Exercices

Matrice d'une application

Exercices d'apprentissage

Exercice

Donner les matrices des applications linéaires suivantes dans les bases canoniques correspondantes.

1. \(f : (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \longmapsto (x+y-z, 2x+z) \in \mathbb{R}^2\)

Correction

Nous avons

\[f(e_1) = (1,2) = e_1 + 2e_2, \quad f(e_2) = (1,0) = e_1, \quad f(e_3) = (-1,1) = -e_1 + e_2.\]

Donc

\[M_{ee}(f) = \left( \begin{array}{ccc} M_e(f(e_1)) \quad M_e(f(e_2)) \quad M_e(f(e_3)) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right).\]

2. \(E : P\in \mathbb{R}_3[X] \longmapsto (P(a), P(b), P(c), P(d)) \in \mathbb{R}^4\) pour \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\)

Correction

Nous avons

\[\forall k\in \{0, 1, 2, 3\}, \quad E(X^k) = (a^k,b^k,c^k,d^k).\]

Donc, en notant \(b = (1,X,X^2, X^3)\) et \(e\) la base canonique de \(\mathbb{R}^4\),

\[M_{be} (E) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & a & a^2 & a^3 \\ 1 & b & b^2 & b^3 \\ 1 & c & c^2 & c^3 \\ 1 & d & d^2 & d^3 \end{array} \right).\]

3. \(g : P \in \mathbb{R}_3[X] \longmapsto P(X+1) \in \mathbb{R}_3[X]\)

Correction

Nous avons

\[g(1) = 1, \quad g(X) = X+1, \quad g(X^2) = X^2 + 2 X + 1, \quad g(X^3) = X^3 + 3X^2 + 3X + 1.\]

Donc

\[M_{bb}(g) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right).\]

Exercice

Donner les matrices des endomorphismes suivants dans la base canonique du \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel correspondant.

1. \(f : (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \longmapsto (y-z, z-x, x-y) \in \mathbb{R}^3\)

Correction

2. \(\varphi : aX^2 + bX + c \in \mathbb{R}_2[X] \longmapsto a+bX+cX^2 \in \mathbb{R}_2[X]\)

Correction

Nous avons

\[\varphi(1) = X^2, \quad \varphi(X) = X, \quad \varphi(X^2) = 1.\]

Donc

\[M_b(\varphi) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right).\]

3. \(g : z \in \mathbb{C} \longmapsto (1+i)z \in \mathbb{C}\)

Correction

Nous avons

\[g(1) = 1+i \quad \text{et} \quad g(i) = -1+i.\]

Donc

\[M_{(1,i)} (g) = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \ 1 & 1 \end{array} \right).\]

Exercice

On considère la matrice

\[A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & -3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right);\]

\(e = (e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de l'espace \(\mathbb{R}^3\), \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base \(e\) est la matrice \(A\) et

\[\varepsilon = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) = ((1,1,1), (1,-1, 0), (1,0,1)).\]

1. Montrer que la famille \(\varepsilon\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).

Correction

• Soit \(a,b,c\in \mathbb{R}\) tels que

\[0 = a(1,1,1) + b(1,-1,0) + c(1,0,1) = (a+b+c, a-b, a+c).\]

Donc

\[0 = a+b+c + a-b - (a+c) = a.\]

Puis

\[0 = a-b = -b\]

et

\[0 = a+c = c.\]

Donc la famille est libre.

• Il s'agit d'une famille de \(3 = \text{dim}(\mathbb{R}^3)\) vecteurs.

• Donc il s'agit d'une base.

2. Ecrire la matrice de l'endomorphisme \(f\) dans cette base.

Correction

Nous avons

\[f(\varepsilon_1) = f(1,1,1) = f(e_1) + f(e_2) + f(e_3) = 3e_1 - e_2 + e_3 + e_1 + e_2 + e_3 - 3e_1 + e_2 - e_3 = e_1 + e_2 + e_3 = \varepsilon_1,\]

\[f(\varepsilon_2) = f(e_1) - f(e_2) = 3e_1 - e_2 + e_3 - e_1 - e_2 - e_3 = 2e_1 - 2e_2 = 2 \varepsilon_2\]

et

\[f(\varepsilon_3) = f(e_1) + f(e_3) = 0.\]

Donc

\[M_\varepsilon (f) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right).\]

3. Déterminer une base de \(\text{ker}(f)\) et de \(\text{Im}(f)\).

Correction

Nous avons d'après ce qui précède

\[\text{ker}(f) = \{\lambda_1 \varepsilon_1 + \lambda \varepsilon_2 + \lambda_3 \varepsilon_3, \quad 0 = f(x) = \lambda_1 \varepsilon_1 + 2\lambda_2 \varepsilon_2\} = \text{Vect}(\arepsilon_3).\]

De même

\[\text{Im}(f) = \text{Vect}(f(\varepsilon_1), f(\varepsilon_2), f(\varepsilon_3)) = \text{Vect}(\varepsilon_1, \varepsilon_2).\]

Exercice

On considère le sous-espace \(\mathcal{F}\) de l'espace réel \(C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) engendré par les fonctions

\[c_0 = \cos, \quad c_1 : x\longmapsto x\cos(x), \quad s_0 = \sin, \quad s_1 : x\longmapsto x\sin(x).\]

1. Montrer que l'application de dérivation \(D : f\longmapsto f'\) définit un endomorphisme de l'espace \(\mathcal{F}\).

Correction

L'application \(D\) est linéaire par linéarité de la dérivation. De plus

\[D(c_0) = -s_0, \quad D(c_1) = c_0 - s_1, \quad D(s_0) = c_0, \quad D(s_1) = s_0 + c_1.\]

Donc \(D \in L(\mathcal{F})\).

2. Montrer que la famille \(b = (c_0, c_1, s_0, s_1)\) est une base de l'espace \(\mathcal{F}\).

Correction

La famille est directement génératrice. Soient \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\) tels que

\[0 = ac_0 + bc_1 + cs_0 + ds_1.\]

Donc en \(x = 0\) on obtient

\[0 = a.\]

Puis en \(x = \dfrac{\pi}{2}\) et \(x = -\dfrac{\pi}{2}\)

\[0 = c + \dfrac{\pi}{2} d \quad \text{et} \quad 0 = -c + \dfrac{\pi}{2} d.\]

Donc

\[c = d = 0.\]

Enfin il reste

\[0 = b.\]

Donc la famille est libre. Donc il s'agit d'une base de l'espace \(\mathcal{F}\).

3. Donner la matrice de l'endomorphisme \(D\) dans la base \(b = (c_0, c_1, s_0, s_1)\).

Correction

Nous avons d'après ce qui précède

\[M_b(D) = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right).\]

4. Déterminer, en utilisant ce qui précède, une solution particulière de l'équation différentielle

\[(E) : y'' + 2y' + y = x\cos(x).\]

Correction

Nous cherchons une solution particulière \(y \in \mathcal{F}\) :

\[c_1 = y'' + 2y' + y = D(D(y)) + 2 D(y) + y = (D^2 + 2 D + \text{id}_\mathcal{F})(y).\]

Donc, en notant \(Y = M_b(y)\),

\[\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( M_b(D)^2 + 2 M_b(D) + I_4 \right) Y = 2 \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right) Y.\]

Donc, après calcul de la matrice inverse,

\[Y = \dfrac{1}{2} \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right).\]

Donc

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad y(x) = \dfrac{1}{2} \cos(x) - \dfrac{1}{2} \sin(x) + \dfrac{1}{2} x \sin(x).\]

Exercice

Soient \(E\) un espace vectoriel muni d'une base \(e = (e_1, e_2, e_3)\) et \(f\) l'endomorphisme de l'espace \(E\) tel que

\[A = M_e(f) = \left( \begin{array}{ccc} 2 & - 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right).\]

1. Calculer \(A^2\). Que peut-on en déduire sur l'endomorphisme \(f\) ?

Correction

Nous avons

\[A^2 = A.\]

Donc l'endomorphisme est une projection.

2. Déterminer une base des sous-espaces \(\text{Im}(f)\) et \(\text{ker}(f)\).

Correction

• D'après la question précédente \(\text{Im}(f) = \{x \in E, f(x) = x\}\). Soit \(Y \in \text{Im}(A) = \{X \in \mathbb{R}^3, AX = X\}\). Alors, en notant \(Y = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} )\),

\[\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = Y = AY = \left( \begin{array}{ccccc} 2x & - & y & - & z \\ x & & & - & z \\ x & - & y \end{array} \right)\]

i.e.

\[x - y - z = 0.\]

Ainsi \(\text{Im}(A)\) est un plan de \(\mathbb{R}^3\) de base \(\left(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\right)\). Donc \(\text{Im}(f)\) est un plan de l'espace \(E\) de base

\[(u_1,u_2) = (e_1+e_2, e_1+e_3).\]

• D'après le théorème du rang nous avons

\[\text{dim}(\text{ker}(f)) = 1.\]

On remarque également que le vecteur \(u_3 = e_1 + e_2 + e_3\) vérifie \(u_3 \neq 0\) et \(f(u_3) = 0\). Donc la famille \((u_3)\) est une base du sous-espace \(\text{ker}(f)\).

3. Quelle est la matrice de l'endomorphisme \(f\) relativement à une base adaptée à la supplémentarité des sous-espaces \(\text{Im}(f)\) et \(\text{ker}(f)\) ?

Correction

Nous avons directement

\[M_u(f) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right).\]

Exercice

Soient \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_{pq}(\mathbb{K})\). Montrer que

\[AB = 0_{nq} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{Im}(B) \subset \text{ker}(A).\]

Correction

On procède par double implications :

• On suppose que \(AB = 0_{nq}\). Soit \(Y \in \text{Im}(B)\). Alors il existe \(X \in \mathbb{K}^q\) tel que

\[Y = BX.\]

Donc

\[AY = ABX = 0.\]

Autrement dit \(Y \in \text{ker}(A)\).

• Réciproquement on suppose que \(\text{Im}(B) \subset \text{ker}(A)\). Soit \(X \in \mathbb{K}^q\). Alors \(BX \in \text{Im}(B) \subset \text{ker}(A)\). Donc

\[ABX = 0.\]

Autrement dit l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(AB\) est l'endomorphisme nul. Puis comme l'application \(u \longmapsto M_e(u)\) est une application linéaire entre \(L(\mathbb{K}^q, \mathbb{K}^n)\) et \(\mathcal{M}_{nq}(\mathbb{K})\), on en déduit que

\[AB = 0.\]

Exercices d'entrainement

Exercice

On considère la matrice

\[J = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & & (0) \\ & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & 1 \\ (0) & & 0 \end{array} \right) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).\]

A l'aide des applications linéaires canoniquement associées, calculer \(J^T J\) et \(JJ^T\).

Correction

• On note \(e = (e_1, ..., e_n)\) la base canonique de l'espace \(\mathbb{R}^n\). Alors

\[Je_1 = 0, \quad \forall i\in \{2, ..., n\}, Je_i = e_{i-1}.\]

Et de même

\[\forall i\in \{1, ..., n-1\}, J^T e_i = e_{i+1}, \quad J^T e_n = 0.\]

Ainsi

\[J^T J e_1 = 0, \quad \forall i\in \{2, ..., n\}, \quad J^T J e_i = J^T e_{i-1} = e_i.\]

Donc

\[J^T J = \left( \begin{array}{cc} 0 & (0) \\ (0) & I_{n-1} \end{array} \right).\]

• De même nous avons

\[\forall i\in \{1, ..., n-1\}, \quad JJ^T e_i = Je_{i+1} = e_i, \quad JJ^T e_n = 0.\]

Donc

\[JJ^T = \left( \begin{array}{cc} I_{n-1} & (0) \\ (0) & 0 \end{array} \right).\]

Exercice

On considère \(\omega\) une racine \(n\)-ième de l'unité et

\[F_\omega : P \in \mathbb{C}_{n-1}[X] \longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^{n-1} P(\omega^k) X^k.\]

Montrer que l'application \(F_\omega\) est un automorphisme de \(\mathbb{C}_{n-1}[X]\) et exprimer sa bijection réciproque.

Correction

Exercice

On considère un espace vectoriel réel \(E\) de dimension finie \(n\geq 2\).

1. Indiquer des endomorphismes de l'espace \(E\) dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de l'espace \(E\).

Correction

2. Soit \(e = (e_1, ..., e_n)\) une base de l'espace \(E\). Montrer que pour tout \(i\in \{2, ..., n\}\) la famille \((e_1+e_i, e_2, ..., e_n)\) est une base de l'espace \(E\).

Correction

3. Déterminer tous les endomorphismes de l'espace \(E\) dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases de l'espace \(E\).

Correction

4. Quels sont les endomorphismes de l'espace \(E\) dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de l'espace \(E\) ?

Correction

Exercice

Soient \(n\in \mathbb{N}\) et

\[\varphi : P \in \mathbb{R}_n[X] \longmapsto nXP-(X^2-1)P'.\]

1. Montrer que l'application \(\varphi\) définit un endomorphisme de l'espace \(\mathbb{R}_n[X]\).

Correction

L'application \(\varphi\) est linéaire par bilinéarité du produit et linéarité de la dérivation. Et l'application \(\varphi\) est un endomorphisme car pour tout \(P = a_n X^n + P_1 \in \mathbb{R}_n[X], P_1 \in \mathbb{R}_{n-1}[X]\), nous avons

\[\varphi(P) = na_n X^{n+1} + nXP_1 - (X^2 - 1)(n a_n X^{n-1} + P_1') = nXP_1 - X^2 P_1' + na_nX^{n-1} + P_1' \in \mathbb{R}_n[X].\]

2. Montrer que la famille \(b = (1, X-1, ..., (X-1)^n)\) est une base de l'espace \(\mathbb{R}_n[X]\).

Correction

Il s'agit d'une famille libre car échelonnée en degré et composée de \(n+1 = \text{dim}(\mathbb{R}_n[X])\) vecteurs de l'espace \(\mathbb{R}_n[X]\). Donc il s'agit d'une base.

3. Déterminer la matrice de l'endomorphisme \(\varphi\) dans la base \(b\) précédente.

Correction

Nous avons

\[\varphi(1) = nX = n(X-1) + n.\]

Puis pour \(k\in \{1, ..., n\}\) nous avons

\[\varphi((X-1)^k) = nX(X-1)^k - (X^2 - 1)k(X-1)^{k-1} = n(X-1 +1)(X-1)^k - k (X-1+2) (X-1)^k = n(X-1)^{k+1} + n(X-1)^k -k(X-1)^{k+1} -2k(X-1)^k = (n-k)(X-1)^{k+1} + (n-2k) (X-1)^k.\]

On en déduit alors \(M_b(\varphi)\).

4. L'endomorphisme \(\varphi\) est-il un automorphisme ?

Correction

Exercice

On considère la matrice

\[M = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{array} \right).\]

1. Déterminer le rang de la matrice \(M\) et la dimension de son noyau.

Correction

2. Déterminer le noyau et l'image de la matrice \(M\).

Correction

3. Calculer \(M^n\).

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

Changement de bases

Exercices d'apprentissage

Exercice

On considère \(E\) un espace vectoriel muni d'une base \(e = (e_1, e_2, e_3)\) et \(f \in L(E)\) tel que

\[A = M_e(f) = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right).\]

On considère également

\[\varepsilon = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) = (e_1+e_2-e_3, e_1 - e_3, e_1 - e_2).\]

1. Montrer que la famille \(\varepsilon\) est une base de l'espace \(E\) et écrire la matrice \(D = M_\varepsilon(f)\).

Correction

La famille \(\varepsilon\) est une famille libre de \(3 = \text{dim}(E)\) vecteurs de l'espace \(E\) donc il s'agit d'une base. Nous avons ensuite

\[f(\varepsilon_1) = f(e_1) + f(e_2) - f(e_3) = e_1 + e_2 - e_3 = \varepsilon_1,\]

\[f(\varepsilon_2) = f(e_1) - f(e_3) = 2e_1 - 2e_3 = 2 \varepsilon_2\]

et

\[f(\varepsilon_3) = f(e_1) - f(e_2) = 3 e_1 -3e_2 = 3 \varepsilon_3.\]

Donc

\[M_\varepsilon(f) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right).\]

2. Donner la matrice de passage \(P = P_{e\varepsilon}\) et déterminer \(P^{-1}\).

Correction

Nous avons

\[P = P_{e\varepsilon} = M_{\varepsilon e} (\text{id}_E) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{array} \right).\]

Puis par algorithme du pivot de Gauss on effectue les opérations

\[L_2 \longleftarrow L_2 - L_1\quad \text{et} \quad L_3 \longleftarrow L_3 + L_1\]

pour obtenir

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \quad | \quad \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)\]

puis l'opération

\[L_1 \longleftarrow L_1 + L_2\]

pour obtenir

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \quad | \quad \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)\]

puis les opérations

\[L_1 \longleftarrow L_1 + L_3 \quad \text{et} \quad L_2 \longleftarrow L_2 + 2 L_3\]

pour obtenir

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \quad | \quad \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right).\]

Enfin nous effectuons l'opération

\[L_2 \longleftarrow -L_2\]

pour obtenir

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \quad | \quad \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right).\]

Donc

\[P^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right).\]

3. Quelle relation relie les matrices \(A,D,P, P^{-1}\) ?

Correction

Nous avons par formule de changement de base

\[A = PDP^{-1}.\]

4. Déterminer \(A^n\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\).

Correction

Nous avons pour tout \(n\in \mathbb{N}\)

\[A^n = PD^n P^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)\]

où il ne reste plus qu'à effectuer le produit matriciel.

Exercice

Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et \(f\in L(E)\) tel que

\[f^2 \neq 0 \quad \text{et} \quad f^3 = 0.\]

Montrer qu'il existe une base \(e\) de l'espace \(E\) telle que

\[M_e(f) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right).\]

Correction

Comme \(f^2 \neq 0\) il existe \(e_1 \in \mathbb{E}\) tel que \(f^2(e_1) \neq 0\). On considère \(e_2 = f(e_1)\) et \(e_3 = f(e_2) = f^2(e_1)\). Montrons qu'il s'agit d'une base de l'espace \(E\).

Soit \(a,b,c \in \mathbb{K}\) tels que

\[0 = ae_1+be_2+ce_3 = ae_1 + bf(e_1) + cf^2(e_1).\]

Donc en appliquant l'endomorphisme \(f^2\) et le fait que \(f^3 = 0\)

\[0 = f^2(0) = af^2(e_1) + bf^3(e_1) + c f(f^3(e_1)) = af^2(e_1).\]

Donc, comme \(f^2(e_1) \neq 0\), on en déduit que \(a = 0\). Puis

\[0 = f(0) = bf^2(e_1) + cf^3(e_1) = bf^2(e_1).\]

Donc de même \(b = 0\) et ensuite \(c = 0\). Donc il s'agit d'une famille libre de \(3 = \text{dim}(E)\) vecteurs de l'espace \(E\) donc d'une base. Dans cette base nous avons bien

\[M_e(f) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right).\]

Exercices d'entrainement

Exercice

Soient \(e = (e_1, e_2)\) et \(\varepsilon = (\varepsilon_1, \varepsilon_2)\) deux bases d'un espace vectoriel \(E\) et \(P = P_{e\varepsilon}\) la matrice de massage de la base \(e\) à la base \(\varepsilon\). Pour \(x \in E\) on note

\[u = M_e (x)\quad \text{et} \quad v = M_\varepsilon(x).\]

1. Démontrer la relation entre les vecteurs \(u\) et \(v\).

Correction

2. Soient \(f \in L(E)\) et

\[M = M_e(f)\quad \text{et} \quad N = M_\varepsilon(f).\]

Démontrer la relation entre les matrices \(M\) et \(N\).

Correction

3. Par quelle méthode peut-on calculer \(M^n\) lorsqu'on connaît deux vecteurs propores non colinéaires de la l'endomorphisme \(f\) ? Un vecteur propre est un vecteur non nul \(x \in E\backslash \{0\}\) tel qu'il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que \(f(x) = \lambda x\).

Correction

Exercice

Soient \(E\) un espace vectoriel et \(e = (e_1, e_2, e_3)\) une base de l'espace \(E\). On considère les matrices

\[A = \left( \begin{array}{ccc} 4 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & -1 \end{array} \right) \quad \text{et} \quad D = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right).\]

Soit \(f \in L(E)\) tel que \(M_e(f) = A\).

1. Montrer qu'il existe une base \(\varepsilon = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)\) de l'espace \(E\) telle que \(M_\varepsilon(f) = D\).

Correction

2. Déterminer \(P \in GL_3(\mathbb{K})\) tel que \(A = PDP^{-1}\) et calculer \(P^{-1}\).

Correction

3. Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\).

Correction

4. En déduire le terme général des suites \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}, (y_n)_{n\in \mathbb{N}}\) et \((z_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définies par

\[x_0 = 1, \quad y_0 = 0, \quad z_0 = 0\]

et

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad \begin{cases} x_{n+1} & = & 4x_n & - & 2y_n & - & 2z_n \\ y_{n+1} & = & x_n & - & z_n \\ z_{n+1} & = & 3x_n & - & 2y_n & - & z_n. \end{cases}\]

Correction

Exercice

Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et \(f \in L(E)\) tel que

\[f^3 + f = 0.\]

1. Soit \(x\in E\). Montrer que si \(x = y+z\) avec \(y \in \text{ker}(f)\) et \(z \in \text{ker}(f^2 + \text{id}_E)\) alors

\[y = x+f^2(x) \quad \text{et} \quad z = -f^2(x).\]

Correction

2. Montrer que

\[E = \text{ker}(f) \oplus \text{ker}(f^2 + \text{id}_E).\]

Correction

3. Montrer que

\[\text{dim}(\text{ker}(f^2 + \text{id}_E)) \geq 1.\]

Correction

4. Montrer que pour \(x\in \text{ker}(f^2 + \text{id}_E) \backslash \{0\}\) la famille \((x,f(x))\) est libre dans \(\text{ker}(f^2 + \text{id}_E)\).

Correction

5. (Admettre en attendant le chapitre en question.)Déterminer \(\det(-\text{id}_E)\). En déduire que

\[\text{dim}(\text{ker}(f^2 + \text{id}_E)) = 2.\]

Correction

6. Déterminer une base \(e\) de l'espace \(E\) tel que

\[M_e(f) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right).\]

Correction

Exercice

Soient \(f,g\in L(\mathbb{R}^3)\) tels que

\[f^2 = g^2 = 0 \quad \text{et} \quad f\circ g = g\circ f.\]

Calculer \(f\circ g\).

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soit \(f \in L(\mathbb{R}^3)\) tel que

\[f^3 + f = 0.\]

Montrer que

\[\mathbb{R}^3 = \text{ker}(f) \oplus \text{Im}(f)\]

et qu'il existe une base \(e\) de \(\mathbb{R}^3\) telle que

\[M_e(f) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right).\]

Correction

Rang et matrices équivalentes

Exercices d'apprentissage

Exercice

Déterminr le rang des familles de vecteurs suivantes.

1. \(((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1))\)

Correction

Grâce à l'algoritme du pivot de Gauss nous pouvons déterminer le rang de cette famille et les relations éventuelles entre les vecteurs :

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array}.\]

Nous effectuons l'opération

\[L_2 \longleftarrow L_2 - L_1\]

pour obtenir

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} u_1 \\ u_2-u_1 \\ u_3 \end{array}.\]

Puis l'opération

\[L_3 \longleftarrow L_3 + L_2\]

pour obtenir

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} u_1 \\ u_2-u_1 \\ u_3 + u_2 - u_1 \end{array}.\]

Donc la matrice est inversible et la famille est donc de rang \(3\).

2. \(((2,1,1), (1,2,1), (1,1,2))\)

Correction

3. \(((1,2,1), (1,0,3), (1,1,2))\)

Correction

Exercice

Déterminer le rang des matrices suivantes.

1. \(\left( \begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

Correction

2. \(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \end{array} \right)\)

Correction

Nous avons par opérations sur les lignes

\[L_2 \longleftarrow L_2 + L_1 \quad \text{et} \quad L_3 \longleftarrow L_3 - L_1\]

la matrice équivalente

\[\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{array} \right)\]

puis par les opérations

\[L_2 \longleftarrow -L_3 \quad \text{et} \quad L_3 \longleftarrow L_2\]

la matrice équivalente

\[\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right).\]

Donc la matrice est de rang 3.

3. \(\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)\)

Correction

Exercice

Déterminer le rang des applications linéaires suivantes.

1. \(f : (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \longmapsto (-x+y+z, x-y+z, x+y-z)\)

Correction

2. \(f : (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \longmapsto (x-y, y-z, z-x)\)

Correction

3. \(f : (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \longmapsto (x+y-t, x+z+2t, 2x+y-z+t, -x+2y + z)\)

Correction

Exercice

Soit \(A\) une matrice carrée de rang \(1\). Montrer qu'il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que \(A^2 = \lambda A\).

Correction

Nous avons

\[\text{dim}(Im(A)) = 1.\]

Donc il existe \(Y = AX \in \text{Im}(A) \backslash \{0\}\). Ainsi

\[\text{Im}(A) = \text{Vect}(Y) = \text{Vect}(AX).\]

Puis nous avons également \(A^2X \in \text{Im}(A)\) donc il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que

\[A^2 X = \lambda AX.\]

Puis pour \(U \in \text{ker}(A)\) nous avons également

\[A^2 U = 0 = \lambda AU.\]

Nous concluons grâce au fait que les sous-espaces \(\text{ker}(A)\) et \(\text{Vect}(X)\) sont supplémentaires dans \(E\) :

\[\text{dim}(A) = \text{dim}(\text{ker}(A)) + \text{rg}(A) = \text{dim}(\text{ker}(A)) + \text{dim}(\text{Vect}(X))\]

et pour tout \(U \in \text{ker}(A) \cap \text{Vect}(X)\) : il existe \(\mu \in \mathbb{K}\) tel que \(U = \mu X\), d'où \(0 = AU = \mu AX\) puis \(\mu = 0\) et \(X = 0\).

Exercices d'entrainement

Exercice

Soient \(u,v : \mathbb{R}_n[X] \longrightarrow \mathbb{R}_n[X]\) définies par

\[\forall P \in \mathbb{R}_n[X], \quad u(P) = P(X+1) \quad \text{et} \quad v(P) = P(X-1).\]

1. Déterminer \(\text{rg}(u-v)\) en utilisant sa matrice dans une certaine base.

Correction

2. Retrouver ce résultat d'une autre manière.

Correction

Exercice

Soient \(A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})\) et \(B\in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\) telles que

\[AB = \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}.\]

Déterminer les rangs des matrices \(A\) et \(B\) et calculer \(BA\).

Correction

Exercice

Soit \(H \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) une matrice de rang \(1\).

1. Montrer qu'il existe \(U,V \in \mathcal{M}_{n1}(\mathbb{C})\) tels que

\[H = UV^T.\]

Correction

2. En déduire que

\[H^2 = \text{tr}(H) H.\]

Correction

3. On suppose que \(\text{tr}(H) \neq -1\). Montrer que la matrice \(I_n+ H\) est inversible et que

\[(I_n + H)^{-1} = I_n - \dfrac{1}{1+\text{tr}(H)} H.\]

Correction

4. Soit \(A \in GL_n(\mathbb{C})\) telle

\[\text{tr}(H A^{-1}) \neq -1.\]

Montrer que la matrice \(A + H\) est inversible et que

\[(A+H)^{-1} = A^{-1} - \dfrac{1}{1+\text{tr}(HA^{-1})} A^{-1} H A^{-1}.\]

Correction

Exercice

Soit \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{R})\). Existe-t-il une matrice \(M \in \mathcal{M}_{pn}(\mathbb{R})\) tel que

\[A = AMA \quad ?\]

Correction

Exercice

1. Montrer qu'une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est non inversible si et seulement si elle est équivalente à une matrice nilpotente.

Correction

2. Soit \(f : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathbb{K}\) telle que

\[f(0_{nn}) = 0, \quad f(I_n) \neq 0\]

et

\[\forall A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \quad f(AB) = f(A) f(B).\]

Montrer que

\[\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \quad A \in GL_n(\mathbb{K}) \quad \Longleftrightarrow \quad f(A) \neq 0.\]

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soit \(f : \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \longrightarrow \mathbb{C}\) non constante telle que

\[\forall A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \quad f(AB) = f(A) f(B).\]

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\). Montrer que

\[A \in GL_n(\mathbb{C}) \quad \Longleftrightarrow \quad f(A) \neq 0.\]

Correction

Exercice

Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Montrer que la matrice \(M\) est inversible ou nulle si et seulement si

\[\forall A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \quad \text{rg}(AM) = \text{rg}(MA).\]

Correction

Trace

Exercices d'apprentissage

Exercice

1. Existe-t-il des matrices carrées \(A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que

\[AB - BA = I_n \quad ?\]

Correction

Non car sinon

\[0 = \text{tr}(AB-BA) = \text{tr}(I_n) = n \neq 0.\]

2. A-t-on

\[\forall A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \quad (AB - BA)^2 = AB - BA \quad \Longrightarrow \quad AB = BA \quad ?\]

Correction

Soit $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) tels que \((AB-BA)^2 = AB-BA\). On note \(C = AB - BA\). Donc

\[C^2 = C\]

et on souhaite montrer que \(C = 0\).

La matrice \(C\) est alors la matrice d'un projecteur. Donc la matrice \(P\) est semblable la matrice \(J_r\) avec \(r = \text{rg}(C) \in \{0, ..., n\}\), en notant \(P\) la matrice de passage,

\[J_r = P^{-1}C P = P^{-1} AB P - P^{-1} BA P = A'B' - B' A',\]

en notant \(A' = P^{-1} A P\) et \(B' = P^{-1} B P\). Donc

\[r = \text{tr}(J_r) = 0.\]

Ainsi \(C = 0\) et \(AB = BA\).

Exercice

Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que

\[AB - BA = A.\]

Calculer \(\text{tr}(A^p)\) pour tout \(p\in \mathbb{N}^*\).

Correction

Nous avons pour tout \(p\in \mathbb{N}^*\)

\[\text{tr}(A^p) = \text{tr}((AB-BA)A^{p-1}) = \text{tr}(ABA^{p-1}) - \text{tr}(BAA^{p-1}) = \text{tr}(BA^p) - \text{tr}(BA^p) = 0.\]

Exercice

1. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) tel que

\[\text{tr}(A A^T) = 0.\]

Montrer que \(A = 0_{nn}\).

Correction

2. Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) tels que

\[\forall X\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \quad \text{tr}(AX) = \text{tr}(BX).\]

Montrer que \(A = B\).

Correction

Exercice

Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\geq 1\) et \(f \in L(E)\) de rang \(1\). Montrer que

\[f^2 = \text{tr}(f) f.\]

Correction

Soit \(e_1 \in \text{Im}(f) \backslash \{0\}\). Alors la famille \((e_1)\) est une base du sous-espace \(\text{Im}(f)\) que l'on complète en une base \(e = (e_1, ..., e_n)\) de l'espace \(E\). Alors

\[M_e(f) = \left( \begin{array}{ccc} a_1 & ... & a_n \\ & (0) & \\ (0) & & (0) \end{array} \right).\]

Donc

\[M_e(f^2) = M_e(f)^2 = \left( \begin{array}{ccc} a_1 a_1 & ... & a_1 a_n \\ & (0) & \\ (0) & & (0) \end{array} \right) = a_1 M_e(f) = \text{tr}(M_e(f)) M_e(f) = \text{tr}(f) M_e(f) = M_e(\text{tr}(f) f).\]

Ainsi

\[f^2 = \text{tr}(f) f.\]

Exercice

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n>1\).

1. Montrer que pour \(f \in L(E)\) de rang \(1\), l'endomorphisme \(f\) n'est pas forcément un projecteur.

Correction

2. Montrer que pour \(f\in L(E)\) de rang \(1\) et de trace \(1\), l'endomorphisme est nécessairement un projecteur.

Correction

3. Déterminer une base de l'espace \(L(E)\) constituée de prpjecteurs.

Correction

Exercice

Soit \(p\) un projecteur d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\geq 1\). Montrer que

\[\text{tr}(p) = \text{rg}(p).\]

Correction

Exercice

Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels de dimensions finies \(n,p\) avec \(n>p\). On considère \(u\in L(E,F)\) et \(v \in L(F,E)\) telles que

\[u\circ v = \text{id}_F.\]

1. Montrer que l'endomorphisme \(v\circ u\) est un projecteur.

Correction

2. Déterminer son rang, son image et son noyau.

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

Montrer qu'il existe des matrices \(A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles que

\[(AB - BA)^2 = I_n\]

si et seulement si \(n\) est pair.

Correction

Exercice

1. Soit \(T \in (\mathcal{M}_n(\mathbb{K}))^*\) telle que

\[\forall A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \quad f(AB) = f(BA).\]

Montrer que la forme linéaire \(T\) est proportionnelle à l'application trace.

Correction

2. Soit \(g \in L(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}))\) tel que

\[\forall A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \quad g(AB) = g(BA) \quad \text{et} g(I_n) = I_n.\]

Montrer que l'endomorphisme conserve la trace :

\[\forall M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \quad \text{tr}(g(M)) = \text{tr}(M).\]

Correction

Exercice

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Calculer la trace des endomorphismes suivants de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. \(\varphi : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \longmapsto MA\)

Correction

2. \(\varphi : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \longmapsto AM-MA\)

Correction

3. \(\varphi : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \longmapsto AM+MA\)

Correction

Exercice

Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL_n(\mathbb{R})\) tel que

\[\sum_{g\in G} \text{tr}(g) = 0.\]

Montrer que

\[\sum_{g\in G} g = 0.\]

Correction

Exercice

Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(p_1, ..., p_m\) des projecteurs de l'espace \(E\) tels que

\[p_1 + ... + p_m = \text{id}_E.\]

1. Montrer que

\[\text{dim}(E) = \text{rg}(p_1) + ... + \text{rg}(p_m).\]

Correction

2. Montrer que

\[E = \text{Im}(p_1) \oplus ... \oplus \text{Im}(p_m).\]

Correction

3. Calculer \(p_i \circ p_j\) pour tout \(i,j \in \{1, ..., m\}\).

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

SOient \(A_1, ..., A_k \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles que

\[A_1 + ... + A_k = I_n\]

et

\[\forall i\in \{1, ..., k\}, \quad A_i^2 = A_i.\]

Montrer que

\[\forall i,j\in \{1, ..., k\}, \quad i\neq j\quad \Longrightarrow \quad A_i A_j = 0_{nn}.\]

Correction

Exercice

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) tel que

\[A^p = I_n, \quad p\in \mathbb{N}^*.\]

On considère

\[B = \dfrac{1}{p} \sum_{k=0}^{p-1} A^k.\]

1. Calculer \(AB\).

Correction

2. Vérifier que \(B^2 = B\).

Correction

3. En déduire que

\[\text{dim}(\text{ker}(A-I_n)) = \dfrac{1}{p} \sum_{k=0}^{p-1} \text{tr}(A^k).\]

Correction

Exercice

Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(G\) sous-groupe du groupe \(GL(E)\) de cardinal fini \(n\in \mathbb{N}^*\). Montrer que

\[\text{dim}\left( \bigcap_{g\in G} \text{ker}(g-\text{id}_E) \right) = \dfrac{1}{n} \sum_{g\in G} \text{tr}(g).\]

Correction