Exercices

Généralités

Exercices d'apprentissage

Exercice 1

Déterminer les polynômes \(P\) de \(\mathbb{R}[X]\) vérifiant

\[P(X+1)=P(X).\]

Correction

On considère un polynôme \(P \in \mathbb{R}[X]\) tel que \(P(X+1) = P(X)\). On raisonne avec la fonction polynomiale associée. Alors pour tout \(n\in \mathbb{N}\)

\[P(0) = P(0+1) = P(1) = P(1+1) = P(2) = ... = P(n).\]

Donc le polynôme \(P - P(0)\) admet une infinité de racines (\(\mathbb{N}\)), donc est nul. Autrement dit \(P = P(0)\) est un polynôme constant. Réciproquement tous les polynômes constants vérifient l'égalité souhaité.

Exercice 2

Déterminer les polynômes \(P\in \mathbb{R}[X]\) tels que

\[P(X^2) = (X^2+1)P(X).\]

Correction

On raisonne par rapport au degré.

Exercices d'entrainement

Exercice 3

Soit \((P_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) la suite de polynômes définie par

\[P_1=X−2, \quad P_{n+1}=P_n^2−2, n\in \mathbb{N}^*.\]

Calculer le coefficient de \(X^2\) dans \(P_n\) pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\).

Correction

On considère \(a_n,b_n,c_n\) les coefficients de \(1,X,X^2\). Alors

\[a_1 = -2, \quad b_1 = 1, \quad c_1 = 0.\]

Et, en écrivant \(P_n = A_n X^3 + c_n X^2 + b_n X + a_n\), nous obtenons

\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad a_{n+1} = a_n^2 - 2, \quad b_{n+1} = 2 a_n b_n, \quad c_{n+1} = b_n^2 + 2 a_n c_n.\]

Nous avons alors \(a_2 = 2\) et par récurrence nous montrons que

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geq 2 \quad \Longrightarrow \quad a_n = 2.\]

Donc la suite \((b_n)_{n\geq 2}\) est une suite géométrique de raison \(4\) :

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geq 2 \quad \Longrightarrow \quad b_n = 4^{n-2} b_2 = -4^{n-1}.\]

Ainsi \(c_2 = 1\) et

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geq 2 \quad \Longrightarrow \quad c_{n+1} = 16^{n-1} + 4 c_n.\]

Donc nous pouvons montrer par récurrence que

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geq 2 \quad \Longrightarrow \quad c_n = 4^{n-2} c_2 + \sum_{k=2}^{n-1} 16^{k-1} = 4^{n-2} + \sum_{\ell = 1}^{n-1} 16^\ell = 4^{n-2} + \dfrac{16 - 16^n}{1-16} = 4^{n-2} + \dfrac{16}{15}(16^{n-1} - 1).\]

Exercice 4

1. Pour \(n \in \mathbb{N}\), développer le polynôme

\[(1+X)(1+X^2)(1+X^4)...(1+X^{2^n}).\]

Correction

Nous avons

\[(1-X)(1+X)(1+X^2)(1+X^4)...(1+X^{2^n}) = (1-X^2)(1+X^2)(1+X^4)...(1+X^{2^n}) = (1-X^4)(1+X^4)...(1+X^{2^n}) = ... = 1-X^{2^{n+1}}\]

que l'on peut montrer proprement par récurrence. Donc

\[(1+X)(1+X^2)(1+X^4)...(1+X^{2^n}) = \dfrac{1-X^{2^{n+1}}}{1-X} = \sum_{k=0}^{2^{n+1}-1} X^k.\]

2. En déduire que tout entier \(p \in \mathbb{N}^*\) s’écrit de façon unique comme somme de puissance de 2.

Correction

D'un autre côté nous pouvons également développer ce polynôme directement en

\[(1+X)(1+X^2)(1+X^4)...(1+X^{2^n}) = \sum_{k=0}^{2^{n+1} - 1} a_k X^k,\]

avec pour tout \(k\in \{0, ..., 2^{n+1} - 1\}\), \(a_k\) égal au nombre de façon d'écrire \(k\) comme somme de puissances de \(2\).

Exercice 4

Résoudre les équations suivantes d'inconnue \(P\in \mathbb{K}[X]\).

1. \(P^2 = P\)

Correction

2. \((X^2 + 1)P'' - 6P = 0\)

Correction

On considère \(P\in \mathbb{K}[X]\) tel que \((X^2 + 1) P'' - 6P = 0\). On note \(d = \deg(P)\). Alors il existe \(a_0, ..., a_d\in \mathbb{K}\) avec \(a_d \neq 0\) tels que \(P = \sum_{k=0}^d a_k X^k\).

Donc, pour \(d\geq 2\),

\[P'' = \sum_{k=2}^d k(k-1) a_k X^{k-2}\]

D'où

\[(X^2+1)P'' = \sum_{k=2}^d k (k-1) a_k X^k + \sum_{k=2}^d k(k-1) a_k X^{k-2} = \sum_{k=2}^d k(k-1) a_k X^k + \sum_{k=0}^{d-2} (k+2)(k+1) a_{k+2} X^k = d(d-1) a_d X^d + \sum_{k=2}^{d-2} (k(k-1) a_k + (k+2)(k+1)a_{k+2}) X^k + 6a_3 X + 2 a_2.\]

Ainsi pour le coefficient dominant, comme \(a_d \neq 0\), \(6 = d(d-1)\) i.e. \(d = 3\). L'égalité se réduit donc à

\[6a_3 X^3 + 6a_2 X^2 + 6 a_1 X + 6 a_0 = 6 a_3 X^3 + 6a_3 X + 2 a_2.\]

Autrement dit, par unicité des coefficients, \(a_2 = 0 = a_0\) et \(a_1 = a_3 \in \mathbbk{K}^*\), i.e.

\[P = a_3(X^3 + X).\]

Puis si \(d<2\) alors on trouve nécessairement \(P = 0 = 0(X^3+X)\).

Nous avons donc qu'il existe \(a \in \mathbb{K}\) tel que

\[P = a(X^3 + X).\]

Réciproquement tout polynôme de cette forme vérifie bien l'équation.

Exercices d'approfondissement

Arithmétique

Exercices d'apprentissage

Exercice 5

Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant.

1. \(X−1 \mid X^3−2X^2+3X−2\)

Correction

2. \(X−2 \mid X^3−3X^2+3X−2\)

Correction

3. \(X+1 \mid X^3+3X^2−2\)

Correction

Exercice 6

Vérifier que pour tout $n \in \mathbb{N}^*,

\[(X−1)^2 \mid nX^{n+1}−(n+1)X^n+1.\]

Déterminer le quotient de cette division.

Correction

Exercice 7

Effectuer la division euclidienne de \(A=2X^4+X^3−X^2−X−1\) par \(B=X^3+X^2+X−3\).

Correction

Exercice 8

Soit \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\). Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \(λ,μ\) pour que \(X^2+2\) divise \(X^4+X^3+λX^2+μX+2\).

Correction

Exercice 9

Soient \(A=2X^4+X^3−X^2−X−1\) et \(B=X^3+X^2+X−3\)

1. Déterminer le quotient \(Q\) et le reste \(R\) de la division euclidienne de \(A\) par \(B\).

Correction

2. Déterminer \(A\wedge B\).

Correction

3. Déterminer une identité de Bézout entre \(A\) et \(B\).

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice 10

Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\).

1. Montrer que \(P−X\) divise \(P\circ P−P\).

Correction

2. En déduire que \(P−X\) divise \(P\circ P - X\).

Correction

3. On note \(P^{[n]} = P\circ ... \circ P\) (composition à \(n\) facteurs). Montrer que \(P−X\) divise \(P^{[n]}−X\).

Correction

Exercice 11

Soient $n,m \in \mathbb{N}^*.

1. De la division euclidienne de \(n\) par \(m\), déduire celle de \(X^n−1\) par \(X^m−1\).

Correction

2. En déduire que

\[(X^n−1) \wedge (X^m−1) = X^{n\wedge m}−1.\]

Correction

Exercice 12

Soient \(A,B \in \mathbb{K}[X]\) tels que \(A^2 \mid B^2\). Montrer que \(A \mid B\).

Correction

On décompose

Exercice 13

Soient \(A,B \in \mathbb{K}[X]\) non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes.

1. Les polynômes \(A\) et \(B\) ne sont pas premiers entre eux.

2. Il existe \(U,V \in \mathbb{K}[X]\) non nuls tels que

\[AU+BV=0,\quad \deg(U)< \deg(B), \quad \deg(V)<deg(A).\]

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice 14

1. Soit \(P \in \mathbb{C}[X]\) non nul. Montrer que le nombre \(p\) de ses racines distinctes vérifie

\[p=\deg(P)−\deg(P\wedge P').\]

Correction

2. Soient \(P,Q \in \mathbb{C}[X]\) premiers entre eux et vérifiant que \(R=P+Q\) est non constant. On note \(p, q\) et \(r\) le nombre de racines distinctes des polynômes \(P, Q\) et \(R\). En introduisant le polynôme \(P'Q−Q'P\), montrer que

\[\deg(R) < p+q+r.\]

Correction

3. Soit \(n\in \mathbb{N}\) avec \(n\geq 3\). Déterminer les triplets de polynômes complexes \((P,Q,R)\) tels que

\[P^n+Q^n=R^n.\]

Correction

Fonctions polynomiales et racines

Exercices d'apprentissage

Exercice 15

Montrer qu'il existe un unique polynôme \(P \in \mathbb{R}[X]\) tel que

\[\forall t\in \mathbb{R}, \quad P(\sin(t)) = \sin(3t).\]

L'expliciter.

Correction

Exercice 16

Justifier que tout polynôme réel de degré impair possède au moins une racine réelle.

1. En employant le théorème des valeurs intermédiaires.

Correction

2. En employant le théorème de décomposition en facteurs irréductibles.

Correction

Exercice 17

Soit \(P\in \mathbb{C}[X]\) non nul tel que

\[P(X^2)+P(X)P(X+1)=0.\]

1. Soit \(a\in \mathbb{C}\). Montrer que si \(a\) est une racine du polynôme \(P\) alors \(a^2\) l’est aussi.

Correction

2. En déduire que \(a=0\) ou bien que \(a\) est une racine de l’unité.

Correction

Exercice 18

1. Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange de la fonction \(f(x) = x (x^2 − 1),x\in \mathbb{R}\) relativement aux points \(x_0 = −1, x_1 = 1 et x_2 = 2\).

Correction

2. Même question en rajoutant le point \(x_3 = -2\).

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice 19

On considère un polynôme \(P \in \mathbb{K}[X]\) scindé

\[P = \sum_{k=0}^n a_k X^k = a_n \prod_{j=1}^n(X-x_j).\]

1. Montrer que pour tout \(m\in \{1, ..., n\}\)

\[(-1)^k \dfrac{a_{n-k}}{a_n} = \sum_{1\leq i_1, ..., i_m \leq n} x_{i_1} ... x_{i_m}.\]

Correction

2. Exprimer les relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme de degré 3 scindé.

Correction

3. Résourdre le système

\[\begin{cases} x & + & y & + & z & = & 2 \\ xy & + & yz & + & zx & = & -5 \\ & & & & xyz & = & -6 \end{cases} .\]

Correction

Exercice 20

On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x\in \mathbb{R}\) tel que \(\cos(x) \neq 0\) :

\[f(x) = \dfrac{1}{x}.\]

1. Montrer que, pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), il existe un polynôme \(P_n\) de degré \(n\) et à coefficients positifs tel que

\[f^{(n)} = \dfrac{P_n(\sin)}{(\cos)^{n+1}}.\]

Correction

2. Préciser les polynômes \(P_2\) et \(P_3\).

Correction

3. Calculer \(P_n(1)\) pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\).

Correction

Exercice 21

Soit \(P=a_0+a_1 X+...+a_nX^n \in \mathbb{C}[X]\).

1. Pour \(r\in \mathbb{R}_+^*\) et \(k\in \mathbb{N}\), calculer

\[\int_0^{2\pi} P(re^{it}) e^{-ikt} dt.\]

Correction

2. En déduire que, s’il existe \(M\in \mathbb{R}_+\) tel que

\[\forall z\in \mathbb{C}, \quad |P(z)| \leq M.\]

Alors \(P\) est un polynôme constant.

Correction

3. En déduire également que

\[\forall k\in \{0, ..., n\}, \quad |a_n| \leq \sup_{\mathbb{U}} |P|.\]

On pourra commencer par montrer l'existence de la borne supérieure considérée.

Correction

Exercice 22

Soient \(a,b,c \in \mathbb{K}^*\) distincts. Montrer que le polynôme

\[P = \dfrac{X(X−b)(X−c)}{a(a−b)(a−c)}+\dfrac{X(X−c)(X−a)}{b(b−c)(b−a)}+\dfrac{X(X−a)(X−b)}{c(c−a)(c−b)}\]

peut s’écrire sous la forme

\[P = \lambda (X−a)(X−b)(X−c)+1\]

où \(\lambda \in \mathbb{K}\) à déterminer.

Correction

\(a,b,c\) sont des racines du polynôme \(P - 1\). Donc \(X-a,X-b,X-c \mid P-1\). Or les polynômes \(X-a,X-b,X-c\) sont premiers entre eux, donc \((X-a)(X-b)(X-c) \mid P-1\). On conclut grâce au degré du polynôme \(P\).

Exercice 23

Soient \(p\) et \(q\) deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux. Montrer que

\[(X^p−1)(X^q−1) \mid (X−1)(X^{pq}−1).\]

Correction

On peut raisonner avec les racines. Les racines de \(X^p−1\) sont simples et toutes racines de \(X^{pq}−1\). Les racines de \(X^q−1\) sont simples et toutes racines de \(X^{pq}−1\). En dehors de 1, les racines de \(X^p−1\) et \(X^q−1\) sont distinctes.

Exercices d'approfondissement

Exercice 24

Soient \(A,B \in \mathbb{C}[X]\) non constants tels que

\[\{z\in \mathbb{C}, \quad A(z)=0\} = \{z \in \mathbb{C}, \quad B(z)=0\}\]

et

\[\{z \in \mathbb{C}, \quad A(z)=1\} = \{z\in \mathbb{C}, B(z)=1 \}.\]

Montrer que les polynômes \(A\) et \(B\) sont égaux.

Correction

Exercice 25

Déterminer les polynômes \(P \in \mathbb{C}[X]\) tels que

\[P(1)=1, \quad P(2)=2, \quad P'(1)=3, \quad P'(2)=4, \quad P''(1)=5, \quad P''(2)=6.\]

Correction

Dérivation

Exercices d'apprentissage

Exercice 26

1. Montrer que pour tout entier \(n\in \mathbb{N}\), il existe un unique polynôme \(P_n\in \mathbb{R}[X]\) tel que

\[P_n−P′_n=X^n.\]

Exprimer les coefficients de \(P_n\) à l’aide de nombres factoriels.

Correction

On raisonne en terme de degré pour écrire \(P_n = \sum_{k=0}^n a_k X^k.\) Puis on résout les équations sous-jacentes.

2. En déduire que pour tout polynôme \(Q \in \mathbb{R}[X]\), il existe un unique polynôme \(P \in \mathbb{R}[X]\) tel que

\[P - P' = Q.\]

Correction

Exercice 27

Déterminer tous les polynômes \(P\in \mathbb{R}[X]\) tels que

\[\forall k \in \mathbb{Z}, \quad \int_k^{k+1} P(t) dt = k + 1.\]

Correction

On considère un polynôme \(Q \in \mathbb{R}[X]\) tel que \(Q' = P\). Alors

\[\forall k\in \mathbb{Z}, \quad Q(k+1) - Q(k) = k+1.\]

Une solution est forcément de degré au moins 2. On montre alors que \(Q = \dfrac{1}{2} X(X+1)\) est l'unique solution. Donc

\[P = Q' = X+\dfrac{1}{2}.\]

Exercices d'entrainement

Exercice 28

Soit \(P\in \mathbb{K}[X]\). Montrer que

\[P(X+1) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{n!} P^{(n)}.\]

Correction

Exercice 29

Soit \(P\in \mathbb{R}[X]\). On suppose qu'il existe \(a\in \mathbb{R}\) tel que

\[P(a)>0, \quad \forall k\in \mathbb{N}, P^{(k)}(a)\geq 0.\]

Montrer que le polynôme \(P\) n'admet aucune racine dans \([a,+\infty[\).

Correction

Il suffit d'appliquer la formule de Taylor pour un polynôme.

Exercices d'approfondissement

Exercice 30

On souhaite déterminer tous les polynômes \(P \in \mathbb{R}[X]\) divisibles par leur polynôme dérivé \(P'\).

1. Montrer que les polynômes \(X,X-1, (X+1)^2\) sont solutions.

Correction

2. Montrer que \(n = \deg(P) \geq 1\).

Correction

3. Montrer qu'il existe \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que

\[P = \dfrac{1}{n}(X-\alpha) P'.\]

Correction

4. Soit \(k\in \{0, ..., \}\). Montrer que

\[P^{(k)} = \dfrac{1}{n-k} (X-\alpha) P^{(k+1)}.\]

Correction

5. Montrer que, en notant \(a_n\) le coefficient dominant du polynôme \(P\),

\[P = a_n (X-\alpha)^n.\]

Correction

6. Montrer que tout polynôme \(\lambda (X-\alpha)^n,\) où \(\lambda \in \mathbb{R}^*, \alpha \in \mathbb{R}\) et \(n\in \mathbb{N}\), est solution du problème.

Correction

7. Conclure.

Correction

Polynômes irréductibles et polynômes scindés

Exercices d'apprentissage

Exercice 31

Factoriser dans \(\mathbb{C}[X]\) puis dans \(\mathbb{R}[X]\) les polynômes suivants.

1. \(X^4−1\)

Correction

2. \(X^5−1\)

Correction

3. \((X^2−X+1)^2+1\)

Correction

Exercice 32

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\).

1. Décomposer \(X^n−1\) en facteurs irréductibles dans \(\mathbb{C}[X]\).

Correction

2. Décomposer \(X^n−1\) en facteurs irréductibles dans \(\mathbb{R}[X]\).

Correction

Exercice 33

Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) de degré \(n+1 \in \mathbb{N}^*\) possédant \(n+1\) racines réelles distinctes.

1. Montrer que son polynôme dérivé \(P'\) possède exactement \(n\) racines réelles distinctes.

Correction

2. En déduire que les racines du polynôme \(P^2+1\) sont toutes simples dans \(\mathbb{C}\).

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice 34

Soient \(a \in ~]0,\pi[\) et \(n\in \mathbb{N}^*\). Décomposer en facteurs irréductibles dans \(\mathbb{R}[X]\) le polynôme

\[X^{2n}−2\cos(a)X^n+1.\]

Correction

Exercice 35

Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) on pose \(P_n = \sum_{k=0}^nX^k\).

1. Déterminer la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme \(P_n\) dans \(\mathbb{C}[X]\).

Correction

2. En déduire la valeur de \(\prod_{k=1}^n \sin\left(\dfrac{k \pi}{n+1}\right)\).

Correction

Exercice 36

1. Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) scindé sur \(\mathbb{R}\). Montrer que son polynôme dérivé \(P'\) est scindé ou constant sur \(\mathbb{R}\).

Correction

2. Soit \((a,b,c)\in \mathbb{R}^3\). Montrer que \(X^{10}+aX^9+bX^8+cX^7+X+1\) n’est pas scindé sur \(\mathbb{R}\).

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice 37

Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\).

1. On suppose \(P(x)\geq 0\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\). Montrer qu’il existe deux polynômes \(A,B \in \mathbb{R}[X]\) tels que \(P=A^2+B^2\).

Correction

2. On suppose \(P(x) \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}_+\).Montrer qu’il existe deux polynômes \(A,B \in \mathbb{R}[X]\) tels que \(P=A^2+XB^2\).

Correction

Frations rationnelles

Exercices d'apprentissage

Exercice 38

Soit \(F \in \mathbb{K}(X)\) de représentant irréductible \(\dfrac{P}{Q}\). Montrer que la fraction rationnelle \(F\) est une fonction paire si, et seulement si, les polynômes \(P\) et \(Q\) sont tous deux pairs.

Correction

• On suppose que les polynômes \(P\) et \(Q\) sont pairs. Alors

\[\deg\left( \dfrac{P}{Q} \right) = \deg(P) - \deg(Q)\]

est pair.

• Réciproquement on suppose que la fraction rationnelle \(\dfrac{P}{Q}\) est paire. Alors

\[P \times Q(-X) = P(-X) \times Q.\]

En particulier \(Q \mid P\times Q(-X)\) avec \(Q \wedge P = 1\), donc \(Q \mid Q(-X)\). De même \(Q(-X) \mid Q\). Donc les polynômes \(Q\) et \(Q(-X)\) sont associés : il existe \(\lambda \in \mathbb{K}^*\) tel que \(\lambda Q = Q(-X)\). Or le polynôme \(Q\) est unitaire donc le coefficient dominant de \(Q(-X)\) est donné par \((-1)^n\) avec \(n = \deg(Q)\). Ainsi \(\lambda = (-1)^n\) et \(Q(-X) = (-1)^n Q\).

• Si \(n\) pair alors \(Q(-X) = Q\) et \(P(-X) = P\). Ainsi les deux polynômes sont pairs.

• Si \(n\) impair alors \(Q(-X) = -Q\) et \(P(-X) = - P\). Ainsi les deux polynômes sont impairs ce qui ne peut pas car ils sont premiers entre eux et ne peuvent donc pas être divisibile par \(X\).

Exercice 39

Montrer qu’il n’existe pas de \(F\in \mathbb{K}(X)\) telle que \(F^2=X\).

Correction

Exercice 40

Soient \(p,q \in \mathbb{N}^*\) premiers entre eux. Déterminer les racines et les pôles de la fraction rationnelle

\[F = \dfrac{X^p−1}{X^q−1}\]

en précisant les multiplicités respectives.

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice 41

Soient \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(\omega = e^{i2\pi n}\).

1. Soit \(P \in \mathbb{C}[X]\) un polynôme vérifiant \(P(\omega X)=P\). Montrer qu’il existe un polynôme \(Q \in \mathbb{C}[X]\) tel que \(P=Q(X^n)\).

Correction

$2. En déduire la réduction au même dénominateur de la fraction rationnelle

\[F = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{X+\omega^k}{X-\omega^k}.\]

Correction

Exercice 42

Soit \(F \in \mathbb{K}(X)\) représentée par le quotient \(\dfrac{A}{B}\). On définit la fraction dérivée de \(F\) par

\[F' = \dfrac{A'B−AB'}{B^2}.\]

1. Montrer que la fraction définissant \(F'\) ne dépend pas du quotient \(\dfrac{A}{B}\) représentant \(F\).

Correction

2. Étudier le degré de \(F'\) en fonction de celui de \(F\).

Correction

3. Montrer qu’il n’existe pas de \(F \in \mathbb{K}(X)\) de \(\mathbb{K}(X)\) vérifiant \(F'= \dfrac{1}{X}\).

Correction

Exercice 43

Soit \(F\in \mathbb{K}(X)\). Montrer que

\[\deg(F') < \deg(F)−1 \quad \Longrightarrow \quad \deg(F)=0.\]

Correction

On suppose \(\deg(F') < \deg(F) - 1\). On écrit \(F = \dfrac{A}{B}\). Alors

\[F' = \dfrac{A'B - B'A}{B^2}.\]

Donc

\[\deg(A' B - B' A) - 2\deg(B) < \deg(A) - \deg(B) - 1,\]

i.e., si l'on suppose \(A\) et \(B\) non constants,

\[\deg(A' B - B' A) < \deg(A) + \deg(B) - 1 = \deg(A'B) = \deg(BA').\]

Ainsi les polynômes \(A' B\) et \(B' A\) ont le même coefficient dominant :

\[m a_m b_n = n b_n a_m\]

si on note \(A = a_m X^m + A_1, B = b_n X^n + B_1\). Donc \(n = m\). Ainsi \(\deg(F) = m - n = 0\).

De même si l'on suppose le polynôme \(B\) constant alors \(\deg(A') < \deg(A) - 1\) d'où \(A\) est un polynôme constant. Et si l'on suppose \(A\) constant alors

\[\deg(B) - 2\deg(B') = \deg(F') < \deg(F) - 1 = -\deg(B) - 1,\]

i.e.

\[\deg(B) < \deg(B) - 1\]

i.e. le polynôme \(B\) est constant.

Exercice 44

Soit \(F \in \mathbb{K}(X)\).

1. Soit \(a \in \mathbb{K}\) un zéro d’ordre \(\alpha \in \mathbb{N}^*\) de \(F\). Montrer que \(a\) est un zéro d’ordre \(\alpha−1\) de \(F'\).

Correction

2. Comparer les pôles de \(F\) et de \(F'\), ainsi que leur ordre de multiplicité.

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice 45

Soit \(F\in \mathbb{C}(X)\) telle que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) non pôle de \(F\), \(F(n) \in \mathbb{Q}\).Montrer que \(F\in \mathbb{Q}(X)\).

Correction

Décomposition en éléments simples

Exercices d'apprentissage

Exercice 46

Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes dans \(\mathbb{R}(X)\).

1. \(\dfrac{X^3}{X^2 - 3X + 2}\)

Correction

Nous avons un numérateur de plus grand degré que le dénominateur. Nous effectuons donc la division euclidienne

\[X^3 = (X^2 - 3 X +2)(X + 3) + 9 X - 6.\]

Ainsi

\[\dfrac{X^3}{X^2 - 3 X + 2} = X + 3 + 3 \dfrac{3X - 2}{(X-1)(X-2)},\]

avec l'existence de \(a,b\in \mathbb{R}\) tels que

\[\dfrac{3X - 2}{(X-1)(X-2)} = \dfrac{a}{X-1} + \dfrac{b}{X-2}.\]

On multiplie par \(X-1\) et on évalue en \(1\) :

\[a = \dfrac{3-2}{1-2} = -1.\]

On multiplie par \(X-2\) et on évalue en \(2\) :

\[b = \dfrac{6 - 2}{2-1} = 4.\]

Ainsi

\[\dfrac{X^3}{(X-1)(X-2)} = X+3 - \dfrac{3}{X-1} + \dfrac{12}{X-2}.\]

2. \(\dfrac{X-1}{X^3 - 3X - 2}\)

Correction

Le discriminant associé au dénominateur est \(\Delta = 17\) donc les pôles de cette fraction rationnelle sont

\[x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2}.\]

Ainsi il existe \(a,b\in \mathbb{R}\) tels que

\[\dfrac{X-1}{X^3 - 3X -2} = \dfrac{a}{X-x_1} + \dfrac{b}{X-x_2}.\]

En multipliant par \(X-x_1\) et en évaluant en \(x_1\) on obtient

\[\dfrac{x_1 - 1}{x_1 - x_2} = a + 0.\]

De même en multipliant par \(X-x_2\) et en évaluant en \(x_2\) on obtient

\[\dfrac{x_2 - 1}{x_2 - x_1} = 0 + b.\]

3. \(\dfrac{X}{X^3 - 1}\)

Correction

Exercice 47

Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes dans \(\mathbb{C}(X)\).

1. \(\dfrac{X^2 + 2X + 5}{X^2 - 3X + 2}\)

Correction

2. \(\dfrac{1}{X(X-1)^2}\)

Correction

3. \(\dfrac{3X-1}{X^2(X+1)^2}\)

Correction

Exercice 48

On considère la fraction rationnelle

\[F = \dfrac{1}{X(X+1)}.\]

1. Déterminer la décomposition en éléments simples de \(F\).

Correction

2. En déduire une simplification pour \(n\in \mathbb{N}^*\) de

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}.\]

Correction

3. Procéder de même pour calculer

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}.\]

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice 49

Soit \(n\in \mathbb{N}\)

1. Déterminer la décomposition en éléments simples de

\[\dfrac{n!}{X(X-1) ... (X-n)}.\]

Correction

Il existe \(a_0, ..., a_n \in \mathbb{R}\) tels que

\[\dfrac{n!}{X(X-1) ... (X-n)} = \dfrac{a_0}{X} + \dfrac{a_1}{X-1} + ... + \dfrac{a_n}{X- n}.\]

Soit \(k\in \{0, ..., n\}\). On mutliplie par \(X-k\) et on évalue en \(k\) :

\[a_k = \dfrac{n!}{k(k-1) ... (k-(k-1))(k-(k+1)) ... (k-n)} = \dfrac{n!}{k! (-1)^{n-k} 1 \times 2 \times ... (n-k-1) (n-k)} = \binom{n}{k}(-1)^{n-k}.\]

Ainsi

\[\dfrac{n!}{X(X-1) ... (X-n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{(-1)^{n-k}}{X-k}.\]

2. En déduire une expression simplifée des sommes

\[\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k+1} \binom{n}{k}, \quad \sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{2k+1} \binom{n}{k}.\]

Correction

Pour la première somme on évalue en \(-1\) pour obtenir

\[\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{(-1)^k}{k+1} = -(-1)^n \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{(-1)^{n-k}}{-1-k} = -(-1)^n \dfrac{n!}{(-1)(-2) ... (-1-n)} = \dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{1}{n+1}.\]

Pour la seconde somme on évalue en \(-\dfrac{1}{2}\) pour obtenir

\[\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{(-1)^k}{2k+1} = - \dfrac{(-1)^n}{2} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{(-1)^{n-k}}{-\dfrac{1}{2}-k} = - \dfrac{(-1)^n}{2} \dfrac{n!}{\left(- \dfrac{1}{2}\right) \left( - \dfrac{1}{2} - 1 \right) ... \left( - \dfrac{1}{2} - n \right)} = \dfrac{1}{2} \dfrac{n!2^{n+1}}{1 \times (1+2) ... (2n+1)} = \dfrac{n! 2^n 2 \times 4 \times ... \times (2n)}{(2n+1)!} = \dfrac{4^n (n!)^2}{(2n+1)!}.\]

Exercice 50

Décomposer en éléments simples dans \(\mathbb{C}(X)\) la fraction rationnelle

\[\dfrac{X^{n-1}}{X^n-1}.\]

Correction

Nous avons

\[X^n - 1 = (X-1) (X-\omega) ... (X-\omega^{n-1}), \quad \omega = e^{i \frac{2\pi}{n}}.\]

Donc il existe \(a_0, ..., a_{n-1} \in \mathbb{C}\) tels que

\[\dfrac{X^{n-1}}{X^n - 1} = \dfrac{a_0}{X-1} + \dfrac{a_1}{X-\omega} + ... + \dfrac{a_{n-1}}{X-\omega^{n-1}}.\]

Soit \(k\in \{0, ..., n-1\}\). On multiplie par \(X^n -1\), on dérive et on évalue en \(\omega^k\) :

\[\omega^{k(n-1)} = a_k n \omega^{k(n-1)}\]

i.e. \(a_k = \dfrac{1}{n}\). Ainsi

\[\dfrac{X^{n-1}}{X^n - 1} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{X-\omega^k}.\]

Exercice 51

Soit \(\lambda_1, ..., \lambda_n \in \mathbb{C}\) distincts et \(P = (X-\lambda_1) ... (X-\lambda_n)\). Exprimer en fonction de \(P\) et de ses dérivées les frations rationnelles

\[F = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{X-\lambda_k}, \quad G = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(X-\lambda_k)^2}, \quad H = \sum_{1\leq k,\ell\leq n, k\neq \ell} \dfrac{1}{(X-\lambda_k)(X-\lambda_\ell)}.\]

Correction

Exercice 52

Soit \(P \in \mathbb{C}[X]\) scindé à racines simples \(x_1, ..., x_n \in \mathbb{C}\) non nulles.

1. Déterminer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle \(\dfrac{P'}{P}\).

Correction

Il existe \(\lambda \in \mathbb{C}^*\) tel que

\[P = \lambda (X-x_1) ... (X-x_n).\]

Donc il existe \(\lambda_1, ..., \lambda_n \in \mathbb{C}\) tels que

\[\dfrac{P'}{P} = \dfrac{\lambda_1}{X-x_1} + ... + \dfrac{\lambda_n}{X-x_n}.\]

Soit \(k\in \{1, ..., n\}\). Alors on multiplie par \((X-x) P\)

\[(X-x_k)P' = \lambda_k P + (X-x_k) P Q,\]

avec \(Q = \dfrac{\lambda_1}{X-x_1} + ... + \dfrac{\lambda_{k-1}}{X-x_{k-1}} + \dfrac{\lambda_{k+1}}{X-x_{k+1}} + ... + \dfrac{\lambda_n}{X-x_n}\).

Puis on dérive

\[P' + (X-x_k) P'' = \lambda_k P' + PQ + (X-x_k)(PQ)'.\]

Et enfin on évalue en \(x_k\)

\[P'(x_k) + 0 = \lambda_k P'(x_k) + 0,\]

et comme \(P'(x_k) \neq 0\) car \(x_k\) est une racine simple du polynôme \(P\), \(\lambda_k = 1\). Ainsi

\[\dfrac{P'}{P} = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{X - x_k}.\]

2. En déduire

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{x_k} = - \dfrac{P'(0)}{P(0)}.\]

Correction

On évalue en \(0\) qui n'est pas une racine du polynôme \(P\) pour obtenir

\[\dfrac{P'(0)}{P(0)} = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{-x_k} = - \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{x_k}.\]

3. Etablir

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{x_k P'(x_k)} = - \dfrac{1}{P(0)}.\]

Correction

Nous avons de même l'existance de \(\mu_1, ..., \mu_n \in \mathbb{C}\) tels que

\[\dfrac{1}{P} = \sum_{k=1}^n \dfrac{\mu_k}{X-x_k},\]

avec, d'après le même raisonnement qu'à la question 1,

\[\forall k\in \{1, ..., n\}, \quad \mu_k = \dfrac{1}{P'(x_k)}.\]

Donc, en évaluant en \(0\) non racine, nous obtenons

\[\dfrac{1}{P(0)} = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{-P'(x_k) x_k} = - \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{P'(x_k) x_k}.\]

Exercices d'approfondissement

Exercice 53

Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\) de degré \(n \in \mathbb{N}^*\) vérifiant

\[\forall k\in \{1, ..., n\}, \quad \int_0^1 x^k P(x) dx = 0.\]

Montrer que

\[\int_0^1 (P(x))^2 dx = (n+1)^2 \left( \int_0^1 P(x) dx \right)^2\]

Correction