Cours

Ce chapitre est au programme des classes préparatoires PTSI, TPC1 et ATS.

Objectifs du programme officiel :

Répérage dans le plan

• Repère orthonormal (ou orthonormé)

• Coordonnées cartésiennes, coordonnées polaires, passage de l'un à l'autre

Produit scalaire

• Définition géométrique du produit scalaire

• Interprétation en termes de projection orthogonale

• Bilinéarité, symétrie

• Expression dans une base orthonormale

• Caractérisation de l'orthogonalité

• Détermination d'un angle orienté

Déterminant dans une base orthonormée directe

• Définition géométride du déterminant

• Interprétation en termes d'aire orientée d'un parallélogramme

• Caractérisation de la colinéarité

• Bilinéarité, antisymétrie

• Calcul dans une base orthonormale

Droites

• Définition, vecteur directeur, vecteur normal

• Equation cartésienne et système d'équations paramétriques, passage de l'un à l'autre

• Détermination de l'intersection de deux droites

• Détermination du projeté orthogonal d'un point sur une droite

• Calcul de distance d'un point à un autre

Cercles

• Définition, équation cartésienne

• Représentation paramétrique

• Détermination de l'équation à partir de son centre et de son rayon

• Détermination du centre et du rayon à partir de l'équation

• Détermination de l'équation à partir des extrémités d'un diamètre

I. Repérage dans le plan

Définition : base et repère

• Une base du plan \(\mathbb{R}^2\) est un couple de vecteurs \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) de \(\mathbb{R}^2\) non colinéaires.

• Un repère du plan est un triplet \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) où \(O\) est un point du plan \(\mathbb{R}^2\) et \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) une base du plan.

Remarque

Le point \(0\) est alors appelé origine du repère et les droites passant \(O\) dirigées par les vecteurs \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) sont appelés axes du repère et sont souvent noté \((Ox)\) et \((Oy)\).

Exemple

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Proposition : Existence et unicité des coordonnées cartésiennes

On considère un repère \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) du plan \(\mathbb{R}^2\) et un point \(A \in \mathbb{R}^2\). Alors il existe un unique couple de réels \((x_A, y_A) \in \mathbb{R}^2\) tel que

\[\overrightarrow{OA} = x_A \overrightarrow{i} + y_A \overrightarrow{j}.\]

Les réels \(x_A\) et \(y_A\) sont alors appelés coordonnées cartésiennes du point \(A\) dans le repère \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\).

Démonstration

Exemple

Définition : Repères orthogonal, orthonormal, orthonormal direct

On considère un repère \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) du plan \(\mathbb{R}^2\) et un point \(A \in \mathbb{R}^2\).

• On dit que ce repère est orthognal si les vecteurs \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) sont orthogonaux.

• On dit que ce repère est orthonormal si les vecteurs \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) sont orthogonaux et de normes égales à \(1\).

• On dit que ce repère est orthonormal direct si les vecteurs \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) sont de normes égales à \(1\) et d'angle orienté \(\widehat{\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}}\) égal à \(\dfrac{\pi}{2}\).

Démonstration

Exemples

Repère orthogonalRepère orthonormalRepère orthonormal direct

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Définition : Repère polaire

On considère un repère orthonormal direct \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) et un réel \(\theta \in \mathbb{R}\). Alors le repère polaire associé est le repère orthonormal direct \((O, \overrightarrow{u}(\theta), \overrightarrow{v}(\theta))\) avec

\[\overrightarrow{u}(\theta) = \cos(\theta) \overrightarrow{i} + \sin(\theta) \overrightarrow{j} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{v}(\theta) = -\sin(\theta) \overrightarrow{i} + \cos(\theta) \overrightarrow{j}.\]

Exemple

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Proposition : Existence et unicité des coordonnées polaires

On considère un repère orthonormal direct \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) et \(M\) un point du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors il existe un unique réel strictement positif \(r\in \mathbb{R}_+^*\) et un réel \(\theta \in \mathbb{R}\) tel que

\[\overrightarrow{OM} = r \overrightarrow{u}(\theta).\]

Le couple \((r,\theta)\) est alors appelé coordonnées polaires du point \(M\) avec \(r\) la distance à l'origine \(0\) et \(\theta\) l'angle orienté entre l'axe \((Ox)\) et la droite passant par l'origine \(O\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{OM}\).

Démonstration

Exemple

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Remarque

Le réel \(\theta\) est unique à \(2\pi\) près.

Exemple

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Théorème : Passage entre les deux types de coordonnées

On considère un repère orthonormal direct \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) et \(M\) un point du plan \(\mathbb{R}^2\) différent de l'origine \(O\). Si on note \((x,y)\) ses coordonnées cartésiennes et \((r,\theta)\) ses coordonnées polaires alors :

• pour passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes

\[x = r\cos(\theta), \quad y = r\sin(\theta),\]

• pour passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires

\[r = \sqrt{x^2 + y^2}\]

et

\[\theta = \begin{cases} \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) & \text{si} & x > 0, y\geq 0 \\ \arctan\left( \dfrac{y}{x} \right) + 2 \pi & \text{si} & x>0, y< 0 \\ \arctan\left( \dfrac{y}{x} \right) + \pi & \text{si} & x<0 \\ \dfrac{\pi}{2} & \text{si} & x = 0, y>0 \\ \dfrac{3\pi}{2} & \text{si} & x = 0, y<0. \end{cases}\]

Démonstration

Exemples

Passage de polaires à cartésiennesPassage de cartésiennes à polaires

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II. Produit scalaire

Définition : Produit scalaire entre deux vecteurs du plan

On considère deux vecteurs non nul du plan \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\). Alors le produit scalaire entre ces deux vecteurs est défini par

\[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \lVert \overrightarrow{u} \rVert \lVert \overrightarrow{v} \rVert \cos(\widehat{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}}).\]

Si l'un des deux vecteurs est nul alors on le définit par

\[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0.\]

Exemple

Proposition

On considère trois points \(A,B\) et \(C\) du plan \(\mathbb{R}^2\) et les vecteurs

\[\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}.\]

Alors, en notant \(H\) le projeté orthogonal du point \(C\) sur la droite \((AB)\), ...

Démonstration

Exemple

Proposition

L'application produit scalaire est :

• bilinéaire :

\[\forall \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \in \mathbb{R}^2, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad (\lambda \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}) + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}, \quad \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \lambda (\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w},\]

• symétrique :

\[\forall \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \in \mathbb{R}^2, \quad \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}.\]

Démonstration

Proposition

On considère une base orthonormale \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) et deux vecteurs \(\overrightarrow{u},\overright{v}\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors, en notant

\[\overrightarrow{u} = x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j}, \quad \overrightarrow{v} = x_2 \overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j},\]

nous avons

\[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2.\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors

\[\lVert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \rVert^2 = \lVert \overrightarrow{u} \rVert^2 + \lVert \overrightarrow{v} \rVert^2 + 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}.\]

Autrement dit

\[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \dfrac{\lVert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \rVert^2 - \lVert \overrightarrow{u} \rVert^2 - \lVert \overrightarrow{v} \rVert^2}{2}.\]

Démonstration

Proposition

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont orthogonaux si et seulement si \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = 0\).

Démonstration

Exemples

Vecteurs orthogonauxVecteurs non orthogonaux

Proposition

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) non nuls du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors l'angle \(\theta = \widehat{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}}\) vérfie

\[\cos(\theta) = \dfrac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert \lVert \overrightarrow{v}}.\]

Démonstration

Exemple

III. Déterminant ou produit mixte dans une base orthonormée directe

Définition : Déterminer ou produit mixte

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) du plan \(\mathbb{R}^2\).

• Si les deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont non nuls alors leur déterminant (ou produit mixte) est définie par

\[[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] = \lVert \overrightarrow{u} \rVert \lVert \overrightarrow{v} \rVert \sin(\widehat{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}}).\]

• Si l'un des deux vecteurs est nul alors leur déterminant (ou produit mixte) est définie par \([\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] = 0\).

Exemple

Proposition

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors leur déterminant (ou produit mixte) \([\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}]\) est égal à l'aire orientée du parallélogramme \(OACB\) avec \(A = O + \overrightarrow{u}, B = O + \overrightarrow{v}\) et \(C = O + \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\).

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Démonstration

Exemple

Proposition

L'application déterminant (ou produit mixte) \([\cdot, \cdot] : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\) est :

• bilinéaire :

\[\forall \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \in \mathbb{R}^2, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad [\lambda \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = \lambda [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{w}] + [\overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}], \quad [\overrightarrow{u}, \lambda \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}] = \lambda [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] + [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{w}],\]

• antisymétrique :

\[\forall \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \in \mathbb{R}^2, \quad [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] = - [\overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}].\]

Démonstration

Proposition

On considère une base orthonormée directe \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) et deux vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors, en notant

\[\overrightarrow{u} = x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j}, \quad \overrightarrow{v} = x_2 \overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j},\]

nous avons

\[[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] = x_1y_2 - x_2y_1.\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si \([\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] = 0\).

Démonstration

Exemples

Vecteurs colinéairesVecteurs non colinéaires

IV. Droites

Définition

Une droite du plan \(\mathbb{R}^2\) non verticale est l'ensemble des points \(A(x,y) \in \mathbb{R}^2\) tels que

\[y = ax+b\]

avec \(a,b\in \mathbb{R}\). Et une droite verticale est l'ensemble des points \(A(x,y) \in \mathbb{R}^2\) tels que

\[x = c\]

avec \(c\in \mathbb{R}\).

Exemple

Proposition

Une droite du plan \(\mathbb{R}^2\) est entièrement déterminée par sa représentation paramétrique

\[\begin{cases} x(t) & = & x_A + at \\ y(t) & = & y_A + bt \end{cases}, \quad t\in \mathbb{R}\]

avec \(A(x_A, y_A)\) point de la droite et \(a,b \in \mathbb{R}\) tels que \((a,b) \neq (0,0)\).

Démonstration

Exemple

Proposition

Une droite du plan \(\mathbb{R}^2\) est entièremement déterminée par son équation cartésienne

\[a x + b y = c,\]

avec \(a,b,c \in \mathbb{R}\) et \((a,b) \neq (0,0)\).

Démonstration

Exemple

Définition : Vecteur directeur, vecteur normal

On considère une droite \(D\) du plan \(\mathbb{R}^2\) et un vecteur \(\overrightarrow{u} \in \mathbb{R}^2\) non nul.

• On dit que le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur directeur de la droite \(D\) si pour tout \(A,B \in D\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaire.

• On dit que le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur normal de la droite \(D\) si pour tout \(A,B \in D\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont orthogonaux.

Exemples

Vecteur directeurVecteur normal

Remarque

Autrement dit le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur directeur de la droite \(D\) si

\[\forall A\in D, \quad A + \overrightarrow{u} \in B.\]

On pourra alors noter

\[D = A + \text{Vect}(u).\]

Remarque

Dans la représentation paramétrique d'une droite

\[\begin{cases} x(t) & = & x_A + at \\ y(t) & = & y_A + bt \end{cases}, \quad t\in \mathbb{R}\]

le vecteur \(\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\) est un vecteur directeur de la droite.

Proposition

On considère une droite \(D\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors la droite \(D\) est entièrement déterminée par :

• Deux points distincts \(A(x_A,y_A), B(x_B, y_B)\) de la droite \(D\). En effet l'équation cartésienne de la droite \(D\) est alors

\[(x_A - x_B) (y - y_A) - (y_A - y_B) (x - x_A) = 0.\]

• Un point \(A(x_A,y_A)\) de la droite \(D\) et un vecteur directeur \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\) à la droite \(D\). En effet l'équation cartésienne de la droite \(D\) est alors

\[b (x - x_A) - a(y-y_A) = 0.\]

• Un point \(A(x_A, y_A)\) de la droite \(D\) et un vecteur normal \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\) à la droite \(D\). En effet l'équation cartésienne de la droite \(D\) est alors

\[a (x-x_A) + b (y - y_A) = 0.\]

Démonstration

Exemples

A partir de deux points distinctsA partir d'un point et d'un vecteur directeurA partir d'un point et d'un vecteur normal

Définition : Ligne de niveau

On considère une fonction \(f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(k\in \mathbb{R}\). Alors ligne de niveau \(k\) de la fonction \(f\) est définie par

\[L(f,k) = \{A \in \mathbb{R}^2, \quad f(A) = k\}.\]

Exemple

Proposition

On considère un point \(A \in \mathbb{R}^2\), un vecteur \(\overrightarrow{u}\) non nul du plan \(\mathbb{R}^2\), un réel \(k\in \mathbb{R}\) et l'application \(f\) définie par

\[\forall M \in \mathbb{R}^2, \quad f(M) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{AM}.\]

Alors la ligne de niveau \(k\) de l'application \(f\) est la droite \(D\) de vecteur normal \(\overrightarrow{u}\) et passant par le point

\[M_0 = A + \dfrac{k}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert^2} \overrightarrow{u}.\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère un point \(A \in \mathbb{R}^2\), un vecteur \(\overrightarrow{u}\) non nul du plan \(\mathbb{R}^2\), un réel \(k\in \mathbb{R}\) et l'application \(f\) définie par

\[\forall M \in \mathbb{R}^2, \quad f(M) = [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AM}].\]

Alors la ligne de niveau \(k\) de l'application \(f\) est la droite \(D\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) et passant par le point

\[M_0 = A + \overrightarrow{k}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert^2} \overrightarrow{n}\]

avec \(\overrightarrow{n}\) vecteur du plan \(\mathbb{R}^2\) de même norme \(\lVert \overrightarrow{n} \rVert = \lVert \overrightarrow{u} \rVert\) et directement orthogonal \(\widehat{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{n}} = \dfrac{\pi}{2}\).

Démonstration

Exemple

Définition : Projeté orthogonal d'un point sur une droite

On considère un point \(A \in \mathbb{R}^2\) et une droite \(D\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \(D\) est le point \(P\) de la droite \(D\) tel que

\[\forall B \in D, \quad d(A,P) = \lVert \overrightarrow{AP} \rVert \leq \lVert \overrightarrow{AB} \rVert = d(A,B).\]

Exemple

Remarque

Autrement dit le point \(P\) minimise l'application \(f : B \in D \longmapsto d(A,B)\).

Lemme

On considère un point \(M(x_M,y_M) \in \mathbb{R}^2\), une droite \(D\) du plan \(\mathbb{R}^2\) et \(P\) le projeté orthogonal du point \(M\) sur la droite \(D\).

• Si la droite \(D\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) alors les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{PM}\) sont orthogoaux.

• Si la droite \(D\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{u}\) alors les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{PM}\) sont colinéaires.

Démonstration

Proposition

On considère un point \(M(x_M,y_M) \in \mathbb{R}^2\) et une droite \(D\) du plan \(\mathbb{R}^2\).

• Si la droite \(D\) passe par le point \(A(x_A,y_A)\) et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\) alors le projeté orthogonal \(P(x_P, y_P)\) du point \(M\) sur la droite \(D\) est

\[x_P = \dfrac{a^2 x_M + b^2 x_A + ab(y_M - y_A)}{a^2 + b^2} \quad \text{et} \quad y_P = \dfrac{a^2 y_A + b^2 y_M + ab (x_M - x_A)}{a^2 + b^2}.\]

• Si la droite \(D\) passe par le point \(A(x_A,y_A)\) et a pour vecteur normal \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\) alors le projeté orthogonal \(P(x_P, y_P)\) du point \(M\) sur la droite \(D\) est

\[x_P = \dfrac{a^2 x_A + b^2 x_M + ab(y_A - y_M)}{a^2 + b^2} \quad \text{et} \quad y_P = \dfrac{a^2 y_M + b^2 y_A + ab(x_A - x_M)}{a^2 + b^2}.\]

Démonstration

• On suppose que la droite \(D\) passe par le point \(A(x_A, y_A)\) et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\). Alors, d'après le lemme précédent, les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{PM}\) sont orthogoaux :

\[0 = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{PM} = a(x_M - x_P) + b(y_M - y_P)\]

i.e.

\[ax_P + by_P = ax_M + by_M.\]

De plus \(P\in D\) donc les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{PA}\) sont colinéaires :

\[0 = [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{PA}] = a(y_A - y_P) - b(x_A - x_P)\]

i.e.

\[bx_P - ay_P = bx_A - ay_A.\]

Si \(a = 0\) alors \(b \neq 0\) car \((a,b) \neq (0,0)\) et

\[x_P = x_A \quad \text{et} \quad y_P = x_M.\]

Sinon \(a\neq 0\) et on peut effectuer sur le système

\[\begin{cases} ax_P & + & by_P & = & ax_M + by_M \\ bx_P & - & ay_P & = & bx_A - ay_A \end{cases}\]

l'opération \(L_2 \longleftarrow L_2 - \dfrac{b}{a} L_1\) pour obtenir le système équivalent

\[\begin{cases} ax_P & + & by_P & = & ax_M + by_M \\ & - & \dfrac{a^2 + b^2}{a} y_P & = & bx_A - ay_A - bx_M - \dfrac{b^2}{a} y_M \end{cases}\]

i.e.

\[\begin{cases} ax_P & + & by_P & = & ax_M + by_M \\ & & (a^2 + b^2) y_P & = & -ab(x_A - x_M) + a^2y_A + b^2 y_M. \end{cases}\]

Donc

\[y_P = \dfrac{a^2 y_A + b^2 y_M + ab (x_M - x_A)}{a^2 + b^2}\]

et

\[ax_P = ax_M + b y_M - by_P = ax_M + b y_M - b\dfrac{a^2 y_A + b^2 y_M + ab (x_M - x_A)}{a^2 + b^2} = a \dfrac{a^2 x_M + b^2 x_A + ab(y_M - y_A)}{a^2 + b^2}\]

i.e.

\[x_P = \dfrac{a^2 x_M + b^2 x_A + ab(y_M - y_A)}{a^2 + b^2}.\]

• On suppose que la droite \(D\) passe par le point \(A(x_A, y_A)\) et a pour vecteur normal \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\). Alors, d'après le lemme précédent, les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{PM}\) sont colinéaires :

\[0 = [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{PM}] = a(y_M - y_P) - b(x_M - x_P)\]

i.e.

\[bx_P - ay_P = bx_M - ay_M.\]

De plus \(P \in D\) donc les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{PA}\) sont orthogonaux :

\[0 = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{PA} = a(x_A - x_P) + b (y_A - y_P).\]

i.e.

\[ax_P + by_P = ax_A + by_A.\]

Nous obtenons donc le système

\[\begin{cases} ax_P & + & by_P & = ax_A + by_A \\ bx_P & - & ay_P & = & bx_M - ay_M. \end{cases}\]

Donc si \(a = 0\) alors \(b\neq 0\) et

\[y_P = y_A \quad \text{et} \quad x_P = x_M.\]

Sinon \(a\neq 0\) et nous pouvons effectuer l'opération \(L_2 \longleftarrow L_2 - \dfrac{b}{a} L_1\) pour obtenir le système équivalent

\[\begin{cases} ax_P & + & by_P & = ax_A + by_A \\ & - & \dfrac{a^2 + b^2}{a} y_P & = & bx_M - ay_M - bx_A - \dfrac{b^2}{a} y_A \end{cases}\]

i.e.

\[\begin{cases} ax_P & + & by_P & = ax_A + by_A \\ & & (a^2 + b^2) y_P & = & a^2 y_M + b^2 y_A -ab(x_M-x_A). \end{cases}\]

Donc

\[y_P = \dfrac{a^2 y_M + b^2 y_A - ab(x_M - x_A)}{a^2 + b^2}\]

et

\[ax_P = ax_A + by_A -by_P = ax_A + by_A -b\dfrac{a^2 y_M + b^2 y_A - ab(x_M - x_A)}{a^2 + b^2} = a \dfrac{a^2 x_A + b^2 x_M -ab(y_M - y_A)}{a^2 + b^2}\]

i.e.

\[x_P = \dfrac{a^2 x_A + b^2 x_M -ab(y_M - y_A)}{a^2 + b^2}.\]

• On suppose que la droite \(D\) admet pour équation caractéristique

\[ax+by = c, \quad a,b,c\in \mathbb{R}^3, (a,b)\neq 0.\]

Exemples

Avec un vecteur directeurAvec un vecteur normal

Remarque

A partir de l'équation cartésienne du droite on peut déterminer un vecteur directeur (ou un vecteur normal) et obtenir les coordonnées du projeté orthogonal.

Exemple

Définition

On considère un point \(M(x_M,y_M) \in \mathbb{R}^2\) et une droite \(D\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors la distance entre la droite \(D\) et le point \(M\) est la distance entre le point \(M\) et son projeté orthogonal \(P\) sur la droite \(D\) :

\(d(M,D) = d(M,P).\)$

Exemple

Remarque

Autrement dit la distance \(d(M,D)\) est le minimum de l'application \(A \in D \longmapsto d(M,A)\).

Proposition

On considère un point \(M(x_M,y_M) \in \mathbb{R}^2\) et une droite \(D\) du plan \(\mathbb{R}^2\).

• Si la droite \(D\) passe par le point \(A(x_A,y_A)\) et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\) alors

\[d(M,D) = \dfrac{[\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{u}]}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert}.\]

• Si la droite \(D\) passe par le point \(A(x_A,y_A)\) et a pour vecteur normal \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\) alors

\[d(M,D) = \dfrac{|\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{u}|}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert}.\]

• Si la droite \(D\) a pour équation cartésienne \(ax+by + c = 0\) alors

\[d(M,D) = \dfrac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Démonstration

Exemples

Avec un vecteur directeurAvec un vecteur normalAvec une équation cartésienne

V. Cercles

Définition : Cercle

Un cercle \(C(A,r)\) du plan \(\mathbb{R}^2\) de centre \(A \in \mathbb{R}^2\) et de rayon \(r\in \mathbb{R}_+\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(d(A,M) = \lVert \overrightarrow{AM} \rVert = r\) :

\[C(A,r) = \{M \in \mathbb{R}^2, \quad d(A,M) = r\}.\]

Exemple

Proposition

Un cercle \(C(A,R)\) du plan \(\mathbb{R}^2\) de centre \(A(a,b) \in \mathbb{R}^2\) et de rayon \(r\in \mathbb{R}_+\) est entièrement caractérisée par son équation cartésienne

\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.\]

Démonstration

Exemple

Proposition

Un cercle \(C(A,R)\) du plan \(\mathbb{R}^2\) de centre \(A(a,b) \in \mathbb{R}^2\) et de rayon \(r\in \mathbb{R}_+\) est entièrement caractérisée par sa représentation paramétrique

\[\begin{cases} x(t) & = & a + r\cos(t) \\ y(t) & = & b + r\sin(t) \end{cases}, \quad t\in [0,2\pi[.\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère un cercle \(C\) du plan \(\mathbb{R}^2\) et deux points \(A(x_A, y_A), B(x_A, y_A)\) du cercle \(C\) tels que le segment \([AB]\) soit un diamètre du cercle \(C\). Alors le cercle \(C\) admet pour équation cartésienne

\[(x-x_A)(x-x_B) + (y-y_A)(y-y_B) = 0.\]

Démonstration

Exemple

Remarque

Autrement dit il suffit de connaître un diamètre du cercle pour le connaître entièrement. On retrouve également le fait que si \(M(x_M,y_M)\) est un autre point du cercle \(C\) alors l'angle \(\widehat{\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{BM}}\) est droit :

\[0 = \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (x_M-x_A)(x_M-x_B) + (y_M-y_A)(y_M-y_B).\]

VI. Intersections de droites et de cercles

Proposition

On considère deux droites \(D\) et \(D'\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors les droites \(D\) et \(D'\) sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Dans le cas contraire elles admettent un unique point d'intersection.

Démonstration

Exemples

Droites parallèlesDroites sécantes

Proposition

On considère une droite \(D\) et un cercle \(C(A,r)\) du plan \(\mathbb{R}^2\).

• Si \(d(A,D) > r\) alors la droite \(D\) et le cercle \(C\) ne se coupent pas.

• Si \(d(A,D) = r\) alors la droite \(D\) et le cercle \(C\) se coupent en un point unique. On dit alors que la droite \(D\) est tangente au cercle \(C\).

• Si \(d(A,D) < R\) alors la droite \(D\) et le cercle \(C\) ont deux points d'intersection distincts.

Démonstration

Exemples

Pas d'intersectionUn unique point d'intersectionDeux points d'intersection distincts

Proposition

On considère deux cercles \(C(A, r)\) et \(C'(A', r')\) du plan \(\mathbb{R}^2\).

• Si \(d(A,A') > r + r'\) alors les cercles \(C\) et \(C'\) ne se coupent pas.

• Si \(d(A,A') = r+r'\) alors les cercles \(C\) et \(C'\) sont tangents extérieurement, ils ont un unique point commun.

• Si \(|r-r'| < d(A,A') < r+r'\) alors les cercles \(C\) et \(C'\) se coupent en deux points distincts.

• Si \(d(A,A') = |r-r'|\) alors les cercles \(C\) et \(C'\) sont tangents intérieurement, ils ont un unique point commun.

• Si \(d(A,A) < |r-r'|\) alors les cercles \(C\) et \(C'\) ne se coupent pas.

Démonstration

Exemples

Pas d'intersectionUn unique point d'intersectionDeux points d'intersection distincts