Exercices

Divisibilité et division euclidienne

Exercices d'apprentissage

Exercice 1

On considère \(n\in \mathbb{N}^*, N\) le nombre de diviseurs positifs de \(n\) et \(P\) leur produit. Montrer que

\[P^2= n^N.\]

Correction

On note \(d_1, ..., d_N\) les diviseurs de \(N\). Soit \(i \in \{1, ..., N\}\). Alors \(d_i \mid n\). Donc il existe \(b\in \mathbb{N}^*\) tel que \(n = d_i b\). En particulier \(b\mid n\), donc il existe \(j(i)\in \{1, ..., N\}\) tel que \(b = d_{j(i)}\) et \(n = d_i d_{j(i)}\).

L'application \(j : \{1, ..., N\} \longrightarrow \{1, ..., N\}\) est bijective. En effet \(j\circ j = \text{id}_{\{1, ..., N\}}\). Par conséquent

\[P^2 = P \times P = \prod_{i=1}^N d_i \times \prod_{j=1}^N d_j = \prod_{i=1}^N d_i \prod_{i=1}^N d_{j(i)} = \prod_{i=1}^N d_i d_{j(i)} = \prod_{i=1}^N n = n^N.\]

Exercice 2

On considère \(a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}^*\) et \(q \in \mathbb{Z}\) le quotient dans le division euclidienne de \(a-1\) par \(b\). Montrer que, pour tout \(n\in \mathbb{N}\), le quotient de la division euclidienne de \(ab^n -1\) par \(b^{n+1}\) est encore \(q\).

Correction

Nous avons \(a -1 = bq +r\) avec \(r\in \mathbb{N}\) tel que \(0\leq r<b\) i.e. \(1\leq r+1 \leq b\). Puis

\[ab^n - 1 = (bq + r +1)b^n - 1 = qb^{n+1} + (r+1)b^n - 1,\]

avec

\[0\leq (r+1)b^n - 1 \leq b^{n+1} - 1 < b^{n+1}.\]

Exercices d'entrainement

Exercice 3

Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) les équations suivantes.

1. \(x-1\mid x+3\).

Correction

Nous avons \(x-1 \mid x+3\) si et seulement s'il existe \(d\in \mathbb{Z}\) tel que \(x+3 = d(x-1)\) i.e. \(x-1 + 4 = d(x-1)\) i.e. \((d-1)(x-1) = 4\).

Ou, comme \(x\neq 1\),

\[x-1 \mid x+3 \quad \Longleftrightarrow \quad \dfrac{x+3}{x-1} = 1 + \dfrac{4}{x-1} \in \mathbb{Z}.\]

Autre méthode plus générale, on peut également effectuer la division euclidienne de \(x+3\) par \(x-1\) pour reconnaître directement l'égalité précédente utilisée \(x+3 = x-1 + 4\).

2. \(x+2 \mid x^2\).

Correction

Nous avons \(x+2 \mid x^2\) si et seulement s'il existe \(d\in \mathbb{Z}\) tel que \(d(x+2) = x^2 = x^2 - 4 + 4 = (x+2)(x-2) + 4\) i.e. \(4 = (x+2)(d-(x-2)) = (x+2)(d-x+2)\).

Ou, comme \(x\neq -2\),

\[x+2 \mid x^2 \quad \Longleftrightarrow \quad \dfrac{x^2}{x+2} = x-2 + \dfrac{4}{x+2} \in \mathbb{Z}.\]

Avec la méthode plus générale, on peut également effectuer la division euclidienne de \(x^2\) par \(x+2\) pour obtenir l'égalité \(x^2 = (x+2)(x-2) + 4\).

Exercice 4

Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) les équations suivantes.

1. \(xy = 3x + 2y\).

Correction

Nous avons

\[xy = 3x+2y \quad \Longleftrightarrow \quad 0 = xy - 3x - 2y = x(y-3) - 2y = x(y-3) - 2(y-3) - 6 = (x-2)(y-3) - 6 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-2)(y-3) = 6.\]

2. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}\).

Correction

Nous avons

\[\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5} \quad \Longleftrightarrow \quad 5y + 5x = xy \quad \Longleftrightarrow \quad 0 = xy - 5x - 5y = x(y - 5) - 5y = x(y-5) - 5(y-5) - 25 = (x-5)(y-5) - 25.\]

3. \(x^2 - y^2 - 4x -2y = 5\).

Correction

Nous avons

\[x^2 - y^2 - 4x - 2y = 5 \quad \Longleftrightarrow \quad 0 = x^2 - 4x + 4 - (y^2 + 2y + 1) - 8 = (x-2)^2 - (y+1)^2 - 8 = (x+y -1)(x- y-3) - 8,\]

et pour tout \((a,b) \in \mathbb{Z}^2\)

\[\begin{cases} x+y-1 = a \\ x-y-3 = b \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} x = \dfrac{a+b}{2} +2 \\ y = \dfrac{a-b}{2} - 1 \end{cases}.\]

PGCD et algorithme d'Euclide

Exercices d'apprentissage

Exerice 5

Déterminer le PGCD et des identités de Bézout des entiers \(a\) et \(b\) :

1. \(a=33,b=24\).

Correction

2. \(a=37, b=27\).

Correction

3. \(a=270, b=105\).

Correction

4. \(a = 314, b = 159\).

Correction

Nous avons les divisions euclidiennes successives

\[314 = 159 \times 1 + 155,\]

\[159 = 155 \times 1 + 4,\]

\[155 = 4 \times 38 + 3,\]

\[4 = 3\times 1 + 1,\]

\[3 = 1\times 3 + 0.\]

Donc \(314 \wedge 159 = 1\) et

\[1 = 4 - 3 = 159 - 155 - (155 - 4\times 38) = 159 - (314 - 159) - (314 - 159) + (159 - 155) \times 38 = 159 \times 41 - 314 \times 2 - (314 - 159) \times 38 = 159 \times 79 - 314 \times 40.\]

Exercices d'entrainement

Exercice 6

On considère deux entiers \(a,b \in \mathbb{N}^*\) tels que \(b\geq 2\) et \(a\wedge b = 1\).

1. Montrer que

\[\exists ! (u_0,v_0) \in \mathbb{N}^2, \quad au_0 + bv_0 = 1, \quad u_0 < b,v_0<a.\]

Correction

2. En déduire une expression de tous les couples \(u,v\in \mathbb{Z}\) solutions de \(au+bv = 1\) en fonction de \(u_0,v_0, a,b\).

Correction

3. Déterminer deux entiers \(u,v\in \mathbb{N}\) tels que

\[47u+111v = 1, \quad u<111, \quad v<47.\]

Correction

Exercice 7

Montrer que, pour tout \(n\in \mathbb{Z}\), le PGCD de \(2n+4\) et \(3n+3\) ne peut être que \(1, 2, 3\) ou \(6\).

Correction

Nous avons

\[3\times (2n+4) - 2\times (3n+3) = 6.\]

Exercice 8

Résoudre dans \(\mathbb{N}^2\) les systèmes suivants :

1. \(\begin{cases} x\wedge y = 5 \\ x\vee y = 60 \end{cases}\).

Correction

Nous avons \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\). Donc les décomposition en produits de nombres premiers de \(x\) et \(y\) sont de la forme

\[x = 2^a \times 3^b \times 5^c, \quad y = 2^\alpha \times 3^\beta \times 5^\gamma,\]

avec

\[0\leq a,\alpha \leq 2, 0\leq b,\beta \leq 1, 0\leq c,\gamma\leq 1, \quad \max(a,\alpha) = 2, \max(b,\beta) = 1, \max(c,\gamma) = 1.\]

De plus nous avons également

\[5 = x\wedge y = 2^{\min(a,\alpha)} 3^{\min(b,\beta)} 5^{\min(c,\gamma)}.\]

Donc par unicité de la décomposition en nombres premiers de 5

\[\min(a,\alpha) = 0, \quad \min(b,\beta) = 0, \quad \min(c,\gamma) = 1.\]

Par conséquent

\[(a,\alpha) \in \{(0,2),(2,0)\}, \quad (b,\beta) \in \{(0,1),(1,0)\}, \quad c = \gamma = 1.\]

Donc

\[(x,y) \in \{(5,60), (15,20), (20, 15), (60,5)\}.\]

Réciproquement tous ces couples vérifient bien le système souhaité.

2. \(\begin{cases} x+y = 100 \\ x\wedge y = 10 \end{cases}\).

Correction

Exercice 9

Résoudre dans \(\mathbb{N}^2\) l'équation

\[x\wedge y + x\vee y = x+y.\]

Correction

Exercice 10

Déterminer les triplets \(a,b,c\in \mathbb{N}^*\) tels que

\[a\vee b = 42, \quad a\wedge c = 3, \quad a+b+c = 29.\]

Correction

Exercice 11

On considère \(a,b\in \mathbb{N}\) avec \(b \neq 0\)

1. On considère \(r\in \mathbb{N}\) le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\). Montrer que \(2^r−1\) est le reste de la division euclidienne de \(2^a−1\) par \(2^b−1\).

Correction

Nous avons

\[2^a - 1 = 2^{bq+r} - 2^r + 2^r - 1 = ((2^b)^q - 1) 2^r + 2^r - 1 = (2^b - 1) \sum_{k=0}^{q-1} (2^b)^k 2^r + 2^r - 1.\]

2. En déduire que

\[(2^a−1)\wedge (2^b−1) = 2^{a\wedge b}−1.\]

Correction

On considère les restes successifs dans l'algorithme d'Euclide \((r_n)_{0\leq n\leq N}\) entre \(a\) et \(b\). Nous avons donc \(a\wedge b = r_{N-1} \neq 0\) et \(r_N = 0\).

On considère également les restes successifs dans l'algorithme d'Euclide \((R_n)_{0\leq n\leq N'}\) pour les entiers \(2^a - 1\) et \(2^b - 1\). Nous avons alors d'après la question précédente

\[R_0 = 2^a - 1 = 2^{r_0} - 1, \quad R_1 = 2^{r_1} - 1, \quad R_2 = 2^{r_2} - 1.\]

Puis le reste de la division euclidienne de \(R_1\) par \(R_2\) est, d'après la question précédente et la définition de \(r_3\) comme reste dans la division euclidienne de \(r_1\) par \(r_2\), \(R_3 = 2^{r_3} -1\). On en déduit par récurrence \(R_n = 2^{r_n} - 1\) pour tout \(n\in \{0, ..., N\}\). En particulier nous avons

\[R_N = 2^{r_N} - 1 = 0, \quad R_{N-1} = 2^{r_{N-1}} - 1 \neq 0.\]

Donc \(N' = N\) et, d'après l'algorithme d'Euclide,

\[(2^a - 1) \wedge (2^b - 1) = R_{N-1} = 2^{r_{N-1}} - 1 = 2^{a\wedge b} - 1.\]

Exercices d'approfondissement

Exercice 12

On considère la suite de Fibonacci \((\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par

\[\varphi_0 =0, \quad \varphi_1=1, \quad \forall n\in \mathbb{N}, \varphi_{n+2} = \varphi_{n+1} + \varphi_n.\]

1. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N},\)

\[\varphi_n \wedge \varphi_{n+1} = 1.\]

Correction

2. On considère \(k \in \mathbb{N}^*\) et \(n\in \mathbb{N}\). Montrer que

\[\varphi_{k+n} = \varphi_k \varphi_{n+1}+\varphi_{k−1}\varphi_n.\]

Correction

3. On considère \(a\in \mathbb{N},b \in \mathbb{N}^*\) et \(r \in \mathbb{N}\) le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\). Montrer que

\[\varphi_{a+b} \wedge \varphi_b = \varphi_a \wedge \varphi_b\]

et

\[\varphi_a \wedge \varphi_b = \varphi_b \wedge \varphi_r.\]

Correction

4. Conclure que

\[\varphi_a \wedge \varphi_b = \varphi_{a\wedge b}.\]

Correction

Exercice 13

1. Montrer que, pour \(a\in \mathbb{Z}, a\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\).

2. Nous allons que, réciproquement, tout sous groupe de \(\mathbb{Z}\) est de cette forme. Vérifier que le sous-groupe \(\{0\}\) est de la forme voulue.

3. Soit \(H\) un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\) non réduit à \(\{0\}\). Montrer que \(H^+ = \{h \in H, h>0\}\) possède un plus petit élément. On le note \(a = \min(H^+)\).

4. Montrer que \(a\mathbb{Z} = H\).

5. Montrer qu'un tel \(a\) est un unique.

6. Soit \(a,b\in \mathbb{Z}^*\). Montrer que \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\).

7. Déterminer l'élément \(c \in \mathbb{N}^*\) tel que \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = c\mathbb{Z}\).

Correction

Entiers premiers entre eux

Exercices d'apprentissage

Exercice 14

Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\),

1. \((n^2+n) \wedge (2n+1)=1.\)

Correction

Nous effectuons la "division euclidienne"

\[n^2 + n = (2n+1)\left( \dfrac{n}{2} + \dfrac{1}{4} \right) - \dfrac{1}{4}.\]

Autrement dit

\[(2n+1) (2n + 1) - 4(n^2 + n) = 1.\]

Nous pouvons également écrire que \(n^2 + n = n(n+1)\) et montrer \(n\wedge (2n+1) = 1 = (n+1) \wedge (2n+1)\).

2. \((3n^2+2n)∧(n+1)=1.\)

Correction

Nous effectuons la divison euclidienne

\[3n^2 + 2n = (n+1)(3n-1) + 1.\]

Autrement dit

\[3n^2 + 2n - (n+1)(3n-1) = 1.\]

Nous pouvons également écrire que \(3n^2 + 2n = n(3n+2)\) et montrer \(n \wedge (n+1) = 1 = (3n + 2) \wedge (n+1)\).

Exercice 15

On considère deux entiers \(a,b \in \mathbb{Z}\). Montrer que

\[(a+b) \wedge (ab) = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad a\wedge b = 1.\]

Correction

On raisonne par double implications.

• On suppose \((a+b) \wedge (ab) = 1\). Soit \(d\) diviseur positif de \(a\) et \(b\). Alors \(d\) divise \(a+b\) et \(ab\).

Nous pouvons également utiliser le théorème de Bézout.

• On suppose \(a \wedge b = 1\). On montre alors que \(a+b\) est premier avec \(a\) et \(b\) pour en déduire qu'il est premier avec \(ab\). Soit \(d\) diviseur positif de \(a+b\) et \(a\). Alors \(d \mid a+b-a = b\). Donc, comme \(a\wedge b = 1\), \(d = 1\).

Exercices d'entrainement

Exercice 16

1. Montrer que, pour \(n \in \mathbb{N}\), il existe un unique couple d'entiers \((a_n,b_n) \in \mathbb{N}^2\) tel que

\[(1+\sqrt{2})^n = a_n+ b_n\sqrt{2}.\]

Correction

Nous montrons l'existence par récurrence. Pour l'unicité on suppose qu'il existe \(a_n,b_n,a_n',b_n' \in \mathbb{N}\) tels que

\[a_n + b_n \sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n = a_n' + b_n' \sqrt{2}.\]

Puis on suppose par l'absurde \(b_n\neq b_n'\). Alors

\[\sqrt{2} = \dfrac{a_n - a_n'}{b_n - b_n'} \in \mathbb{Q}.\]

2. Calculer \(a^2_n−2b^2_n\).

Correction

Nous avons

\[a^2_n - 2b_n^2 = (a_n+b_n \sqrt{2})(a_n - b_n\sqrt{2}) = (1+\sqrt{2})^n (1-\sqrt{2})^n = (1-2)^n = (-1)^n.\]

3. En déduire que

\[a_n \wedge b_n = 1.\]

Correction

Nous avons

\[a_n(-1)^n a_n - b_n 2(-1)^n b_n = 1.\]

Exercice 17

On considère \(n \in \mathbb{N}^*\) et, pour \(q\in \mathbb{Z}\),

\[\begin{array}{rcl} \varphi_q : \mathbb{U}_n & \longrightarrow & \mathbb{U}_n \\ z & \longmapsto & z^q \end{array}.\]

1. On considère \(p,q \in \mathbb{Z}\). Calculer \(\varphi_p \circ \varphi_q\).

Correction

2. Montrer que si \(n\wedge q = 1\) alors \(\varphi_q\) est bijective.

Correction

On suppose que \(n\wedge q = 1\). Alors il existe \(u,v \in \mathbb{Z}\) tels que

\[nu + qv = 1.\]

On considère l'application \(\varphi_v\). Nous avons pour tout \(z\in \mathbb{U}_n\), \(z = \omega_n^k\) avec \(\omega = e^{i \frac{2\pi}{n}}\) et \(k\in \{0, ..., n-1\}\). Alors

\[\varphi_u (\varphi_q(z)) = \omega_n^{kqv} = \omega_n^k \omega_n{-nu} = \omega_n^k = z.\]

3. Montrer que la réciproque est également vérifiée.

Correction

On suppose que l'application \(\varphi_q\) est bijective. Alors \(\omega_n \in \mathbb{U}_n\) admet un antécédent par \(\varphi_q\) : il existe \(z = \omega^k \in \mathbb{U}_n, k\in \{0, ..., n-1\}\) tel que

\[\omega_n = \varphi_q(\omega_n^k) = \omega_n^{kq}.\]

Donc

\[\omega_n^{1-kq} = 1.\]

Ainsi il existe \(\ell \in \mathbb{Z}\) tel que \(\dfrac{1-kq}{n} = \ell\) i.e. \(kq + \ell n = 1\). Ainsi, par théorème de Bézout, \(q\) et \(n\) sont premiers entre eux.

Nombres premiers

Exercices d'apprentissage

Exercice 18

Montrer que les entiers suivants ne sont pas premiers.

1. \(4n^3+6n^2+4n+1, n\in \mathbb{N}^*\).

Correction

Nous avons

\[4n^3 + 6n^2 + 4n +1 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 - n^4 = (n+1)^4 - n^4 = ((n+1)^2 + n^2)((n+1)^2 -n^2) = ((n+1)^2 +n^2)(2n+1),\]

avec \((n+1)^2 +n^2, 2n+1 \geq 2\).

2. \(n^4−n^2+16, n\in \mathbb{Z}\).

Correction

Nous avons

\[n^4 - n^2 + 16 = n^4 + 8n^2 + 16 - 9n^2 = (n^2 + 4) - 9n^2 = (n^2 + 3n +4)(n^2 - 3n +4),\]

avec \(n^2 + 3n +4,n^2 - 3n+4 \neq -1,0,1\) pour tout \(n\in \mathbb{Z}\).

Exercices d'entrainement

Exercice 19

1. On considère deux entiers \(a,n\in\mathbb{N}\) tels que \(a,n\geq 2\). Montrer que

\[a^n - 1 \in \mathcal{P} \quad \Longrightarrow \quad a = 2,n\in \mathcal{P}.\]

Les entiers de la forme \(2^p - 1, p\in \mathcal{P}\) sont appelés des nombres de Mersenne.

Correction

2. On considère un entier \(n\in \mathbb{N}^*\). Montrer que

\[2^n + 1 \in \mathcal{P} \quad \Longrightarrow \quad n \in 2^\mathbb{N},\]

où \(2^\mathbb{N} = \{2^k, k\in \mathbb{N}\}\) est l'ensemble des puissances de \(2\). Les entiers de la forme \(2^{2^k} - 1\) sont appelés nombres de Fermat. La réciproque n'est pas vérifiée comme par exemple avec \(k = 5\) :

\[2^{2^5} + 1 = 641 \times 6700417.\]

Correction

3. On considère les entiers de Fermat \(F_n = 2^{2^n} + 1,n\in \mathbb{N}\). Montrer que les nombres de Fermat \((F_n)_{n\in \mathbb{N}}\) sont premiers entre eux deux à deux.

Correction

4. En déduire une autre démonstration du fait qu'il y ait une infinité de nombres premiers.

Correction

Exerice 20

Montrer que

\[\nu_2(1000!) = 994.\]

Correction

Nous avons

\[1000! = \prod_{i=1}^{1000} i = \prod_{j=1}^{500} (2j) \prod_{j=0}^{499} (2j+1) = 2^{500} 500! \prod_{j=0}^{499} (2j+1).\]

Donc, comme \(\prod_{j=0}^{499} (2j+1)\) est impair,

\[\nu2(1000!) = 500+\nu_2(500!).\]

Congruence

Exercices d'apprentissage

Exercice 21

Montrer que

\[11 \mid 2^{123} + 3^{121}.\]

Correction

Nous avons

\[2^5 \equiv -1 [11], \quad 2^{10} \equiv 1 [11], \quad 3^5 \equiv 1[11],\]

et

\[123 = 10\times 12 + 3, \quad 121 = 5 \times 24 + 1.\]

Donc

\[2^{123} = (2^{12})^{10} 2^3 \equiv 8 [11], \quad 3^{121} = (3^5)^{24} 3 \equiv 3[11].\]

Ainsi

\[2^{123} + 3^{121} \equiv 11[11] \equiv 0[11].\]

Autrement dit \(11\mid 2^{123} + 3^{121}\).

Exercice 22

Déterminer le reste de la division euclidienne de \(1234^{4321}+4321^{1234}\) par \(7\).

Correction

Exercice 23

Déterminer les entiers \(n\in \mathbb{Z}\) tels que \(10 \mid n^2+(n+1)^2+(n+3)^2\).

Correction

On raisonne modulo 10 :

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline n^2 & 0 & 1 & 4 & 9 & 6 & 5 & 6 & 9 & 4 & 1 \\ \hline (n+1)^2 & 1 & 4 & 9 & 6 & 5 & 6 & 9 & 4 & 1 & 0 \\ \hline (n+3)^2 & 9 & 6 & 5 & 6 & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline n^2 + (n+1)^2 + (n+3)^2 & 0 & 1 & 8 & 1 & 0 & 5 & 6 & 3 & 6 & 5 \\ \hline \end{array}.\]

Donc

\[10 \mid n^2 + (n+1)^2 + (n+3)^2 \quad \Longleftrightarrow \quad n \in 10\mathbb{Z} \cup (4+10\mathbb{Z}).\]

Exercice 24

On considère un entier \(n \in \mathbb{Z}\) impair. Montrer que

\[n^2 \equiv 1 [8].\]

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice 25

Montrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}\) :

1. \(6 \mid 5n^3+n\).

2. \(7 \mid 3^{2n+1}+2^{n+2}\).

3. \(5 \mid 2^{2n+1}+3^{2n+1}\).

4. \(11 \mid 3^{8n} \times 5^4+5^{6n} \times 7^3\).

5. \(9 \mid 4^n - 1 − 3n\).

6. \(15^2 \mid 16^n−1−15n\).

Correction

Exercice 26

On considère \(\lambda,a,b \in \mathbb{Z}\) et \(m\in \mathbb{N}^∗\). Montrer que si \(\lambda \wedge m = 1\) alors

\[a\equiv b[m] \equiv \Longleftrightarrow \lambda a \equiv \lambda b[m].\]

Correction

Exercice 27

1. Montrer que pour tout entier \(n\in \mathbb{N}, 5\mid (2^{3n + 5} + 3^{n+1})\).

Correction

2. Montre que pour tout entier \(n\in \mathbb{N}, 30 \mid (n^5 - n)\).

Correction

Nous avons \(30 = 5\times 6\) avec \(5\wedge 6 =1\). Puis nous vérifions que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(n^5 - n \equiv 0[5]\) et \(n^5 - n \equiv 0[6]\).

3. Quel est le reste de la division euclidienne de \(16^{(2^{1000})}\) par \(7\) ?

Correction