Devoir maison 11

Problème 1 : Etude de la fonction \(x \longmapsto \dfrac{x}{\text{sh}(x)}\)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par

\[\forall x\in \mathbb{R}^*, \quad f(x) = \dfrac{x}{\text{sh}(x)}.\]

1.a. Montrer que la fonction \(f\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}^*\).

1.b. Montrer que la fonction est prolongeable par continuité en \(0\). On note alors \(g\) la fonction prolongée. Donner la valeur en \(0\) de ce prolongement.

1.c. Déterminer le développement limité de la fonction \(g\) à l'ordre 5 en \(0\).

1.d. Montrer que la fonction \(g\) est de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}\) et préciser les valeurs de \(g'(0)\) et \(g''(0)\).

2.a. Montrer que

\[\forall t\in \mathbb{R}_+, \quad 0 \leq t \text{ch}(t) - \text{sh}(t) \leq \dfrac{1}{2} \text{sh}(t).\]

2.b. Etudier les variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer que la fonction \(g\) est lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).

2.c. Tracer la courbe représentative de la fonction \(g\).

Problème 2 : Développement asymptotique de la suite \((x_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) définie par \(\tan(x_n) = x_n\)

1. Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). Montrer que l'équation

\[\tan(x) = x\]

admet une unique solution, notée \(x_n\), sur l'intervalle \(\left] - \dfrac{\pi}{2} + n\pi, \dfrac{\pi}{2} + n\pi\right[\). Montrer de plus que

\[x_n \in \left] n\pi, \dfrac{\pi}{2} + n\pi\right[.\]

2. Pour \(n\in \mathbb{N}^*\) on note \(y_n = x_n - n\pi\).

2.a. Montrer que

\[y_n = \dfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \dfrac{1}{x_n} \right).\]

2.b. En déduire la limite de la suite \(y\) puis déterminer le développement asymptotique de la suite \(x\) à la précision \(n^0 = 1\).

3.a. En utilisant ce qui précède, donner le développement asymptotique de la suite \(\dfrac{1}{x}\) à la précision \(\dfrac{1}{n^2}\).

3.b. En déduire le développement asymptotique de la suite \(y\) à la précision \(\dfrac{1}{n^2}\).

3.c. En déduire le développement asymptotique de la suite \(x\) à la précision \(\dfrac{1}{n^2}\).

4. Renouveler la méthode précédente pour obtenir le développment asymptotique à la précision \(\dfrac{1}{n^4}\) :

\[x_n \underset{n\to +\infty}{=} n\pi + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{2n^2 \pi} - \left( \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3\pi^2} \right) \dfrac{1}{n^3 \pi} + \left( \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{\pi^2} \right) \dfrac{1}{2n^4 \pi} + o\left( \dfrac{1}{n^4} \right).\]