Cours

I. Ouverts de R² et fonctions continues

Définition : Boule de \(\mathbb{R}^2\)

On considère un point \(x \in \mathbb{R}^2\) et un réel strictement positif \(r \in \mathbb{R}_+^*\). Alors la boule ouverte de centre \(x\) et de rayon \(r\) est la partie

\[B(x,r) = \{y\in \mathbb{R}^2, \quad \lVert x-y \rVert < r\}.\]

De même la boule fermée de centre \(x\) et de rayon \(r\) est la partie

\[\overline{B}(x,r) = \{y\in \mathbb{R}^2, \quad \lVert x-y \rVert \leq r\}.\]

Exemples

Boule ouverteBoule fermée

Remarque

La norme utilisée ici est la norme associée au produit scalaire canonique sur l'espace \(\mathbb{R}^2\).

Définition : Ouvert

On considère une partie \(U\) de l'espace \(\mathbb{R}^2\). Alors on dit que la partie \(U\) est ouvert dans \(\mathbb{R}^2\) si

\[\forall x\in U, \quad \exists r\in \mathbb{R}_+^*, \quad B(x,r) \subset U.\]

Exemple

Remarque

Autrement dit autour de tout élément \(x\) de la partie \(U\) on peut trouver une boule ouverte centrée en l'élément \(x\) et incluse dans la partie \(U\).

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Définition : Fonction continue sur un ouvert de \(\mathbb{R}^2\)

On considère un ouvert \(U\) de \(\mathbb{R}^2\), une fonction \(f : U \longrightarrow \mathbb{R}\) et un point \(a \in U\). Alors on dit que la fonction \(f\) est continue au point \(a\) si \(f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} f(a)\) :

\[\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists \delta \in \mathbb{R}_+^*, \quad \forall x\in U, \quad \lVert x-a\rVert \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - f(a)|\leq \varepsilon.\]

De plus on dit que la fonction \(f\) est continue sur l'ouvert \(U\) si elle l'est en tout point \(a \in U\).

Exemple

Remarque

Il est important que la fonction \(f\) soit définie sur un ouvert pour parler de sa continuité. Sinon il n'existe pas de \(x\in U\) tel que \(\lVert x-a\rVert \leq \delta\).

Remarque

On peut représenter graphiquement une fonction \(f : U\longrightarrow \mathbb{R}\) continue par une surface.

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II. Dérivées partielles

Remarque

Pour la suite de ce chapitre on considère un ouvert \(U\) de l'espace \(\mathbb{R}^2\) et une fonction \(f : U \longrightarrow \mathbb{R}\).

Définition : Dérivées partielles

On considère un point \((x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2\). Alors on dit que la fonction \(f\) admet :

• une dérivée partielle par rapport à la première coordonnée \(x\) s'il existe \(l \in \mathbb{R}\) tel que

\[\dfrac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0,y_0)}{h} \underset{h\to 0}{\longrightarrow} l.\]

Dans ce cas on dit que le réel \(l\) est la dérivée partielle de la fonction \(f\) par rapport à la première coordonnée \(x\) et on le note \(l = \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\).

• une dérivée partielle par rapport à la seconde coordonnée \(y\) s'il existe \(l \in \mathbb{R}\) tel que

\[\dfrac{f(x_0, y_0+h) - f(x_0,y_0)}{h} \underset{h\to 0}{\longrightarrow} l.\]

Dans ce cas on dit que le réel \(l\) est la dérivée partielle de la fonction \(f\) par rapport à la seconde coordonnée \(y\) et on le note \(l = \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\).

Exemple

Remarque

La continuité n'implique pas l'existence de dérivées partielles et l'existence de dérivées partielles n'implique pas la continuité.

Exemples

Fonction continue sans dérivées partielles en un pointFonction non continue avec dérivées partielles en un point

!!! info "Définition : Fonction de classe \(C^1\) sur un ouvert de \(\mathbb{R}^2\) On dit que la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur l'ouvert \(U\) si la fonction \(f\) admet des dérivées partielles continues en tout point de l'ouvert \(U\). On note alors \(C^1(U,\mathbb{R})\) leur ensemble.

Exemple

Proposition

Si la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur l'ouvert \(U\) alors elle y est continue.

Démonstration

Théorème : Développement limité au premier en un point

On considère un point \((x_0, y_0) \in U\). Si la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) au point \((x_0,y_0)\) alors

\[f(x_0 + h, y_0 + k) \underset{\lVert (h,k)\rVert \to 0}{=} f(x_0,y_0) + \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) h + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) k + o(\lVert (h,k) \rVert).\]

Autrement dit

\[f(x, y) \underset{(x,y) \to (x_0,y_0)}{=} f(x_0,y_0) + \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x-x_0) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) (y-y_0) + o(\lVert (x,y) - (x_0,y_0) \rVert).\]

Démonstration

Exemple

Remarque

Graphiquement le théorème précédent signifie que la surface représentative d'équation \(z = f(x,y)\) de la fonction \(f\) admet un plan tangent au point \((x_0,y_0)\) d'équation

\[z = f(x_0,y_0) + \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x-x_0) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) (y-y_0).\]

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Autrement dit \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\) est la pente du graphe suivant la première direction des \(x\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\) est la pente du graphe suivant la seconde direction des \(y\).

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Définition : Gradient

Si la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur l'ouvert \(U\) alors le gradient de la fonction \(f\) est la fonction \(\nabla f : U \longrightarrow \mathbb{R}^2\) définie par

\[\forall (x, y) \in U, \quad \nabla f(x,y) = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) \\ \dfrac{f}{\partial y}(x,y) \end{array} \right).\]

Exemple

Remarque

On la note également \(\nabla f = \overrightarrow{\text{grad}}(f)\).

Proposition

On considère un point \((x_0, y_0) \in U\). Si la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) au point \((x_0,y_0)\) alors

\[f(x_0 + h, y_0 + k) \underset{\lVert (h,k)\rVert \to 0}{=} f(x_0,y_0) + \left\langle \nabla f(x_0,y_0), \left( \begin{array}{c} h \\ k \end{array}\right) \right\rangle +o(\lVert (h,k) \rVert).\]

Autrement dit

\[f(x, y) \underset{ (x,y) \to (x_0,y_0)}{=} f(x_0,y_0) + \left\langle \nabla f(x_0,y_0), \left( \begin{array}{c} x-x_0 \\ y-y_0 \end{array}\right) \right\rangle +o(\lVert (x,y) - (x_0,y_0) \rVert).\]

Démonstration

Exemple

Remarque

Le gradient \(\nabla f(x_0,y_0)\) indique la direction de plus grande pente à partir du point \((x_0,y_0)\).

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III. Dérivées partielles et composées

Définition : Dérivée selon un vecteur

On considère un vecteur \(v\in \mathbb{R}^2\) et un point \(a \in U\). Alors on dit que la fonction \(f\) admet une dérivée au point \(a\) selon le vecteur \(v\) s'il existe \(l\in \mathbb{R}\) tel que

\[\dfrac{f(a+hv) - f(a)}{h} \underset{h\to 0}{\longrightarrow} l.\]

Dans ce cas le réel \(l\) est appelé dérivée de la fonction \(f\) au point \(a\) selon la direction \(v\) et est noté \(l = D_vf(a)\).

Exemple

Remarque

Autrement dit si la fonction réelle \(g\) définie par \(g(h) = f(a+hv)\), est définie au voisinage de \(0\) et y est dérivable. Dans ce cas nous avons \(D_v f(a) = g'(0)\).

Exemple

Proposition

On considère un vecteur \(v\in \mathbb{R}^2\) et un point \((x_0,y_0) \in U\). Si la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) au point \((x_0,y_0)\) alors la fonction \(f\) admet une dérivée partielle au point \((x_0,y_0)\) selon le vecteur \(v\) et

\[D_v f(a) = \langle \nabla f(x_0,y_0), v\rangle.\]

Démonstration

Exemple

Théorème : Règle de la chaîne (version paramétrisation)

On considère deux fonctions réelles \(x, y : I\longrightarrow \mathbb{R}\) telles que \((x(t),y(t)) \in U\) pour tout \(t\in I\). Si la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur l'ouvert \(U\) et les fonctions \(x\) et \(y\) sont de classes \(C^1\) sur l'intervalle \(I\) alors la fonction composée \(f \circ (x,y) : I \longrightarrow \mathbb{R}\) est de classe \(C^1\) sur l'intervalle \(I\) et

\[\forall t\in I, \quad (f\circ (x,y))'(t) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t)) x'(t) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x(t), y(t)) y'(t).\]

Démonstration

Exemple

Remarque

Il s'agit alors de la dérivée la fonction \(f\) le long de l'arc \(\gamma = (x,y)\) et, en notant \(\gamma' = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)\),

\[\forall t\in I, \quad (f\circ \gamma)(t) = \langle \nabla f(t), \gamma'(t)\rangle.\]

Corollaire

Si la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur l'ouvert \(U\). Alors son gradient \(\nabla f\) est orthogonal aux lignes de niveau de la fonction \(f\), autrement dit aux ensembles

\[\{(x,y) \in U, \quad f(x,y) = c\}, \quad c\in \mathbb{R}.\]

Démonstration

Exemple

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Théorème : Règle de la chaîne (version changement de variables)

On considère un ouvert \(V\) de l'espace $\mathbb{R}^2 et deux fonctions \(\varphi, \psi : V \longrightarrow \mathbb{R}\). On suppose que :

• \(\forall (u,v) \in V, (\varphi(u,v), \psi(u,v)) \in U\),

• les fonctions \(\varphi\) et \(\psi\) sont de classe \(C^1\) sur l'ouvert \(V\),

• la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur l'ouvert \(U\).

Alors la fonction \(f\circ (\varphi, \psi)\) est de classe \(C^1\) sur l'ouvert \(V\) et

\[\forall (u,v)\in V, \quad \dfrac{\partial (f\circ (\varphi,\psi))}{\partial u}(u,v) = \dfrac{\partial f}{\partial x} (\varphi(u,v), \psi(u,v)) \dfrac{\partial \varphi}{\partial u}(u,v) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(\varphi(u,v), \psi(u,v)) \dfrac{\partial \psi}{\partial v}(u,v).\]

Démonstration

Exemple

IV. Extrema

Définitions : Maximum global, minimum global

On dit que la fonction \(f\) admet un maximum global (respectivement un minimum global)$ sur l'ouvert \(U\) s'il existe \((x_0,y_0) \in U\) tel que, pour tout \((x,y) \in U, f(x,y) \leq f(x_0,y_0)\) (respectivement \(f(x,y) \geq f(x_0,y_0)\)). Dans ce cas on dit que le maximum global (respectivement minimum global) de la fonction \(f\) est atteint au point \((x_0, y_0)\).

Exemple

Définitions : Maximum local, minimum local

On dit que la fonction \(f\) admet un maximum local (respectivement un minimum local)$ sur l'ouvert \(U\) s'il existe \((x_0,y_0) \in U\) et un ouvert \(V \subset U\) contenant \((x_0,y_0)\) tels que la restriction \(f_{|V}\) admette un maximum local (respectivement un minimum local) au point \((x_0,y_0)\) sur l'ouvert \(V\). Dans ce cas on dit que un maximum local (respectivement minimum local) de la fonction \(f\) est atteint au point \((x_0, y_0)\).

Exemple

Remarque

Un maximum global (respectivement un minimum global) est un maximum local (respectivement un minimum loca). La réciproque n'est pas vérifiée.

Exemples

Maximum local non globalMinimum local non global

Définition : Point critique

On considère un point \((x_0, y_0) \in U\). Si la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur l'ouvert \(U\) alors on dit que le point \((x_0, y_0)\) de la fonction \(f\) si \(\nabla f(x_0,y_0) = 0_2\), autrement dit si \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\) = 0$.

Exemple

Proposition

On considère un point \((x_0,y_0) \in U\). Si la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur l'ouvert \(U\) et si le point \((x_0,y_0)\) est un extremum (maximum ou minimum) local de la fonction \(f\) alors le point \((x_0, y_0)\) est un point critque de la fonction \(f\).

Démonstration

Exemple

Remarque

La réciproque de la proposition précédente n'est pas vérifiée.

Exemple

Remarque

Il est important que la partie \(U\) soit un ouvert. En effet la fonction \(f\) pourrait avoir un extremum atteint en un point du bord de la partie \(U\) sans qu'il soit un point critique de la fonction \(f\).

Exemple