Problème 1 : Etude de la fonction \(x \longmapsto \dfrac{x}{\text{sh}(x)}\)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par
\[\forall x\in \mathbb{R}^*, \quad f(x) = \dfrac{x}{\text{sh}(x)}.\]
1.a. Montrer que la fonction \(f\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}^*\).
correction
Les fonctions \(x \longmapsto x\) et \(\text{sh}\) sont de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) et la fonction \(\text{sh}\) ne s'annule qu'en \(x = 0\) donc leur quotient est bien défini sur \(\mathbb{R}^*\) et y est de classe \(C^\infty\).
1.b. Montrer que la fonction est prolongeable par continuité en \(0\). On note alors \(g\) la fonction prolongée. Donner la valeur en \(0\) de ce prolongement.
Correction
Nous avons
\[\dfrac{x}{\text{sh}(x)} \underset{x\to 0}{=} \dfrac{x}{x + \dfrac{x^3}{6} + o(x^4)} = \dfrac{1}{1+\dfrac{x^2}{6} + o(x^3)} \underset{x\to 0}{=} 1 - \dfrac{x^2}{6} + o(x^3).\]
Donc
\[\dfrac{x}{\text{sh}(x)} \underset{x\to 0}{\sim} 1 - \dfrac{x^2}{6} \underset{x\to 0}{\longrightarrow} 1.\]
Ainsi la fonction \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\) par la valeur \(1\).
1.c. Déterminer le développement limité de la fonction \(g\) à l'ordre 5 en \(0\).
Correction
Nous avons de même
\[\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{\text{sh}(x)} & \underset{x\to 0}{=} & \dfrac{x}{x+\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} + o(x^6)} \\ & = & \dfrac{1}{1+\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + o(x^5)} \\ & \underset{x\to 0}{=} & 1 - \dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{120} - o(x^5) + \left( \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + o(x^5) \right)^2 + o(x^5) \\ & \underset{x\to 0}{=} & 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{7 x^4}{360} + o(x^5). \end{array}\]
1.d. Montrer que la fonction \(g\) est de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}\) et préciser les valeurs de \(g'(0)\) et \(g''(0)\).
Correction
La fonction \(g\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^*\) et également en \(0\) car y admet un développment limité à l'ordre 1 avec \(g'(0) = 0\). Puis pour tout \(x\in \mathbb{R}^*\)
\[\begin{array}{rcl} g'(x) & = & \dfrac{\text{sh}(x) - x \text{ch}(x)}{(\text{sh}(x))^2} \\ & \underset{x \to 0}{=} & \dfrac{x + \dfrac{x^3}{6} - x - \dfrac{x^3}{2} + o(x^3)}{(x + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3))^2} \\ & = & \dfrac{- \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^2 + o(x^3)} \\ & = & \dfrac{- \dfrac{x}{3} + o(x)}{1 + o(x)} \\ & \underset{x\to 0}{=} & \left( - \dfrac{x}{3} + o(x) \right) (1+o(x)) \\ & = & - \dfrac{x}{3} + o(x). \end{array}\]
Donc la fonction \(g'\) admet un développement limité à l'ordre 1 en \(0\) donc y est de classe \(C^1\) et \(g''(0) = (g')'(0) = - \dfrac{1}{3}\). Par conséquent la fonction \(g\) est bien de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}\).
2.a. Montrer que
\[\forall t\in \mathbb{R}_+, \quad 0 \leq t \text{ch}(t) - \text{sh}(t) \leq \dfrac{1}{2} (\text{sh}(t))^2.\]
Correction
La fonction \(h_1 : t \longmapsto t \text{ch}(t) - \text{sh}(t)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\) et
\[\forall t\in \mathbb{R}_+, \quad h_1'(t) = \text{ch}(t) + t\text{sh}(t) - \text{ch}(t) = t\text{sh}(t) \geq 0.\]
Donc la fonction \(h_1\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\), d'où
\[\forall t\in \mathbb{R}_+, \quad t \text{ch}(t) - \text{sh}(t) = h_1(t) \geq h_1(0) = 0.\]
Puis la fonction \(h_2 : t\longmapsto \dfrac{1}{2} (\text{sh}(t))^2 - t \text{ch}(t) + \text{sh}(t)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_t\) et
\[\forall t\in \mathbb{R}_+, \quad h_2'(t) = \text{ch}(t) \text{sh}(t) - \text{ch}(t) - t \text{sh(t)} + \text{ch}(t) = (\text{ch}(t) - t) \text{sh}(t) \geq 0\]
car \(\text{ch}(t) - t > 0\) par étude de la fonction différence. Donc la fonction \(h_2\) est croissante, d'où
\[\forall t\in \mathbb{R}_+, \quad \dfrac{1}{2} (\text{sh}(t))^2 - t \text{ch}(t) + \text{sh}(t) = h_2(t) \geq h_2(0) = 0\]
i.e.
\[\forall t\in \mathbb{R}_+, \quad t \text{ch}(t) - \text{sh}(t) \leq \dfrac{1}{2}(\text{sh}(t))^2.\]
2.b. Etudier les variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer que la fonction \(g\) est lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).
Correction
La fonction \(g\) est paire donc il suffit de l'étudier sur \(\mathbb{R}_+\). Nous avons d'après la question précédente
\[\forall t\in \mathbb{R}_+, \quad g'(t) = \dfrac{\text{sh}(t) - t \text{ch}(t)}{(\text{sh}(t))^2} \leq 0.\]
Donc la fonction \(g\) est décroissante sur \(\mathbb{R}_+\). Donc croissante sur \(\mathbb{R}_-\). Nous avons également
\[\forall t\in \mathbb{R}_+, \quad |g'(t)| \leq \dfrac{1}{2}.\]
Donc la fonction \(g\) est \(\dfrac{1}{2}\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}_+\) puis sur \(\mathbb{R}\) par parité.
2.c. Tracer la courbe représentative de la fonction \(g\).
Correction
(insérer une image)
Problème 2 : Développement asymptotique de la suite \((x_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) définie par \(\tan(x_n) = x_n\)
1. Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). Montrer que l'équation
\[\tan(x) = x\]
admet une unique solution, notée \(x_n\), sur l'intervalle \(\left] - \dfrac{\pi}{2} + n\pi, \dfrac{\pi}{2} + n\pi\right[\). Montrer de plus que
\[x_n \in \left] n\pi, \dfrac{\pi}{2} + n\pi\right[.\]
Correction
On considère la fonction \(f : x\longmapsto \tan(x) - x\) défini sur tout intervalle \(\left] - \dfrac{\pi}{2} + n\pi, \dfrac{\pi}{2} + n\pi\right[, n\in \mathbb{N}^*\). La fonction \(f\) y est dérivable comme quotient bien défini de fonctions dérivables et
\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad \forall x \in ~\left] - \dfrac{\pi}{2} + n\pi, \dfrac{\pi}{2} + n\pi\right[, \quad f'(x) = \dfrac{1}{(\text{cos}(x))^2} - 1 \geq 0\]
avec égalité si et seulement si \(x = (n-1) \pi, n\in \mathbb{N}^*\). Donc la fonction \(f\) est strictement croissante sur chaque \(\left] - \dfrac{\pi}{2} + n\pi, \dfrac{\pi}{2} + n\pi\right[, n\in \mathbb{N}^*\) avec
\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad f(x) \underset{x\to (\frac{\pi}{2} + n\pi)^-}{\longrightarrow} +\infty, \quad f(x) \underset{x\to (- \frac{\pi}{2} + n\pi)^+}{\longrightarrow} - \infty.\]
Donc, par théorème des valeurs intermédiaires,
\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad \exists ! x_n \in ~\left] - \dfrac{\pi}{2} + n\pi, \dfrac{\pi}{2} + n\pi\right[, \quad f(x_n) = 0\]
i.e.
\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad \exists ! x_n \in ~\left] - \dfrac{\pi}{2} + n\pi, \dfrac{\pi}{2} + n\pi\right[, \quad \tan(x_n) = x_n.\]
Or nous avons également
\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad f(n\pi) = \tan(n\pi) - n\pi = 0 - n\pi < 0.\]
Donc par stricte croissante de la fonction \(f\)
\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad x_n > n \pi.\]
2. Pour \(n\in \mathbb{N}^*\) on note \(y_n = x_n - n\pi\).
2.a. Montrer que
\[y_n = \dfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \dfrac{1}{x_n} \right).\]
Correction
Nous avons
\[\tan(y_n) = \tan(x_n - n\pi) = \tan(x_n) = x_n.\]
Or \(y_n \in \left]0, \dfrac{\pi}{2} \right[\) et \(x_n > 0\), donc
\[y_n = \arctan(x_n) = \dfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \dfrac{1}{x_n} \right).\]
2.b. En déduire la limite de la suite \(y\) puis déterminer le développement asymptotique de la suite \(x\) à la précision \(n^0 = 1\).
Correction
Nous avons \(x_n > n\pi\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\). Donc \(x_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} +\infty\) et
\[y_n = \dfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \dfrac{1}{x_n} \right) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \dfrac{\pi}{2}.\]
Par conséquent
\[x_n = y_n + n\pi = n \pi + \dfrac{\pi}{2} + o(1).\]
3.a. En utilisant ce qui précède, donner le développement asymptotique de la suite \(\dfrac{1}{x}\) à la précision \(\dfrac{1}{n^2}\).
Correction
Nous avons
\[\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{x_n} & = & \dfrac{1}{n\pi + \dfrac{\pi}{2} + o(1)} \\ & = & \dfrac{1}{n\pi} \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2n} + o\left(\dfrac{1}{n}\right)} \\ & \underset{n\to +\infty}{=} & \dfrac{1}{n\pi} \left( 1 - \dfrac{1}{2n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \\ & = & \dfrac{1}{n\pi} - \dfrac{1}{2\pi n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right). \end{array}\]
3.b. En déduire le développement asymptotique de la suite \(y\) à la précision \(\dfrac{1}{n^2}\).
Correction
Nous avons, comme \(\arctan(h) \underset{h\to 0}{=} h + o(h^2)\),
\[y_n = \dfrac{\pi}{2} - \arctan\left(\dfrac{1}{x_n}\right) \underset{n\to +\infty}{=} \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{2\pi n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right).\]
3.c. En déduire le développement asymptotique de la suite \(x\) à la précision \(\dfrac{1}{n^2}\).
Correction
Nous avons
\[x_n = y_n + n\pi \underset{n\to +\infty}{=} n \pi + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{2\pi n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right).\]
4. Renouveler la méthode précédente pour obtenir le développment asymptotique à la précision \(\dfrac{1}{n^4}\) :
\[x_n \underset{n\to +\infty}{=} n\pi + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{2n^2 \pi} - \left( \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3\pi^2} \right) \dfrac{1}{n^3 \pi} + \left( \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{\pi^2} \right) \dfrac{1}{n^4 \pi} + o\left( \dfrac{1}{n^4} \right).\]
Correction
Nous avons
\[\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{x_n} & = & \dfrac{1}{n \pi + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{2\pi n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right)} \\ & = & \dfrac{1}{n\pi} \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{\pi^2 n^2} + \dfrac{1}{2\pi^2 n^3} + o\left( \dfrac{1}{n^3} \right)} \\ & \underset{n\to +\infty}{=} & \dfrac{1}{n\pi} \left( 1 - \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{\pi^2 n^2} - \dfrac{1}{2\pi^2 n^3} + o\left( \dfrac{1}{n^3} \right) + \left(\dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{\pi^2 n^2} + \dfrac{1}{2\pi^2 n^3} + o\left( \dfrac{1}{n^3} \right) \right)^2 - \left(\dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{\pi^2 n^2} + \dfrac{1}{2\pi^2 n^3} + o\left( \dfrac{1}{n^3} \right) \right)^3 + o \left( \dfrac{1}{n^3} \right) \right) \\ & = & \dfrac{1}{n\pi} \left( 1 - \dfrac{1}{2n} + \left( \dfrac{1}{\pi^2} + \dfrac{1}{4} \right) \dfrac{1}{n^2} - \left( \dfrac{1}{2\pi^2} + \dfrac{1}{\pi^2} + \dfrac{1}{8} \right) \dfrac{1}{n^3} + o\left( \dfrac{1}{n^3} \right) \right) \\ & = & \dfrac{1}{n\pi} - \dfrac{1}{2 \pi n^2} + \left( \dfrac{1}{\pi^3} + \dfrac{1}{4\pi} \right) \dfrac{1}{n^3} - \left(\dfrac{3}{2\pi^3} + \dfrac{1}{8 \pi} \right) \dfrac{1}{n^4} + o\left( \dfrac{1}{n^4} \right). \end{array}\]
Ainsi, comme \(\arctan(h) \underset{h\to 0}{=} h - \dfrac{h^3}{3} + o(h^4)\),
\[\begin{array}{rcl} y_n & = & \dfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \dfrac{1}{x_n} \right) \\ & \underset{n\to +\infty}{=} & \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{2 \pi n^2} - \left( \dfrac{1}{\pi^3} + \dfrac{1}{4\pi} \right) \dfrac{1}{n^3} + \left(\dfrac{3}{2\pi^3} + \dfrac{1}{8\pi} \right) \dfrac{1}{n^4} + o\left( \dfrac{1}{n^4} \right) + \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{n\pi} - \dfrac{1}{2 \pi n^2} + \left( \dfrac{1}{\pi^3} + \dfrac{1}{4\pi} \right) \dfrac{1}{n^3} - \left(\dfrac{3}{2\pi^3}{\pi^3} + \dfrac{1}{8 \pi} \right) \dfrac{1}{n^4} + o\left( \dfrac{1}{n^4} \right) \right)^3 + o\left( \dfrac{1}{n^4} \right) \\ & = & \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{2 \pi n^2} - \left( \dfrac{1}{\pi^3} + \dfrac{1}{4\pi} \right) \dfrac{1}{n^3} + \left(\dfrac{3}{2\pi^3} + \dfrac{1}{8 \pi} \right) \dfrac{1}{n^4} + \dfrac{1}{3 \pi^3 n^3} - \dfrac{1}{2 \pi^3 n^4} + o\left( \dfrac{1}{n^4} \right) \\ & = & \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{2 \pi n^2} - \left( \dfrac{2}{3\pi^3} + \dfrac{1}{4\pi} \right) \dfrac{1}{n^3} + \left(\dfrac{1}{\pi^3} + \dfrac{1}{8 \pi} \right) \dfrac{1}{n^4} + o\left( \dfrac{1}{n^4} \right). \end{array}\]
Par conséquent
\[x_n = n\pi + y_n \underset{n\to +\infty}{=} n \pi + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{2 \pi n^2} - \left( \dfrac{2}{3\pi^3} + \dfrac{1}{4\pi} \right) \dfrac{1}{n^3} + \left(\dfrac{1}{\pi^3} + \dfrac{1}{8 \pi} \right) \dfrac{1}{n^4} + o\left( \dfrac{1}{n^4} \right)\]