Exercices

Généralités

Exercices d'apprentissage

Exercice 1

Étudier le domaine de définition et la parité de la fonction \(f\) d’une variable réelle définie par

\[f(x) = \ln(\sqrt{x^2+1}+x).\]

Correction

Exercice 2

Soit \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) telle que \(f\circ f\) soit croissante et \(f\circ f\circ f\) soit strictement décroissante. Étudier la monotonie de la fonction \(f\).

Correction

On souhaite montrer que la fonction \(f\) est strictement décroissante. On suppose par l'absurde qu'il existe \(x,y \in \mathbb{R}\) tels que

\[x<y, \quad f(x)\leq f(y).\]

Alors de \(x < y\) et \(f\circ f \circ f\) strictement décroissante, nous avons

\[f(f(f(x))) > f(f(f(y))).\]

Et de \(f(x) \leq f(y)\) et \(f\circ f\) croissante, nous avons

\[f(f(f(x))) \leq f(f(f(y))).\]

Exercice 3

Donner un exemple de fonction \(f : [0,+\infty[~\longrightarrow \mathbb{R}\) ni majorée ni minorée.

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice 4

Déterminer une fonction \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) telle que la fonction \(f\) ne présente ni minimum ni maximum sur aucun intervalle \([a;b]\) avec \(a<b\).

Correction

Exercices d'approfondissement

Limites

Exercices d'apprentissage

Exercice 5

Donner un exemple de fonction \(f : ~]0,+\infty[~ \longrightarrow \mathbb{R}\) sans limite (finie ou infinie) en \(0\).

Correction

Exercice 6

On considère deux fonctions \(f,g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\).

1. Montrer que la fonction \(f\) est constante si elle est périodique et admet une limite finie en \(+\infty\).

Correction

On suppose que la fonction est périodique de période \(T\in \mathbb{R}_+^*\) et admet \(\ell \in \mathbb{R}\) comme limite finie en \(+\infty\). Montrons que la fonction \(f\) est constante, par exemple en montrer qu'elle est égale à \(f(0)\). Soit \(\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\). Alors nous avons l'existence d'un \(A \in \mathbb{R}\) tel que

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad x\geq A \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - \ell| \leq \varepsilon.\]

Soit \(x \in \mathbb{R}\). Alors il existe \(k\in \mathbb{Z}\) tel que

\[x+kT, kT \geq A.\]

Donc, grâce à la \(T\)-périodicité et l'inégalité triangulaire,

\[|f(x) - f(0)| = |f(x+kT) - \ell| + |\ell - f(kT)| \leq 2\varepsilon.\]

Variante : Nous avons, par caractérisation séquentielle de la limite,

\[f(x) = f(x+nT) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \ell.\]

Donc \(f(x) = \ell\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\).

2. Montrer que la fonction \(g\) est constante si la fonction \(f\) admet une limite finie en \(+\infty\), la fonction \(g\) est périodique et la fonction \(f+g\) est croissante.

Correction

On suppose que la fonction \(f\) admet \(\ell\) comme limite finie en \(+\infty\), que la fonction \(g\) est périodique de période \(T\in \mathbb{R}_+^*\) et que la fonction \(f+g\) est croissante. Donc, par théorème de la limite monotone, nous avons

\[f+g \underset{+\infty}{\longrightarrow} \ell' \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}.\]

Si \(\ell' = +\infty\) alors

\[\lim_{+\infty} g = \lim_{+\infty} (f+g) - \lim_{+\infty} f = +\infty - \ell = +\infty.\]

Donc, comme la fonction \(g\) est périodique, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), par caractérisation séquentielle de la limite,

\[g(x) = g(x+nT) \underset{n\to T}{\longrightarrow} +\infty.\]

Ce qui ne peut pas. Donc \(\ell' < +\infty\).

Donc \(\ell' < +\infty\) et ainsi, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), nous avons

\[g(x) = g(x+nT) = (f+g)(x+nT) - f(nT) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \ell' - \ell.\]

Exercice 7

Etudier les limites des fonctions suivantes en \(0^+\).

1. \(\dfrac{1}{x} + \ln(x)\)

2. \(x^{\sqrt{x}}\)

3. \(|\ln(x)|^{\frac{1}{\ln(x)}}\)

4. \(\dfrac{\sin(x)}{x}\)

5. \(x\sin(\ln(x))\)

6. \(\dfrac{\lfloor x \rfloor}{x}\)

7. \(x^x\)

8. \(x^{(x^x)}\)

Correction

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Exercice 8

Etudier les limites des fonctions suivantes en \(+\infty\).

1. \(3x^2 - e^x\)

2. \(\dfrac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x+1}\)

3. \(xe^{-\sqrt{x}}\)

4. \(\dfrac{x\cos(e^x)}{x^2 + 1}\)

5. \(\dfrac{\lfloor x \rfloor}{x}\)

6. \(x^2 + x \sin(x)\)

7. \(x^{\frac{1}{x}}\)

8. \(\left( \dfrac{1}{x^2} \right)^{\frac{1}{\sqrt{\ln(x)}}}\)

9. \(\dfrac{x-\sqrt{x}}{\ln(x) + x}\)

Correction

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Exercice 9

Etudier les limites à gauche et à droite des fonctions suivantes au point indiqué.

1. \(\ln(x) \ln(\ln(x))\) en 1

2. \(\dfrac{\sin(2x)}{\pi - 2x}\) en \(\dfrac{\pi}{2}\)

3. \(\dfrac{x-1}{\ln(x)}\) en 1

4. \(\dfrac{1-x}{\arccos(x)}\) en 1

Correction

1.

2.

3.

4.

Exercice 10

Soit \(f : \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}\) strictement croissante de limite \(\ell\) en \(+\infty\). Montrer que pour tout \(x\in \mathbb{R}_+\)

\[f(x) < \ell.\]

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice 11

Etudier les limites des fonctions suivantes au point indiqué.

1. \(x \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)\) en 0

2. \(\dfrac{x \cos(e^x)}{x^2 + 1}\) en \(+\infty\)

3. \(e^{x-\sin(x)}\) en \(+\infty\)

4. \(\dfrac{x+\arctan(x)}{x}\) en \(+\infty\)

5. \(x \left\lfloor \dfrac{1}{x} \right\rfloor\) en \(0\)

6. \(x \left\lfloor \dfrac{1}{x} \right\rfloor\) en \(+\infty\)

7. \(\left\lfloor \dfrac{1}{x} \right\rfloor\) en \(0\)

8. \(x^2\left\lfloor \dfrac{1}{x} \right\rfloor\) en \(0\)

Correction

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Exercice 11

Soit \(x\in \mathbb{R}\). Etudier la limite

\[\lim_{n\to +\infty} \lim_{m\to +\infty} (\cos(\pi n! x))^{2m}.\]

Correction

Exercice 12

Soient \(c >1\) et \(f : \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}_+^*\) croissante telle que

\[\lim_{x\to +\infty} \dfrac{f(cx)}{f(x)} = 1.\]

1. Donner un exemple de fonction \(f\) non constante vérifiant les propriétés précédentes.

Correction

2. Montrer que pour tout \(d\in \mathbb{R}_+^*\)

\[\lim_{x\to +\infty} \dfrac{f(dx)}{f(x)} = 1.\]

Correction

Exercice 13

Soient \(a,b \in \overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\), et \(f : ~]a,b[~\longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction croissante. Montrer que l'application \(x \longmapsto \lim_{x^+} f\) est croissante sur \(~]a,b[\).

Correction

Exercice 14

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes.

A. \(\lim_{\pm +\infty} |f| = +\infty\).

B. L'image réciproque par la fonction \(f\) d'une partie bornée de \(\mathbb{R}\) est une partie bornée.

Correction

Exercice 15

Soit \(f : [0,+\infty[~ \longrightarrow \mathbb{R}\) bornée telle que

\[f(2x) - f(x) \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \mathbb{R}.\]

Montrer que \(\ell = 0\).

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice 16

Soit \(f : \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}\) continue telle que

\[f(x+1) - f(x) \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \mathbb{R}.\]

Montrer que

\[\dfrac{f(x)}{x} \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} \ell.\]

Correction

Exercice 17

Soit \(f : \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}\) continue telle que

\[\forall x\in \mathbb{R}_+^*, \quad f(nx) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0.\]

Correction

Continuité

Exercices d'apprentissage

Exercice 18

Etudier la continuité des fonctions suivantes.

1. \(\begin{array}{rcl} f : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x^2 & si & x\geq 0 \\ -x^2 & si & x<0 \end{cases} \end{array}\)

Correction

2. \(\begin{array}{rcl} g : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \lfloor x\rfloor + \sqrt{x-\lfloor x\rfloor} \end{array}\)

Correction

3. \(\begin{array}{rcl} h : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \lfloor x\rfloor + (x-\lfloor x\rfloor)^2 \end{array}\)

Correction

Exercice 19

On considère trois fonctions continues sur un intervalle \(f,g,h : I \longrightarrow \mathbb{R}\).

1. On considère la fonction \(F = \max(f,g)\) définie par

\[\forall x\in I, \quad F(x) = \max(f,g)(x) = \max(f(x), g(x)).\]

Montrer que la fonction \(F = \max(f,g)\) est continue sur \(I\).

Correction

Pour tout \(x \in I\) nous avons

\[F(x) = \dfrac{1}{2}(f(x)+g(x) + |f(x)-g(x)|).\]

En effet si \(f(x) \leq g(x)\) alors \(F(x) = g(x)\) et

\[\dfrac{1}{2} (f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|) = \dfrac{1}{2}(f(x) + g(x) + (g(x) - f(x))) = g(x).\]

De même si \(f(x) > g(x)\). Par conséquent la fonction \(F\) est continue car les fonctions \(f,g,|\cdot|\) le sont.

2. On considère la fonction \(G = \text{mid}(f,g,h)\) définie par, pour tout \(x\in I\), \(G(x)\) est la valeur, parmi \(f(x), g(x),h(x)\), qui est comprise entre les deux autres. Montrer que la fonction \(G = \text{mid}(f,g,h)\) est continue sur \(I\).

Correction

Pour tout \(x\in I\) nous avons

\[G(x) = \min(\max(f(x),g(x)),\max(g(x),h(x)),\max(h(x),f(x))).\]

En effet nous traitons les différents cas :

• Si \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) alors \(G(x) = g(x)\) et

\[\min(\max(f(x),g(x)),\max(g(x),h(x)),\max(h(x),f(x))) = \min(g(x),h(x),h(x)) = g(x).\]

• Si \(f(x) \leq h(x) \leq g(x)\) alors

• Si \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) alors

• Si \(g(x) \leq h(x) \leq f(x)\) alors

• Si \(h(x) \leq f(x) \leq g(x)\) alors

• Si \(h(x) \leq g(x) \leq f(x)\) alors

Par conséquent, comme à l'exercice précédent, les fonctions \(\min, \max, f,g,h\) sont continues donc la fonction \(G\) également.

Exercice 20

On considère la fonction

\[\begin{array}{rcl} f : \mathbb{R}_+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sup\left\{\dfrac{x^n}{n!}, \quad n\in \mathbb{N}\right\} \end{array}.\]

Etudier sa continuité.

Correction

Soit \(x \in \mathbb{R}_+\). Si \(x\neq 0\) alors pour tout \(n\in \mathbb{N}\)

\[\dfrac{~ \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}~}{~ \dfrac{x^n}{n!}~} = \dfrac{x}{n+1}.\]

Donc \(\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} \leq \dfrac{x^n}{n!}\) si et seulement si \(x \leq n+1\). Ainsi la suite \(\left( \dfrac{x^n}{n!} \right)_{n\in \mathbb{N}}\) est décroissante à partir de \(n = \lfloor x \rfloor \in \mathbb{N}\). Ainsi

\[f(x) = \dfrac{x^{\lfloor x \rfloor}}{(\lfloor x \rfloor)!}.\]

Cette formule est également valable pour \(x = 0\) car \(0^0 = 1\). Etudions ensuite la continuité de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Soit \(a \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{N}\) nous avons pour \(x\) au voisinage de \(a\)

\[f(x) = \dfrac{x^{\lfloor x\rfloor}}{(\lfloor x \rfloor)!} = \dfrac{x^{\lfloor a\rfloor}}{(\lfloor a \rfloor)!} \underset{x \to a}{\longrightarrow} \dfrac{a^{\lfloor a\rfloor}}{(\lfloor a \rfloor)!} = f(a).\]

Puis pour \(a \in \mathbb{N}\) nous avons pour \(x\) au voisinage de \(a\) tel que \(x>a\)

\[f(x) = \dfrac{x^{\lfloor x\rfloor}}{(\lfloor x \rfloor)!} = \dfrac{x^a}{ a !} \underset{x \to a}{\longrightarrow} \dfrac{a^a}{a!} = f(a)\]

et, si \(a\neq 0\), pour \(x\) au voisinage de \(a\) tel que \(x<a\)

\[f(x) = \dfrac{x^{\lfloor x\rfloor}}{(\lfloor x \rfloor)!} = \dfrac{x^{a-1}}{(a-1)!} \underset{x \to a}{\longrightarrow} \dfrac{a^{a - 1}}{(a-1)!} = \dfrac{a^a}{a!} = f(a).\]

Par conséquent la fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_+\).

Exercice 21

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue telle que

\[\lim_{-\infty} f = - 1 = - \lim_{+\infty} f.\]

Montrer que la fonction \(f\) s'annule.

Correction

Nous avons \(\lim_{-\infty} f = -1\). Donc il existe \(a \in \mathbb{R}\) tel que pour tout \(x\leq a\)

\[- \dfrac{1}{4} \leq f(x) + 1 \leq \dfrac{1}{4}.\]

Ainsi

\[- \dfrac{5}{4} \leq f(x) \leq - \dfrac{3}{4} < 0.\]

De même il existe \(b \in \mathbb{R}\) tel que pour tout \(x\geq b\)

\[- \dfrac{1}{4} \leq f(x) - 1 \leq \dfrac{1}{4}.\]

Ainsi

\[0 < \dfrac{3}{4} \leq f(x) \leq \dfrac{5}{4}.\]

En particulier \(a < b\) et par théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(c\in ~]a,b[\) tel que \(f(c) = 0\).

Exercice 22

Montrer que les seules applications continues de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{Z}\) sont les fonctions constantes.

Correction

Exercice 23

Soient \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) bornée et \(g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue. Montrer que les fonctions \(g\circ f\) et \(f\circ g\) sont également bornées.

Correction

Exercice 24

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue telle que \(\lim_{\pm \infty} f = +\infty\). Montrer que la fonction \(f\) admet un minimum.

Correction

Exercice 25

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = \dfrac{x}{1+|x|}.\]

1. Montrer que la fonction \(f\) est une bijection continue de \(\mathbb{R}\) vers un intervalle \(J\) à préciser.

Correction

2. Pour \(y\in J\), déterminer une expresion de \(f^{-1}(y)\) analogue à celle de la fonction \(f\).

Correction

Exercice 26

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue en \(0\) vérifiant

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(2x) = f(x).\]

Montrer que la fonciton \(f\) est constante.

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice 27

1. Donner un exemple de fonction \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue en aucun point de \(\mathbb{R}\).

Correction

2. Donner un exemple de fonction \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue uniquement en \(0\).

Correction

Exercice 28

Soit \(f : \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}\) croissante telle que \(x\longmapsto \dfrac{f(x)}{x}\) soit décroissante sur \(\mathbb{R}_+^*\). Montrer que la fonction \(f\) est continue.

Correction

Exercice 29

Soient \(f,g : I \longrightarrow \mathbb{R}\) continues telles que

\[\forall x\in I, \quad |f(x)| = |g(x)| \neq 0.\]

Montrer que \(f = g\) ou \(f = -g\).

Correction

Exercice 30

Soient \(f,g : [a,b] \longrightarrow [a,b]\) continues telles que

\[f \circ g = g\circ f.\]

Montrer qu'il existe \(c \in [a,b]\) tel que \(f(c) = g(x)\).

Correction

Exercice 31

Soient \(f,g : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\) continues telles que \(f<g\). Montrer qu'il existe \(\alpha \in \mathbb{R}_+^*\) tel que \(f\leq g-\alpha\).

Correction

Exercice 32

Soit \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\) continue telle que \(|f|< 1\).

1. Montrer qu'il existe \(M\in [0,1[\) tel que \(|f| \leq M\).

Correction

2. Soit \((x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in [a,b]^\mathbb{N}\). Etudier la limite de la suite \(((f(x_n))^n)_{n\in \mathbb{N}}\).

Correction

Exercice 33

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue en 0 et 1 telle que

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = f(x^2).\]

Montrer que la fonction \(f\) est constante.

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice 34

Montrer la surjectivité de l'application

\[\begin{array}{rcl} \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ z & \longmapsto & z \exp(z) \end{array}.\]

Correction

Exercice 35

Soit \(f : \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}\) continue et, pour tout \(x\in \mathbb{R}_+\),

\[g(x) = \max_{[0,x]} f.\]

Montrer que la fonction \(g\) est définie, continue et croissante sur \(\mathbb{R}_+\).

Correction

Dérivation

Exercices d'apprentissage

Exercice 36

Sur quelles parties de \(\mathbb{R}\), les fonctions suivantes sont-elles continues et/ou dérivables ?

1. \(f : x\longmapsto x|x|\)

Correction

Pour tout \(x\in \mathbb{R}_+^*\) nous avons \(f(x) = x^2\) donc la fonction \(f\) y est dérivable et \(f'(x) = 2x\). De même pour tout \(x\in \mathbb{R}_-^*\) nous avons \(f(x) = -x^2\) donc la fonction \(f\) y est dérivable et \(f'(x) = -2x\). Nous avons donc

\[\lim_{x\to 0^+} f'(x) = 0 = \lim_{x\to 0^-} f'(x).\]

Ainsi la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(0) = 0\).

2. \(g : x\longmapsto \dfrac{x}{|x| + 1}\)

Correction

La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_-^*\) et \(\mathbb{R}_+^*\) comme précédemment et également en \(0\) parce que

\[\lim_{x\to 0^+} g'(x) = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{(x+1)^2} = 1\]

et

\[\lim_{x\to 0^-} g'(x) = \lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{(-x+1)^2} = 1.\]

3. \(h : x \longmapsto \sqrt{x^2 - x^3}\)

Correction

4. \(i : x \longmapsto (x^2 - 1)\arccos(x^2)\)

Correction

Exercice 37

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable en \(a \in \mathbb{R}\). Etudier la limite en \(a\) de

\[\dfrac{xf(a) - a f(x)}{x-a}.\]

Correction

Nous avons

\[\dfrac{xf(a) - a f(x)}{x-a} = \dfrac{xf(a) - xf(x) + xf(x) - a f(x)}{x-a} = x \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} + f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} a f'(a) + f(a).\]

Exercice 38

Déterminer le domaine de dérivation et la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. \(x\longmapsto (\sin(x))^3\)

Correction

2. \(x\longmapsto \cos(x^2)\)

Correction

3. \(x\longmapsto \dfrac{1}{\ln(x)}\)

Correction

4. \(x\longmapsto \dfrac{1}{(x^2+1)^2}\)

Correction

5. \(x\longmapsto \dfrac{xe^{-x^2}}{x^2+1}\)

Correction

6. \(x\longmapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + x +1}}\)

Correction

7. \(x\longmapsto \dfrac{\arctan(x)}{x^2 +1}\)

Correction

8. \(x\longmapsto \dfrac{1}{(x+1)^2}\)

Correction

9. \(x\longmapsto \dfrac{\sin(x)}{(\cos(x) + 2)^4}\)

Correction

Exercice 39

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable et périodique. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est périodique et s'annule au moins deux sur chaque période.

Correction

On considère une période \(T\in \mathbb{R}_+^*\) de la fonction \(f\). Alors pour tout \(x\in \mathbb{R}\),

\[f'(x+T) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+T+h) - f(x+T)}{h} = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x).\]

Donc la fonction dérivée \(f'\) est également périodique. On considère une période \([a,a+T], a\in \mathbb{R}\). Alors la fonction \(f\) est continue sur le segment \([a,a+T]\) donc est bornée et atteint ses bornes : il existe \(\alpha, \beta \in [a,a+T]\) tels que

\[\forall x\in [a,a+T], \quad f(\alpha) \leq f(x) \leq f(\beta).\]

Si \(f(\alpha) = f(\beta)\) alors la fonction \(f\) est constante et \(f' = 0\). Sinon \(f(\alpha) < f(\beta)\) et dans ce cas la fonction \(f\) présente un minimum et un maximum en \(\alpha\) et \(\beta\). Si \(\alpha, \beta \in ~]a,a+T[\) alors, comme la fonction \(f\) est dérivable, \(f'(\alpha) = f'(\beta) = 0\). Si \(\alpha \in \{a,a+T\}\) alors il suffit de considérer l'intervalle \(\left[ \alpha - \dfrac{T}{2}, \alpha + \dfrac{T}{2} \right]\) pour avoir \(\alpha \in ~\left] \alpha - \dfrac{T}{2}, \alpha + \dfrac{T}{2} \right[\) et par \(T\)-périodicité

\[\forall x\in \left[ \alpha - \dfrac{T}{2}, \alpha + \dfrac{T}{2} \right], \quad f(x) \geq f(\alpha).\]

Donc \(f'(\alpha) = 0\). On procède de même si \(\beta \in \{a,a+T\}\) pour obtenir \(f'(\beta) = 0\).

Exercice 40

Etudier les variations de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = \dfrac{x}{e^x + 1}.\]

Correction

La fonction \(f\) est dérivable comme quotient bien défini de telles fonctions et pour tout \(x\in \mathbb{R}\)

\[f'(x) = \dfrac{e^x + 1 - e^x x}{(e^x + 1)^2} = \dfrac{g(x)}{(e^x +1)^2},\]

avec \(g(x) = e^x + 1 - e^x x\) définissant une fonction dérivable de dérivée donnée par

\[g'(x) = e^x - e^x x - e^x = - e^x x.\]

On en déduit son tableau de variations de la fonction \(g\).

\[\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & - \infty & & 0 & & +\infty \\ \hline g'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline & & & 2 & & \\ g & & \nearrow & & \searrow & \\ & 0 & & & & -\infty \\ \hline \end{array}\]

Donc par théorème des valeurs intermédiaires il existe un unique \(x_0 \in \mathbb{R}_+^*\) tel que \(g(x_0) = 0\) et

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad g(x) > 0 \Longleftrightarrow x<x_0.\]

On en déduit donc le tableau de variations de la fonction \(f\).

\[\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & x_0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline & & & f(x_0) & & \\ f & & \nearrow & & \searrow & \\ & -\infty & & & & 0 \\ \hline \end{array}\]

Exercice 41

Soit \(f : [0,+\infty[~ \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que

\[f(0) < 0, \quad \lim_{+\infty} f = + \infty.\]

Montrer que si la fonction \(f\) s'annule au moins deux fois alors la fonction \(f'\) également.

Correction

On suppose que la fonction \(f\) s'annule au moins deux fois.

• Si la fonction \(f'\) ne s'annule pas alors la fonction \(f\) est strictement monotone. Or \(\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty\) donc la fonction \(f\) est strictement croissante et donc ne peut pas s'annuler deux fois.

• Si la fonction \(f'\) s'annule une seule fois en \(x_0 \in \mathbb{R}\). Alors la fonction \(f\) est strictement monotone sur \([0,x_0]\) et sur \([x_0,+\infty[\). Comme précédemment la fonction \(f\) est strictement croissante sur \([x_0,+\infty[\). Si la fonction \(f\) est strictement croissante sur \([0,x_0]\) alors comme précédemment la fonction \(f\) ne peut pas s'annuler deux fois. Puis si la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \([0,x_0]\) alors \(f(x) \leq f(0) = -1 < 0\) pour tout \(x \in [0,x_0]\) et donc la fonction \(f\) ne peut pas s'annuler sur \([0,x_0]\) et uniquement une fois sur \([x_0,+\infty[\).

Par conséquent la fonction dérivée \(f'\) s'annule au moins deux fois.

Exercice 42

Soit \(f : \left[ 0,\dfrac{\pi}{2} \right] \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall x\in \left[ 0,\dfrac{\pi}{2} \right], \quad f(x) = \sqrt{\sin(x)} + x.\]

Montrer que la fonction \(f\) est bijective vers un intervalle à préciser puis que la fonction réciproque \(f^{-1}\) est dérivable sur cet intervalle.

Correction

La fonction \(f\) est dérivable sur \(\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right]\) comme composée et somme de telles fonctions et pour tout \(x\in ~\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)

\[f'(x) = \dfrac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}} + 1 > 0.\]

Donc la fonction \(f\) est strictement croisssant sur \(\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right]\) avec \(f(0) = 0\) et \(f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 1 + \dfrac{\pi}{2}\). Ainsi la fonction \(f\) est bijective de \(\left[ 0, \dfrac{\pi}{2}\right]\) vers \(\left[0, 1+\dfrac{\pi}{2}\right]\). Donc la fonction réciproque \(f\) est également continue sur \(\left[ 0, 1+ \dfrac{\pi}{2}\right]\). De plus \(f' > 0\) sur \(\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right]\) donc la fonction réciproque \(f^{-1}\) est dérivable sur \(f^{-1} \left(\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right] \right) = \left] 0, 1+\dfrac{\pi}{2}\right]\). Puis en \(0\) nous avons pour tout \(h\in \left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right]\) et \(x = f^{-1}(h) \underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0\)

\[\dfrac{f^{-1}(h) - f^{-1}(0)}{h} = \dfrac{x}{f(x)} = \dfrac{x}{\sqrt{\sin(x)} + x} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{\dfrac{\sin(x)}{x}} + \sqrt{x}} \underset{h\to 0}{\longrightarrow} \dfrac{0}{\sqrt{1} + 0} = 0.\]

Donc la fonction réciproque \(f^{-1}\) est dérivable en \(0\) et \((f^{-1})'(0) = 0\).

Exercices d'entrainement

Exercice 43

Donner un exemple de :

1. Fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) de dérivée discontinue en 0.

Correction

2. Fonction dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) de limite \(0\) en \(+\infty\) mais dont la dérivée n'est pas de limite 0 en \(+\infty\).

Correction

3. Fonction dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) de limite \(+\infty\) en \(0\) mais dont la dérivée n'est pas de limite \(+\infty\) en 0.

Correction

4. Fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) de dérivé strictement positive en \(0\) mais croissante sur aucun voisinage de 0.

Correction

Exercice 44

Soit \(f : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable et \(\varphi : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall x\in [0,1], \quad \varphi(x) = \begin{cases} f(2x) & si & 0\leq x\leq \dfrac{1}{2} \\ f(2x - 1) & si & \dfrac{1}{2} < x \leq 1 \end{cases}.\]

A quelle(s) condition(s) la fonction \(\varphi\) est-elle dérivable sur \([0,1]\) ?

Correction

Exercice 45

Déterminer le domaine de dérivation et la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. \(x\longmapsto x^x\)

2. \(x\longmapsto (\text{ch}(x))^x\)

3. \(x\longmapsto \ln(|x|)\)

4. \(x\longmapsto \arctan(e^x)\)

5. \(x\longmapsto \arctan(\text{sh}(x))\)

6. \(x\longmapsto \arctan\left(\text{th}\left(\dfrac{x}{2}\right) \right)\)

Correction

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Exercice 46

Déterminer toutes les fonctions \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) telles que :

1.

\[\forall x,y\in \mathbb{R}, \quad f(x+y) = f(x) + f(y).\]

Correction

2.

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(f(x)) = f(x).\]

Correction

Exercice 47

On considère la fonction \(f\) définie par

\[\forall x\in \mathbb{R}_+, \quad f(x) = 1 + x+x^{\frac{1}{3}}.\]

1. Montrer que la fonction \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}_+\) vers un intervalle à préciser.

Correction

2. Etudier la dérivabilité de la fonction réciproque \(f^{-1}\) sur cette intervalle.

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice 48

Soit \(h : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par, pour \(a \in \mathbb{R}\backslash \{0,1\}, \omega \in \mathbb{R}\),

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad h(x) = \omega + a(x-\omega).\]

On note \(S\) l'ensemble des fonctions \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dérivables telles que \(f\circ f = h\).

1. Vérifier que \(\omega\) est un point fixe de tout élément \(f\) de \(S\).

Correction

2. Montrer que \(S = \emptyset\) si \(a<0\).

Correction

3. On suppose à partir de maintenant \(a>0\) et on considère \(f \in S\). Montrer que, pour tout \(f\in S\), \(h^{-1} \circ f\circ h = f\).

Correction

4. En déduire une expression de la fonction \(f\) en commençant par le cas \(0<a<1\).

Correction

Fonctions usuelles

Exercices d'apprentissage

Exercice 49

1. Donner le tableau des variations de la fonction \(f : x \longmapsto (1+x)^x\).

Correction

2. En déduire que

\[\forall x>-1, \quad (1+x)^x \geq 1.\]

Correction

Exercice 50

Montrer que

\[\forall x,y \in \mathbb{R}_+, \quad |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|}.\]

Correction

Exercice 51

Montrer que

\[\forall x\in \mathbb{R}_+, \quad x - \dfrac{1}{2} x^2 \leq \ln(1+x) \leq x.\]

Correction

Exercice 52

Comparer les deux quantités suivantes

\[\lim_{x\to 0^+} x^{(x^x)}, \quad \lim_{x\to 0^+} (x^x)^x.\]

Correction

Exercice 53

1. Montrer que

\[\forall x\in \mathbb{R}_+, \quad \sin(x) \leq x.\]

Correction

2. Montrer que

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad \cos(x) \geq 1 - \dfrac{x^2}{2}.\]

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice 54

Montrer que

\[\forall a,b\in \mathbb{R}_+^*, \quad \dfrac{1}{2} (\ln(a) +\ln(b)) \leq \ln \left( \dfrac{a+b}{2} \right).\]

Correction

Exercice 55

Montrer que \(\log_{10}(2)\) est un nombre irrationnel.

Correction

Exercice 56

Résoudre le système d'inconnues \(a,b,c\in \mathbb{R}^3\)

\[\begin{cases} a & + & b & + & c & = & 0 \\ e^a & + & e^b & + & e^c & = & 3 \end{cases}.\]

Correction

Exercice 57

Montrer que

\[\forall x\in \mathbb{R}_+^*, \quad \arctan(x) + \arctan\left( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{\pi}{2}.\]

Correction

Exercices d'approfondissement