviseur qui annulent les termes dominants successifs du dividende

(insérer une image)

Exemples

III. Fonctions polynomiales et racines⚓︎

Définition : Fonction polynomiale associée

On considère un polynôme $P = \sum_{k=0}^d a_kX^k \in \mathbb{K}$. Alors la fonction polynomiale associé est la fonction $f : \mathbb{K} \longrightarrow \mathbb{K}$ définie par

\[\forall x\in \mathbb{K}, \quad f(x) = \sum_{k=0}^d a_k x^k.\]

Exemple

Remarque

On pourra faire l'abus de notation $P(x), x\in \mathbb{K},$ pour la fonction polynomiale associée au polynôme $P$ évalué en $x$.

Remarque : Méthode de Horner

Pour évaluer un polynôme $P = \sum_{k=0}^d a_k$ en un élément $x \in \mathbb{K}$, alors on remarque que

\[P = a_d X^d + a_{d-1} X^{d-1} + ... + a_1 X + a_0 = (... (((a_d X + a_{d-1})X+ a_{d-2})X + a_{d-3})X + ...)X + a_0,\]

puis on évalue en $x$. Cette méthode permet de ne pas avoir à calculer les puissances successives de $x$.

Exemple

Définition : Racine (ou zéro) d'un polynôme

On considère un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ et un élément $x\in \mathbb{K}$. Alors on dit que l'élément $x$ est racine (ou zéro) du polynôme $P$ si, en considérant la fonction polynomiale $f$ associée au polynôme $P$, $f(x) = 0$.

Exemple

Proposition

On considère un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ et un élément $x\in \mathbb{K}$. Alors l'élément $x$ est racine du polynôme $P$ si et seulement si $X-x \mid P$.

Démonstration

Exemple

Remarque

On retrouve alors les mêmes résultats que dans la section Equations algébriques du chapitre Nombres complexes.

Proposition

On considère un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$. Alors nombre $r$ de racines du polynômes $P$ est inférieur à son degré $\deg(P)$ : $r \leq \deg(P)$.

Démonstration

Exemples

Remarque

On peut alors déterminer un polynôme uniquement grâce à sa fonction polynomiale associée.

Exemple

Corollaire

On considère un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ de degré au plus $d\in \mathbb{N}$. Si le polynôme $P$ admet $d+1$ racines distinctes alors $P = 0$.

Démonstration

Corollaire

On considère deux polynômes $P,Q\in \mathbb{K}[X]$ de degré au plus $d\in \mathbb{N}$. Si les fonctions polynomiales associées aux polynômes $P$ et $Q$ coïncident en $d+1$ points alors $P=Q$.

Démonstration

Exemple

Définition : Multiplicité d'une racine

On considère un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ et un élément $a\in \mathbb{K}$. Alors on définit la multiplicité $m_P(a)$ de l'élément $a$ par

\[m_P(a) = \max\{ k\in \mathbb{N}, \quad (X-a)^k \mid P\}.\]

Exemples

Remarque

Nous avons alors que l'élément $a$ est racine du polynôme $P$ si et seulement si $m_P(a) \geq 1$.

Proposition

On considère un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ non nul et un élément $a \in \mathbb{K}$. Alors l'élément $a$ est racine du polynôme $P$ de multiplicité $m \in \mathbb{N}$ si et seulement s'il existe $Q\in \mathbb{K}[X]$ tel que

\[P = (X-a)^m Q, \quad Q(a) \neq 0.\]

Démonstration

Proposition

On considère deux polynômes $P,Q \in \mathbb{K}[X]$ non nuls et un élément $a\in \mathbb{K}$. Alors

\[m_{PQ}(a) = m_P(a) + m_Q(a).\]

Et si $P+Q\neq 0$ alors

\[m_{P+Q}(a) \geq \min(m_P(a),m_Q(a)).\]

Démonstration

Proposition

On considère un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ et $a_1, ..., a_r \in \mathbb{K}$ des racines distinctes de multiplicités $m_1, ..., m_r \in \mathbb{N}^*$. Alors

\[\prod_{k=1}^r (X-a_k)^{m_k} \mid P.\]

Démonstration

Corollaire

La somme des multiplicités des racines d'un polynôme non nul est majorée par son degré.

Démonstration

Définition : Polynôme scindé, scindé simple

On considère un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$. Alors on dit que le polynôme est scindé s'il existe $\alpha \in \mathbb{K}$ et $\lambda_1, ..., \lambda_d \in \mathbb{K}$ tels que

\[P = \alpha (X-\lambda_1)...(X-\lambda_d).\]

Si de plus les $\lambda_1, ..., \lambda_d$ sont distincts alors on dit que le polynôme $P$ est scindé simple (ou scindé à racines simples).

Exemple

Polynôme scindéPolynôme non scindéPolynôme scindé simplePolynôme scindé non scindé simple

Remarque

Dans ce cas nous avons $\alpha = a_d$ le coefficient dominant.

Proposition : Relations coefficients racines

On considère une polynôme $P = \sum_{k=0}^d a_k X^k \in \mathbb{K}[X]$. Si le polynôme $P$ est scindé $P = a_d(X-\lambda_1)...(X-\lambda_d)$ alors nous avons les relations, appelés formules de Viète,

\[a_{d-1} = - a_d \sum_{j=1}^d \lambda_j, \quad a_0 = (-1)^d a_d \prod_{j=1}^d \lambda_j.\]

Démonstration

Exemple

(pour le polynôme $X^n - 1$)

Remarque

Il existe aussi des relations pour les coefficients $a_{d-2}, ..., a_1$ mais moins explicites. (voir exercice (rajouter un lien vers l'exercice))

IV. Dérivation⚓︎

Définition : Polynôme dérivée

On considère un polynôme $P = \sum_{k=0}^d a_k X^k\in \mathbb{K}[X]$. Alors le polynôme dérivée du polynôme $P$ est le polynôme $P' \in \mathbb{K}[X]$ défini par

\[P' = \sum_{k=0}^{d-1} (k+1)a_{k+1} X^k.\]

Exemple

Remarque

Si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ alors la fonction polynomiale associé au polynôme $P'$ est la fonction dérivée de la fonction polynomiale associée au polynôme $P$.

Exemple

Proposition

On considère un polynôme $P\in \mathbb{K}[X]$.

Si $P\notin \mathbb{K}$ alors

\[\deg(P') = \deg(P) - 1.\]

Si $P \in \mathbb{K}$ alors

\[\deg(P') = -\infty.\]

Démonstration

Proposition

On considère deux polynômes $P,Q \in \mathbb{K}[X]$ et deux éléments $\lambda,\mu \in \mathbb{K}$. Alors

\[(\lambda P +\mu Q)' = \lambda P' + \mu Q', \quad (PQ)' = P'Q+Q'P, \quad (P\circ Q)' = P' \times (Q'\circ P).\]

Démonstration

Exemples

Remarque

On définit de même les dérivées successives par récurrence.

Exemples

Proposition : Formule de Leibniz

On considère deux polynômes $P,Q \in \mathbb{K}[X]$ et un entier $n\in \mathbb{N}$. Alors

\[(PQ)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} P^{(k)} Q^{(n-k)}.\]

Démonstration

Exemple

Proposition : Formule de Taylor pour un polynôme

On considère un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$, un élément $a \in \mathbb{K}$ et un entier $n\geq \deg(P)$. Alors

\[P = \dfrac{P^{(n)}(a)}{n!} (X-a)^n + \dfrac{P^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (X-a)^{n-1} + ... + P'(a) (X-a) + P(a).\]

Démonstration

Exemples

Corollaire

On considère un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ et un élément $a \in \mathbb{K}$. Alors

\[P(a) = 0, \quad P'(a) = 0, \quad ..., \quad P^{(m_P(a)-1)}(a) = 0, \quad P^{(m_P(a))}(a) \neq 0.\]

Réciproquement, pour tout $d\in \mathbb{N}$, si

\[P(a) = 0, \quad P'(a) = 0, \quad ..., \quad P^{(d-1)}(a) = 0, \quad P^{(d)}(a) \neq 0,\]

alors $d = m_P(a)$.

Démonstration

Exemple

V. Arithmétique dans K[X]⚓︎

Définition : PGCD entre deux polynômes

On considère deux polynômes $A,B\in \mathbb{K}[X]$ non tous nuls. Alors un plus grand commun diviseur (PGCD) entre les polynômes $A$ et $B$ est un polynôme $D$ tel que

\[\forall C\in \mathbb{K}[X], \quad C\mid A, C\mid B \quad \Longrightarrow \quad \deg(C) \leq \deg(D).\]

Exemple

Proposition : Caractérisation des éléments associés

On considère deux polynômes $A,B \in \mathbb{K}[X]$. Alors les assertions suivantes sont équivalentes.

Les polynômes $A$ et $B$ sont associés.
Il existe $\lambda \in \mathbb{K}^*$ tel que $A = \lambda B$.
$A \mathbb{K}[X] = B\mathbb{K}[X]$.

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux polynômes $A,B \in \mathbb{K}[X]$ non tous nuls. Alors il existe une infinité de PGCD entre les polynômes $A$ et $B$. De plus ils sont tous associés. Ainsi il existe un unique PGCD unitaire que l'on note $A\wedge B$.

Démonstration

(besoin des idéaux ?)

Exemple

Théorème : Algorithme d'Euclide

On considère deux polynômes $A,B\in \mathbb{K}[X]$ tels que $\deg(P) > \deg(Q) \geq 0$, et la suite $(R_n)_{n\in \mathbb{N}} (\mathbb{K}[X])^\mathbb{N}$ définie par $R_0 = A, R_1 = B$ et par, pour tout entier $n\geq 1$,

si $R_n = 0$ alors $R_{n+1} = 0$,
si $R_n \neq 0$ alors $R_{n+1}$ est le reste de la division euclidienne de $R_{n-1}$ par $R_n$.

Alors il existe un premier rang $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que $R_{n_0} = 0$ et

\[A\wedge B = R_{n_0 - 1}.\]

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère deux polynômes $A,B \in \mathbb{K}[X]$ non tous nuls. Alors l'ensemble des diviseurs communs aux polynômes $A$ et $B$ est égal à l'ensemble des diviseurs du PGCD $A\wedge B$.

Démonstration

Exemple

Théorème : Relation de Bézout

On considère deux polynômes $A,B\in \mathbb{K}[X]$ non tous nuls. Alors il existe deux polynômes $U,V\in \mathbb{K}[X]$ tels que

\[AU+BV = A\wedge B.\]

De plus s'il existe des polynômes $U,V,C\in \mathbb{K}[X]$ tels que $AU+BV= C$ alors $A\wedge B \mid C$.

Démonstration

Exemples

Proposition : Algorithme d'Euclide étendu

On considère deux polynômes $A,B \in \mathbb{Z}$ tels que $\deg(A)\geq \deg(B)\geq 0$, et les suites $(R_n)_{n\in \mathbb{N}}, (U_n)_{n\in \mathbb{N}}, (V_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X]^\mathbb{N}$ définies par

\[R_0 = A, R_1 = B, \quad U_0 = 1, U_1 = 0, \quad V_0 = 0, V_1 = 1,\]

et par, pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$,

si $R_n = 0$ alors $R_{n+1} = 0, U_{n+1} = U_n, V_{n+1} = V_n$,
si $R_n \neq 0$ alors $R_{n+1}$ est le reste de la division euclidienne de $R_{n-1}$ par $R_n$, et $U_{n+1}, V_{n+1}$ sont les polynômes définis par

\[U_{n+1} = U_{n-1} - Q_{n+1} U_n, \quad V_{n+1} = V_{n-1} - Q_{n+1} V_n,\]

avec $Q_{n+1}$ le quotient dans la division euclidienne de $R_{n-1}$ par $R_n$.

Alors, pour tout $n\in \{0,..., n_0-1\}$, nous avons

\[R_n = AU_n + BV_n.\]

En particulier

\[A\wedge B = R_{n_0-1} = AU_{n_0-1} + BV_{n_0-1}.\]

Démonstration

Exemples

Remarque

En pratique pour déterminer une relation de Bézout on ne calcule pas les $U_n,V_n$ de cette manière. On remonte les calculs effectués lors des divisions euclidiennes.

Exemple

Définition : PPCM

On considère deux polynômes $A,B\in \mathbb{K}[X]$. Alors le plus petit commun multiple (PPCM) entre les polynômes $A$ et $B$ est l'unique polynôme unitaire $M \in \mathbb{K}[X]$ tel que $A\mid M, B\mid M$ et

\[\forall C \in \mathbb{K}[X], \quad A\mid C, B\mid C \quad \Longrightarrow \quad M \leq C.\]

On le note alors $A\vee B = M$.

Exemples

Remarque

La définition précédente est bien définie grâce à des arguments similaires à la définition de $A\wedge A$.

Définition : Polynômes premiers entre eux

On considère deux polynômes $A,B \in \mathbb{K}[X]$. Alors on dit que les polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux si $A\wedge B = 1$.

Exemple

Théorème de Bézout

On considère deux polynômes $A,B\in \mathbb{K}[X]$. Alors les polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux polynômes $U,V\in \mathbb{K}[X]$ tels que

\[AU + BV = 1.\]

Démonstration

Exemple

Théorème : Lemme de Gauss

On considère des polynômes $A,B,C \in \mathbb{K}[X]$. Si les polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux et si $A\mid BC$ alors $A\mid C$.

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère des polynômes $A,B,C \in \mathbb{K}[X]$.

Si les polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux et divisent le polynôme $C$ alors $AB \mid C$.
Si les polynômes $A$ et $B$ sont premiers avec le polynôme $C$ alors le polynôme $AB$ est premier avec le polynôme $C$.

Démonstration

Exemples

Définition : PGCD d'un nombre fini de polynômes

On considère des polynômes $A_1, ..., A_n \in \mathbb{K}[X]$ non tous nuls, avec un entier $n\geq 2$. Alors le plus grand commun diviseur aux polynômes $A_1, ..., A_n$ est l'unique polynôme unitaire $D \in \mathbb{K}[X]$ tel que $D \mid A_i$ pour tout $i\in \{1, ..., n\}$ et

\[\forall C\in \mathbb{K}[X], \quad [\forall i\in \{1, ..., n\}, C\mid A_i] \quad \Longrightarrow \quad \deg(C) \leq \deg(D).\]

On le alors note $D = A_1 \wedge ... \wedge A_n$.

Exemples

Théorème : Relation de Bézout

On considère des polynômes $A_1, ..., A_n \in \mathbb{Z}$ non tous nuls. Alors il existe des polynômes $U_1, ..., U_n \in \mathbb{K}[X]$ tels que

\[A_1 U_1 + ... + A_n U_n = A_1 \wedge ... \wedge A_n.\]

Réciproquement s'il existe des polynômes $U_1, ..., U_n, C\in \mathbb{K}[X]$ tels que

\[A_1 U_1 + ... + A_n U_n = C.\]

Alors $A_1 \wedge ... \wedge A_n \mid C$.

Démonstration

Exemple

Définitions : Polynômes premiers dans leur ensemble ou deux à deux

On considère des polynômes $A_1, ..., A_n\in \mathbb{K}[X]$ non tous nuls. Alors on dit que les polynômes $A_1, ..., A_n$ sont :

premiers dans leur ensemble si $A_1 \wedge ... \wedge A_n = 1$,
premiers deux à deux si pour tout $i,j\in \{1, ..., n\}$ distincts, $A_i \wedge A_j = 1$.

Exemples

Premiers dans leur ensemblePremiers deux à deux

VI. Polynômes irréductibles de C[X] et R[X]⚓︎

Définition : Polynôme irréductible

On considère un polynôme $A \in \mathbb{K}[X]$. Alors on dit que le polynôme $A$ est irréductible s'il est ni constant ni produit de deux polynômes non constants :

\[\deg(A) \geq 1, \quad \text{et} \quad \forall B,C\in \mathbb{K}[X], \quad A=BC \quad \Longrightarrow \deg(B) \leq = 1 \quad \text{ou} \quad \deg(C) \leq 1.\]

Exemples

Polynôme irréductiblePolynôme réductible

Théorème de D'Alembert-Gauss

On considère un polynôme $P\in \mathbb{C}[X]$. Si le polynôme $P$ est non constant alors le polynôme $P$ admet une racine $a\in \mathbb{C}$.

Remarque

La démonstration est admise.

Exemple

Corollaire

Les polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ sont exactement les polynômes de degré $1$.

Démonstration

Théorème de décomposition en facteurs irréductibles dans $\mathbb{C}[X]$

On considère un polynôme non constant $P \in \mathbb{C}[X]\backslash \mathbb{C}$. Alors il existe de façon unique :

un entier non nul $r\in \mathbb{N}^*$
des complexes $\lambda_1, ..., \lambda_r \in \mathbb{C}$,
des entiers non nuls $\alpha_1, ..., \alpha_r \in \mathbb{N}^*$
un complexe non nul $\varepsilon \in \mathbb{C}^*$,

tels que

\[P = \varepsilon \prod_{k=1}^r (X-\lambda_k)^{\alpha_k}.\]

Démonstration

Exemple

Remarque

Dans la décomposition précédente, le complexe $\lambda$ est le coefficient dominant du polynôme $P$, les complexes $\lambda_1, ..., \lambda_r$ sont les racines distinctes du polynôme $P$, les entiers $\alpha_1, ..., \alpha_r$ sont les multiplicités $m_P(\lambda_1), ..., m_P(\lambda_r)$ correspondantes des racines $\lambda_1, ..., \lambda_r$ et le degré du polynôme $P$ est donné par $\deg(P) = \sum_{j=1}^r \alpha_j$.

Remarque

En notant $m_P(\lambda) = 0$ si le complexe $\lambda$ n'est pas racine du polynôme $P$ alors nous avons que le complexe $\lambda$ est racine du polynôme $P$ si et seulement si $\nu_P(\lambda) > 0$.

Corollaire

On considère deux polynômes $P,Q \in \mathbb{K}[X]$. Alors les polynômes $P$ et $Q$ sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'admettent pas de racines en commun.

Démonstration

Exemples

Remarque

Pour $n\in \mathbb{N}^*$, nous avions déjà obtenu la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme $X^n - 1$ dans $\mathbb{C}[X]$ :

\[X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X- \omega^k), \quad \omega = e^{i \frac{2\pi}{n}}.\]

Proposition

Les polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont exactement les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racines réelles.

Démonstration

Théorème de décomposition en facteurs irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$

On considère un polynôme non constant $P\in \mathbb{R}[X] \backslash \mathbb{R}$. Alors il existe de façon unique :

deux entiers $r,s\in \mathbb{N}$ non tous nuls,
des réels $\lambda_1, ...,\lambda_r \in \mathbb{R}$,
des couples de réels $(a_1,b_1), ..., (a_s,b_s) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*$,
des entiers non nuls $\alpha_1, ..., \alpha_r \in \mathbb{N}^*$,
des entiers non nuls $\beta_1, ..., \beta_s \in \mathbb{N}^*$,
un réel non nul $\varepsilon \in \mathbb{R}^*$,

tels que

\[P = \varepsilon \prod_{j=1}^r (X-\lambda_j)^{\alpha_j} \prod_{k=1}^s ((X-a_k)^2 +b_k^2)^{\beta_k}.\]

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ et un complexe $\lambda\in \mathbb{C}$. Alors le complexe $\lambda$ est racine du polynôme réel $P$ si et seulement si $\overline{\lambda}$ l'est également. Dans ce cas les complexes $\lambda$ et $\overline{\lambda}$ ont la même multiplicité.

Démonstration

Exemple

VII. Formule d'interpolation de Lagrange⚓︎

Théorème d'interpolation de Lagrange

On considère des éléments distincts $x_1, ..., x_n \in \mathbb{K}$ et des éléments $y_1, ..., y_n \in \mathbb{K}$. Alors il existe un unique polynôme $P\in \mathbb{K}_{n-1}[X]$ tel que, pour tout $j\in \{1, ..., n\}, P(x_j) = y_j$. Le polynôme $P$ est donné par

\[P = \sum_{j=1}^n y_j L_j, \quad \forall j\in \{1, ..., n\}, \quad L_j = \prod_{k=1, k\neq j}^n \dfrac{X - x_k}{x_j - x_k} \in \mathbb{K}[X].\]

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère des éléments distincts $x_1, ..., x_n \in \mathbb{K}$, des éléments $y_1, ..., y_n \in \mathbb{K}$ et un polynôme $Q \in \mathbb{K}$. Alors $Q(x_j) = y_j$ pour tout $j\in \{1, ..., n\}$ si et seulement s'il existe un polynôme $R \in \mathbb{K}[X]$ tel que

\[Q = P + R \prod_{j=1}^n (X-x_j),\]

avec $P$ le polynôme interpolateur de Lagrange du théorème précédent. Autrement dit si et seulement si les polynômes $P$ et $Q$ sont égaux modulo $\prod_{j=1}^n (X-x_j)$.

Démonstration

Exemple

VIII. Fractions rationnelles⚓︎

Définition : Fraction rationnelle

Une fraction rationnelle est un couple de polynômes $(P,Q) \in \mathbb{K}[X]^2$ avec $Q\neq 0$ que l'on note $\dfrac{P}{Q}$. On note $\mathbb{K}(X)$ leur ensemble.

Exemple

Remarque

Les opérations sur $\mathbb{K}(X)$ sont définies exactement comme celles sur $\mathbb{Q}$.

Définition

On considère deux fractions rationnelles $$. Alors on définit la relation $\simeq$ sur $\mathbb{K}(X) par

\[\forall \dfrac{P_1}{Q_1}, \dfrac{P_2}{Q_2} \in \mathbb{K}(X), \quad \dfrac{P_1}{Q_1} \simeq \dfrac{P_2}{Q_2} \quad \Longleftrightarrow \quad P_1 Q_2 = P_2 Q_1.\]

Exemple

Proposition

La relation $\simeq$ sur $\mathbb{K}(X)$ est une relation d'équivalence.

Démonstration

Remarque

Il ne s'agit pas de la relation d'égalité à proprement parler car $\dfrac{P_1}{Q_1} = \dfrac{P_2}{Q_2}$ signifie que $(P_1,Q_1) = (P_2,Q_2)$ i.e. $P_1 = P_2$ et $Q_1 = Q_2$. On fera tout de même l'abus de notations $\dfrac{P_1}{Q_1} = \dfrac{P_2}{Q_2}$ à la place de $\dfrac{P_1}{Q_1} \simeq \dfrac{P_2}{Q_2}$.

Définition : Forme irréductible

On considère une fraction rationnelle $\dfrac{P}{Q} \in \mathbb{K}(X)$. Alors on dit que la fraction rationnelle $\dfrac{P}{Q}$ est sous forme irréductible si $P\wedge Q = 1$ et $Q$ est un polynôme unitaire.

Exemple

Forme irréductibleForme réductible

Proposition

On considère une fraction rationnelle $\dfrac{P}{Q} \in \mathbb{K}(X)$. Alors il existe un couple de polynômes $(P_1,Q_1)\in \mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}[X]^*$ avec $Q$ unitaire et

\[\dfrac{P}{Q} = \dfrac{P_1}{Q_1}, \quad P_1\wedge Q_1 = 1.\]

Autrement dit il existe une fraction rationnelle sous forme irréductible dans la classe d'équivalence de la fraction rationnelle $\dfrac{P}{Q}$ pour la relation $\simeq$.

Démonstration

Remarque

Pour la déterminer on écrit les factorisations des polynômes $P$ et $Q$ et on simplifie les termes en commun.

Exemple

Définition : Fonction rationnelle associée

On considère une fraction rationnelle $\dfrac{P}{Q} \in \mathbb{K}(X)$. Alors la fonction rationnelle associée est la fonction $f$ définie sur $\{x\in \mathbb{K}, \quad Q(x) \neq 0\}$ par $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.

Exemple

Remarque

On fera le même abus de notation en notant $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ l'évaluation de la fonction rationnelle associée au point $x\in \mathbb{K}$.

Définition : Degré, partie entière, zéros, pôles, multiplicité

On considère une fraction rationnelle $\dfrac{A}{B}\in \mathbb{K}(X)$ écrite sous forme irréductible.

Le degré de la fraction rationnelle $\dfrac{A}{B}$ est définie par $\deg\left( \dfrac{A}{B} \right) = \deg(A) - \deg(B) \in \mathbb{Z} \cup \{-\infty\}$.
La partie entière de la fraction rationnelle $\dfrac{A}{B}$ est le quotient $Q \in \mathbb{K}[X]$ dans la division euclidienne du polynôme $A$ par le polynôme non nul $B$ : $A = BQ+R$ i.e. $\dfrac{A}{B} = Q + \dfrac{R}{B}$.
Les zéros de la fraction rationnelle $\dfrac{A}{B}$ sont les zéros du polynôme $A$. Les multiplicités des zéros sont celles des zéros du polynôme $A$.
Les pôles de la fraction rationnelle $\dfrac{A}{B}$ sont les zéros du polynômes $B$. Les multiplicités des pôles sont celles des zéros du polynôme $B$.

Exemples

Remarque

Il est important que la fraction rationnelle $\dfrac{A}{B}$ soit écrite sous forme irréductible car sinon un zéro du polynôme $A$ (respectivement un zéro du polynôme $B$) peut ne pas être un zéro (respectivement un pôle) de la fraction rationnelle $\dfrac{A}{B}$. Les multiplicités peuvent correspondre si on considère les différences des multiplicités entre les zéros des polynômes $A$ et $B$.

Exemples

IX. Décomposition en éléments simples sur C et sur R⚓︎

Théorème de décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$

On considère une fraction rationnelle sous forme irréductible $\dfrac{A}{B} \in \mathbb{C}(X)$. Alors, en notant $\lambda_1, ..., \lambda_r \in \mathbb{C}$ les racines distinctes du polynôme $B$ et $\alpha_1, ..., \alpha_r$ leurs multiplicités respectives, il existe un unique polynôme $Q \in \mathbb{C}[X]$ et des uniques complexes $a_{jk}\in \mathbb{C}, 1\leq k\leq \alpha_j, 1\leq j\leq r,$ tels que

\[\dfrac{A}{B} = Q + \sum_{j=1}^r \sum_{k=1}^{\alpha_j} \dfrac{a_{jk}}{(X-\lambda_j)^k}.\]

Remarque

La démonstration est admise.

Remarque

En pratique la première étape consiste à se ramener à la forme irréductible.

La seconde étape consiste à se ramener à $\deg(A) < \deg(B)$. Si $\deg(A) \geq \deg(B)$ alors on effectue la division euclidienne du polynôme $A$ par le polynôme $B$ : $\dfrac{A}{B} = Q + \dfrac{R}{B}$ avec $\deg(R) < \deg(B)$. Nous supposons donc que $\deg(A)< \deg(B)$.

La troisième étape consiste à écrire la forme générale :

\[\dfrac{A}{B} = \dfrac{a_{11}}{X-\lambda_1} +...+ \dfrac{a_{1\alpha_1}}{(X-\lambda_1)^{\alpha_1}} + \dfrac{a_{21}}{X-\lambda_2} + ... + \dfrac{a_{2\alpha_2}}{(X-\lambda_2)^{\alpha_2}} + ... + \dfrac{a_{r1}}{X-\lambda_r} + ... + \dfrac{a_{r\alpha_r}}{(X-\lambda_r)^{\alpha_r}}.\]

La dernière étape consiste à déterminer les coefficients $a_{jk}$. Nous pouvons le faire par identification après avoir tout dévélopper mais ceci amène à des calculs plus longs. Nous pouvons plutôt déterminer les termes $a_{j\alpha_j}$ en multipliant des deux côtés par $(X-\lambda_j)^{\alpha_j}$ puis en évaluent en $\lambda_j$ :

\[\dfrac{(X-\lambda_j)^{\alpha_j}A}{B} = \dfrac{a_{11}(X-\lambda_j)^{\alpha_j}}{X-\lambda_1} +...+ \dfrac{a_{1\alpha_1}(X-\lambda_j)^{\alpha_j}}{(X-\lambda_1)^{\alpha_1}} + ... + a_{j1}(X-\lambda_j)^{\alpha_j-1} + ... + a_{j\alpha_j} + ... + \dfrac{a_{r1}(X-\lambda_j)^{\alpha_j}}{X-\lambda_r} + ... + \dfrac{a_{r\alpha_r}(X-\lambda_j)^{\alpha_j}}{(X-\lambda_r)^{\alpha_r}}.\]

On obtient alors la valeur des $a_{j\alpha_j}$. S'il y a d'autres coefficients à calculer alors on peut évaluer en des points qui ne sont pas des pôles et aboutir à un système d'équation. En général il restera 0,1 ou 2 coefficients à calculer. Nous pouvons également le faire en multipliant par $X$ des deux côtés et étudier les limites grâce au chapitre suivant.

Exemples

Multiplicités unitairesAvec une multiplicité égale à 2Avec deux multiplicités égales à 2

Théorème de décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$

On considère une fraction rationnelle sous forme irréductible $\dfrac{A}{B} \in \mathbb{R}(X)$. Alors, en notant

\[B = \varepsilon \prod_{j=1}^r (X-\lambda_j)^{\alpha_j} \prod_{j=1}^s ((X-a_j)^2 +b_j^2)^{\beta_j}\]

il existe un unique polynôme $Q \in \mathbb{C}[X]$ et des uniques réels $a_{jk}\in \mathbb{R}, 1\leq k\leq \alpha_j, 1\leq j\leq r, b_{jk},c_{jk}\in \mathbb{R}, 1\leq k\leq \beta_j, 1\leq j\leq s$ tels que

\[\dfrac{A}{B} = Q + \sum_{j=1}^r \sum_{k=1}^{\alpha_j} \dfrac{a_{jk}}{(X-\lambda_j)^k} + \sum_{j=1}^s \sum_{k=1}^{\beta_j} \dfrac{b_{jk} X + c_{jk}}{((X-a_j)^2 + b_j^2)^k}.\]

Remarque

La démonstration est admise.

Remarque

En pratique le début de la méthode précédente fonctionne également. Nous arrivons à

\[\dfrac{A}{B} = \dfrac{a_{11}}{X-\lambda_1} +... + \dfrac{a_{r\alpha_r}}{(X-\lambda_r)^{\alpha_r}} + \dfrac{b_{11} X + c_{11}}{(X-a_1)^2 + b_1^2} + ... + \dfrac{b_{1\beta_1} X + c_{1\beta_1}}{((X-a_1)^2 + b_1^2)^{\beta_1}} +...,\]

où les premiers coefficients s'obtiennent avec la méthode précédente. Concernant les autres coefficients, on peut soit passer par les racines complexes et se ramener au cas réel grâce aux parties réelles et imaginaires, soit multiplier par $X$ et étudier les limites, soit évaluer en des points et obtenir un système. En général il n'y aura qu'un ou deux termes en $(X-a)^2 + b^2$.

Exemples

$(X-a)^2 + b^2$$((X-a)^2 + b^2)^2$$((X-a_1)^2 + b_1^2)((X-a_2)^2 + b_2^2)$

Remarque

Ces méthodes sont très pratiques pour calculer une primitive d'une fonction rationnelle étant donné qu'on connaît des primitives pour les éléments simples.

Exemples

Remarque

On peut également s'en servir pour calculer les dérivées $k$-ièmes de fractions rationnelles.

Exemples

Remarque

Si l'élément $\lambda \in \mathbb{K}$ est un pôle simple de la fraction rationnelle $\dfrac{P}{Q}$ alors le terme associé dans la décomposition en éléments simples est de la forme $\dfrac{a}{X-\lambda}$. C'est ce qui arrivera le plus souvent.

Proposition

On considère un polynôme $P\in \mathbb{K}[X]$. Si le polynôme est scindé et unitaire $P = (X-\lambda_1)^{\alpha_1} ... (X-\lambda_r)^{\alpha_r}$ alors nous avons la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $\dfrac{P'}{P} \in \mathbb{K}(X)$ :

\[\dfrac{P'}{P} = \sum_{j=1}^r \dfrac{\alpha_j}{X-\lambda_j}.\]

Démonstration

Exemple