Exercices

Lois de composition interne

Exercices d'apprentissage

Exercice 1

On considère la loi de composition interne

\[\begin{array}{rcl} * : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} & \longrightarrow & \mathbb{Z} \\ (a,b) & \longmapsto & a-b \end{array}.\]

1. La loi \(*\) est-elle associative ? Commutative ?

Correction

2. Montrer qu'il existe un élément neutre à droite. Y en a-t-il à gauche ?

Correction

3. Est-ce que tout élément admet un symétrique à droite ?

Correction

Exercice 2

On considère \(E=[0,1]\) et, pour \(x,y\in E\),

\[x\cdot y=x+y−xy.\]

1. Montrer que \(\cdot\) définit une loi de composition interne sur \(E\).

Correction

Soit \(y \in E\). Alors nous pouvons étudier la fonction \(f_y\) définie par \(f_y(x) = x+ y -xy, x\in E\).

2. Étudier la commutativité et l’associativité de la loi \(\cdot\).

Correction

3. Existe-t-il un élément neutre pour la loi \(\cdot\) ?

Correction

4. Quels sont les éléments inversibles ?

??? success "Correction On note \(e\) l'élément neutre trouvé à la question précédente. On considère \(x\in E\) et la fonction \(f_x\) définie par \(f_x(y) = x+y-xy, y\in E\). Alors, pour tout \(y\in E\), \(x\cdot y = e \Longleftrightarrow f_x(y) = e\).

5. On considère \(\alpha \in [0,1]\) et \(A=[\alpha,1]\). Montrer que \(A\) est une partie de \(E\) stable pour la loi \(\cdot\) :

\[\forall x,y \in A, \quad x\cdot y \in A.\]

Exercices d'entrainement

Exercice 3

On considère une loi de composition interne \(*\) sur E et, pour \(A,B\in \mathcal{P}(E)\),

\[A*B=\{a*b, \quad a\in A,b\in B\}.\]

1. Étudier les propriétés de \(*\) sur \(\mathcal{P}(E)\) (commutativité, associativité, existence d’un neutre) conservées par \(*\) sur \(E\).

Correction

2. La loi \(*\) est-elle distributive sur l’union, sur l’intersection ?

Correction

Exercice 4

On considère l'ensemble \(\mathbb{N}^\mathbb{N}\) des applications de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\) que nous munissons de la loi de composition. On considère également une application injective non surjective \(f \in \mathbb{N}^\mathbb{n}\). Montrer que la fonction \(f\) admet une infinité d'inverses à gauche pour la composition.

Indication : On peut considérer les applications \(g_n \in \mathbb{N}^\mathbb{N}, n\in \mathbb{N}\), définies par

\[\forall y\in \mathbb{N}, \quad g_n(y) = \begin{cases} x & \text{si} & y = f(x) \in f(\mathbb{N}) \\ n & si & y\notin f(\mathbb{N}) \end{cases}.\]

Correction

Groupes

Exercices d'apprentissage

Exerice 5

On considère \(G=~]−1,1[\) et, pour \(x,y\in G\),

\[x.y= \dfrac{x+y}{1+xy}.\]

Montrer que la loi \(.\) munit \(G\) d’une structure de groupe abélien.

Correction

On vérifie d'abord que la loi \(.\) est une loi de composition interne. Soit \(x,y\in G\). On fixe \(y\) et on fait varier \(x\) en étudiant la fonction \(f_y(x) = \dfrac{x+y}{1+xy}\) pour obtenir \(-1<f_y(x)<1\).

On vérifie ensuite les différents axiomes de la définition d'un groupe abélien en commençant par la commutativité pour simplifier les vérifications suivantes.

• Commutativité :

• Associativité : Soit \(x,y,z\in G\). Alors

\[(x.y).z = \dfrac{x.y + z}{1+(x.y)z} = \dfrac{\dfrac{x+y}{1+xy} + z}{1+\dfrac{x+y}{1+xy}z} = \dfrac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}.\]

• Elément neutre :

• Inversibilité :

Exercice 6

Montrer que le seul morphisme de groupes de \((\mathbb{Q},+)\) vers \((\mathbb{Z},+)\) est le morphisme nul.

Correction

On considère un morphisme de groupes \(\varphi : \mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{Z}\) non nul. Alors il existe \(x \in \mathbb{Q}\) tel que \(y = \varphi(x) \neq 0\). Ainsi

\[y = \varphi(x) = \varphi\left(2y \dfrac{x}{2y} \right) = 2y \varphi \left( \dfrac{x}{2y}\right).\]

Donc

\[\dfrac{1}{2} = \varphi \left( \dfrac{x}{2y} \right) \in \mathbb{Z}\]

ce qui est absurde.

Exercice 7

On considère \((G,*)\) un groupe,\(a \in G\) et une loi de composition interne \(\perp\) sur \(G\) par

\[x\perp y = x*a*y, \quad x,y\in G.\]

1. Montrer que \((G,\perp)\) est un groupe.

Correction

On vérifie les différents axiomes de groupe.

• Associativité : \((x\perp y) \perp z = (x*a*y) \perp z = x*a*y*a*z\).

• Elément neutre : \(a^{-*}\)

• Inversibilité : \(x^{-\perp} = a^{-*} * x^{-*} * a^{-*}\).

2. Soient \(H\) un sous groupe de \((G,*)\) et

\[K = a^{-*}*H= \{a^{-*} * x, \quad x\in H\},\]

avec \(a^{-*}\) l'inverse de \(a\) pour la loi \(*\). Montrer que \(K\) est un sous groupe de \((G,\perp)\).

Correction

On vérifie les axiomes de la caractérisation des sous-groupes.

• \(1_\perp = a^{-*} = a^{-*} * 1_* \in K\).

3. Montrer que \(f : x \longmapsto x* a^{-*}\) définit un isomorphisme de \((G,*)\) vers \((G,\perp)\).

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice 8

On considère un groupe \(G\) noté multiplicativement. On dit que \(x\in G\) est d'ordre fini \(k\in \mathbb{N}^*\) si

\[x^k = 1, \quad \forall k'\in \{1, ..., k-1\}, x^{k'} \neq 1.\]

1. On considère deux éléments \(x,y \in G\) et on suppose que leur produit \(xy\) est d'ordre fini \(k\). Montrer que leur produit \(yx\) est également d'ordre fini \(k\).

Correction

Nous avons pour tout \(\ell \in \mathbb{N}^*\), \(1 = (xy)^\ell = xy ... xy\). Donc \(yx = y\times 1\times x = yx ... yx = (yx)^{\ell+1}\). Ainsi \(1 = (yx)^\ell\).

2. Montrer que si tous les éléments sont d'ordre fini \(1\) ou \(2\) alors le groupe \(G\) est abélien.

Correction

On suppose que tous les élements sont d'ordre fini au plus 2. Ainsi, pour tout \(x\in E\), \(x^2 = 1\). Soit \(x,y\in E\). Alors \(xyxy = (xy)^2 = 1\). Donc, en multipliant par \(y\) à droite, \(xyx = xyxy^2 = (xyxy)y = y\), puis par \(x\) à droite, \(xy = xyx^2 = (xyx)x = yx\).

Exercice 9

Montrer que

\[G = \{a^2+b^2, \quad (a,b)\in \mathbb{Q}^2\backslash \{(0,0)\}\}\]

est un sous-groupe de \((\mathbb{R}_+^*,\times)\).

Correction

On vérifie les axiomes de la caractérisation des sous-groupes.

• \(G\subset \mathbb{R}_+^*\).

• \(1 \in G\).

• Soit \(x,y \in G\). Alors il existe \((a,b),(c,d) \in \mathbb{Q}^2 \backslash \{(0,0)\}\) tels que

\[x = a^2 + b^2, \quad y = c^2 + d^2.\]

Ainsi

\[xy = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 = (ac)^2 + 2abcd + (bd)^2 + (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2,\]

avec \(ac+bd,ad-bc\in \mathbb{Q}\). Puis comme \((a,b),(c,d)\neq (0,0)\), on peut supposer quitte à inverser les rôles de \(a,b\) et \(c,d\), \(a,c\neq 0\). On suppose par l'absurde

\[\begin{cases} 0 = ad - bc \\ 0 = ac+bd \end{cases}.\]

Alors, comme \(a\neq 0\),

\[\begin{cases} d = \dfrac{bc}{a} \\ 0 = ac+\dfrac{b^2 c}{a} = c\left( a + \dfrac{b^2}{a} \right) \end{cases}.\]

Donc, comme \(c\neq 0\),

\[\begin{cases} d = \dfrac{bc}{a} \\ 0 = a^2+b^2 \end{cases}.\]

La deuxième équation donne alors \(a = b = 0\) ce qui ne peut pas. Par conséquent \((ad - bc,ac+ad) \in \mathbb{Q}^2\backslash \{(0,0)\}\). Autrement dit nous avons montré

\[xy \in G.\]

• Soit \(x\in G\). Donc \(x = a^2 + b^2\) avec \((a,b) \in \mathbb{Q}^2\backslash \{(0,0)\}\). Ainsi \(x\neq 0\) et

\[x^{-1} = \dfrac{1}{a^2 + b^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{(a^2+b^2)^2} = \left( \dfrac{a}{a^2 + b^2} \right)^2 + \left( \dfrac{b}{a^2 + b^2} \right)^2,\]

avec \(\left(\dfrac{a}{a^2 + b^2}, \dfrac{b}{a^2 + b^2}\right) \in \mathbb{Q}^2 \backslash \{(0,0)\}\).

Exercice 10

On considère un groupe \(G\) noté multiplicativement et deux sous-groupes \(H_1, H_2\) du groupe \(G\).

1. Montrer que si \(H_1 \cup H_2\) est un sous-groupe du groupe \(G\) alors \(H_1 \subset H_2\) ou \(H_2 \subset H_1\).

Correction

On peut procéder par contraposée. On suppose que \(H_1\) n'est pas inclus dans \(H_2\) et que \(H_2\) n'est pas inclus dans \(H_1\). Ainsi il existe \(x,y\in G\) tels que

\[x\in H_1, \quad x\notin H_2, \quad y\notin H_1, \quad y\in H_2.\]

Alors \(x,y \in H_1\cup H_2\) mais \(xy\notin H_1\cup H_2\).

2. Donner un exemple où \(H_1 \cup H_2\) n'est pas un sous-groupe du groupe \(G\).

Correction

On peut considérer \(G = \mathbb{Z}^2\) muni de la loi produit additive \((a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)\) et deux sous-groupes \(H_1,H_2\) non inclus l'un dans l'autre.

3. Montrer que

\[H_1 H_2 = \{xy, \quad x\in H_1,y\in H_2\}\]

est un sous-groupe du groupe \(G\) si et seulement si \(H_1 H_2 = H_2 H_1\).

Correction

On procède par double implication.

• On suppose que \(H_1 H_2\) est un sous-groupe de \(G\). On procède ensuite par double inclusion. Soit \(a\in H_1 H_2\). Alors, comme \(H_1 H_2\) est un sous-groupe de \(G\), nous avons \(a^{-1} = xy \in H_1H_2\) avec \(x\in H_1, y\in H_2\). Donc \(a = y^{-1} x^{-1} \in H_2 H_1\) car \(H_1\) et \(H_2\) sont des sous-groupes de \(G\). Par conséquent \(H_1H_2 \subset H_2H_1\). L'inclusion réciproque se démontre de même.

• On suppose que \(H_1 H_2 = H_2 H_1\). Alors on montre que \(H_1 H_2\) est un sous-groupe en vérifiant les axiomes de la caractérisation des sous-groupes.

Exercices d'approfondissement

Exercice 11

On s’intéresse à l’équation de Pell-Fermat

\[(E) \quad x^2−2y^2=1,\]

d’inconnue \((x,y)\in \mathbb{Z}^2\). Pour la résoudre, on étudie l’ensemble

\[G = \{(x,y)\in \mathbb{N}^∗ \times \mathbb{Z}, \quad x^2−2y^2=1\}.\]

1. Pour \((x,y),(x',y') \in G\), on considère

\[(x,y)*(x',y')=(xx'+2yy',xy'+x'y).\]

Montrer que \(*\) munit G d’une structure de groupe abélien dont on précisera le neutre \(e\).

Correction

2. Pour \((x,y)\in G\), on considère

\[\varphi(x,y)=\ln(x+\sqrt{2} y).\]

Montrer que la fonction \(\varphi\) est bien définie sur \(G\).

Correction

3. On considère également \(a=(3,2) \in G\). Montrer que

\[\forall (x,y) \in G, \quad 0\leq \varphi(x,y) < \varphi(a) \quad \Longrightarrow \quad (x,y)=e.\]

Correction

Soit \((x,y) \in G\) tel que \(0\leq \varphi(x,y) < \varphi(a)\). Alors

\[0\leq \ln(x+\sqrt{2} y) < \ln(3+2\sqrt{2}).\]

Ainsi, par stricte croissance de la fonction exponentielle,

\[1 \leq x+\sqrt{2}y < 3+2\sqrt{2} < 6.\]

En particulier \(x\leq x+\sqrt{2}y<6\) i.e. \(1\leq x\leq 5\). De plus, comme \((x,y) \in G\), \(x^2 - 2y^2 = 1\) avec \(1\) impair et \(2y^2\) pair, d'où \(x^2\) est impair puis \(x\) églament. Par conséquent

\[x\in \{1, 3, 5\}.\]

• Si \(x=1\) alors \(2y^2 = 0\) puis \(y = 0\).

• Si \(x = 3\) alors \(2y^2 = x^2 - 1 = 8\) puis \(y = 2\) mais alors \(\varphi(x,y) = \varphi(a)\) ce qui ne peut pas.

• Si \(x = 5\) alors \(2y^2 = x^2 - 1 = 24\) puis \(y\notin \mathbb{Z}\) ce qui ne peut pas.

Par conséquent \((x,y) = (1,0) = e\).

4. Montrer que, pour tout \((x,y), (x',y') \in G\),

\[\varphi((x,y)*(x',y')) = \varphi(x,y)+\varphi(x',y').\]

Correction

Nous avons

\[\varphi(x,y)+\varphi(x',y') = \ln(x+\sqrt{2}y) + \ln(x'+\sqrt{2}y') = \ln((x+\sqrt{2}y)(x'+\sqrt{2}y')) = \ln(xx'+x\sqrt{2}y'+ \sqrt{2}yx'+2yy').\]

5. En déduire que les éléments de G sont les \(a^n = a*...*a\) avec \(n \in \mathbb{Z}\).

Correction

On procède par double inclusion.

• Soit \((x,y)\in G\) et montrons que \((x,y) = a^n, n\in \mathbb{Z}\).

On montre par récurrence sur \(n\in \mathbb{N}\) que

\[\varphi(a^n) = n \varphi(a).\]

On le montre également pour \(n\in \mathbb{Z}\) grâce à

\[\varphi(a^{-1}) + \varphi(a) = \varphi(e) = 0.\]

On considère ensuite

\[n = \left\lfloor \dfrac{\varphi(x,y)}{\varphi(a)} \right\rfloor\]

pour avoir

\[n\varphi(a) \leq \varphi(x,y) < (n+1) \varphi(a).\]

Ainsi

\[0\leq \varphi((x,y)*a^{-n}) = \varphi(x,y) - n\varphi(a) < \varphi(a).\]

Donc, d'après la question 3, \((x,y)*a^{-n} = e\) i.e. \((x,y) = a^n\).

• Réciproquement soit \((x,y) = a^n, n\in \mathbb{Z}\) et montrons que \((x,y) \in G\).

On montre par récurrence sur \(k\in \mathbb{N}\) que \(a^k \in G\). En effet nous avons \(a^0 = e = (1,0) \in G\). Puis si l'on suppose \(a^k = (x',y') \in G\) alors

\[a^{k+1} = a*a^k = (3x'+4y',3y'+ 2x'),\]

et par hypothèse de récurrence

\[(3x'+4y')^2 - 2(3y'+2x')^2 = (x')^2 - 2(y')^2 = 1.\]

On montre de même pour \(k\in \mathbb{Z}\) car

\[a^{-k} = (x',-y') \in G.\]

En particulier nous avons bien \((x,y) = a^n \in G\).

Anneaux et corps

Exercices d'apprentissage

Exerice 12

On considère un ensemble \(E\) et la différence symétrique \(A \Delta B\) de deux parties \(A\) et \(B\) de \(E\) par

\[A \Delta B = (A\cup B)\cap (\overline{A\cap B}).\]

Montrer que \((\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)\) est un anneau associatif. On pourra commencer par montrer que nous avons également l'égalité

\[\forall A, B\in \mathbb{P}(E), \quad A\Delta B = (A\cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B).\]

Correction

Nous vérifions les différents axiomes d'un anneau associatif.

• Commutativité de \(\Delta\) :

• Associtativité de \(\Delta\) : Nous avons pour \(A,B,C \in \mathb{P}(E)\)

\[(A\Delta B) \Delta C = ((A\Delta B) \cap \overline{C}) \cup (\overline{A\Delta B} \cap C) = (((A\cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)) \cap \overline{C}) \cup ((\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{A}) \cap C).\]

Donc par distributivité de \(\cap\) sur \(\cup\)

\[(A\Delta B) \Delta C = ((A\cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C})) \cup ( (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup (B\cap A\cap C)) = (A\cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup (A\cap B\cap C).\]

Par conséquent par commutativité de \(\Delta\) nous avons également

\[A\Delta (B\Delta C) = (B\Delta C) \Delta A = (B\cap \overline{C} \cap \overline{A}) \cup (\overline{B} \cap C \cap \overline{A}) \cup (\overline{B} \cap \overline{C} \cap A) \cup (B\cap C\cap A) = (A\Delta B) \Delta C.\]

• Elément neutre de \(\Delta\) : \(\emptyset\)

• Inversibilité de \(\Delta\) : \(A^{-\Delta} = A\)

• Commutativité de \(\cap\) :

• Associativité de \(\cap\) :

• Elément neutre de \(\cap\) : \(E\)

• Distributivité de \(\cap\) sur \(\Delta\) : pour tout \(A,B,C \in \mathcal{P}(E)\),

\[(A\cap B) \Delta (A\cap C) = ((A\cap B) \cup (A\cap C)) \cap (\overline{A\cap B\cap A\cap C}) = A\cap (B\cup C) \cap(\overline{A} \cup \overline{B\cap C}) = (A\cap (B\cup C) \cap \overline{A}) \cup A\cap (B\cup C) \cap (\overline{B\cap C}) = \emptyset \cup A \cap (B\Delta C).\]

Exercice 13

On considère un anneau intèbre \(A\).

1. On considère \(a \in A\). On suppose que \(a\) admet un inverse à droite : il existe \(b\in A\) tel que \(ab = 1\). Montrer que \(b\) est l'unique inverse à droite de \(a\).

Correction

On considère un autre inverse à droite \(b' \in A\) : \(ab' = 1\). Alors \(a(b-b') = 0\). Donc, par intégrité, \(b = b\)'.

2. En déduire que \(b\) est également l'inverse à gauche de \(a\). On pourra commencer par calculer \(a(ba - 1 + b)\).

Correction

Nous avons

\[a(ba - 1 + b) = (ab)a - a + ab = a - a + ab = ab = 1.\]

Donc \(ba- 1+b\) est également un inverse à droite de \(a\). Ainsi, d'après la question précédente, \(ba-1+b = b,\) i.e. \(ba = 1\).

Ainsi pour vérifier qu'un élément est inversible dans un anneau intègre, il suffit de montrer qu'il est inversible à droite (ou à gauche) et son inverse est alors son inverse à droite (ou à gauche).

Exercice 14

On considère \(d \in \mathbb{N}\) et

\[\mathbb{Z}[\sqrt{d}] = \{a+b\sqrt{d}, \quad (a,b) \in \mathbb{Z}^2 \}.\]

Montrer que \(\mathbb{Z}[\sqrt{d}]\) est un sous-anneau de \((\mathbb{R},+,\times)\).

Correction

Nous vérifions les axiomes de la caractérisation des sous-anneaux.

• $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \subset \mathbb{R}.

• \(1 = 1 + 0\times \sqrt{d} \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]\).

• Soit \(x,y \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]\). Alors

\(x = a+b\sqrt{d}, \quad y = c+e\sqrt{d}, \quad a,b,c,e\in \mathbb{Z}.\)$

Donc

\[x-y = a-c + (b-e)\sqrt{d} \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}].\]

• Puis

\[xy = (a+b\sqrt{d})(c+e\sqrt{d}) = ac + bed + (bc+ae)\sqrt{d} \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}].\]

Exercice 15

On considère un anneau \(A\) et \(a \in A^\times\). Montrer que l’application \(f : x \longmapsto axa^{−1}\) définit un automorphisme de l’anneau \(A\).

Correction

On vérifie les différents axiomes d'un automorphisme.

• Bijection réciproque :

Exercices d'entrainement

Exercice 16

On considère un anneau \(A\) idempotent :

\[\forall x\in A, \quad x^2 = x.\]

1. On considère \(x \in A\). Montrer que \(2x = 0\).

Correction

2. En déduire que l'anneau \(A\) est commutatif.

Correction

Exercice 17

On considère l'anneau des entiers de Gauss

\[\mathbb{Z}[i] = \{a+ib, \quad a,b\in \mathbb{Z}\}.\]

1. Montrer que l'ensemble \(\mathbb{Z}[i]\) est un anneau stable par l'opération de conjugaison complexe.

Correction

2. Montrer que

\[\mathbb{Z}[i]^\times = \{u\in \mathbb{Z}[i], \quad |u| = 1\},\]

avec \(|\cdot|\) le module complexe.

Correction

On procède pour double inclusion.

• On considère \(u = a+ib \in \mathbb{Z}[i]^\times\). Alors il existe \(v = c+id \in \mathbb{Z}[i]\) tel que \(uv = 1\). Ainsi

\[1 = |u|^2 |v|^2 = (a^2 + b^2)(c^2+d^2).\]

Donc \(1 = a^2 + b^2\). Autrement dit \(u \in \mathbb{Z}[i] \cap \mathbb{U}\).

• Réciproquement on considère \(u \in \mathbb{Z}[i] \cap \mathbb{U}\).

Alors, comme \(\mathbb{Z}[i]\) est stable par conjugaison, \(\overline{u} \in \mathbb{Z}[i]\). Or \(1 = |u|^2 = u\overline{u}\), donc \(u\in \mathbb{Z}[i]^\times\).

3. On souhaite montrer qu'il existe une division euclidienne sur \(\mathbb{Z}[i]\).

3.a. On considère \(u\in \mathbb{Z}[i], v\in \mathbb{Z}[i]^*\) et \(z = \dfrac{u}{v}\). Montrer qu'il existe \(q\in \mathbb{Z}[i]\) tel que

\[|z - q|^2 < 1.\]

Correction

Or

\[\mathbb{C} = \bigcup_{a,b\in \mathbb{Z}} \left\{x+iy, \quad a-\dfrac{1}{2} \leq x < a+ \dfrac{1}{2}, b-\dfrac{1}{2} \leq y < b+\dfrac{1}{2}\right\}.\]

Donc il existe \(a,b\in \mathbb{Z}\) tels que, en notant \(z = x+iy\)

\[a-\dfrac{1}{2} \leq x < a+ \dfrac{1}{2}, \quad b-\dfrac{1}{2} \leq y < b+\dfrac{1}{2}.\]

Ainsi, en notant \(q = a+ib \in \mathbb{Z}[i]\), nous avons

\[|z-q|^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 \leq \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} < 1.\]

3.b En déduire qu'il existe \(q,r\in \mathbb{Z}[i]\) tels que

\[u = qv + r, \quad |r| < |v|.\]

Correction

Exercice 18

On considère un morphisme d’anneaux \(f : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}\) tel que

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=x.\]

Montrer que \(f\) est l’identité ou la conjugaison complexe.

Correction

Exercice 19

On considère \(\alpha \in \mathbb{N}\) tel que \(\sqrt{\alpha} \notin \mathbb{Q}\) et

\[\mathbb{Q}[\sqrt{\alpha}] = \{ a + b \sqrt{\alpha}, \quad (a,b) \in \mathbb{Q}\}.\]

Montrer que \(\mathbb{Q}[\sqrt{α}]\) est un corps pour les opérations usuelles.

Correction

Exercice 20

On considère, pour \(a,b\in \mathbb{R}\),

\[a\perp b = a+b−1, \quad a.b = ab−a−b+2.\]

Montrer que \((\mathbb{R},\perp,.)\) est un corps.

Correction

Nous vérifions les différents axiomes pour que \((\mathbb{R},\perp, .)\) soit un corps.

• ...

• Soit \(a\in \mathbb{R} \backslash \{1\}\). Alors on cherche \(b \in \mathbb{R}\) tel que

\[2 = ab - a -b+2.\]

i.e.

\[b = \dfrac{a}{a-1} \in \mathbb{R}.\]

Exercice 21

Déterminer les sous-corps de \((\mathbb{Q},+, \times)\).

Correction

Soit \(K\) un sous-corps de \(\mathbb{Q}\). Alors \(1 \in K\) et \(K\) est stable par addition et passage à l'opposée, donc \(\mathbb{Z} \subset K\). Puis pour tout \(n\in \mathbb{Z}^*, \dfrac{1}{n} \in K\). On en déduit que \(\mathbb{Q} \subset K \subset \mathbb{Q}\).