Cours

Objectifs du programme officiel :

Lois de composition interne

• Loi de composition interne

• Associativité, commutativité, élément neutre, inversibilité (inverse d'un produit), distributivité

• Partie stable

Structure de groupe

• Groupe

• Groupe des permutations d'un ensemble

• Groupe produit

• Sous-groupe

• Morphisme de groupes, image directe et image réciproque d'un sous-groupe

• Image et noyau, condition d'injectivité, condition de surjectivité

• Isomorphisme

Structure d'anneau et de corps

• Anneau (unitaire)

• Relation \(a^n - b^n\), formule du binôme de Newton si \(a\) et \(b\) commutent

• Groupe des inversibles

• Anneau intègre, corps (commutatif)

• Sous-anneau

• Morphisme d'anneaux, isomorphisme

I. Loi de composition interne

Définition : Loi de composition interne

On considère un ensemble \(E\). Alors une loi de composition interne \(*\) est une application de l'ensemble produit \(E\times E\) dans l'ensemble \(E\). On dit alors que \((E,*)\) est un magma.

Exemple

Définitions

On considère un ensemble \(E\) muni d'une loi de composition interne \(*\). On dit que la loi \(*\) :

• est associative si pour tout \(x,y,z\in E, (x*y) * z = x * (y*z)\),

• est commutative si pour tout \(x,y \in E, x*y = y*x\),

• possède un élément neutre s'il existe un élément \(e \in E\) tel que, pour tout \(x \in E, x * e = e = e*x\),

Exemples

Loi associativeLoi non associativeLoi commutativeLoi non commutative

Proposition : Unicité de l'élément neutre

On considère un ensemble \(E\) muni d'une loi de composition interne \(*\). Si la loi \(*\) possède un élement neutre alors l'élément neutre est unique.

Démonstration

Définition : Inverse et loi inversible

On considère un ensemble \(E\) muni d'une loi de composition interne \(*\), et un élément \(x\in E\). Si la loi possède un élément neutre alors on dit que l'élément \(x\) est inversible s'il existe \(y \in E\), appelé inverse de l'élément \(x\), tel que \(x*y = e = y*x\). De plus on dit que la loi est inversible si tout élément admet un inverse.

Exemple

Loi inversibleLoi non inversible

Proposition

On considère un ensemble \(E\) muni d'une loi de composition interne associative inversible \(*\), et un élément \(x \in E\). Si l'élément \(x\in E\) est inversible alors il admet un unique inverse que l'on note \(x^{-1}\).

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère un ensemble \(E\) muni d'une loi composition interne \(*\) muni d'un élément neutre \(e\) et deux éléments \(x,y\in E\).

• Si l'élément \(x\) est inversible alors son inverse \(x^{-1}\) également et

\[(x^{-1})^{-1} = x.\]

• Si la loi est associative et les éléments \(x\) et \(y\) sont inversibles alors l'élément \(x*y\) l'est également et

\[(x*y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1}.\]

Démonstration

Remarque

On fera bien attention à l'ordre des termes quand la loi n'est pas commutative.

Exemple

Définition : Loi distributive

On considère un ensemble \(E\) muni de deux lois de compositions internes que l'on note \(+\) et \(\times\). Alors on dit que la loi \(\times\) est distributive sur la loi \(+\) si

\[\forall x,y,z \in E, \quad (x + y) \times z = (x \times z) + (y \times z), \quad x \times (y + z) = (x \times y) + (x \times z).\]

Exemple

Définition : Partie stable

On considère un ensemble \(E\) muni d'une loi de composition interne \(*\), et une partie \(F\) de l'ensemble \(E\). Alors on dit que la partie \(F\) est stable pour la loi \(*\) si pour tout \(x,y\in F, x*y \in F\).

Exemple

II. Structure de groupe

Définition : Groupe

On considère un ensemble \(G\) muni d'une loi de composition interne \(*\). Alors on dit que le couple \((G,*)\) est un groupe si la loi \(*\) :

• est associative,

• admet un élément neutre, noté \(1_G\),

• est inversible, dont on note \(x^{-1}\) l'inverse de \(x \in G\).

De plus si la loi \(*\) est commutative alors on dit que le groupe \((G,*)\) est abélien (ou commutatif).

Exemple

Groupe abélienGroupe non abélien

(groupe des permutations)

Remarque

• Pour un groupe \((G,+)\) avec la notation additive, on note pour tout \(n\in \mathbb{Z}\) et \(x\in G\)

\[nx = \begin{cases} x+...+x & si & n \geq 0 \\ -(-nx) & si & n<0 \end{cases}.\]

• De même pour un groupe \((G,\times)\) avec la notation multiplicative, on note pour tout \(n\in \mathbb{N}\) et \(x\in G\)

\[x^n = \begin{cases} x\times ... \times x & si & n\geq 0 \\ (x^{-n})^{-1} & si & n<0 \end{cases}.\]

Remarque

Lorsque la loi est suffisamment claire, on pourra noter un groupe \(G\) à la place du couple \((G,*)\).

Proposition

On considère un groupe \((G,*)\) et trois élément \(a,b,c \in G\).

• L'équation \(a*x = b\) admet une unique solution donnée par \(x = a^{-1} * b\).

• Si \(a * c = b*c\) alors \(a = b\).

Démonstration

Exemples

Définition : Groupe produit

On considère deux groupes \((G_1,*_1)\) et \((G_2,*_2)\). Alors le groupe produit est le groupe \((G_1\times G_2,*_1\times *_2)\) avec \(G_1\times G_2\) l'ensemble produit et \(*_1 \times *_2\) la loi définie par

\[\forall (x_1,x_2),(y_1,y_2) \in G_1\times G_2, \quad (x_1,x_2) *_1 \times *_2 (y_1,y_2) = (x_1 *_1 y_1, x_2 *_2 y_2).\]

Exemple

Définition : Sous-groupe

On considère un groupe \((G,*)\). Alors un sous-groupe du groupe \((G,*)\) est un couple \((F,*)\) avec \(F\) :

• une partie de l'ensemble \(G\),

• stable par la loi \(*\),

• telle que le couple \((F,*)\) soit un groupe.

Exemple

Sous-groupeNon sous-groupe 1Non sous-groupe 2

Proposition

On considère un groupe \((G,*)\) et une partie \(F\) de l'ensemble \(G\). Alors le couple \((F,*)\) est un sous-groupe du groupe \((G,*)\) si et seulement si :

• \(1_G \in F\),

• pour tout \(x,y \in F, x*y \in F,\)

• pour tout \(x\in F, x^{-1} \in F.\)

Démonstration

Exemple

Remarque

On peut vérifier les deuxième et troisème assertions de la proposition précédente en même temps si l'on vérifie que pour tout \(x,y\in F, x*y^{-1}\in F\).

Remarque

Pour montrer qu'un magma est un groupe, on pourra alors montrer qu'il s'agit d'un sous-groupe d'un groupe connu.

Proposition

On considère un groupe \((G,*)\) et deux parties \(F_1, F_2\) de l'ensemble \(G\). Si les parties \(F_1\) et \(F_2\) sont des sous-groupes du groupe \(G\) alors leur intersection \(G_1 \cap G_2\) l'est également.

Démonstration

Remarque

Nous avons le même résultat pour une famille de sous-groupes.

Remarque

Par contre n'est en général pas le cas pour leur réunion \(G_1 \cup G_2\).

Exemple

Définition : Morphisme de groupes

On considère deux groupes \((G_1,*_1), (G_2,*_2)\). Alors un morphisme de groupes entre ces deux groupes est une application \(\varphi : G_1 \longrightarrow G_2\) telle que, pour tout \(x,y \in G_1, \varphi(x*_1 y) = \varphi(x)*_2 \varphi(y)\).

Exemple

Proposition

On considère un morphisme de groupes \(\varphi : (G_1,*_1) \longrightarrow (G_2,*_2)\).

• \(\varphi(e_1) = e_2\).

• Pour tout \(x\in G_1, \varphi(x^{-1}) = (\varphi(x_1))^{-1}\).

Démonstration

Proposition

On considère deux morphismes de groupes \(\varphi_1 : (G_1,*_1) \longrightarrow (G_2,*_2), \varphi_2 : (G_2,*_2) \longrightarrow (G_3, *_3)\). Alors leur composée \(\varphi_2 \circ \varphi_1\) est un morphisme de graoupes entre \(G_1\) et \(G_3\).

Démonstration

Proposition

On considère un morphisme de groupes \(\varphi : (G_1,*_1) \longrightarrow (G_2,*_2)\), un sous-groupe \(F_1\) du groupe \((G_1,*_1)\) et un sous-groupe \(F_2\) du groupe \((G_2,*_2)\). Alors :

• l'image directe \(\varphi(G_1)\) est un sous-groupe du groupe \(G_2\),

• l'image réciproque \(\varphi^{-1}(G_2)\) est un sous-groupe du groupe \(G_1\).

Démonstration

Exemple

Définition : Noyau d'un morphisme de groupe

On considère un morphisme de groupes $ \varphi : (G_1,_1) \longrightarrow (G_2,_2)$. Alors le noyau du morphisme \(\varphi\) est la partie \(\ker(\varphi)\) de l'ensemble \(G_1\) définie par

\[\ker(\varphi) = \{x\in G_1, \quad \varphi(x) = 1_{G_2}\}.\]

Exemple

Remarque

Dans ce cas nous avons \(\ker(\varphi) = \varphi^{-1}(\{1_{G_2}\})\). Donc la partie \(\ker(\varphi)\) est un sous-groupe du groupe \(G_2\).

Remarque

Nous avons également dans ce cas \(\text{Im}(\varphi) = \varphi(G_1)\) sous-groupe du groupe \(G_2\).

Proposition

On considère un morphisme de groupes \(\varphi : (G_1,*_1) \longrightarrow (G_2, *_2)\). Alors le morphisme \(\varphi\) est injectif si et seulement si \(\ker(\varphi) = \{1_{G_1}\}\).

Démonstration

Exemple

Remarque

Nous avons également la condition de surjectivité : le morphisme \(\varphi\) est surjectif si et seulement si \(\text{Im}(\varphi) = \varphi(G_1) = G_2\).

Définition : Isomorphisme de groupes

On considère deux groupes \((G_1,*_1)\) et \((G_2,*_2)\). Alors un isomorphisme de groupes entre les groupes \(G_1\) et \(G_2\) est une application \(\varphi : G_1 \longrightarrow G_2\) telle que :

• l'application \(\varphi\) est un morphisme de groupes entre les groupes \(G_1\) et \(G_2\),

• l'application \(\varphi\) est bijective entre les ensembles \(G_1\) et \(G_2\).

Si de plus \((G_1,*_1) = (G_2,*_2)\) alors on dit que le morphisme \(\varphi\) est un automorphisme de groupes.

Exemple

Proposition

On considère un morphisme de groupes \(\varphi : (G_1,*_1) \longrightarrow (G_2,*_2)\). Si le morphisme \(\varphi\) est un ismorphisme de groupes alors sa bijection \(\varphi^{-1}\) est un morphisme de groupes entre \(G_2\) et \(G_1\).

Démonstration

III. Structure d'anneaux et de corps

Définition : Anneau

On considère un ensemble \(A\) muni de deux lois que l'on note \(+\) et \(\times\). Alors on dit que le triple \((A,+,\times)\) est un anneau si :

• le couple \((A,+)\) est un groupe commutatif dont on note \(0_G\) l'élément neutre,

• la loi \(\times\) est associative,

• la loi \(\times\) possède un élément neutre, que l'on note \(1_G\),

• la loi \(\times\) est distributive sur la loi \(+\).

De plus si la loi \(\times\) est commutative alors on dit que l'anneau \((A,+,\times)\) est un anneau associatif.

Exemple

Remarque

Les lois \(+\) et \(\times\) ne sont pas notées si elles sont suffisamment évidentes.

Proposition

On considère un anneau \((A,+,\times)\), deux éléments \(a,b\in A\) et un entier \(n\in \mathbb{N}\). Alors :

• \(0\times a = a\times 0 = 0\).

• \((-a)\times b = a \times (-b) = -(a\times b)\).

• \((-1) \times a = a\times (-1) = -a\).

• \((-a) \times (-b) = ab\).

• Pour tout \(n\in \mathbb{Z}\), \((na) \times b = a \times (nb) = n(a\times b)\).

Exemple

Proposition

On considère un anneau \((A,+,\times)\), deux éléments \(a,b\in A\) et un entier \(n\in \mathbb{N}\). Alors

\[a^n - b^n = (a-b)\sum_{k = 0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}.\]

Démonstration

Théorème : Formule du binôme de Newton

On considère un anneau \((A,+,\times)\), deux éléments \(a,b\in A\) et un entier \(n\in \mathbb{N}\). Si les éléments \(a\) et \(b\) commutent pour la loi \(\times\) : \(a\times b = b\times a\), alors nous avons

\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}.\]

Démonstration

Exemple

Proposition : Groupe des inversibles d'un anneau

On considère un anneau \((A,+,\times)\). Alors l'ensemble

\[A^\times = \{a\in A, \quad \exists b\in A, \quad a\times b = 1_A = b\times a\}\]

est un groupe pour la loi \(\times\) que l'on appelle groupe des inversibles de l'anneau \(A\).

Démonstration

Exemples

Définition : Anneau intègre

On considère un anneau \((A,+,\times)\). Alors on dit que l'anneau \(A\) est intègre si

\[\forall a,b\in A, \quad a\times b = 0_A \quad \Longrightarrow \quad a = 0 \quad \quad{ou} \quad b = 0.\]

Exemples

Anneau intègreAnneau non intègre

Définition : Corps

On considère un anneau \((A,+,\times)\). Alors on dit que l'anneau \(A\) est un corps si :

• l'anneau \(A\) est commutatif

• tout élément non nul de \(A\) est inversible :

\[\forall a\in A\backslash \{0_A\}, \quad \exists b\in A, \quad a \times b = 1_A.\]

Autrement dit si

\[A^\times = A^*.\]

Exemples

CorpsAnneau non corps

Proposition

Un corps est un anneau intègre.

Démonstration

Exemple

Définition : Sous-anneau

On considère un anneau \((A,+,\times)\). Alors un sous-anneau de l'anneau \((A,+,\times)\) est un triplet \((B,+,\times)\) avec \(B\) :

• une partie de l'ensemble \(A\),

• stable par les lois \(+\) et \(\times\),

• telle que le triplet \((B,+,\times)\) soit un anneau.

Exemple

Proposition

On considère un anneau \((A,+,\times)\) et une partie \(B\) de l'ensemble \(A\). Alors le triplet \((B,+,\times)\) est un sous-anneau de l'anneau \((A,+,\times)\) si et seulement si :

• \(1_A \in B\),

• pour tout \(a,b\in B, a+b \in B,\)

• pour tout \(a\in B, -a\in B,\)

• pour tout \(a,b\in B, a\times b \in B\).

Démonstration

Exemple

Remarque

On peut vérifier les deuxième et troisème assertions de la proposition précédente en même temps si l'on vérifie que pour tout \(a,b\in B, a-b\in B\).

Remarque

Pour montrer qu'un triplet \((A,+,\times)\) est un anneau, on pourra alors montrer qu'il s'agit d'un sous-anneau d'un anneau connu.

Définition : Morphisme d'anneaux

On considère deux anneaux \((A_1,+_1,\times_1)\) et \((A_2,+_2, \times_2)\). Alors un morphisme d'anneaux entre ces deux anneaux est une application \(\varphi : A_1 \longrightarrow A_2\) telle que :

• \(\varphi(1_{A_1}) = 1_{A_2}\),

• pour tout \(a,b\in A_1, \varphi(a+_1 b) = \varphi(a)+_2\varphi(b)\),

• pour tout \(a,b\in A_1, \varphi(a\times_1 b) = \varphi(a) \times_2 \varphi(b)\).

Si de plus l'application \(\varphi\) est bijective alors on dit que l'application \(\varphi\) est un isomorphisme d'anneaux.

Exemple

Morhisme d'anneauxMorphisme d'anneaux non bijectifIsomorphisme d'anneaux

Proposition

On considère un morphisme d'anneaux \(\varphi : K_1 \longrightarrow K_2\). Si \(K_1\) et \(K_2\) sont des corps alors le morphisme \(\varphi\) est injectif.

Démonstration