Correction

Exercice 1 : Calculs de sommes

Soit \(P\in \mathbb{K}[X]\) scindé à racines \(x_1, ..., x_n\) non nécessairement distinctes. Soit \(a\in \mathbb{K}\) tel que \(P(a) \neq 0\). Calculer les sommes :

1. \(\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{a-x_i}\)

Correction

On va étudier séparément les parties polaires relatives à chaque racine. Soit donc \(\lambda\) une racine du polynôme \(P\), de multiplicité \(m\). Alors on peut factoriser le polynôme \(P\) en

\[P = (X-\lambda)^m Q.\]

Donc en dérivant

\[P' = m(X-\lambda)^{m-1} Q + (X-\lambda)^m Q'.\]

Donc

\[\dfrac{P'}{P} = \dfrac{m}{X-\lambda} + \dfrac{Q'}{Q}.\]

Or \(\lambda\) n'est pas racine du polynôme \(Q\) donc la fraction rationnelle \(\dfrac{Q'}{Q}\) n'admet pas \(\lambda\) pour pôle et \(\dfrac{m}{X-\lambda}\) est la partie polaire de la fration rationnelle \(\dfrac{P'}{P}\) relative à \(\lambda\). Par itérations successives on obtient en notant \(\lambda_1, ..., \lambda_r\) les racines distinctes du polynôme \(P\), on obtient

\[\dfrac{P'}{P} = \sum_{j=1}^r \dfrac{m_i}{X-\lambda_j}.\]

Or quitte à réordonner les \(x_1, ..., x_n\) on peut supposer \(x_1 = ... = x_{m_1} = \lambda_1, x_{m_1+1} = ... = x_{m_1+m_2} = \lambda_2, ..., x_{n-m_r+1} = ... = x_n = \lambda_r\). Donc

\[\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{X-x_i} = \sum_{j=1}^r \sum_{k=\sum_{\ell = 1}^{j-1} m_j +1}^{\sum_{\ell = 1}^j m_j} \dfrac{1}{X-x_k} = \sum_{j=1}^r \sum_{k=\sum_{\ell = 1}^{j-1} m_j +1}^{\sum_{\ell = 1}^j m_j} \dfrac{1}{X-\lambda_j} = \sum_{j=1}^r \dfrac{1}{X-\lambda_j} \sum_{k=\sum_{\ell = 1}^{j-1} m_j +1}^{\sum_{\ell = 1}^j m_j} = \sum_{j=1}^r \dfrac{m_j}{X-\lambda_j} = \dfrac{P'}{P}.\]

Finalement

\[\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{a-x_i} = \dfrac{P'(a)}{P(a)}.\]

2. \(\sum_{i=1}^n \dfrac{x_i}{a-x_i}\)

Correction

Nous avons

\[a \dfrac{P'(a)}{P(a)} - \sum_{i=1}^n \dfrac{x_i}{a-x_i} = a \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{a - x_i} - \sum_{i=1}^n \dfrac{x_i}{a-x_i} = \sum_{i=1}^n \dfrac{a-x_i}{a-x_i} = n.\]

Donc

\[\sum_{i=1}^n \dfrac{x_i}{a-x_i} = n + a \dfrac{P'(a)}{P(a)}.\]

3. \(\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{(a-x_i)^2}\)

Correction

Soit \(i\in \{1, ..., n\}\). Alors

\[\left(\dfrac{P'}{P}\right)' = \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{1}{X - x_i}\right)' = - \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{(X-x_i)^2}.\]

Donc

\[\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{(X-x_i)^2} = - \left(\dfrac{P'}{P}\right)' = - \dfrac{P'' P - (P')^2}{P^2} = \dfrac{(P')^2 - P''P}{P^2}.\]

Par conséquent

\[\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{(a-x_i)^2} = \dfrac{(P'(a))^2 - P''(a) P(a)}{(P(a))^2}.\]

Exercice 2 : Calcul d'une intégrale

On considère la fraction rationnelle

\[F = \dfrac{P}{Q} \quad \text{avec} \quad P = 2X^2 + X + 1, Q = (X^2 + 1)(X^2 + X).\]

1. Déterminer la décomposition en irréductibles du polynôme \(Q\) dans \(\mathbb{C}[X]\) puis dans \(\mathbb{R}[X]\).

Correction

Nous avons la décomposition dans \(\mathbb{C}[X]\)

\[Q = (X^2+1)(X^2 + X) = X(X+1)(X-i)(X+i)\]

et dans \(\mathbb{R}[X]\)

\[Q = X (X+1) (X^2 + 1).\]

2. Effectuer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle \(F\) dans \(\mathbb{C}(X)\).

Correction

Nous avons \(\deg(P) < \deg(Q)\). Donc il existe \(a,b,c,d \in \mathbb{C}\) tels que

\[F = \dfrac{a}{X} + \dfrac{b}{X+1} + \dfrac{c}{X-i} + \dfrac{d}{X+i}.\]

Ainsi en multipliant par \(X,X+1,X-i\) ou \(X+i\) et en évaluant en \(0,-1,i\) ou \(-i\) nous obtenons

\[a = \dfrac{1}{1(-i)i} = 1, \quad b = \dfrac{2-1+1}{-1(-1-i)(-1+i)} = -1, \quad c = \dfrac{-2 + i + 1}{i(i+1)2i} = - \dfrac{i}{2}, \quad d = \dfrac{-2-i+1}{-i(-i+1)(-2i)} = \dfrac{i}{2}.\]

Donc

\[F = \dfrac{1}{X} - \dfrac{1}{X+1} - \dfrac{i}{2(X-i)} + \dfrac{i}{2(X+i)}.\]

3. En déduire sa décomposition en éléments simples dans \(\mathbb{R}(X)\).

Correction

Nous avons alors

\[F = \dfrac{1}{X} - \dfrac{1}{X+1} + \dfrac{-i(X+i) + i(X-i)}{2(X^2+1)} = \dfrac{1}{X} - \dfrac{1}{X+1} + \dfrac{1}{X^2+1}.\]

4. Pour \(A \in [1, +\infty[\) on considère

\[I(A) = \int_1^A \dfrac{2t^2 + t + 1}{(t^2 + 1)(t^2 + t)} dt.\]

4.a. Calculer \(I(A)\) en fonction de \(A\).

Correction

L'intégrale a bien du sens quelque soit \(A \geq 1\) car les pôles de l'intégrant sont \(0\) et \(-1\). Nous avons alors

\[I(A) = \int_1^A F(t) dt = \int_1^A \dfrac{dt}{t} - \int_1^A \dfrac{dt}{t+1} + \int_1^A \dfrac{dt}{t^2+1},\]

avec

\[\int_1^A \dfrac{dt}{t} = \left[ \ln(t) \right]_1^A = \ln(A),\]

\[\int_1^A \dfrac{dt}{t+1} = \left[ \ln(t+1) \right]_1^A = \ln(A+1) - \ln(2)\]

et

\[\int_1^A \dfrac{dt}{t^2+1} = \left[ \arctan(t) \right]_1^A = \arctan(A) - \dfrac{\pi}{4}.\]

Donc

\[I(A) = \ln(A) - \ln(A+1) + \ln(2) + \arctan(A) - \dfrac{\pi}{4} = \ln \left( \dfrac{A}{A+1} \right) + \ln(2) +\arctan(A) - \dfrac{\pi}{4}.\]

4.b. Déterminer la limite \(\lim_{A\to +\infty} I(A)\).

Correction

En faisant tendre \(A\) vers \(+\infty\) nous obtenons

\[\lim_{A\to +\infty} I(A) = 0 + \ln(2) + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \ln(2) + \dfrac{\pi}{4}.\]

Exercice 3 : Décomposition en éléments simples

Soit \(x_1, ..., x_n \in \mathbb{K}\) distincts et \(P = \prod_{k=1}^n (X-x_k)\).

1. Montrer qu'il existe \(a,b\in \mathbb{K}\) et \(A,Q \in \mathbb{K}[X]\) tels que

\[\dfrac{1}{P^2} = \dfrac{a}{X-x_1} + \dfrac{b}{(X-x_1)^2} + \dfrac{A}{Q^2} \quad \text{et} \quad P = (X-x_1) Q.\]

Correction

Nous avons

\[P^2 = \prod_{k=1}^n (X-x_k)^2.\]

Donc par théorème de décomposition en éléments simples il existe \(a_k,b_k \in \mathbb{K}, 1\leq k\leq n\) tels que

\[\dfrac{1}{P^2} = \sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{X-x_k} + \sum_{k=1}^n \dfrac{b_k}{(X-x_k)^2} = \dfrac{a_1}{X-x_1} + \dfrac{b_1}{(X-x_1)^2} + \sum_{k=2}^n \dfrac{a_k}{X-x_k} + \sum_{k=2}^n \dfrac{b_k}{(X-x_k)^2},\]

avec par mise sur le même dénominateur

\[\sum_{k=2}^n \dfrac{a_k}{X-x_k} + \sum_{k=2}^n \dfrac{b_k}{(X-x_k)^2} = \dfrac{A}{\prod_{k=2}^n (X-x_k)^2}, \quad A \in \mathbb{K}[X].\]

Donc, en notant \(a = a_1, b = b_1, Q = \prod_{k=2}^n (X-x_k)\), nous avons

\[\dfrac{1}{P^2} = \dfrac{a}{X-x_1} + \dfrac{b}{(X-x_1)^2} + \dfrac{A}{Q^2}, \quad P = (X-x_1) Q.\]

2. Montrer que \(b(Q(x_1))^2 = 1\) et \(Q(x_1) = P'(x_1)\).

Correction

On mutliplie la première égalité précédente par \((X-x_1)^2\) puis on évalue en \(x_1\) :

\[\dfrac{1}{(Q(x_1))^2} = b\]

ce qui est licite parce que \(x_1\) n'est pas racine du polynôme \(Q\). Donc \(b(Q(x_1)^2) = 1\). Puis on dérive la seconde égalité

\[P' = Q + (X-x_1)Q'\]

et on évalue en \(x_1\) pour obtenir \(P'(x_1) = Q(x_1)\).

3. Montrer que \(((a(X-x_1) + b)Q^2)'(x_1) = 0\).

Correction

Nous notons \(R = (a(X-x_1) + b)Q^2\). Alors

\[\dfrac{a(X-x_1) + b}{(X-x_1)^2} = \dfrac{R}{P^2} + \dfrac{aR}{X-x_1} + \dfrac{bR}{(X-x_1)^2} + A (a(X-x_1) + b)\]

i.e.

\[a(X-x_1) + b = a (X-x_1) R + bR + A(X-x_1)^2(a(X-x_1) + b) = (a (X-x_1)+b)R + A(X-x_1)^2(a(X-x_1) + b).\]

Donc en évaluent en \(x_1\)

\[b = bR(x_1) \quad \text{i.e.} \quad R(x_1) = 1.\]

Puis en dérivant et en évaluant en \(x_1\) nous obtenons

\[a = aR(x_1) + bR'(x_1) + 0 = a + bR'(x_1) \quad \text{i.e.} \quad R'(x_1) = 0.\]

4. Montrer que \(Q'(x_1) = \dfrac{1}{2} P''(x_1)\).

Correction

Nous dérivons deux fois l'expression \(P = (X-x_1) Q\) :

\[P' = Q + (X-x_1)Q', \quad P'' = Q' + Q' + (X-x_1) Q'' = 2 Q' + (X-x_1) Q''.\]

Donc en évaluant en \(x_1\) nous obtenons bien \(Q'(x_1) = \dfrac{1}{2} P''(x_1)\).

5. En déduire la décomposition en élément simple de \(\dfrac{1}{P^2}\).

Correction

Nous avons d'après la question 2

\[b = \dfrac{1}{(Q(x_1))^2} = \dfrac{1}{(P'(x_1))^2}.\]

Puis d'après la question 3

\[0 = ((a(X-x_1) + b)Q^2)'(x_1) = a Q^2(x_1) + 2bQ'(x_1) Q(x_1) = a (P'(x_1))^2 + b P''(x_1) P'(x_1)\]

i.e., en utilisant la question 4,

\[a = - \dfrac{bP''(x_1)}{P'(x_1)} = - \dfrac{P''(x_1)}{(P'(x_1))^3}.\]

Donc nous avons le début de la décomposition en éléments

\[\dfrac{1}{P^2} = - \dfrac{P''(x_1)}{(P'(x_1))^3(X-x_1)} + \dfrac{1}{(P'(x_1))^2 (X-x_1)^2} + \dfrac{A}{Q^2}.\]

Nous avons de même pour les \(x_k, 2\leq k\leq n\)

\[\dfrac{1}{P^2} = - \sum_{k=1}^n \dfrac{P''(x_k)}{(P'(x_k))^3(X-x_k)} + \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(P'(x_k))^2 (X-x_k)^2}.\]

Exercice 4 : Développement limité de la fonction \(\arcsin\)

1. Rappeler l'expression donnant le développement limité à l'ordre 2 en \(0\) de la fonction \(f_1 : x\longmapsto (1+x)^\alpha\) pour \(\alpha \in \mathbb{R}\).

Correction

Nous avons

\[(1+x)^\alpha \underset{x\to 0}{=} 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^2 + o(x^2).\]

2. En déduire le développement limité à l'ordre 2 en \(0\) de la fonction \(x \longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\).

Correction

Il s'agit ici de \(\alpha = - \dfrac{1}{2}\) avec \(-x\) à la place de \(x\) :

\[\dfrac{1}{\sqrt{1-x}} \underset{x\to 0}{=} 1 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{- \dfrac{1}{2}\left( - \dfrac{1}{2} - 1 \right)}{2} x^2 + o(x^2) = 1 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{8} x^2 + o(x^2).\]

3. Déduire de la question précédente le développement limité à l'ordre 5 en \(0\) de la fonction \(\arcsin\).

Correction

La fonction \(\arcsin\) est dérivable sur \(]-1,1[\) de dérivée donnée par

\[\forall x\in ~]-1,1[, \quad \arcsin'(x) = \dfrac{1}{\sin'(\arcsin(x))} = \dfrac{1}{\cos(\arcsin(x))} = \dfrac{1}{\sqrt{1-(\sin(\arcsin(x)))^2}} = \dfrac{1}{1-x^2}.\]

Or, d'après la question précédente,

\[\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \underset{x\to 0}{=} 1 + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{3}{8} x^4 + o(x^4).\]

Donc, par primitivation d'un développement limité,

\[\arcsin(x) \underset{x\to 0}{=} \arcsin(0) + x + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{3}{40} x^5 + o(x^5) = x + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{3}{40} x^5 + o(x^5)..\]

Exercice 5 : Développement limité

1. Soient \(f,g\) deux fonctions de classe \(C^7\) sur \(\mathbb{R}\) impaires qui vérifient

\[f(x) \underset{x\to 0}{\sim} g(x) \underset{x\to 0}{\sim} x.\]

1.a. Justifier que les fonctions \(f\) et \(g\) admettent des développements limités au voisinage de \(0\) à l'ordre 7. Combien de coefficients sont connus ?

Correction

Les fonctions \(f\) et \(g\) sont de classe \(C^7\), donc, d'après la formule de Taylor-Young, les fonctions \(f\) et \(g\) admettent des développements limités à l'ordre 7 en \(0\)

\[f(x) \underset{x\to 0}{=} f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2} x^2 + ... + \dfrac{f^{(7)}(0)}{7!} x^7 + o(x^7) \quad \text{et} \quad g(x) \underset{x\to 0}{=} g(0) + g'(0) x + \dfrac{g''(0)}{2} x^2 + ... + \dfrac{g^{(7)}(0)}{7!} x^7 + o(x^7).\]

Or les fonctions \(f\) et \(g\) sont impaires, donc leurs développements limités également

\[f(x) \underset{x\to 0}{=} f'(0) x + \dfrac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \dfrac{f^{(5)}(0)}{5!} + \dfrac{f^{(7)}(0)}{7!} x^7 + o(x^7) \quad \text{et} \quad g(x) \underset{x\to 0}{=} g'(0) x + \dfrac{g^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \dfrac{g^{(5)}(0)}{5!} x^5 + \dfrac{g^{(7)}(0)}{7!} x^7 + o(x^7).\]

De plus \(f(x) \underset{x\to 0}{\sim} g(x) \underset{x\to 0}{\sim} x\) i.e.

\[f(x) \underset{x\to 0}{=} x + o(x) \quad \text{et} \quad g(x) \underset{x\to 0}{=} x + o(x).\]

Donc par unicité d'un développement limité nous avons \(f'(0) = g'(0) = 1\) autrement dit

\[f(x) \underset{x\to 0}{=} x + \dfrac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \dfrac{f^{(5)}(0)}{5!} + \dfrac{f^{(7)}(0)}{7!} x^7 + o(x^7) \quad \text{et} \quad g(x) \underset{x\to 0}{=} x + \dfrac{g^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \dfrac{g^{(5)}(0)}{5!} x^5 + \dfrac{g^{(7)}(0)}{7!} x^7 + o(x^7).\]

1.b. Justifier que la fonction \(f\circ g - g\circ f\) admet un développement limité à l'ordre 7 en \(0\).

Correction

Les fonctions \(f\circ g\) et \(g\circ f\) admettent des développements limités à l'ordre 7 obtenue par troncature du produit des développements limités. Puis \(f\circ g - g\circ f\) admet un développement limité à l'ordre 7 en \(0\) obtenu par différence des développements limités obtenues.

1.c Le calculer en fonction des développements limités des fonctions \(f\) et \(g\).

Correction

Nous avons

\[(f\circ g)(x) \underset{x\to 0}{=} R(x) + o(x^7) \quad \text{et} \quad (g\circ f)(x) \underset{x\to 0}{=} R(x) + o(x^7)\]

avec \(R\) le polynôme tronqué de degré 7 du produit \(PQ = QP\) où \(P\) et \(Q\) sont les polynômes de degré 7 des développements limités des fonctions \(f\) et \(g\). Donc

\[(f\circ g - g\circ f) (x) \underset{x\to 0}{=} o(x^7).\]

2. Déterminer la limite éventuelle \(\lim_{x\to 0} \dfrac{\text{sh}(\arctan(x)) - \arctan(\text{sh}(x))}{x^7}.\)

Correction

Les fonctions \(f = \text{sh}\) et \(g = \arctan\) sont des fonctions impaires de classe \(C^\infty\). Donc, d'après ce qui précède,

\[\text{sh}(\arctan(x)) - \arctan(\text{sh}(x)) \underset{x\to 0}{=} o(x^7).\]

Autrement dit

\[\lim_{x\to 0} \dfrac{\text{sh}(\arctan(x)) - \arctan(\text{sh}(x))}{x^7} = 0.\]

Problème 1 : Equivalent d'une suite

On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^* \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall x\in \mathbb{R}^*, \quad f(x) = x \text{sh} \left( \dfrac{1}{x} \right).\]

1. Etudier les variations de la fonction \(f\) et sa convexité.

Correction

La fonction \(f\) est paire donc il suffit de l'étudier sur \(]0,+\infty[\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) comme composée et produit de telles fonctions et

\[\forall x \in ~]0,+\infty[, \quad f'(x) = \text{sh}\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{x}{x^2} \text{ch}\left( \dfrac{1}{x} \right) = \text{sh}\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{x} \text{ch}\left( \dfrac{1}{x} \right).\]

Donc la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0,+\infty[\) et

\[\forall x\in ~]0,+\infty[, \quad f''(x) = - \dfrac{1}{x^2} \text{ch}\left(\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{1}{x^2} \text{ch}\left(\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{1}{x^3} \text{sh}\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{x^3} \text{sh}\left(\dfrac{1}{x}\right).\]

Ainsi \(f'' > 0\) sur \(]0,+\infty[\). Donc la fonction \(f\) est strictement convexe sur \(]0,+\infty[\) et la fonction dérivée \(f'\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\). Or

\[\text{sh}\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{x} \text{ch}\left( \dfrac{1}{x} \right) \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} 0.\]

Donc \(f'< 0\) et la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\). Par parité on en déduit que la fonction \(f\) est strictement croissante et strictement convexe sur \(]-\infty,0[\).

2. Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction \(f\).

Correction

Nous avons les variations et la convexité de la fonction \(f\) grâce la question précédente. De plus

\[f(x) \underset{x\to -\infty}{\sim} 1 \underset{x\to -\infty}{\longrightarrow} 1, \quad f(x) \underset{x\to 0}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad f(x) \underset{x\to +\infty}{\sim} 1 \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} 1.\]

On en déduit donc l'allure de la courbe représentation de la fonction \(f\) :

(insérer une image)

3.a. Déterminer un développement asymptotique de la fonction \(f\) en \(+\infty\) en \(o\left( \dfrac{1}{x^2} \right)\).

Correction

Nous avons \(\dfrac{1}{x} \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} 0\) et \(\text{sh}(h) \underset{h\to 0}{=} h + \dfrac{h^3}{6} + o(h^3)\). Donc

\[f(x) \underset{x\to +\infty}{=} x\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{6x^3} + o\left(\dfrac{1}{x^3} \right)\right) = 1 + \dfrac{1}{6x^2} + o\left( \dfrac{1}{x^2} \right).\]

3.b. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) l'équation \(f(x) = \dfrac{n+1}{n}\) admet une unique solution \(u_n \in \mathbb{R}_+^*\).

Correction

Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). Alors \(\dfrac{n+1}{n} \in ~]1,+\infty[\). Or la fonction \(f\) est bijective de \(]0,+\infty[\) dans \(]1,+\infty[\) donc il existe un unique \(u_n \in~]0,+\infty[\) tel que \(f(u_n) = \dfrac{n+1}{n}\).

3.c. Montrer que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) est croissante et déterminer sa limite.

Correction

La fonction \(f\) est strictement décroissante et bijective donc sa fonction réciproque l'est également. De plus nous

\[\dfrac{n+2}{n+1} = \dfrac{(n+2)n}{(n+1)^2} \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{n^2 + 2n}{n^2 + 2n + 1} \dfrac{n+1}{n} < \dfrac{n+1}{n}.\]

Nous avons alors pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\)

\[u_{n+1} = f^{-1} \left( \dfrac{n+2}{n+1} \right) > f^{-1}\left( \dfrac{n+1}{n} \right) = u_n.\]

Donc la suite \(u\) est strictement croissante. De plus, comme \(\lim_{+\infty} f = 1\),

\[u_n = f^{-1}\left( \dfrac{n+1}{n} \right) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \lim_1 f^{-1} = +\infty.\]

Plus précisément nous avons par théorème de la limite monotone

\[u_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}.\]

Si \(\ell \in \mathbb{R}_+^*\) alors par caractérisation séquentielle de la continuité

\[\dfrac{n+1}{n} = f(u_n) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} f(\ell) \in ~]1,+\infty[\]

ce qui ne peut pas. Si \(\ell = 0\) alors par caractérisation séquentielle de la limite

\[\dfrac{n+1}{n} = f(u_n) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \lim_0 f = +\infty\]

ce qui ne peut pas non plus. Par conséquent \(\ell = +\infty\).

3.d. Déterminer un équivalent simple de la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\).

Correction

Nous avons

\[\dfrac{n+1}{n} = f(u_n) = u_n \text{sh}\left( \dfrac{1}{u_n} \right) \underset{n\to +\infty}{=} u_n \left(\dfrac{1}{u_n} + \dfrac{1}{6u_n^3} + o\left( \dfrac{1}{u_n^3} \right) \right) = 1 + \dfrac{1}{6u_n^2} + o\left( \dfrac{1}{u_n^2} \right)\]

i.e.

\[\dfrac{1}{n} = \dfrac{n+1}{n} - 1 \underset{n\to +\infty}{=} \dfrac{1}{6u_n^2} + o\left(\dfrac{1}{u_n^2}\right)\]

i.e.

\[u_n^2 \underset{n\to +\infty}{=} \dfrac{n}{6} + o(n)\]

i.e.

\[\dfrac{u_n^2}{~\dfrac{n}{6}~} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 1\]

i.e.

\[\dfrac{u_n}{~\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{6}}~} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \sqrt{1} = 1.\]

Donc

\[u_n \underset{n\to +\infty}{\sim} \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{6}}.\]

Problème 2 : Recherche de polynômes

On cherche les polynômes \(P \in \mathbb{C}[X]\) tels que \(P(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}\).

1. Soit \(P\in \mathbb{C}[X]\) tel que \(\mathbb{P}(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}\) et \(n = \text{deg}(P)\).

1.a. Que dire si \(n = 0\) ?

Correction

Si \(n = 0\) alors il existe \(c \in \mathbb{C}\) tel que \(P = c\). Or \(c = P(1) \in \mathbb{Q}\) donc \(P = c = \mathbb{Q}\).

1.b. On suppose que \(n\geq 1\). Expliciter le polynômes interpolateur de Lagrange du polynôme \(P\) associés aux entiers \(0, 1, ..., n\).

Correction

Nous avons le polynôme interpolateur de Lagrange \(L\) donné par

\[L = \sum_{k=0}^n P(k) L_k, \quad L_k = \prod_{j=0,j\neq k}^n \dfrac{X-j}{k-j}, 0\leq k\leq n.\]

1.c. En déduire que \(P \in \mathbb{Q}[X]\).

Correction

Pour tout \(k \in \{0, ..., n\}\) nous avons grâce à l'hypothèse \(P(k) \in \mathbb{Q}\), et \(L_k \in \mathbb{Q}[X]\). Donc \(L \in \mathbb{Q}[X]\). Or les polynômes \(P\) et \(L\) sont de degré \(n\) et coïncidnet en \(n+1\) points, donc ils sont égaux

\[P = L \in \mathbb{Q}[X].\]

2. Soit \(P\in \mathbb{Q}[X]\) tel que \(P(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}\). On suppose que \(n \geq 2\).

2.a. Montrer qu'il existe \(c\in \mathbb{Z}^*\) tel que \(cP \in \mathbb{Z}[X]\). On note \(R = cP\).

Correction

Il existe \(a_0, ..., a_n \in \mathbb{Q}\) tels que

\[P = \sum_{k=0}^n a_k X^k.\]

Or pour tout \(k\in \{0, ..., n\}\) il existe \(p_k \in \mathbb{Z}, q_k \in \mathbb{N}^*\) premiers entre eux tels que \(a_k = \dfrac{p_k}{q_k}\). On considère alors \(c = q_0 ... q_n \in \mathbb{N}^*\) et ainsi

\[cP = \sum_{k=0}^n ca_k X^k = \sum_{k=0} \left(\prod_{j=0,j\neq k}^n q_k\right) p_k X^k \in \mathbb{Z}[X].\]

2.b. Montrer que \(R(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}\).

Correction

• Soit \(a \in \mathbb{Q}\). Alors

\[R(a) = cP(a) \in \mathbb{Q}.\]

Donc \(R(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}\).

• Réciproquement soit \(z \in \mathbb{Q}\). Or \(\mathbb{Q} = P(\mathbb{Q})\) et \(cz \in \mathbb{Q}\) donc il existe \(a \in \mathbb{Q}\) tel que \(cz = P(a) = cR(a)\). Ainsi \(z = R(a) \in \mathbb{R}(\mathbb{Q})\). Donc \(\mathbb{Q} \subset R(\mathbb{Q})\).

• En conclusion nous avons bien montré

\[\mathbb{R}(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}.\]

2.c. Montrer qu'il existe un nombre premier \(m\) qui ne divise pas le coefficient dominant du polynôme \(R\).

Correction

Le coefficient dominant du polynôme \(R\) est un entier et l'ensemble des nombres premiers est infini, donc il existe un nombre premier \(m\) qui ne divise pas le coefficient dominant du polynôme \(R\).

2.d. Soit \(\dfrac{p}{q}\) un antécédent, sous forme irréductible, de \(\dfrac{1}{m}\) par \(R\). Montrer que \(m \mid q^n\) puis \(m^n \mid q^n\) et \(m \mid \dfrac{q^n}{m}\).

Correction

Nous avons \(R\left( \dfrac{p}{q} \right) = \dfrac{1}{m}\) i.e. \(mR\left( \dfrac{p}{q}\right) = 1\). On écrit

\[R = \sum_{k=0}^n b_k X^k \in \mathbb{Z}[X].\]

Donc

\[q^n R\left( \dfrac{p}{q} \right) = \sum_{k=0}^n b_k q^n \dfrac{p^k}{q^k} = \sum_{k=0}^n b_k q^{n-k} p^k \in \mathbb{Z}.\]

Ainsi \(m q^n R\left( \dfrac{p}{q} \right) = q^n\) autrement dit \(m \mid q^n\). Puis \(m\) étant un nombre premier, d'après le lemme d'Euclide, \(m\mid q\). Donc \(m^n \mid q^n\) et nous avons également

\[m \mid q^n R\left( \dfrac{p}{q} \right) = \dfrac{q^n}{m} \in \mathbb{Z}.\]

2.e. En déduire une absurdité.

Correction

Nous avons alors

\[m \mid q^n R\left( \dfrac{p}{q} \right) - \sum_{k=0}^{n-1} b_k q^{n-k} p^k = b_n p^n.\]

Or les entiers \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux et \(m\mid q\) donc, d'après le lemme d'Euclide, \(m\mid b_n\) sauf que \(b_n\) est le coefficient dominant du polynôme \(R\) et \(m\) ne divise pas ce coefficient par définition. Nous sommes donc arrivés à une absurdité.

3. Conclure.

Correction

On procède par analyse-synthèse.

• Soit \(P \in \mathbb{C}[X]\) tel que \(P(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}\). Alors d'après la question 1, \(P \in \mathbb{Q}[X]\). Puis d'après la question 2, \(\deg(P) \leq 1\).

• Réciproquement soit \(P\in \mathbb{Q}[X]\) tel que \(\deg(P) \leq 1\). Si \(\deg(P) = 0\) alors nous avons directement \(\mathbb{P}(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}\). Puis si \(\deg(P) = 1\) alors il existe \(a,b\in \mathbb{Q}\) tels que \(P = aX+b\) et \(a \neq 0\). Ainsi \(P(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}\) et pour tout \(c \in \mathbb{Q}\) nous avons

\[c = P\left( \dfrac{c-b}{a} \right) \in P(\mathbb{Q}).\]

• En conclusion les polynômes \(P \in \mathbb{C}[X]\) tels que \(P(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}\) sont exactement les polynômes de degré au plus 1 à cœfficients dans \(\mathbb{R}\).