Cours

Objectifs du programme officiel :

Relations de comparaison : cas des fonctions

Relations de domination, de négligeabilité, d'équivalence en un point $a$ de $\overline{R}$
Liens entre ces relations
Règles usuelles de manipulation
Obtention d'un équivalent par encadrement
Propriétés conservées par équivalence : signe, limite

Développements limites

Développement limité à l'ordre $n$ d'une fonction en un point, unicité des coefficients, troncature
Signe de $f$ au voisinage de $a$
Développement limité en $0$ d'une fonction paire, impaire
Formule de Taylor-Young
Développement limité à tout ordre en $0$ de $\exp, \sin, \cos, \text{sh}, \text{ch}, x\longmapsto \ln(1+x), x\longmapsto \dfrac{1}{1-x}, x\longmapsto (1+x)^\alpha, \arctan$
Développement limité à l'ordre 3 en $0$ de $\tan$
Application à l'étude locale d'une fonction, calculs d'équivalents et de limites, position relative d'une courbe et de sa tangente, détermination d'asymptote
Condition nécessaire, condition suffisante à l'ordre 2 pour un extremum local en un point intérieur

Relation de comparaison : cas des suites

Adaptation rapide aux suites des définitions et résultats relatifs aux fonctions

Problème d'analyse asymptotique

Exemples de développements asymptotiques, dans les cas discret et continu : fonctions réciproques, équations à paramètre, suites récurrentes, suites d'intégrales
Formule de Stirling, traduction comme développement asymptotique de $\ln(n!)$

I. Relations de comparaison des fonctions⚓︎

Définition : Relation de négligeabilité

On considère deux fonctions $f,g : I \longrightarrow \mathbb{K}$ et un point $a\in I$. Alors on dit que la fonction $f$ est négligeable devant la fonction $g$ au voisinage du point $a$ si

\[\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists \delta \in \mathbb{R}_+^*, \quad \forall x\in I, \quad |x-a|\leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x)| \leq \varepsilon |g(x)|.\]

On le note alors $f \underset{x\to a}{=} o(g)$, appelé notation de Landrau.

Exemple

Définition : Relation de négligeabilité en l'infini

On considère deux fonctions $f,g : I \longrightarrow \mathbb{K}$ avec $I$ non majorée. Alors on dit que la fonction $f$ est négligeable devant la fonction $g$ au voisinage de $+\infty$ si

\[\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists A \in \mathbb{R}_+^*, \quad \forall x\in I, \quad x\geq A \quad \Longrightarrow \quad |f(x)| \leq \varepsilon |g(x)|.\]

On le note également $f \underset{x\to +\infty}{=} o(g)$. On définit la même notion pour $x\to-\infty$.

Exemple

Remarque

Nous avons rarement $f \underset{x\to a}{=} o(0)$. Cela signifie que $f = 0$ sur un voisinage de l'élément $a$.

Proposition

On considère deux fonctions $f,g : I \longrightarrow \mathbb{K}$ et un point $a \in \overline{I}$. Alors $f \underset{x\to a}{=} o(g)$ si et seulement s'il existe une fonction $\varepsilon : I \longrightarrow \mathbb{K}$ telle que

\[\varepsilon(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} 0, \quad \text{et} \quad \forall x\in I, \quad f(x) = \varepsilon(x) g(x).\]

Démonstration

Définition : Relation de dominance

On considère deux fonctions $f,g : I\longrightarrow \mathbb{K}$ et un point $a \in I$. Alors on dit que la fonction $f$ est dominée par la fonction $g$ au voisinage du point $a$ si

\[\exists M\in \mathbb{R}_+, \quad \exists \delta \in \mathbb{R}_+^*, \quad \forall x\in I, \quad |x-a| \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x)| \leq M|g(x)|.\]

On le note alors $f \underset{x\to a}{=} O(g)$.

Exemple

Définition : Relation de dominance en l'infini

On considère deux fonctions $f,g : I\longrightarrow \mathbb{K}$ avec $I$ non majorée. On dit alors que la fonction $f$ est dominée par la fonction $g$ au voisinage de $+\infty$ si

\[\exists M\in \mathbb{R}_+, \quad \exists A \in \mathbb{R}_+^*, \quad \forall x\in I, \quad x>A \quad \Longrightarrow \quad |f(x)| \leq M |g(x)|.\]

On le note également $f \underset{x\to +\infty}{=} O(g)$.

Exemple

Proposition

On considère deux fonctions $f,g : I\longrightarrow \mathbb{K}$ et $a\in \overline{I}$. Alors $f \underset{x\to a}{=} O(g)$ si et seulement s'il existe une fonction bornée $\varepsilon : I \longrightarrow \mathbb{K}$ telle que

\[\forall x\in I, \quad f(x) = \varepsilon(x) g(x).\]

Démonstration

Proposition : Croissances comparées usuelles

On considère des réels strictement positifs $\alpha,\beta, \gamma\in \mathbb{R}_+^*$. Alors

\[(\ln(x))^\alpha \underset{x\to+\infty}{=} o(x^\beta), \quad x^\beta \underset{x\to+\infty}{=} o(e^{\gamma x}).\]

Démonstration

Proposition

On considère des fonctions $f,g,h,k : I\longrightarrow \mathbb{K}$ et un élément $a\in \overline{I}$.

$f \underset{x\to a}{=} o(1)$ si et seulement si $f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} 0$.
$f \underset{x\to a}{=} O(1)$ si et seulement si la fonction $f$ est bornée au voisinage du point $a$.
Si $f \underset{x\to a}{=} o(g)$ alors $f \underset{x\to a}{=} O(g)$.
Si $f \underset{x\to a}{=} o(g)$ et $g \underset{x\to a}{=} O(h)$ alors $f \underset{x\to a}{=} o(h)$.
Si $f \underset{x\to a}{=} O(g)$ et $g \underset{x\to a}{=} o(h)$ alors $f \underset{x\to a}{=} o(h)$.
Si $f \underset{x\to a}{=} o(g)$ et $h\underset{x\to a}{=} o(g)$ alors, pour tout $\lambda,\mu \in \mathbb{R}, \lambda f+\mu g \underset{x\to a}{=} o(g)$.
Si $f \underset{x\to a}{=} O(g)$ et $h\underset{x\to a}{=} O(g)$ alors, pour tout $\lambda,\mu \in \mathbb{R}, \lambda f+\mu g \underset{x\to a}{=} O(g)$.
Si $f \underset{x\to a}{=} O(g)$ et $h \underset{x\to a}{=} o(k)$ alors $fh \underset{x\to a}{=} o(gk)$.

Démonstration

Définition : Relation d'équivalence

On considère deux fonctions $f,g : I\longrightarrow{K}$ et un élément $a\in \overline{I}$. Alors on dit que les fonctions $f$ et $g$ sont équivalentes au voisinage du point $a$ si $f-g \underset{x\to a}{=} o(g)$. On le note alors $f\underset{x\to a}{\sim} g$.

Exemple

Remarque

Nous avons rarement $f \underset{x\to a}{\sim} 0$. Cela signifie que $f = 0$ sur un voisinage de l'élément $a$.

Proposition

On considère deux fonctions $f,g : I\longrightarrow{K}$ et un élément $a\in \overline{I}$. Alors $f\underset{x\to a}{\sim} g$ si et seulement s'il existe une fonction $\varphi : I \longrightarrow \mathbb{K}$ telle que

\[\varphi(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} 1, \quad \text{et} \quad \forall x\in I, \quad f(x) = \varphi(x) g(x).\]

Démonstration

Corollaire

On considère deux fonctions $f,g : I\longrightarrow{K}$ et un élément $a\in \overline{I}$. Si la fonction $g$ ne s'annule pas au voisinage du point $a$ alors :

$f \underset{x\to a}{=} o(g)$ si et seulement si $\dfrac{f(x)}{g(x)} \underset{x\to a}{\longrightarrow} 0$,
$f \underset{x\to a}{=} O(g)$ si et seulement si la fonction $\dfrac{f}{g}$ est bornée au voisinage du point $a$,
$f \underset{x\to a}{\sim} g$ si et seulement si $\dfrac{f(x)}{g(x)} \underset{x\to a}{\longrightarrow} 1$.

Démonstration

Corollaire

On considère deux fonctions $f,g : I\longrightarrow{K}$ et un élément $a\in \overline{I}$. Si $f \underset{x\to a}{\sim} g$ alors les fonctions $f$ et $g$ ont le même signe dans un voisinage du point $a$.

Démonstration

Proposition

La relation de négligeabilité est transitive mais ni réflexive ni symétrique.
La relation de domination est transitive et réflexive mais pas symétrique.
La relation d'équivalence est une relation d'équivalence.

Démonstration

Proposition

On considère deux fonctions $f,g : I\longrightarrow{K}$ et un élément $a\in \overline{I}$. Si $f \underset{x\to a}{\sim} g$ alors, pour tout $l\in \mathbb{K}$, $f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} l$ si et seulement si $g(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} l$. De même si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ et $f \underset{x\to a}{\sim} g$ alors $\lim_{x\to a} f(x) = \pm \infty$ si et seulement si $\lim_{x\to a} g(x) = \pm \infty$.

Démonstration

Proposition

On considère trois fonctions $f,g,h : I\longrightarrow \mathbb{R}$ et un élément $a \in \overline{I}$. Si $f\leq g\leq h$ et $f \underset{x\to a}{\sim} h$ alors $f \underset{x\to a}{\sim} g$.

Démonstration

Proposition

On considère des fonctions $f,g,h,k : I\longrightarrow{K}$ et un élément $a\in \overline{I}$.

Si $f\underset{x\to a}{\sim} g$ et $h\underset{x\to a}{\sim} k$ alors $fh \underset{x\to a}{\sim} gk$.
Si $f\underset{x\to a}{\sim} g, h\underset{x\to a}{\sim} k$ et les fonctions $h$ et $k$ ne s'annulent pas au voisinage du point $a$ alors $\dfrac{f}{h} \underset{x\to a}{\sim} \dfrac{g}{k}$.
Si $f\underset{x\to a}{\sim} g$ et la fonction $f$ est à valeurs strictement positive au voisinage du point $a$ alors la fonction $g$ également et pour tout $\alpha \in \mathbb{R}, f^\alpha \underset{x\to a}{=} g^\alpha$.
Si $f\underset{x\to a}{\sim} g, h\underset{x\to a}{\sim} k$ et les fonctions $g$ et $k$ sont à valeurs positives au voisinage du point $a$ alors $f+h\underset{x\to a}{\sim} g+k$.
Si $f\underset{x\to a}{\sim} g$, la fonction $f$ est à valeurs strictement positives au voisinage du point $a$ et $g(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} l \in \overline{\mathbb{R}}\backslash \{1\}$ alors $\ln(f) \underset{x\to a}{\sim} \ln(g)$.
$e^f \underset{x\to a}{\sim} e^g$ si et seulement si $f(x) - g(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} 0$.

Démonstration

Exemple

Remarque

Sans hypothèse de positivité, nous ne pouvons pas en général additionner des équivalents.

Exemple

Proposition

On condidère des fonctions $f,g : I \longrightarrow \mathbb{K}, \varphi : J \longrightarrow \mathbb{R}$ tel que $\varphi(J) \subset I$, et $a \in \overline{J}$. Si $\varphi \underset{a}{\longrightarrow} b \in \overline{I}$ et $f\underset{b}{\sim} g$ alors $f\circ \varphi \underset{a}{\sim} g\circ \varphi$.

Démonstration

Exemple

Remarque

On ne peut pas en général la composition par la gauche ne conserve pas l'équivalence. Autrement dit, avec les notations qu'il faut, $f \underset{a}{\sim} g$ n'implique pas que $\varphi \circ f \underset{a}{\sim} \varphi \circ g$.

Exemple

Proposition

On considère une fonction $f : I\longrightarrow \mathbb{K}$ et un élément $a \in \overline{I}$. Si la fonction $f$ est dérivable en $a$ de dérivée $f'(a)$ non nulle alors

\[f(x) - f(a) \underset{x\to a}{\sim} f'(a) (x-a).\]

Démonstration

Proposition : Equivalences usuelles

Soit $P = \sum_{k=0}^d a_k X^k \in \mathbb{K}[X]$. Alors $P(x) \underset{x\to \pm \infty}{\sim} a_d x^d$.
Soit $P = \dfrac{\sum_{k=0}^m a_k X^k}{\sum_{\ell = 0}^n b_k X^k} \in \mathbb{K}(X)$. Alors $P(x) \underset{x\to \pm \infty}{\sim} \dfrac{a_m}{b_n} x^{m-n}$.
$\sin(x) \underset{x\to 0}{\sim} x$.
$\cos(x) \underset{x\to 0}{\sim} 1 - \dfrac{x^2}{2}$.
$(1+x)^\alpha \underset{x\to 0}{\sim} 1 + \alpha x$.
$\ln(1+x) \underset{x\to 0}{\sim} x$.
$e^x \underset{x\to 0}{\sim} x+1$.
$\tan(x) \underset{x\to 0}{\sim} x$.

Démonstration

II. Développements limités⚓︎

Définition : Développement limité en un point fini

On considère une fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$. Alors on dit que la fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n \in \mathbb{N}$ au point $a \in \overline{I}, a\neq \pm +\infty$ s'il existe un polynôme $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \mathbb{K}_n[X]$ telle que

\[f(x) \underset{x\to a}{=} P(x-a) + o((x-a)^n) = \sum_{k=0}^n a_k (X-a)^k + o((x-a)^n).\]

Exemple

Remarque

Le développement limité de la fonction $f$ à l'ordre $n$ au point $a$ peut se ramener à celui de la fonction $h \longmapsto f(a+h)$ au point $0$.

Remarque

On appelle forme normalisée d'un dévveloppement limité la forme

\[f(x) = (x-a)^p \left( \sum_{k=p}^n a_k (X-a)^{k-p} + o((x-a)^{n-p}) \right),\]

avec $a_0 = ... = a_{p-1} = 0$ et $a_p \neq 0$. Dans ce cas et si $a \neq \pm \infty$ alors nous avons

\[f(x) \underset{x\to a}{\sim} a_p (x-a)^p.\]

Définition : Développement limité en $\pm \infty$

On considère une fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$. Alors on dit que la fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n \in \mathbb{N}$ en $\pm +\infty$ s'il existe un polynôme $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \mathbb{K}_n[X]$ telle que

\[f(x) \underset{x\to \pm \infty}{=} P\left( \dfrac{1}{x} \right) + o\left( \dfrac{1}{x^n} \right) = \sum_{k=0}^n a_k \dfrac{1}{X^k} + o\left( \dfrac{1}{x^n} \right).\]

Exemple

Proposition

On considère une fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$. Si la fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n\in \mathbb{N}$ au point $a\in \overline{I}$ alors ce dernier est unique.

Démonstration

Corollaire

On considère une fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$. Si la fonction $f$ admet un développement limité $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ à l'ordre $n\in \mathbb{N}$ au voisinage du point $a\in \overline{I}$ alors, pour tout $p\in \{0,..., n\}$, la fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $p$ au voisinage du point $a$ donné par le polynôme tronqué $\sum_{k=0}^p a_k X^k.$

Démonstration

Proposition

On considère une fonction réel $f : I\longrightarrow \mathbb{R}$. Si la fonction $f$ admet un développement limité $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ à l'ordre $n\in \mathbb{N}$ au voisinage du point $a\in \overline{I}$ alors le signe de la fonction $f$ au voisinage du point $a$ est celui du premier terme non nul $a_i$ pour $i = \min\{k\in \{0, ..., n\}, a_i \neq 0\}$.

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une fonction $f : I\longrightarrow \mathbb{K}$ avec $I$ intervalle centré autour de $0$. Si la fonction $f$ est paire (respectivement impaire) et admet un développement limité $P$ à l'ordre $n \in \mathbb{N}$ en $0$ alors la fonction $P$ est également paire (respectivement impaire).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère la fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$.

La fonction $f$ admet un développement limité d'ordre 0 au point $a \in \overline{I}$ si et seulement si la fonction $f$ est continue au point $a \in I$ ou est prolongeable par continuité en $a \in \partial I$ (les bords de l'intervalle de $I$).
La fonction $f$ admet un développement limité d'ordre 1 au point $a \in \overline{I}$ si et seulement si la fonction $f$ est dérivable au point $a \in I$ ou admet un prolongement dériable en $a \in \partial I$.

Démonstration

Exemple

Remarque

Le résultat précédent n'est pas vérifié pour la dérivée seconde.

Exemple

Proposition

On considère deux fonctions $f,g : I\longrightarrow \mathbb{K},$ avec $0\in I,$ et deux éléments $\lambda,\mu \in \mathbb{K}$. Si les fonctions $f$ et $g$ admettent des développements limités $P,Q$ d'ordre $n \in \mathbb{N}$ en $0$ alors les fonctions $\lambda f + \mu g$ et $fg$ admettent des développements limités à l'ordre $n$ en $0$ donnés par

\[\lambda f + \mu g \underset{x\to 0}{=} \lambda P + \mu Q + o(x^n), \quad fg \underset{x\to 0}{=} R + o(x^n),\]

avec $R \in \mathbb{K}_n[X]$ la troncature du polynôme $PQ$ à l'ordre $n$ en $0$.

Démonstration

Exemples

Remarque

Proposition

On considère deux fonctions $f,g : I\longrightarrow \mathbb{K},$ avec $0\in I,$. Si :

les fonctions $f$ et $g$ admettent des développements limités $P,Q$ d'ordre $n \in \mathbb{N}^*$ en $0$,
la fonction $g$ est à valeurs réelles,
$g(0) = Q(0) = 0$,

alors la fonction $f\circ g$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ donné par

\[(f\circ g) (x) \underset{x\to 0}{=} R(x) + o(x^n),\]

avec $R \in \mathbb{K}_n[X]$ la troncature du polynôme $P\circ Q$ à l'ordre $n$ en $0$.

Démonstration

Exemple

Remarque

(On privilégie la factorisation par le terme prépondérant pour prévoir l’ordre d’un développement ?)

Corollaire

On considère une fonction $f : I\longrightarrow \mathbb{K},$ avec $0\in I$. Si :

la fonction $f$ est non nulle au voisinage de $0$,
la fonction $f$ admet un développement limité $n\in \mathbb{N}^*$ en $0$.

Alors nous avons

\[f(x) = f(0) (1-g(x)), \quad g : I \longrightarrow \mathbb{K}, \quad g(0) = 0.\]

Ainsi la fonction

\[\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{f(0)} \dfrac{1}{1-g}\]

admet un dévelopemment limité d'ordre $n$ en $0$ obtenu par composition des développements limités des fonctions $g$ et $u\longmapsto \dfrac{1}{1-u}$.

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux fonctions $f,g : I\longrightarrow \mathbb{K},$ avec $0\in I,$. Si les fonctions $f$ et $g$ admettent des développements limités $P,Q$ à l'ordre $n$ avec $g(0) = Q(0) \neq 0$ alors la fonction $\dfrac{f}{g}$ admet un développement limité $K$ à l'ordre $n$ en $0$ avec $K \in \mathbb{K}[X]$ quotient dans la division euclidienne du polynôme $P$ par le polynôme $Q$.

Démonstration

Exemples

Proposition

On considère deux fonctions $f : I\longrightarrow \mathbb{K},$ avec $0\in I,$. Si la fonction $f$ est de classe $C^1$ au voisinage de $0$ et la fonction $f'$ admet un développement limité $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ à l'ordre $n$ en $0$ alors la fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n+1$ en $0$ donné par

\[f(x) \underset{x\to 0}{=} f(0) + \sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{k+1} x^{k+1} + o(x^{n+1}).\]

Démonstration

Exemple

Théorème : Formule de Taylor-Young

On considère une fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$. Si la fonction $f$ est dérivable $n \in \mathbb{N}^*$ fois au point $a\in I$ alors la fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au point $a$ donné par

\[f(x) \underset{x\to a}{=} \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + o((x-a)^n).\]

Autrement dit la fonction $h\longmapsto f(a+h)$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ donné par

\[f(a+h) \underset{h\to 0}{=} \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!} h^k + o(h^n).\]

Démonstration

Exemples

Corollaire : Développements limités usuelles en 0

$\exp(x) \underset{x\to 0}{=} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} x^k + o(x^n)$
$\cos(x) \underset{x\to 0}{=} \sum_{k=0}^m \dfrac{(-1)^{2k}}{(2k)!} x^{2k} + o(x^{2m})$
$\sin(x) \underset{x\to 0}{=} \sum_{k=0}^m \dfrac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o(x^{2m+1})$
$\text{ch}(x) \underset{x\to 0}{=} \sum_{k=0}^m \dfrac{1}{(2k)!} x^{2k} + o(x^{2m})$
$\text{sh}(x) \underset{x\to 0}{=} \sum_{k=0}^m \dfrac{1}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o(x^{2m+1})$
$\ln(1+x) \underset{x\to 0}{=} \sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k+1} x^{k+1} + o(x^{n+1})$
$\dfrac{1}{1-x} \underset{x\to 0}{=} \sum_{k=0}^n x^k + o(x^n)$
$(1+x)^\alpha \underset{x\to 0}{=} \sum_{k=0}^n \dfrac{\alpha (\alpha - 1) ... (\alpha - k +1)}{k!} x^k + o(x^n)$
$\arctan(x) \underset{x\to 0}{=} \sum_{k=0}^m \dfrac{(-1)^k}{2k+1} x^{2k+1} + o(x^{2m +1})$
$\tan(x) \underset{x\to 0}{=} x + \dfrac{1}{3} x^3 + \dfrac{2}{15} x^5 + o(x^6)$

Démonstration

Corollaire

Nous avons le développement limité suivant à l'ordre 3 :

\[\sqrt{1+x} \underset{x\to 0}{=} 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} x^2 + \dfrac{1}{16} x^3 + o(x^3).\]

Démonstration

Remarque

A partir d'un développement limité d'une fonction en un point, on peut en déduire sa limite ou un équivalent en ce point

Exemple

Remarque

A partir d'un développement limité d'une fonction réelle en un point, on peut en déduire la position relative entre la courbe de la fonction et sa tangente en ce point.

En effet si la fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n\geq 2$ en un point $a \in I$

\[f(x) \underset{x\to a}{=} \sum_{k=0}^n a_k (x-a)^k + o((x-a)^n),\]

alors la fonction $f$ est dérivable en $a$ de dérivée $f'(a) = a_1$ et la tangente au graphe de la fonction $f$ au point $a$ a pour équation

\[y = a_0 + a_1(x-a).\]

Si de plus les $a_k$ sont non tous nuls pour $k \in \{2, ..., n\}$ alors, en désignant $p = \min\{k\in \{2, ..., n\}, a_k \neq 0\}$, nous avons, pour tout $x\in I$,

\[g(x) = f(x) - a_0 -a_1(x-x_0) = (a_p + \varepsilon(x))(x-a)^p, \quad \varepsilon : I \longrightarrow \mathbb{R}, \quad \varepsilon(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} 0.\]

Ainsi pour les $x$ au voisinage du point $a$, le terme $a_p+\varepsilon(x)$ est du signe du terme $a_p \neq 0$ et on peut en déduire la psoition du graphe de $f$ par rapport à la tangente au point $a$ :

Si $p$ est pair et $a_p > 0$ alors $g(x) > 0$ pour les $x$ au voisinage du point $a$ et différent du point $a$ et la courbe est localement au dessus de la tangente.
Si $p$ est pair et $a_p < 0$ alors $g(x) < 0$ pour les $x$ au voisinage du point $a$ et différent du point $a$ et la courbe est localement au dessous de la tangente.
Si $p$ est impair alors le terme $g(x)$ change de signe au voisinage du point $a$, ne s'en annulant qu'au point $a$ dans ce voisinage, et la courbe traverse la tangente au voisinage du point $a$. On dit alors que la fonction $f$ a un point d'inflexion au point $a$ ou que la tangente au point $a$ est une tangente d'inflexion.

Exemple

Remarque

A partir d'un développement limité d'une fonction réelle en l'infini, on peut en déduire l'asymptote de la fonction $f$ en l'infini et sa position par rapport à la courbe.

En effet si la fonction $x\to \dfrac{f(x)}{x}$ admet un développement limité à l'ordre $n\geq 2$ en l'infini

\[\dfrac{f(x)}{x} \underset{x\to +\infty}{=} \sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{x^k}+ o\left( \dfrac{1}{x^n} \right),\]

alors, en supposant que les $a_k$ sont non tous nuls pour $k \in \{2, ..., n\}$ et en notant $p = \min\{k\in \{2, ..., n\}, a_k \neq 0\}$, nous avons

\[f(x) - a_0 x - a_1 \underset{x\to +\infty}{=} \dfrac{a_p}{x^{p-1}}(1+o(1)).\]

Ainsi la droite d'équation

\[y = a_1 + a_0 x\]

est asymptote à la courbe de la fonction $f$ et le signe du terme $a_p$ nous renseigne sur la position de la courbe par rapport à l'asymptote.

Exemples

Proposition

On considère une fonction réelle $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$. Si la fonction $f$ admet un développement limité $P = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ à l'ordre $n \geq 2 au point $a \in \overset{\circ}{I}$ et si :

la fonction $f$ admet un extremum au point $a$ alors $a_1 = 0$,
$a_1 = 0$ et $a_2 > 0$ alors la fonction $f$ admet un minimum local au point $a$,
$a_1 = 0$ et $a_2 < 0$ alors la fonction $f$ admet un maximum local au point $a$.

Démonstration

Exemples

Remarque

On peut également déterminer le développement limité de la fonction réciproque $f^{-1} : J \longrightarrow I$ d'une fonction bijective $f I \longrightarrow J$ en un point $b \in \overline{J}$. Comme la fonction $f$ est bijective, il existe un point $a \in \overline{I}$ tel que $b = f(a)$. On écrit formellement le développement limité

\[f^{-1}(b + h) = f^{-1}(f(a) + h) \underset{h\to 0}{=} a_0 + a_1 h + a_2 h^2 + ... + a_nh^n + o(h^n).\]

Puis on écrit que $f\circ f^{-1} = \text{id}_\mathbb{R}$ et on identifie les coefficients par unicité d'un développement limité.

Exemple

III. Relations de comparaison des suites⚓︎

Définition : Négligeabilité, dominance et équivalence

On considère deux suites $u,v\in \mathbb{K}^\mathbb{N}$ Alors on dit que :

la suite $u$ est négligeable devant la suite $v$ s'il existe une suite $\varepsilon \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$ telle que

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad u_n = \varepsilon_n v_n, \quad \text{et} \quad \varepsilon_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0,\]

ce qu'on note $u_n \underset{n\to +\infty}{=} o(v_n)$,

la suite $u$ est dominée par la suite $v$ s'il existe une suite $M \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$ bornée telle que

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad u_n = M_n v_n,\]

ce qu'on note $u_n \underset{n\to +\infty}{=} O(v_n)$,

les suites $u$ et $v$ sont équivalentes si

\[u_n - v_n \underset{n\to +\infty}{=} o(v_n).\]

Exemples

Remarque

On en déduit les résultats similaires qu'aux sections précédentes.

Remarque

On ne peut en général pas sommer des équivalents ou les composer avec une fonction.

Exemples

Théorème : Formule de Stirling

Nous avons l'équivalent pour la suite $(n!)_{n\in \mathbb{N}}$ :

\[n! \underset{n\to +\infty}{\sim} \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e} \right)^n.\]

Démonstration

Corollaire

Nous avons le développement asymptotique

\[\ln(n!) \underset{n\to +\infty}{=} n \ln(n) - n + \dfrac{1}{2} \ln(n) + \dfrac{1}{2} \ln(2 \pi) + o(1).\]

Démonstration