Cours

Objectifs du programme officiel

Matrice d'une application linéaire dans des bases

• Matrice d'un vecteur, d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'un endomorphisme

• Isomorphisme d'espaces vectoriels de \(L(E,F)\) sur \(\mathcal{M}_{pn}(\mathbb{K})\) induit par le choix d'un couple de bases

• Isomorphisme d'espaces vectoriels et d'anneaux de \(L(E)\) sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) induit par le choix d'une base

• Coordonnées de l'image d'un vecteur par une application linéaire

• Matrice d'une composée d'applications linéaires, lien entre matrices inversibles et isomorphisme

Application linéaire canoniquement associée à une matrice

• Définition

• Noyau, image et rang d'une matrice

• Une matrice est inversible si et seulement si son noyau est réduit à \(0\) si et seulement si ses colonnent engendrent \(\mathbb{K}^p\) si et seulement si son rang est \(p\)

• Toute matrice carrée inversible à gauche ou à droite est inversible

Systèmes linéaires

• Interprétation de l'ensemble des solutions

• Rang d'un tel système, dimension de l'espace des solutions

• \(AX = B\) si et seulement si \(B \in \text{Im}(A)\)

• Si la matrice carrée \(A\) est inversible alors l'unique solution de l'équation \(AX=B\) est \(X = A^{-1}B\)

Changements de bases

• Matrice de passage, inversibilité et inverse

• Effet d'un changement de base sur la matrice d'un vecteur

• Effet d'un changement du couple de bases sur la matrice d'une application linéaire

• Effet d'un changement de base sur la matrice d'un endomorphisme

Matrices équivalentes et rang

• Si \(\text{rg}(u) = r\) alors il existe un couple de bases dans lequel l'application \(u\) a pour matrice \(J_r\)

• Matrices équivalentes

• Une matrice est de rang \(r\) si et seulement si elle est équivalente à \(J_r\)

• Invariance du rang par transposition

• Rang d'une matrice extraite, caractérisation du rang par les matrices carrées extraites

• Les opérations élémentaires conservent l'image, le noyau et le rang d'une matrice

Matrices semblables et trace

• Matrices semblables

• Trace d'une matrice carrée

• Linéarité, relation \(\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)\) et invariance par similitude

• Trace d'un endomorphisme, linéarité et relation \(\text{tr}(uv) = \text{tr}(vu)\)

I. Matrices et applications linéaires

Remarque

On considère dans tout ce chapitre deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels \(E\) et \(F\) de dimension finie \(\dim(E) = n \in \mathbb{N}^*\) et \(\dim(F) = p \in \mathbb{N}^*\).

A. Matrice d'une application linéaire dans des bases

Définition : Matrice d'un vecteur dans une base

On considère une base \(e = (e_i)_{1\leq i\leq n}\) de l'espace \(E\) et un vecteur \(x\in E\). Alors la matrice du vecteur \(x\) dans la base \(e\) est définie par la matrice

\[M_e(x) = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}),\]

où \(x = \sum_{i=1}^n x_i e_i\) est la décomposition du vecteur \(x\) dans la base \(e\).

Exemple

Théorème

On considère une base \(e = (e_i)_{1\leq i\leq n}\) de l'espace \(E\). Alors l'application

\[x\in E \longmapsto M_e(x) \mathbb{K}^n\]

est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Démonstration

Définition : Matrice d'une famille de vecteurs dans une base

On considère une base \(e = (e_i)_{1\leq i\leq n}\) de l'espace \(E\) et une famille de vecteurs \((x_1, ..., x_k) \in E^k\). Alors la matrice de la famille \((x_i)_{1\leq j\leq k}\) dans la base \(e\) est définie par la matrice

\[M_e((x_i)_{1\leq i\leq k}) = \left( \begin{array}{ccc} x_{11} & \dots & x_{k1} \\ \vdots & (x_{ij}) & \vdots \\ x_{1n} & \ddots & x_{kn} \end{array} \right) \in \mathcal{M}_{nk}(\mathbb{K}),\]

où, pour tout \(i\in \{1, ..., k\}\), \(x_i = \sum_{j=1}^n x_{ij} e_j\) est la décomposition du vecteur \(x_j\) dans la base \(e\).

Exemple

Définition : Matrice d'une application linéaire dans des bases

On considère une base \(e = (e_i)_{1\leq i\leq n}\) de l'espace \(E\), une base \(f = (f_j)_{1\leq j\leq p}\) de l'espace \(F\) et une application linéaire \(u\in L(E,F)\). Alors la matrice de l'application linéaire \(u\) dans les bases \(e,f\) est définie par la matrice

\[M_{ef}(u) = M_f((u(e_j))_{1\leq j\leq n}) \in \mathcal{M}_{pn}(\mathbb{K}).\]

Exemple

Remarque

Autrement dit les colonnes de la matrice \(M_{ef}(u)\) sont les composantes des vecteurs \(u(e_i)\) dans la base \(f\).

Remarque

Si l'on considère un endomorphisme \(u \in L(E)\) alors on note \(M_e(u) = M_{ee}(u)\) sa matrice dans les bases \(e\) au départ et \(e\) à l'arrivée. On remarque alors que cette matrice est carrée.

Exemple

(similitude \(z \longmapsto z(a+ib)\))

Proposition

Les espaces \(L(E,F)\) et \(\mathcal{M}_{pn}(\mathbb{K})\) sont isomorphes en tant qu'espaces vectoriels. Plus précisément si l'on considère une base \(e\) de l'espace \(E\) et une base \(f\) de l'espace \(F\) alors l'application \(\begin{array}{rcl} L(E,F) & \longrightarrow & \mathcal{M}_{pn}(\mathbb{K}) \\ u & \longmapsto & M_{ef}(u) \end{array}\) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Démonstration

Exemple

Corollaire

Les espaces \(L(E)\) et \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) = \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{K})\) sont isomorphes en tant qu'espaces vectoriels et en tant qu'anneaux. Plus précisément si l'on considère une base \(e\) de l'espace \(E\) alors l'application \(\begin{array}{rcl} L(E) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \\ u & \longmapsto & M_e(u) \end{array}\) est un isomorphisme d'espaces vectoriels et d'anneaux.

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une base \(e\) de l'espace \(E\), une base \(f\) de l'espace \(F\), une application linéaire \(u\in L(E,F)\) et un vecteur \(x \in E\). Alors nous avons

\[M_f(u(x)) = M_{ef}(u) M_e(x).\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère un troisième \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(G\), une base \(e\) de l'espace \(E\), une base \(f\) de l'espace \(F\), une base \(g\) de l'espace \(G\) et deux applications linéaires \(u\in L(F,G), v\in L(E,F)\). Alors nous avons

\[M_{eg}(u\circ v) = M_{fg}(u) M_{ef}(v).\]

Démonstration

Exemple

Remarque

Pour ne pas se tromper dans les bases en indice, on peut effectuer le chemin entre les différentes bases.

(insérer une image)

Corollaire

On considère une base \(e\) de l'espace \(E\) et deux endomorphismes \(u,v\in L(E)\). Alors nous avons \(M_e(u\circ v) = M_e(u) M_e(v)\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux bases \(e,e'\) de l'espace \(E\) et un endomorphisme \(u\in L(E)\). Alors l'endomorphisme \(u\) est un automorphisme d'espaces vectoriels si et seulement sa matrice \(M_{ee'}(u)\) est inversible dans l'anneau \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Dans ce cas

\[M_{e'e}(u^{-1}) = (M_{ee'}(u))^{-1}.\]

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère une base \(e\) de l'espace \(E\) et un endomorphisme \(u\in L(E)\). Alors l'endomorphisme \(u\) est un automorphisme d'espaces vectoriels si et seulement sa matrice \(M_e(u)\) est inversible dans l'anneau \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Dans ce cas

\[M_e(u^{-1}) = (M_e(u))^{-1}.\]

Démonstration

Exemple

B. Application linéaire canoniquement associée à une matrice

Définition : Application linéaire canoniquement associée à une matrice

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{pn}(\mathbb{K})\). Alors l'application linéaire canoniquement associée à la matrice \(A\) est l'application \(u_A\) définie par

\[u_A : \begin{array}{rcl} \mathbb{K}^n & \longrightarrow & \mathbb{K}^p \\ x & \longmapsto & Ax \end{array}.\]

Exemple

Remarque

Il s'agit bien d'une application linéaire \(u_A \in L(\mathbb{K}^n, \mathbb{K}^p)\) où l'on identifie \(\mathbb{K}^n, \mathbb{K}^p\) avec \(\mathcal{M}_{n1}(\mathbb{K}), \mathcal{M}_{p1}(\mathbb{K})\). De plus nous avons, avec \(e\) et \(f\) les bases canoniques des espaces \(\mathbb{K}^n\) et \(\mathbb{K}^p\), \(M_{ef}(u_A) = A\).

Définitions : Noyau, image et rang d'une matrice

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{pn}(\mathbb{K})\). Alors nous définissons son noyau, son image et son rang par

\[\text{ker}(A) = \text{ker}(u_A) = \{x\in \mathbb{K}^n, \quad Ax = 0_p\},\]

\[\text{Im}(A) = \text{Im}(A) = \{Ax, \quad x\in \mathbb{K}^n\},\]

\[\text{rg}(A) = \text{rg}(u_A) = \dim (\text{Im}(A)).\]

Exemple

Proposition

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{pn}(\mathbb{K})\). Alors

\[\text{Im}(A) = \text{Vect}(C_1, ..., C_n) \subset \mathbb{K}^p\]

où l'on note \(C_1, ..., C_n\) les colonnes de la matrice \(A\).

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{pn}(\mathbb{K})\). Alors

\[\text{rg}(A) = \text{rg}(C_1, ..., C_n) = \text{rg}(u_A)\]

où l'on note \(C_1, ..., C_n\) les colonnes de la matrice \(A\).

Démonstration

Remarque

Nous avons également que si \(e\) et \(f\) sont des bases des espaces vectoriels \(E\) et \(F\) et \(u\in L(E,F)\) alors

\[\text{rg}(u) = \text{rg}(M_{ef}(u)).\]

Proposition

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{pn}(\mathbb{K})\). Alors les lignes \(L_1, ..., L_p\) de la matrice \(A\) donnent un système d'équations linéaires homogène dont l'ensemble des solutions est le noyau \(\text{ker}(A)\).

Démonstration

Exemple

Théorème du rang (version matricielle)

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{pn}(\mathbb{K})\). Alors

\[n = \text{rg}(A) + \text{dim}(\text{ker}(A)).\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors les assertions suivantes sont équivalentes.

• La matrice \(A\) est inversible : \(A \in GL_n(\mathbb{K})\).

• \(\text{ker}(A) = \{0_n\}\).

• \(\text{Im}(A) = \text{Vect}(C_1, ..., C_n) = \mathbb{K}^n\), avec \(C_1, ..., C_n\) les colonnes de la matrice \(A\).

• \(\text{rg}(A) = n\).

Démonstration

Exemples

Corollaire

On considère une matrice carrée triangulaire \(A \in \mathcal{T}_n(\mathbb{K})\). Alors la matrice \(A\) est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls.

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Si la matrice \(A\) est inversible à gauche (respectivement à droite) : il existe \(B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) tel que \(BA = I_n\) (respectivement \(AB = I_n\)), alors la matrice \(A\) est inversible et \(A^{-1} = B\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère trois matrices \(A \in \mathcal{M}_{pn}(\mathbb{K}), P \in GL_p(\mathbb{K})\) et \(Q \in GL_n(\mathbb{K})\). Alors

\[\text{rg}(A) = \text{rg}(PA) = \text{rg}(AQ).\]

Démonstration

Exemple

Remarque

Autrement dit le rang d'une matrice est invariant par multiplication par une matrice inversible à gauche ou à droite.

Corollaire

Les opérations élémentaires sur les lignes (resp. les colonnes) d'une matrice \(A\) conservent le noyau et l'image de la matrice \(A\). De plus Les opérations élémentaires conservent le rang.

Remarque

On peut donc utiliser l'algorithme du pivot de Gauss pour déterminer le rang d'une matrice.

Exemple

C. Systèmes linéaires

Proposition

On considère un système linéaire homogène

\[(S) \quad \begin{cases} \begin{array}{cccccccc} a_{1,1} x_1 & + & \dots & + & a_{1,m} x_m & = & 0 \\ \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} x_1 & + & \dots & + & a_{n,m} x_m & = & 0 \end{array} \end{cases}.\]

Alors :

• l'ensemble des solutions est le noyau \(\text{ker}(A)\), avec \(A = (a_{ij})_{1\leq i\leq n, 1\leq j\leq m} \in \mathcal{M}_{nm}(\mathbb{K})\),

• le nombre d'équations que compte tout système échelonné équivalent est égal au rang de la matrice \(A\),

• la dimension de l'espace solution est égale à \(n - \text{rg}(A)\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère un système linéaire

\[(S) \quad \begin{cases} \begin{array}{cccccccc} a_{1,1} x_1 & + & \dots & + & a_{1,m} x_m & = & b_1 \\ \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} x_1 & + & \dots & + & a_{n,m} x_m & = & b_n \end{array} \end{cases}.\]

Alors ce système linéaire admet une solution si et seulement si \(B \in \text{Im}(A)\), avec \(B = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) \in \mathbb{K}^n\) et \(A = (a_{ij})_{1\leq i\leq n, 1\leq j\leq m} \in \mathcal{M}_{nm}(\mathbb{K})\).

Démonstration

Exemple

Remarque

On retrouve la structure affine de l'ensemble des solutions.

Corollaire

On considère un système linéaire carré

\[(S) \quad \begin{cases} \begin{array}{cccccccc} a_{1,1} x_1 & + & \dots & + & a_{1,n} x_n & = & b_1 \\ \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} x_1 & + & \dots & + & a_{n,n} x_n & = & b_n \end{array} \end{cases}.\]

Si la matrice carrée \(A = (a_{ij})_{1\leq i,j\leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est inversible alors ce système admet une unique solution donnée par \(X = A^{-1} B\), avec \(X = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \in \mathbb{K}^n\) et \(B = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) \in \mathbb{K}^n\).

Démonstration

Exemple

II. Changements de bases, équivalence et similitude

A. Changements de bases

Définition : Matrice de changement de bases

On considère deux bases \(e,e'\) de l'espace \(E\). Alors la matrice de changement de bases de la base \(e\) à la base \(e'\) est la matrice carrée \(P_{ee'}\) définie par

\[P_{ee'} = M_{e'e}(\text{id}_E).\]

Exemple

Remarque

Autrement dit il s'agit de la matrice dont les colonnes sont les décompositions des vecteurs de la base \(e'\) dans la base \(e\).

Remarque

On fera bien attention à la convention quant à l'ordre des bases.

Proposition

On considère deux bases \(e,e'\) de l'espace \(E\). Alors la matrice de changement de bases \(P_{ee'}\) est inversible et \((P_{ee'})^{-1} = P_{e'e}\).

Démonstration

Proposition

On considère deux bases \(e,e'\) de l'espace \(E\) et un vecteur \(x\in E\). Alors nous avons

\[M_e(x) = P_{ee'} M_{e'}(x).\]

Démonstration

Exemple

Théorème : Formule de changement de bases

On considère deux bases \(e,e'\) de l'espace \(E\), deux bases \(f,f'\) de l'espace \(F\) et une application linéaire \(u\in L(E,F)\). Alors nous avons

\[M_{eef}(u) = M_{f'f}(\text{id}_F) M_{e'f'}(u) M_{ee'}(\text{id}_E) = P_{ff'} M_{e'f'}(u) P_{e'e}.\]

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère deux bases \(e,e'\) de l'espace \(E\) et un endomorphisme \(u\in L(E)\). Alors nous avons

\[M_e(u) = M_{e'e}(\text{id}_E) M_{e'}(u) M_{ee'}(\text{id}_E) = P_{ee'} M_{e'}(u) P_{ee'}^{-1}.\]

Démonstration

Exemple

Remarque

L'intérêt des changements de bases est de déterminer une base dans laquelle la matrice de l'endomorphisme s'exprime simplement, comme par exemple une matrice triangulaire ou diagonale.

Exemple

B. Matrices équivalentes et rang

Définition : Matrices équivalentes

On considère deux matrices \(A,B \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\). Alors on dit que les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables s'il existe deux matrices inversibles \(P\in GL_n(\mathbb{K}), Q\in GL_p(\mathbb{K})\) telles que

\[A = P B Q.\]

Exemple

Proposition

La définition précédente définit une relation d'équivalence sur l'ensemble \(\mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\).

Démonstration

Proposition

On considère une matrice \(A\in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\). Si \(\text{rg}(A) = r \in \{0, ...,\min(n,p)\}\) alors la matrice \(A\) est équivalente à la matrice

\[J_r = \left( \begin{array}{cc} I_r & 0_{r,p-r} \\ 0_{n-r,r} & 0_{p-r,n-r} \end{array} \right).\]

Autrement dit la matrice \(J_r\) est un représentant simple des matrices de rang \(r\) pour la relation d'équivalence des matrices.

Démonstration

Exemple

Remarque

A partir d'une matrice \(A\), la matrice \(P\) correspond aux opérations sur les lignes et la matrice \(Q\) aux opérations sur les colonnes pour aboutir à la matrice \(J_r\). Autrement dit elles conservent le rang de la matrice \(A\).

Exemple

Corollaire

On considère une application linéaire \(u\in L(E,F)\). Si \(\text{rg}(u) = r \in \{0, ..., \min(n,p)\}\) alors il existe une base \(e\) de l'espace \(E\) et une base \(f\) de l'espace \(F\) telles que \(M_{e,f}(u) = J_r\).

Démonstration

Exemple

Corollaire

Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.

Démonstration

Proposition

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\). Alors \(\text{rg}(A^T) = \text{rg}(A)\).

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\). Alors

\[\text{rg}(A) = \text{rg}(L_1, ..., L_n)\]

où l'on note \(L_1, ..., L_n\) les lignes de la matrice \(A\).

Exemple

Exemple

Définition : Matrice extraite

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\). Alors une matrice extraite de la matrice \(A\) est une matrice \(A'\in \mathcal{M}_{n-m, p-q}(\mathbb{K})\) obtenue en supprimant \(m\) lignes et \(q\) colonnes de la matrice \(A\) avec \(m \in \{1, ..., n\}\) et \(q\in \{1, ..., p\}\).

Exemple

Proposition

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\) et une matrice extraite \(A' \in \mathcal{M}_{n-m, p-q}(\mathbb{K})\) avec \(m \in \{1, ..., n\}\) et \(q\in \{1, ..., p\}\). Alors \(\text{rg}(A') \leq \text{rg}(A)\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\). Alors le rang de la matrice \(A\) est le plus grand rang des matrices extraites de la matrice \(A\).

Démonstration

Exemple

C. Matrices semblables et trace

Définition : Matrices semblables

On considère deux matrices carrées \(A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors on dit que les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables s'il existe une matrice inversible \(P\in GL_n(\mathbb{K})\) telle que

\[A = P B P^{-1}.\]

Exemple

Remarque

Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme mais dans des bases différentes.

Remarque

Il est plus difficile de déterminer une matrice semblable qu'une matrice équivalente car les opérations sur les lignes et sur les colonnes ne sont pas indépendantes, mais ceci n'est pas impossible.

Exemple

Proposition

La définition précédente définit une relation d'équivalence sur l'ensemble \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

Démonstration

Définition : Trace d'une matrice carrée

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors sa trace \(\text{tr}(A)\) est définie par la somme de ses cœfficients diagonaux

\[\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n A_{ii}.\]

Exemple

Proposition

L'application trace \(\text{tr} : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathbb{K}\) est une application linéaire vérifiant

\[\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)\]

pour tous \(A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et est invariant par similitude : pour tous \(A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) semblables,

\[\text{tr}(A) = \text{tr}(B).\]

Démonstration

Corollaire

On peut alors définir la trace d'un endomorphisme \(u\in L(E)\) comme la trace de n'importe quelle matrice le représentant dans une base de l'espace \(E\). De plus l'application trace \(\text{tr} : L(E) \longrightarrow \mathbb{K}\) est linéaire vérifiant

\[\text{tr}(u\circ v) = \text{tr}(v\circ u).\]

pour tous \(u,v\in L(E)\).

Démonstration

Proposition

On considère un projecteur \(p \in L(E)\). Alors

\[\text{tr}(p) = \text{rg}(p).\]

Démonstration

Exemple