Exercices
Opérations sur les matrices⚓︎
Exercices d'apprentisage
Exercice 1
On considère une matrice carrée \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \sigma(A)\) la somme de tous ses coefficients et \(J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) la matrice composée uniquement de 1 :
Montrer que
Correction
Nous avons pour tout \(i,j\in \{1, ..., n\}\)
Exercice 2
On considère deux matrices \(A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que \(AB=BA\) et \(A\) inversible. Montrer que les matrices \(A^{-1}\) et \(B\) commutent.
Correction
Exercices d'entrainement
Exercice 3
On considère une matrice carrée de taille 2 \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\) :
On considère également \(n \in \mathbb{N}^*\) et on note les coefficients de la matrice \(A^n\) :
Montrer que
Correction
Exercice 4
Soit \(A \in GL_n(\mathbb{R})\) tel que
Calculer \(A^k + A^{-k}\) pour tout \(k\in \mathbb{N}\).
Correction
On considère les matrices \(B_k = A^k + A^{-k}\) pour tout \(k\in \mathbb{N}\). Alors
Donc \(B_0 = 2 I_n, B_1 = I_n, B_2 = B_1 - B_0 = - I_n\). On montre alors par récurrence double que
avec \((\lambda_k)_{k\in \mathbb{N}}\) suite récurrente linéaire d'ordre 2 définie par
L'équation caractéristique associée est
de discriminant \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\) donc de racines complexes non réelles
Donc il existe \(a,b \in \mathbb{R}\) tels que
Avec les cas \(k = 0\) et \(k= 1\) on trouve
Exercice 5
Soit \(n\geq 2\).
1. Déterminer toutes les matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) commutant avec toutes les matrices symétriques.
Correction
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que
Alors en particulier
i.e., en notant \(C_1, ..., C_n\) les colonnes de \(A\) et \(L_1, ..., L_n\) ses lignes,
Ainsi
Puis nous avons également
i.e.
Donc en position \(i,j\) nous avons d'un côté \(a_{ii}\) et de l'autre \(a_{jj}\) :
Par conséquent \(A = \lambda I_n\) avec \(\lambda \in \mathbb{K}\). Réciproquement toute matrice de cette forme commute avec toutes les matrices symétriques.
2. Déterminer toutes les matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Correction
Exercice 6
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). On appelle trace de la matrice \(A\) le scalaire noté \(\text{Tr}(A)\) défini par la somme des éléments diagonaux de la matrice \(A\) :
1. Soit \(A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\). Calculer \(\text{Tr}(A)\).
Correction
2. Soit \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\). Montrer que
Correction
3. De même montrer que
Correction
4. En déduire qu'il n'existe pas de matrices \(A,B\) telles que
Correction
Systèmes linéaires⚓︎
Exercices d'apprentissages
Exercice 7
Résoudre, en fonction du paramètre \(m \in \mathbb{C}\), les systèmes suivantes.
1. \((a) \begin{cases} x & - & y & + & z & = & m \\ x & + & my & - & z & = & 1 \\ x & - & y & - & z & = & 1 \end{cases}.\)
Correction
2. \((b) \begin{cases} mx & + & y & + & z & = & 1 \\ x & + & my & + & z & = & m \\ x & + & y & + & mz & = & m^2 \end{cases}.\)
Correction
3. \((c) \begin{cases} mx & + & y & + & z & + & t & = & 1 \\ x & + & my & + & z & + & t & = & m \\ x & + & y & + & mz & + & t & = & m+1 \end{cases}.\)
Correction
Exercice 8
Résoudre le système complexe suivant.
Correction
Le système est équivalent à, par \(L_i \longleftarrow L_i - L_1, 2\leq i\leq n\),
puis à, par \(L_i \longleftarrow L_i - L_2, 3\leq i\leq n\),
puis on obtient, après itérations successives, \(x_n = 0, x_{n-1} = 0, ..., x_2 = 0, x_1 = 1\).
Exercices d'entrainement
Exercice 9
Résoudre le système suivant en fonction des paramètres \(a,b\in \mathbb{K}\).
Correction
On échange les lignes 1 et 3 pour avoir un pivot non nul. Le système \((S)\) est équivalent à
On effectue ensuite les opérations \(L_2 \longleftarrow L_2 - L_1, L_3 - aL_1\). Le système est alors équivalent à
Pour ne pas avoir à faire d'hypothèses sur \(a,b\), on effectue les opérations \(C_2 \longleftrightarrow C_3\). Le système est alors équivalent à
On effectue alors l'opération \(L_3 \longleftarrow L_3 - L_2\). Le système est alors équivalent à
i.e.
Ainsi le système admet une solution si et seulement si \(b = 0\) ou \(a=1\). Dans le premier cas le système devient équivalent à
qui admet une solution si et seulement si \(a\neq 1\) et dans ce cas les solutions sont donnéee par
Puis dans le second cas où \(a = 1\) le système devient équivalent à
qui admet une solution si et seulement si \(b = 1\) et dans ce cas les solutions sont données par
On peut alors résumer les solutions selon les valeurs de \(a,b\).
Exercice 10
Résoudre le système suivante en fonction des paramètres \(a,b\in \mathbb{R}\).
Correction
On échange les lignes 1 et 3 pour avoir un pivot non nul. Le système \((S)\) est équivalent à
On effectue ensuite les opérations \(L_2 \longleftarrow L_2 - L_1, L_3 - aL_1\)
Exercice d'approfondissement
Exercice 11
Résoudre le système d’équations suivant d’inconnues complexes.
Anneau des matrices carrées⚓︎
Exercices d'apprentissage
Exercice 12
Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leur inverse.
1. \(A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 2 \end{array} \right)\).
Correction
2. \(B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{array} \right).\)
Correction
3. \(C = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{array} \right).\)
Correction
4. \(D = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right).\)
Correction
Exercice 13
Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leur inverse.
1. \(A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -a & & (0) \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & -a \\ (0) & & & 1 \end{array} \right).\)
Correction
2. \(B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & & (1) \\ & \ddots & \\ (0) & & 1 \end{array} \right).\)
Correction
3. \(C = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \dots & n \\ & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & 2 \\ (0) & & & 1 \end{array} \right).\)
Correction
Exercice 14
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Montrer que \(A\) est antisymétrique si et seulement si \(X^T A X = 0\) pour tout \(X \in \mathbb{R}^n\).
Correction
On procède par double implications.
- On suppose que la matrice \(A\) est antisymétrique : \(A^T = - A\). Soit \(X \in \mathbb{R}^n\). Alors
Donc
- Réciproquement on suppose que \(X^T A X = 0\) pour tout \(X \in \mathbb{R}^n\). Alors
Donc \(A^T = - A\) i.e. \(A\) est antisymétrique.
Exercice 15
Déterminer une matrice \(M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})\) telle que
Correction
Exercices d'entrainement
Exercice 16
On considère la matrice
1. Calculer \((A+I_3)^3\).
Correction
Nous avons \((A+I_3)^3 = 0\).
2. En déduire que la matrice \(A\) est inversible et exprimer \(A^{-1}\) en fonction de \(I_3, A, A^2\).
Correction
Les matrices \(A\) et \(I_3\) commutent. Donc nous avons la formule du binôme de Newton
Autrement dit
Donc \(A \in GL_n(\mathbb{R})\) et
3. Pour tout \(n\in \mathbb{N}\), exprimer \(A^n\) en fonction de \(I_3, A, A^2\).
Correction
Soit \(n\in \mathbb{N}\). Alors les matrices \(A+I_n\) et \(I_n\) commutent, donc, par formule du binôme de Newton,
Donc
Exercice 17
On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) à diagonale strictement dominante par rapport aux lignes :
1. Soit \(X \in \mathbb{K}^n\) tel que \(AX = 0_n\). Montrer que \(X = 0\). On pourra introduire la coordonnée \(|X_{i_0}| = \max_{1\leq i\leq n} |X_i|\).
Correction
2. En déduire que la matrice \(A\) est inversible.
Correction
Exercice 18
On considère \(n\in \mathbb{N}\) et
Calculer \(A^n\) de deux manières différentes.
Correction
Exercice 19
On considère \(E\) l'ensemble matriciel défini par
1. Montrer que \(E\) est un anneau commutatif.
Correction
2. Déterminer les éléments inversibles de \(E\).
Correction
3. Déterminer les diviseurs de zéro de \(E\).