Cours

Objectifs du programme officiel

Espaces vectoriels

• Structure

• Espaces \(\mathbb{K}^n, \mathbb{K}[X], \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\)

• Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels

• Espace vectoriel des fonctions d'un ensemble dans un espace vectoriel

• Espaces \(\mathbb{K}^E, \mathbb{K}^\mathbb{N}\)

• Famille presque nulle (ou à support fini) de scalaires, combinaison linéiare d'une famille de vecteurs

Sous-espaces vectoriels

• Définition, caractérisation

• Sous-espace nul, droite vectorielle, plan vectoriel

• Sous-espace \(\mathbb{K}_n[X]\) de \(\mathbb{K}[X]\)

• Intersection d'une famille de sous-espaces vectoriels

• Ensemble des solutions d'un système linéaire homogène

• Sous-espace vectoriel engendré par une partie \(A\)

Familles de vecteurs

• Famille (partie) génératrice

• Famille (partie) libre, liée

• Liberté d'une famille de polynômes de degrés distincts

• Base, coordonnées

• Bases canoniques de \(\mathbb{K}^n, \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), \mathbb{K}_n[X], \mathbb{K}[X]\)

• Bases de polynômes à degrés échelonnés dans \(\mathbb{K}[X]\) et \(\mathbb{K}_n[X]\)

Somme de deux sous-espaces

• Somme de deux sous-espaces

• Somme directe de deux sous-espaces

• Caractérisation par l'intersection pour deux sous-espaces

• Sous-espaces supplémentaires

Existence de bases en dimension finie

• Dimension finie s'il existe une famille génératrice finie

• Théorème de la base extraite

• Théorème de la base incomplète

• Existence de bases en dimension finie

Dimension d'un espace de dimension finie

• Une famille de \(n+1\) vecteurs est lié dans un espace engendré par une famille de \(n\) vecteurs

• Dimension d'un espace de dimension finie

• Dimension de \(\mathbb{K}^n, \mathbb{K}_n[X], \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\)

• Dimension de l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1, de l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, de l'espace des suites récurrentes linéaires homogènes d'ordre 2 à coefficients constants

• Caractérisation des bases comme familles libres ou génératrices de \(n\) vecteurs dans un espace de dimension \(n\)

• Dimension d'un produit fini d'espaces vectoriels de dimension finie

• Rang d'une famille finie de vecteurs

Sous-espaces et dimension

• Dimension d'un sous-espace d'un espace de dimension, cas d'égalité

• Dimension d'une somme de deux sous-espaces, formule de Grassmann

• Tout sous-espace d'un espace de dimension finie possède un supplémentaire

• Caractérisation dimensionnelle des couples de sous-espaces supplémentaires

• Base adaptée à un sous-espace, à une décomposition en somme directe de deux sous-espaces

Applications linéaires

• Application linéaire

• Opérations usuelles : combinaison linéaire, composition

• Isomorphisme, application linéaire réciproque

• Bilinéartion de la composition

• Image directe et réciproque d'un sous-espace par une application linéaire

• Image d'une application linéaire

• Noyau d'une application linéaire

• Caractérisation de l'injectivité

• \(\text{Im}(u)\) est l'espace engendré par \((u(e_i))_{i\in I}\) si \((e_i)_{i\in I}\) est famille génératrice de l'espace de départ

• Application linéaire de rang fini

• Le rang de \(u \circ v\) est majoré par \(\min (\text{rg}(u), \text{rg}(v))\)

• Invariance du rang par composition par un isomorphisme

Endomorphismes

• Identité, homothétie

• Anneau \((\mathcal{L}(E), +, \circ)\)

• Projection (ou projecteur), symétrie : définition et caractérisation

• Automorphismes, groupe linéaire

Détermination d'une application linéaire

• Pour \(e\) une base de \(E\) et \(f\) une base de \(F\), il existe une unique application linéaire \(u \in \mathcal{L}(E,F)\) tel que \(u(e_i) = f_i\) pour tout \(i\)

• Caractérisation de l'injectivité, surjectivité et bijectivité en termes de bases

• Espaces vectoriels isomorphes, caractérisation par la dimension

• Equivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité pour deux espaces de même dimension

• Un endomorphisme d'un espace de dimension inversible à gauche ou à droite est inversible

• Dimension de \(\mathcal{L}(E,F)\) si \(E, F\) de dimensions finies

• Si \(E = E_1 \oplus E_2, u_1 \in \mathcal{L}(E_1,F), u_2 \in \mathcal{L}(E_2, F)\) alors il existe une unique application linéaire \(u \in \mathcal{L}(E,F)\) prolongeant les deux

Théorème du rang

• Forme géométrique : Si \(u \in \mathcal{L}(E,F)\) et \(S\) supplémentaire de \(\text{ker}(u)\) dans \(E\) alors \(u\) induit un isomorphisme de \(S\) sur \(\text{Im}(u)\)

• Théorème : Si \(E\) de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E,F)\) alors \(n = \dim(\text{ker}(u)) + \text{rg}(u)\)

Formes linéaires et hyperplans

• Forme linéaire

• Formes coordonnées relativement à une base

• Hyperplan

• Equations d'un hyperplan dans une base en dimension finie

• Si \(H\) hyperplan et \(D\) droite non contenue dans \(H\) alors \(E = H \oplus D\), réciproquement tout supplémentaire d'une droite est un hyperplan

• En dimension \(n\) les hyperplans sont exactement les sous-espaces de dimension \(n-1\)

• Comparaison de deux équations d'un même hyperplan

• Si \(E\) de dimension finie \(n\) alors l'intersection de \(m\) hyperplans est de dimension au moins \(n-m\), réciproquement tout sous-espace de dimension \(n-m\) est l'intersection de \(m\) hyperplans

• Système d'équations d'un sous-espace vectoriels, cas des droites et des plans

Sous-espaces affines d'un espace vectoriel

• Structure affine d'un espace vectoriel : points, vecteurs, translation

• Sous-espace affine d'un espace vectoriel, direction, hyperplan affin

• Intersection de sous-espaces affines

• Notion d'équation linéaire \(u(x) = a\) où \(u \in \mathcal{L}(E,F)\) et \(a \in F\), l'ensemble des solutions est soit le vide soit un sous-espace affine dirigé par \(\text{ker}(u)\)

• Systèmes linéaires, équations différentielles linéaires d'ordres 1 et 2, suites arithmético-géométriques, recherche de polynômes interpolateurs

I. Espaces vectoriels

A. Définition

Définition : Espace vectoriel

On considère un ensemble \(E\). Alors on dit que l'ensemble \(E\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel s'il est muni de deux lois :

• Une loi de composition interne notée \(+\) telle que le couple \((E,+)\) soit un groupe abélien.

• Une loi externe notée \(. : \mathbb{K}\times E \longrightarrow E\) associative, double distributive et admettant \(1 \in \mathbb{K}\) comme élément neutre. Autrement dit pour tout \(\lambda,\mu \in \mathbb{K}\) et \(x,y\in E\),

\[\lambda .(\mu . x) = (\lambda \mu ). x, \quad \lambda.(x+y) = \lambda.x + \lambda. y, \quad (\lambda + \mu).x = \lambda.x + \mu.x, \quad 1.x = x.\]

On appelle les éléments de \(\mathbb{K}\) et les éléments de l'ensemble \(E\) les vecteurs.

Exemples

(\(\mathbb{K}^n, \mathbb{K}[X], \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\))

Remarque

Comme pour la mulitiplication classique on notera \(\lambda x\) pour \(\lambda.x\) si cela n'induit pas en erreur.

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, \(\lambda \in \mathbb{K}\) et \(x\in E\). Alors

\[\lambda 0_E = 0_E, \quad 0 x = O_E, \quad (-\lambda)x = \lambda(-x) = -(\lambda x), \quad (-1)x = -x\]

et

\[\lambda x = 0_E \quad \Longleftrightarrow \quad \lambda = 0 \text{ ou } x = 0_E.\]

Démonstration

Proposition

On considère des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1, ..., E_n\) pour \(n\in \mathbb{N}^*\). Alors l'ensemble produit \(E = E_1 \times ... \times E_n\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel pour les lois

\[+ : \begin{array}{rcl} E \times E & \longrightarrow & E \\ (x,y) & \longmapsto & (x_1+y_1, ..., x_n+y_n) \end{array}, \quad . : \begin{array}{rcl} \mathbb{K}\times E & \longrightarrow & E \\ (\lambda, x) & \longmapsto & (\lambda . x_1, ..., \lambda . x_n) \end{array}.\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère un ensemble \(\Omega\), un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et \(E^\Omega\) l'ensemble des fonctions \(f : \Omega \longrightarrow E\). Alors l'ensemble \(E^\Omega\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel pour les lois

\[+ : \begin{array}{rcl} E^\Omega \times E^\Omega & \longrightarrow & E^\Omega \\ (f,g) & \longmapsto & \left[ f+g : \begin{array}{rcl} \Omega & \longrightarrow & E \\ x & \longmapsto & f(x)+ g(x) \end{array} \right]\end{array}, \quad . : \begin{array}{rcl} \mathbb{K} \times E^\Omega & \longrightarrow & E^\Omega \\ (\lambda,f) & \longmapsto & \left[ \lambda f : \begin{array}{rcl} \Omega & \longrightarrow & E \\ x & \longmapsto & \lambda f(x) \end{array} \right] \end{array} .\]

Démonstration

Exemple

(\(\mathbb{K}^\mathbb{N}\))

Définition : Combinaison linéaire finie de vecteurs

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Alors une combinaison linéaire finie de vecteurs est un vecteur de la forme \(x = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\) avec \(n\in \mathbb{N}, \lambda_1, ..., \lambda_n \in \mathbb{K}\) et \(x_1, ..., x_n \in E\).

Exemple

Définition : Famille de scalaires presque nulle (ou à support fini)

On considère une famille de scalaires \((\lambda_i)_{i\in \mathbb{N}}\). Alors on dit que cette famille est presque nulle (ou à support fini) si elle est nulle à partir d'un certain rang. Autrement dit s'il existe \(i_0 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(i\geq i_0, u_i = 0\). On note \(\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}\) leur ensemble.

Exemple

Définition : Combinaison linéaire de vecteurs

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Alors une combinaison linéaire de vecteurs est un vecteur de la forme \(x = \sum_{i\in \mathbb{N}} \lambda_i x_i\) avec \((\lambda_i)_{i\in \mathbb{N}}\in \mathbb{K}^{(\mathbb{N})}\) et \((x_i)_{i\in \mathbb{N}} \in E^\mathbb{N}\).

Exemple

Remarque

La somme sur \(\mathbb{N}\) a bien du sens car les termes sont nuls à partir d'un certain rang.

B. Sous-espaces vectoriels

Définition : Sous-espace vectoriel

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une partie \(F\) de l'espace \(E\). Alors on dit que la partie \(F\) est un sous-espace vectoriel de l'espace \(E\) si la partie \(F\) est \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel pour les lois \(+\) et \(.\) de l'espace \(E\) restreintes à la partie \(F\).

Exemple

(Droite et plan vectoriel)

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une partie \(F\) de l'espace \(E\). Alors les assertions suivantes sont équivalentes.

• La partie \(F\) est un sous-espace vectoriel de l'espace \(E\).

• \(F \neq \emptyset\) et pour tout \(\lambda \in \mathbb{K}\) et \(x,y \in E\), \(\lambda x \in F\) et \(x+y \in E\).

• \(F \neq \emptyset\) et pour tout \(\lambda \in \mathbb{K}\) et \(x,y \in E\), \(\lambda x + y \in F\).

• \(0_E \in F\) et pour tout \(\lambda \in \mathbb{K}\) et \(x,y \in E\), \(\lambda x \in F\) et \(x+y \in E\).

• \(0_E \in F\) et pour tout \(\lambda \in \mathbb{K}\) et \(x,y \in E\), \(\lambda x + y\in F\).

Démonstration

Exemple

(\(\mathbb{K}_n[X] \subset \mathbb{K}[X]\))

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et des parties \(F_1,..., F_n\) de l'espace \(E\) pour \(n\in \mathbb{N}^*\). Si les parties \(F_1, ..., F_n\) sont des sous-espaces vectoriels de l'espace \(E\) alors leur intersection également \(F_1 \cap ... \cap F_n\) également.

Démonstration

Exemple

Remarque

Ce n'est pas le cas pour leur réunion en général.

Exemple

Corollaire

Les solutions d'une équation linéaire homogène forment un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène forment également un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel par intersection.

Démonstration

Définition : Sous-espace vectoriel engendré par une partie

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une partie \(A\) de l'espace \(E\). Alors le sous-espace engendré par la partie \(A\) est l'ensemble \(\text{Vect}(A)\) des combinaison linéaire de vecteurs dans la partie \(A\) :

\[\text{Vect}(A) = \left\{ \sum_{i\in \mathbb{N}} \lambda_i x_i, \quad (\lambda_i)_{i\in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}^{(\mathbb{N})}, \quad (x_i)_{i\in \mathbb{N}} \in A^\mathbb{N} \right\}.\]

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une partie \(A\) de l'espace \(E\). Alors la partie \(\text{Vect}(A)\) est un sous-espace vectoriel de l'espace \(E\). Il s'agit même du plus petit sous-espace vectoriel (au sens de l'inclusion) de l'espace \(E\) contenant la partie \(A\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux parties \(A,B \subset E\). Alors

\[A\subset B \quad \Longrightarrow \quad \text{Vect}(A) \subset \text{Vect}(B)\]

et

\[\text{Vect}(A \cap B) \subset Vect(A) \cap Vect(B).\]

Démonstration

Remarque

Si la partie \(A\) est une famille de vecteurs \(\{x_i, i\in I\} \in E^I\) alors on note \(\text{Vect}(A) = \text{Vect}(x_i)_{i\in I}\).

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), une partie \(A\) de l'espace \(E\) et un sous-espace vectoriel \(F\) de l'espace \(E\). Si \(A \subset F\) alors \(\text{Vect}(A) \subset F\). En particulier la partie \(A\) est un sous-espace vectoriel de l'espace \(E\) si et seulement si \(A = \text{Vect}(A)\).

Démonstration

Exemple

C. Familles de vecteurs

Définition : Famille (ou partie) génératrice

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), une famille \((x_i)_{i\in I} \in E^I\) avec \(I\) ensemble quelconque (respectivement une partie \(A\) de l'espace \(E\)). Alors on dit que la famille \((x_i)_{i\in I}\) (respectivement la partie \(A\)) est génératrice de l'espace \(E\) si tout vecteur de l'espace \(E\) peut s'écrire combinaison linéaire de la famille \((x_i)_{i\in I}\) (respectivement de la partie \(A\)) :

\[\forall x\in E, \quad \exists (\lambda_i)_{i\in I} \in \mathbb{K}^{(I)}, \quad x = \sum_{i\in I} \lambda_i x_i\]

(respectivement

\[\forall x\in E, \quad \exists (\lambda_{i\in I}) \in \mathbb{K}^{(I)}, (x_i)_{i\in I} \in A^I, \quad x = \sum_{i\in I} \lambda_i x_i).\]

Exemple

Définition : Famille (ou partie) libre

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), une famille \((x_i)_{i\in I} \in E^I\) avec \(I\) ensemble quelconque (respectivement une partie \(A\) de l'espace \(E\)). Alors on dit que la famille \((x_i)_{i\in I}\) (respectivement la partie \(A\)) est libre dans l'espace \(E\) si

\[\forall (\lambda_i)_{i\in I} \in \mathbb{K}^{(I)}, \quad \sum_{i\in I} \lambda_i x_i = 0 \quad \Longrightarrow \quad \forall i\in I, \lambda_i = 0\]

(respectivement

\[\forall (x_i)_{i\in I} \in A^I, \quad \forall (\lambda_i)_{i\in I} \in \mathbb{K}^{(I)}, \quad \sum_{i\in I} \lambda_i x_i = 0 \quad \Longrightarrow \quad \forall i\in I, \lambda_i = 0).\]

Dans le cas contraire on dit que la famille \((x_i)_{i\in I}\) (respectivement la partie \(A\)) est liée.

Exemple

Remarque

Cela signifie qu'aucun vecteur de la famille ne peut être à égal à une combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille. Autrement dit dans une famille liée, un des vecteurs peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.

Exemple

Remarque

Ajouter un vecteur à une famille liée ne change pas son caractère liée. Par contre ajouter un vecteur à une famille libre peut lui faire perdre cette propriété.

Exemple

Proposition

On considère une famille de polynôme \((P_n)_{n\in \mathbb{N}} \in (\mathbb{K}[X])^\mathbb{N}\). Si les polynômes \(P_n\), pour \(n\in \mathbb{N}\), sont tous de degré différent alors la famille \((P_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est libre dans l'espace \(\mathbb{K}[X]\).

Démonstration

Exemple

info "Définition : Base" On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), une famille \((x_i)_{i\in I} \in E^I\) avec \(I\) ensemble quelconque (respectivement une partie \(A\) de l'espace \(E\)). Alors on dit que la famille \((x_i)_{i\in I}\) (respectivement la partie \(A\)) est une base de l'espace \(E\) si elle est libre dans l'espace \(E\) et génératrice de l'espace \(E\).

Exemple

(bases canoniques de \(\mathbb{K}^n, \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K}), \mathbb{K}_n[X], \mathbb{K}[X]\))

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), une famille \((x_i)_{i\in I} \in E^I\) avec \(I\) ensemble quelconque. Alors la famille \((x_i)_{i\in I}\) est une base de l'espace \(E\) si et seulement si

\[\forall x\in E, \quad \exists ! (\lambda_i)_{i\in I} \in \mathbb{K}^{(I)}, \quad x = \sum_{i\in I} \lambda_i x_i.\]

Les scalaires \((\lambda_i)_{i\in I}\) sont alors appelés coordonnées du vecteur \(x\) dans la base \((x_i)_{i\in I}\).

Démonstration

Exemple

Remarque

Autrement dit tout vecteur de l'espace \(E\) peut se décomposer de façon unique comme combinaison linéaire de vecteurs de la famille \((x_i)_{i\in I}\).

D. Somme de deux sous-espaces

Définition : Somme de deux sous-espaces vectoriels

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux sous-espace vectoriel \(F_1,F_2\) de l'espace \(E\). Alors leur somme est l'ensemble \(F_1 + F_2\) définie par

\[F_1 + F_2 = \{x_1+x_2, \quad x_1\in F_1, x_2 \in F_2\}.\]

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux sous-espace vectoriel \(F_1,F_2\) de l'espace \(E\). Alors leur somme \(F_1 + F_2\) est un sous-espace vectoriel de l'espace \(E\).

Démonstration

Exemple

Définition : Somme directe de deux sous-espaces vectoriels

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux sous-espace vectoriel \(F_1,F_2\) de l'espace \(E\). Alors on dit que les sous-espaces vectoriels \(F_1\) et \(F_2\) sont en somme directe si

\[\forall x\in F_1+F_2, \quad \exists ! (x_1,x_2) \in F_1 \times F_2, \quad x = x_1 + x_2.\]

Dans ce cas on note leur somme \(F_1 \otimes F_2\).

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux sous-espace vectoriel \(F_1,F_2\) de l'espace \(E\). Alors les sous-espaces \(F_1,F_2\) sont en somme directe si et seulement si \(F_1 \cap F_2 = \{0_E\}\).

Démonstration

Exemple

Remarque

La proposition précédente est fausse si l'on considère la somme directe de trois ou plus de sous-espaces vectoriels.

Exemple

Définition : Sous-espaces vectoriels supplémentaires

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux sous-espace vectoriel \(F_1,F_2\) de l'espace \(E\). Alors on dit que les sous-espaces vectoriels \(F_1\) et \(F_2\) sont supplémentaires dans l'espace \(E\) s'ils sont en somme directe et \(F_1 + F_2 = E\).

Exemple

Remarque

Autrement dit tout vecteur de l'espace \(E\) s'écrit de façon unique comme la somme d'un vecteur du sous-espace \(F_1\) et d'un vecteur du sous-espace \(F_2\).

Exemples

Dans \(\mathbb{R}^2\)Dans \(\mathbb{R}^3\)

Remarque

Il ne faut pas confondre supplémentaire et complémentaire car un complémentaire d'un sous-espace vectoriel n'est même pas un sous-espace vectoriel (il ne contient pas le vecteur nul).

II. Espaces de dimension finie

A. Existence de bases

Définition : Espace vectoriel de dimension finie

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Alors on dit que l'espace \(E\) est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie.

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une famille de vecteurs \((x_i)_{1\leq i\leq n}\in E^n\). Si la famille \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) engendre l'espace \(E\) et s'il existe une partie \(I\) de \(\{1,..., n\}\) telle que \((x_i)_{i\in I}\) soit une famille libre dans l'espace \(E\) alors il existe une partie \(J\) telle que \(I\subset J\subset \{1, ...n\}\) et \((x_i)_{i\in J}\) soit une base de l'espace \(E\).

Démonstration

Exemple

Théorème

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie alors il admet une base finie.

Démonstration

Exemple

Théorème de la base extraite

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une famille de vecteurs \((x_i)_{i\in I} \in E^I\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie et \((x_i)_{i\in I}\) est une famille libre dans l'espace \(E\) alors il existe une partie \(J \subset I\) finie telle que la famille \((x_i)_{i\in J}\) soit une base de l'espace \(E\). On dit alors que la famille \((x_i)_{i\in J}\) est une base extraite de la famille \((x_i)_{i\in I}\).

Démonstration

Exemple

Théorème de la base incomplète

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une famille de vecteurs \((x_i)_{i\in I} \in E^I\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie et \((x_i)_{i\in I}\) est une famille génératrice de l'espace \(E\) alors il existe une partie \(J \supset I\) finie telle que la famille \((x_i)_{i\in J}\) soit une base de l'espace \(E\). On dit alors que la famille \((x_i)_{i\in J}\) est une base complétée de la famille \((x_i)_{i\in I}\).

Démonstration

Exemple

B. Dimension d'un espace de dimension finie

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie engendrée par une famille de \(n\) vecteurs \((x_i)_{1\leq i\leq n} \in E^n\) alors toute famille de \(n+1\) vecteurs \((y_i)_{1\leq i\leq n+1} \in E^{n+1}\) est liée.

Démonstration

Exemple

Théorème

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie alors toute base de l'espace possède le même nombre de vecteurs que l'on note \(\dim(E) \in \mathbb{N}\).

Démonstration

Exemples usuels

Examples des chapitres précédents

(solutions d'EDLH d'ordre 1 ou d'ordre 2, espaces des suites récurrentes linéaires d'ordre 2)

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n \in \mathbb{N}\) et une famille de \(p\) vecteurs \((x_i)_{1\leq i\leq p} \in E^p\).

• Si la famille \((x_i)_{1\leq i\leq p}\) est libre alors \(p\leq n\).

• Si la famille \((x_i)_{1\leq i\leq p}\) est génératrice alors \(p\geq n\).

Démonstration

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n \in \mathbb{N}\) et une famille de \(n\) vecteurs \((x_i)_{1\leq i\leq n} \in E^n\). Alors les assertions suivantes sont équivalentes.

• La famille \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) est une base de l'espace \(E\).

• La famille \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) est une famille libre dans l'espace \(E\).

• La famille \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) est une famille génératrice de l'espace \(E\).

Démonstration

Exemples

Corollaire

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\). Alors les assertions suivantes sont équivalentes.

1. La matrice \(A\) est inversible.

2. La famille des vecteurs colonnes de la matrice \(A\) \((C_1, ..., C_n)\) forme une base de l'espace \(\mathbb{K}^n\).

3. La famille des vecteurs lignes de la matrice \(A\) \((L_1, ..., L_n)\) forme une base de l'espace \(\mathbb{K}^n\).

Démonstration

Proposition

On considère des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1, ..., E_n\) pour \(n\in \mathbb{N}\). Si pour tout \(i\in \{1, ..., n\}\) l'espace \(E_i\) est de dimension finie alors l'espace produit \(E_1 \times ... \times E_n\) est de dimension finie et

\[\dim(E_1 \times ... \times E_n) = \dim(E_1) ... \dim(E_n).\]

Démonstration

Exemple

Définition : Rang d'une famille de vecteurs

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une famille de vecteurs \((x_i)_{1\leq i\leq n} \in E^n\). Alors le rang de la famille \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) est la dimension du sous-espace engendré \(\text{Vect}(x_i)_{1\leq i\leq n}\). On le note alors \(\text{rg}(x_1, ..., x_n) = \text{rg}(x_i)_{1\leq i\leq n}\) :

\[\text{rg}(x_1, ..., x_n) = \dim(\text{Vect}(x_1, ..., x_n)).\]

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une famille de vecteurs \((x_i)_{1\leq i\leq n} \in E^n\). Alors \(\text{rg}(x_1, ..., x_n) \leq n\).

Démonstration

Exemple

Remarque

Nous n'avons pas en général \(\text{rg}(x_1, ..., x_n) = n\).

Exemple

C. Sous-espaces et dimension

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un sous-espace vectoriel \(F\) de l'espace \(E\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie alors l'espace \(F\) également et \(\dim(F) \leq \dim(E)\) avec égalité si et seulement si \(E = F\).

Démonstration

Exemple

Proposition : Formule de Grassmann

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux sous-espaces vectoriels \(F_1, F_2\) de l'espace \(E\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie alors le sous-espace somme \(F_1 + F_2\) également et

\[\dim(F_1+F_2) = \dim(F_1) + \dim(F_2) - \dim(F_1 \cap F_2).\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un sous-espace vectoriel \(F\) de l'espace \(E\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie alors le sous-espace vectoriel \(F\) admet un sous-espace supplémentaire \(\overline{F}\) dans l'espace \(E\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux sous-espaces vectoriels \(F_1, F_2\) de l'espace \(E\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie alors les sous-espaces vectoriels \(F_1\) et \(F_2\) sont supplémentaires dans l'espace \(E\) si et seulement si

\[\dim(F_1\cap F_2) = 0 \quad \text{et} \quad \dim(F_1) + \dim(F_2) = \dim(E).\]

Démonstration

Exemple

Définition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), un sous-espace vectoriel \(F\) de l'espace \(E\) et une famille de vecteurs \((x_i)_{1\leq i\leq p} \in F^p\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie et la famille \((x_i)_{1\leq i\leq p}\) est une base du sous-espace \(F\) alors toute la base \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) de l'espace \(E\) complétante la famille \((x_i)_{1\leq i\leq p}\) est appelée base adaptée au sous-espace \(F\).

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), deux sous-espaces vectoriels \(F_1,F_2\) de l'espace \(E\) et deux familles de vecteurs \((x_i)_{1\leq i \leq p} \in F_1^p, (x_i)_{p+1\leq i\leq n} \in F_2^{n-p}\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie, les sous-espaces \(F_1\) et \(F_2\) sont supplémentaires dans l'espace \(E\) et les familles \((x_i)_{1\leq i\leq p}\) et \((x_i)_{p+1\leq i\leq n}\) sont des bases respectives des sous-espaces \(F_1\) et \(F_2\) alors la famille \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) est une base de l'espace \(E\). On l'appelle alors une base adaptée à la décomposition \(E = F_1 \otimes F_2\).

Démonstration

Exemple

III. Applications linéaires

A. Généralités

Définition : Application linéaire

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\) et une application \(f : E_1 \longrightarrow E_2\). Alors on dit que l'application \(f\) est linéaire si

\[\forall \lambda \in \mathbb{K}, \quad \forall x,y\in E_1, \quad f(\lambda x+y) = \lambda f(x) + f(y).\]

On note \(L(E_1, E_2)\) leur ensemble.

Exemple

Proposition

On considère une application entre deux espaces vectoriels \(f : E_1 \longrightarrow E_2\). Alors l'application \(f\) est linéaire si et seulement si

\[\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \quad \forall x,y\in E_1, \quad f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y).\]

Démonstration

Remarque

Autrement dit une application est linéaire si l'image de toute combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images.

Proposition

On considère une application linéaire \(f \in L(E_1, E_2)\). Alors :

• \(f(0_E) = 0_F\).

• \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x\in E_1\).

Démonstration

Proposition

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\). Alors l'ensemble \(L(E_1, E_2)\) est un \(\mathbb{K}\)-epsace vectoriel pour les opérations \(+,\cdot\) sur les applications.

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2,E_3\). Alors la composition \(\circ : L(E_2,E_3) \times L(E_1,E_2) \longrightarrow L(E_1, E_3)\) est une application bilinéaire d'espaces vectoriels :

\[\forall \lambda \in \mathbb{K}, \quad \forall f_1,f_2 \in L(E_2,E_3), \quad \forall g_1, g_2 \in L(E_1,E_2), \quad (\lambda f_1 + f_2) \circ g_1 = \lambda f_1 \circ g_1 + f_2 \circ g_1, \quad f_1 \circ (\lambda g_1 + g_2) = \lambda f_1 \circ g_1 + f_2 \circ g_1.\]

Démonstration

Exemple

Définition : Isomorphisme

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\) et une application \(f : E_1 \longrightarrow E_2\). Alors on dit que l'application \(f\) est un isomorphisme d'espaces vectoriels si l'application \(f\) est linéaire et bijective.

Exemple

Proposition

On considère une application linéaire \(f \in L(E_1,E_2)\). Si l'application \(f\) est un isomorphisme alors l'application inverse \(f^{-1}\) est linéaire : \(f^{-1} \in L(E_2,E_2)\).

Démonstration

Proposition

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\), une application \(f : E_1 \longrightarrow E_2\) et deux sous-espaces vectoriels \(F_1, F_2\) des sous-espaces respectifs \(E_1,E_2\). Si l'application \(f\) est linéaire alors l'image directe \(f(F_1)\) est un sous-espace vectoriel de l'espace \(E_2\) et l'image réciproque \(f^{-1}(F_2)\) est un sous-espace vectoriel de l'espace \(E_1\).

Démonstration

Exemples

Image directeImage réciproque

Corollaire

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\) et une application \(f : E_1 \longrightarrow E_2\). Si l'application \(f\) est linéaire alors son noyau \(\text{ker}(f) = f^{-1}(\{0_F\})\) est un sous-espace vectoriel de l'espace \(E_1\) et son image \(\text{Im}(f) = f(E_1)\) est un sous-espace vectoriel de l'espace \(E_2\).

Démonstration

Exemples

NoyauImage

Proposition

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\) et une application \(f : E_1 \longrightarrow E_2\). Si l'application \(f\) est linéaire alors :

• L'application \(f\) est injective si et seulement si \(\text{ker}(f) = \{0_E\}\).

• L'application \(f\) est surjective si et seulement si \(\text{Im}(f) = E_2\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\), une application \(f : E_1 \longrightarrow E_2\) et une famille de vecteurs \((x_i)_{i\in I} \in E_1^I\). Si l'application \(f\) est linéaire et la famille \((x_i)_{i\in I}\) engendre l'espace \(E_1\) alors la famille \((f(x_i))_{i\in I}\) engendre le sous-espace vectoriel \(\text{Im}(f)\) :

\[\text{Im}(f) = \text{Vect}(f(x_i))_{i\in I}.\]

Démonstration

Exemple

Définition : Application linéaire de rang fini

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\) et une application linéaire \(f : E_1 \longrightarrow E_2\). Alors on dit l'application \(f\) est de rang fini si l'espace image \(\text{Im}(f)\) est de dimension finie. Dans ce cas on note

\[\text{rg}(f) = \dim(\text{Im}(f)).\]

Exemple

Remarque

Si \((e_i)_{1\leq i\leq n}\) est une famille génératrice de l'espace \(E_1\) alors

\[\text{rg}(f) = \text{rg}(f(e_1), ..., f(e_n)).\]

Proposition

On considère des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2,E_3\) et deux applications linéaires \(f : E_2 \longrightarrow E_3\) et \(g : E_1 \longrightarrow E_2\). Si les applications \(f\) et \(g\) sont de rang fini alors leur composée \(f\circ g\) l'est également et

\[\text{rg}(f\circ g) \leq \min(\text{rg}(f), \text{rg}(g)).\]

Démonstration

Exemples

Avec égalitéAvec inégalité stricte

Corollaire

On considère des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2,E_3\) et deux applications linéaires \(f : E_2 \longrightarrow E_3\) et \(g : E_1 \longrightarrow E_2\). Si les applications \(f\) et \(g\) sont de rang fini et si l'application \(f\) ou l'application \(g\) est un isomorphisme alors

\[\text{rg}(f\circ g) = \text{rg}(f).\]

Démonstration

Exemple

Remarque

En d'autres termes, le rang est invariant par composition avec un isomorphisme.

B. Endomorphismes

Définition : Endomorphisme

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une application \(f : E \longrightarrow E\). Alors on dit que l'application \(f\) est un endomorphisme si l'application \(f\) est linéaire. On note alors \(L(E)\) leur ensemble.

Exemple

(identité, homothéties)

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Alors le triplet \((L(E) , +, \circ)\) est un anneau et non commutatif si \(\dim(E) \geq 2\).

Démonstration

Exemple

Remarque

S'il n'y a pas de confusions alors on notera \(uv = u\circ v\) et \(u\circ ... \circ u = u^k\) pour \(k\in \mathbb{N}\).

Proposition

On considère deux endomorphismes \(f,g \in L(E)\) et un entier \(n\in \mathbb{N}\). Si \(f \circ g = g\circ f\) alors

\[(f+g)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^k g^{n-k}\]

et

\[f^{n+1} - g^{n+1} = \sum_{k=0}^n f^k g^{n-1-k}.\]

Démonstration

Définitions : Projecteur (ou projection), symétrie

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), une application linéaire \(f \in L(E)\) et deux sous-espaces vectoriels supplémentaires \(F_1, F_2\) : \(E = F_1 \oplus F_2\). Alors on dit que l'application \(f\) est :

• un projecteur (ou une projection) sur le sous-espace \(F_1\) parallèlement au sous-espace \(F_2\) si

\[\forall x = x_1 + x_2 \in E = F_1 \otimes F_2, \quad f(x) = f(x_1).\]

• une symétrie sur le sous-espace \(F_1\) parallèlement au sous-espace \(F_2\) si

\[\forall x = x_1 + x_2 \in E = F_1 \otimes F_2, \quad f(x) = f(x_1) - f(x_2).\]

Exemples

ProjecteurSymétrie

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une application linéaire \(f \in L(E)\).

• L'application \(f\) est un projecteur si et seulement si \(f^2 = f\).

• L'application \(f\) est une symétrie si et seulement si \(f^2 = \text{id}_E\).

Démonstration

Exemples

ProjecteurSymétrie

Corollaire

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une application linéaire \(f \in L(E)\).

• Si l'application \(f\) est un projecteur alors il s'agit du projecteur sur \(\text{Im}(f)\) parallèlement à \(\text{ker}(f)\).

• Si application \(f\) est une symétrie alors il s'agit de la symétrie sur \(\text{ker}(f-\text{id}_E)\) parallèlement à \(\text{ker}(f+\text{id}_E)\).

Démonstration

Exemples

ProjectionSymétrie

Définition : Automorphisme d'un espace vectoriel

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une application linéaire \(f \in L(E)\). Alors on dit que l'application linéaire \(f\) est un automorphisme de l'espace \(E\) si l'application \(f\) est bijective. On note alors \(GL(E)\) leur ensemble.

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Alors l'ensemble \((GL(E),\circ)\) est un groupe appelé grouple linéaire de l'espace \(E\).

Démonstration

Exemple

Remarque

Pour \(f \in GL(E)\) on notera alors \(f^{-1} \circ ... \circ f^{-1} = f^k\) pour \(k\in \mathbb{N}_-\).

C. Détermination d'une application linéaire

Proposition

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1, E_2\), une base \((x_i)_{i\in I}\) de l'espace \(E_1\) et une famille \((y_i)_{i\in I} \in E_2^I\). Alors il existe une unique application linéaire \(f \in L(E_1, E_2)\) telle que \(f(x_i) = y_i\) pour tout \(i\in I\).

Démonstration

Exemple

Remarque

Autrement dit une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base.

Corollaire

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1, E_2\), une base \((x_i)_{i\in I}\) de l'espace \(E_1\), une famille \((y_i)_{i\in I} \in E_2^I\) et l'unique application linéaire \(f \in L(E_1, E_2)\) de la proposition précédente.

• L'application linéaire \(f\) est injective si et seulement si la famille \((y_i)_{i\in I} = (f(x_i))_{i\in I}\) est libre.

• L'application linéaire \(f\) est surjective si et seulement si la famille \((y_i)_{i\in I} = (f(x_i))_{i\in I}\) engendre l'espace \(E_2\).

• L'application linéaire \(f\) est bijective si et seulement si la famille \((y_i)_{i\in I} = (f(x_i))_{i\in I}\) est une base de l'espace \(E_2\).

Démonstration

Exemples

InjectiveSurjectiveBijective

Définition : Espaces isomorphes

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\). Alors on dit que les espaces \(E_1\) et \(E_2\) sont isomorphes s'il existe un isomorphisme \(f \in L(E_1, E_2)\). On le note alors \(E_1 \simeq E_2\).

Exemple

Proposition

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\). Si les espaces \(E_1\) et \(E_2\) sont de dimension finie alors ils sont isomorphes si et seulement si \(\dim(E_1) = \dim(E_2)\).

Démonstration

Exemple

Remarque

En particulier si \(\dim(E) = n\) alors \(E \simeq \mathbb{K}^n\).

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un endomorphisme \(f \in L(E)\). Si l'application \(f\) admet un inverse à gauche (respectivement à droite) pour la composition \(g \in L(E)\) : \(g\circ f = \text{id}_E\) (respectivement à gauche), alors l'application \(f\) est un automorphisme et \(f^{-1} = g\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\). Si les espaces \(E_1, E_2\) sont de dimension finie alors l'espace \(L(E_1, E_2)\) est de dimension finie et \(\dim(L(E_1, E_2)) = \dim(E_1) \dim(E_2)\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1, E_2\), deux sous-espaces vectoriels \(F_1,F_2\) supplémentaires dans l'espace \(E_1\) : \(E_1 = F_1 \otimes F_2\), et deux applications linéaires \(u_1 \in L(F_1, E_2), u_2 \in L(F_2, E_2)\). Alors il existe une application linéaire \(f \in L(E_1,E_2)\) coïncidant avec l'application \(f_1\) sur le sous-espace \(F_1\) et avec l'application \(f_2\) sur le sous-espace \(F_2\) :

\[\forall x\in F_1, f(x) = f_1(x), \quad \forall x\in F_2, f(x) = f_2(x).\]

Démonstration

Exemple

D. Théorème du rang

Théorème du rang géométrique

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1, E_2\), une application linéaire \(f \in L(E_1,E_2)\) et un sous-espace vectoriel \(S\) de l'espace \(E_1\). Si le sous-espace \(S\) est un supplémentaire du noyau \(\text{ker}(f)\) alors l'application \(f\) induit un isomorphisme \(\tilde{f}\) de l'espace \(S\) sur l'espace \(\text{Im}(f)\) définie par

\[\forall x\in S, \quad \tilde{f}(x) = f(x).\]

Démonstration

Exemple

Théorème du rang

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1, E_2\) et une application linéaire \(f \in L(E_1,E_2)\). Si l'espace \(E_1\) est de dimension finie alors

\[\dim(E) = \dim(\text{ker}(f)) + \text{rg}(f).\]

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\) et une application linéaire \(f \in L(E_1, E_2)\). Si \(\dim(E_1) = \dim(E_2)\) alors les assertions suivantes sont équivalentes.

1. L'application \(f\) est injective.

2. L'application \(f\) est surjective.

3. L'application \(f\) est bijective.

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\) et une application linéaire \(f \in L(E_1, E_2)\). Si \(\dim(E_1) = \dim(E_2)\) alors les assertions suivantes sont équivalentes.

1. L'application \(f\) est un isomorphisme.

2. L'application \(f\) est inversible à gauche : il existe \(g \in L(E_2,E_1)\) tel que \(g\circ f = \text{id}_{E_1}\).

3. L'application \(f\) est inversible à droite : il existe \(g \in L(E_2,E_1)\) tel que \(f\circ g = \text{id}_{E_2}\).

Démonstration

Exemple

E. Formes linéaires et hyperplans

Définition : Forme linéaire

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Alors une forme linéaire est une application linéaire \(f \in L(E,\mathbb{K})\). On note alors leur ensemble \(E^* = L(E,\mathbb{K})\) que l'on appelle espace dual de l'espace \(E\).

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une famille de vecteurs \((x_i)_{i\in I} \in E^I\). Si la famille \((x_i)_{i\in I}\) est une base de l'espace vectoriel \(E\) alors les applications

\[e_i^* : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & \mathbb{K} \\ x = \sum_{j\in I} \lambda_j x_j & \longmapsto & \lambda_i \end{array}, \quad i\in I\]

sont des formes linéaires sur l'espace \(E\), que l'on appelle les formes coordonnées relativement à la base \((x_i)_{i\in I}\).

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une famille de vecteurs \((x_i)_{i\in I} \in E^I\). Si la famille \((x_i)_{i\in I}\) est une base de l'espace vectoriel \(E\) alors la famille \((e_i^*)_{i\in I}\) est une base de l'espace \(E^*\). De plus si l'espace \(E\) est de dimension finie, autrement dit si \(|I| = n \in \mathbb{N}\), alors l'espace dual \(E^*\) est de dimension finie et \(\dim(E^*) = \dim(E) = n\).

Démonstration

Exemple

Définition : Hyperplan

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un sous-espace vectoriel \(H\) de l'espace \(E\). Alors on dit que le sous-espace \(H\) est un hyperplan dans l'espace \(E\) s'il existe une forme linéaire non nulle \(f \in E^* \backslash \{0_{E^*}\}\) telle que \(H = \text{ker}(f)\).

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un sous-espace vectoriel \(H\) de l'espace \(E\). Si l'espace \(E\) est de dimension finie \(\dim(E) = n\) alors le sous-espace \(H\) est un hyperplan de l'espace \(E\) si et seulement s'il existe une base \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) de l'espace \(E\) telle que

\[H = \left\{x = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \in E, \quad \lambda_1 x_1 + ... + \lambda_n x_n = 0_E \right\}.\]

On dit alors que l'hyperplan \(H\) est d'équation

\[\lambda_1 x_1 + ... + \lambda_n x_n = 0,\]

d'inconnues \(x_1, ..., x_n\in \mathbb{K}\).

Démonstraton

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), un hyperplan \(H\) dans l'espace \(E\) et une droite vectorielle \(D\) dans \(D\). Si la droite \(D\) n'est pas incluse dans l'hyperplan \(H\) alors les sous-espaces \(H\) et \(D\) sont supplémentaires dans l'espace \(E\) : \(E = H\oplus D\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), une droite vectorielle \(D\) dans \(D\) et un sous-espace vectoriel \(H\) de l'espace \(E\). Si le sous-espace \(H\) est un supplémentaire de la droite \(D\) alors le sous-espace \(H\) est un hyperplan de l'espace \(E\).

Démonstration

Exemple

Corollaire

On consière un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un sous-espace vectoriel \(H\) de l'espace \(E\). Alors le sous-espace \(H\) est un hyperplan si et seulement s'il existe une droite vectorielle \(D\) de l'espace \(E\) telle que

\[E = H\oplus D.\]

Corollaire

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(\dim(E) = n \in \mathbb{N}\). Alors les hyperplans de l'espace \(E\) sont exactement les sous-espaces vectoriels de l'espace \(E\) de dimension \(n-1\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(\dim(E) = n \in \mathbb{N}\) de base \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) et deux hyperplans \(H_1, H_2\) d'équations respectives

\[\lambda_1 x_1 + ... + \lambda_n x_n = 0, \quad \mu_1 x_1 + ... + \mu_n x_n = 0.\]

Alors \(H_1 = H_2\) si et seulement s'il existe \(\alpha \in \mathbb{K}\) tel que \(\lambda_i = \alpha \mu_i\) pour tout \(i\in \{1, ..., n\}\).

Démonstration

Exemple

Remarque

Autrement dit deux hyperplans \(H_1 = \text{ker}(\varphi_1), H_2 = \text{ker}(\varphi_2)\) sont égaux si et seulement si les formes linéaires non nulles \(\varphi_1,\varphi_2\) sont multiples l'une de l'autre.

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(\dim(E) = n \in \mathbb{N}\) et un entier \(m\in \{1, ...n\}\). Alors l'intersection de \(m\) hyperplans de l'espace \(E\) est un sous-espace vectoriel de dimension au moins \(n-m\) de l'espace \(E\). Réciproquement un sous-espace vectoriel de dimension \(n-m\) de l'espace \(E\) est l'intersection de \(m\) hyperplans de l'espace \(E\).

Démonstration

Exemple

Remarques

• En dimension 2, un sous-espace de dimension 1 est une droite vectorielle et également un hyperplan. De plus un sous-espace de dimension 0, autrement dit \(\{0_E\}\), est l'intersection de deux droites vectorielles, autrement dit l'intersection de deux hyperplans.

• En dimension 3, un sous-espace de dimension 2 est un plan vectorielle et également un hyperplan. De plus un sous-espace de dimension 1 est une droite vectorielle et également l'intersection entre deux plans vectoriels, autrement dit de deux hyperplans. Enfin un sous-espace de dimension 0, autrement dit \(\{0_E\}\), est l'intersection de trois plans vectoriels, autrement dit l'intersection de trois hyperplans.

Exemples

En dimension 2En dimension 3

IV. Sous-espaces affines d'un espace vectoriel

Définition : Espace affine

On considère un ensemble \(\mathcal{E}\) muni d'un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et d'une application \(+ : \mathcal{E} \times E \longrightarrow \mathcal{E}\). Alors on dit que l'ensemble \(\mathcal{E}\) est un espace affine si

\[\forall A\in \mathcal{E}, \quad \forall x,y \in E, \quad (A+x) + y = A+(x+y),\]

et

\[\forall A,B \in \mathcal{E}, \quad \exists ! x\in E, \quad A + x = B.\]

Dans ce cas l'espace vectoriel \(E\) est appelé direction de l'espace affine \(\mathcal{E}\) et les éléments de l'ensemble \(\mathcal{E}\) sont appelés des points.

Exemple

Remarque

Dans ce cas l'unique vecteur \(x \in E\) tel que \(A + x = B\) est noté \(x = \overrightarrow{AB}\) et on appelle translation de vecteur \(x\) l'application \(\tau_x : \begin{array}{rcl} \mathcal{E} & \longrightarrow & \mathcal{E} \\ A & \longrightarrow & A+x \end{array}\).

Proposition

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Alors le couple \((E,+)\) est un espace affine avec \(+\) l'addition usuelle sur l'espace vectoriel \(E\).

Démonstration

Définition : Sous-espace affine

On considère un espace affine \(\mathcal{E}\) de direction \(E\) et une partie \(\mathcal{F}\) de l'espace affine \(\mathcal{E}\). Alors on dit que la partie \(\mathcal{F}\) est un sous-espace affine de l'espace affine \(\mathcal{E}\) si \(\mathcal{F} = \emptyset\) ou s'il existe un point \(A \in \mathcal{F}\) tel que \(F = \{\overrightarrow{AB}, B\in \mathcal{F}\}\) soit un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel \(E\). On dit alors que le sous-espace vectoriel \(F\) est une direction du sous-espace affine \(\mathcal{F}\).

Exemples

Proposition

On considère un espace affine \(\mathcal{E}\) de direction \(E\) de dimension finie et une partie \(\mathcal{F}\) non vide de l'espace affine \(\mathcal{E}\). Si la partie \(\mathcal{F}\) est un sous-espace affine de l'espace affine \(\mathcal{E}\) alors il existe un point \(A \in \mathcal{F}\) tel que \(F = \{\overrightarrow{AB}, \quad B\in \mathcal{F}\}\) soit un sous-espace vectoriel de dimension finie de l'espace \(E\) et pour tout \(A' \in \mathcal{F}\), la partie \(F' = \{\overrightarrow{A'B}, \quad B\in \mathcal{F}\}\) est également un sous-espace vectoriel de dimension finie de l'espace vectoriel \(E\) et \(\dim(F') = \dim(F)\).

Démonstration

Exemple

Remarque

La proposition précédente permet de définir la dimension du sous-espace affine \(\mathcal{F}\) comme la dimension du sous-espace vectoriel \(E\). On peut également dire la direction du sous-espace affine (à isomorphisme près).

Définition : Hyperplan affine

On considère un espace affine \(\mathcal{E}\) et une partie \(\mathcal{H}\) de l'espace affine \(\mathcal{E}\). Alors on dit que la partie \(\mathcal{H}\) est un hyperplan affine de l'espace \(\mathcal{E}\) si sa direction est un hyperlan vectoriel de la direction \(E\).

Exemple

Proposition

On considère un espace affine \(\mathcal{E}\) de dimension finie \(\dim(\mathcal{E}) = \dim(E) = n\) et une partie \(\mathcal{H}\) de l'espace affine \(\mathcal{E}\). Alors la partie \(\mathcal{H}\) est un hyperplan affine si et seulement si \(\dim(\mathcal{H}) = n-1\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère un espace affine \(\mathcal{E}\) et des parties \(\mathcal{H}_1, ..., \mathcal{H}_p\) du sous-espace affine \(\mathcal{E}\). Si les parties \(\mathcal{H}_1, ..., \mathcal{H}_p\) sont des hyperplans affines du sous-espace affine \(\mathcal{E}\) de directions respectives \(H_1, ..., H_p\) alors leur intersection \(\mathcal{H}_1 \cap ... \cap \mathcal{H}_p\) est un hyperplan affine de l'espace affine \(\mathcal{E}\) de direction \(H_1\cap ... \cap H_p\).

Démonstration

Exemple

Remarque

Comme dans le cadre vectoriel, nous pouvons également en déduire les sous-espaces affines en dimension 2 ou 3.

(insérer une image)

Proposition

On considère deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E_1,E_2\), une application linéaire \(f\in L(E_1, E_2)\) et un vecteur \(a\in E_2\). Alors l'équation \(f(x) = a\) d'inconnue \(x\in E_1\), appelé équation affine, admet soit aucune solution, soit un sous-espace affine de solutions de direction \(\text{ker}(f)\) de l'espace \(E\) vu en tant qu'espace affine.

Démonstration

Exemple

Corollaire

L'ensemble des solutions d'un système linéaire, d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 ou 2, l'ensemble des suites arithmético-géométriques, ou l'ensemble des polynômes annulateurs sont des sous-espaces affines.

Démonstration

Exemples