Cours

(Croiser les programmes)

Ce chapitre est au programme des classes préparatoires PTSI, TPC1 et ATS.

Objectifs du programme officiel :

Repérage dans l'espace

• Repère orthonormal (ou orthonormée) de l'espace, coordonnées cartésiennes

Produit scalaire

• Définition géométrique

• Expression dans une base orthonormale directe

• Bilinéarité, symétrie

Produit vectoriel dans l'espace orienté

• Définition géométrique

• Bilinéarité, antisymétrie

• Expression dans une base orthonormale directe

• Caractérisation de la colinéarité

Produit mixte ou déterminant dans l'espace orienté

• Définition

• Caractérisation de la coplanarité

• Interprétation comme le volume du parallélépipède

• Trilinéarité, antisymétrie

• Expression dans une base orthonormale

Plans et droites

• Différentes définitions d'un plan : par un point et deux vecteurs non colinéaires, par un point et vecteur normal, par trois points non alignés

• Détermination de l'équation cartésienne ou du système d'équations paramétriques, passage de l'un à l'autre

• Différentes définitions d'une droite : par un point et un vecteur directeur, par deux points distincts, par intersection de deux plans

• Détermination d'un vecteur directeur d'une droite définie par intersection de deux plans

• Détermination d'un système d'équations cartésiennes ou d'un système d'équations paramétriques d'une droite

• Passage d'une représentation à une autre

• Etude des intersections

• Distance d'un point à un plan, d'un point à une droite

• Détermination du projeté orthogonal d'un point sur une droite, sur un plan

Sphères

• Définition, équation cartésienne en repère orthonormée

• Détermination de l'équation à partir de son centre et de son rayon

• Détermination du centre et de son rayon à partir de son équation

• Détermination de l'intersection entre une sphère et un plan

I. Repérage dans l'espace

Définition : base et repère

• Une base de l'espace \(\mathbb{R}^3\) est un triple de vecteurs \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) de \(\mathbb{R}^3\) tels qu'aucun d'entre eux soit combinaison linéaire des deux autres.

• Un repère de l'espace est un quadruplet \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) où \(O\) est un point de l'espace \(\mathbb{R}^3\) et \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) une base de l'espace.

Exemple

(insérer une image)

Remarque

Le point \(0\) est alors appelé origine du repère et les droites passant \(O\) dirigées par les vecteurs \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{k}\) sont appelés axes du repère et sont souvent noté \((Ox), (Oy)\) et \((Oz)\).

Remarque

La condition sur les vecteurs \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{k}\) peut aussi être formulée par les façons suivantes.

• Les vecteurs \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{k}\) sont non coplanaires : ils ne sont pas inclus dans un même plan vectoriel.

• Les vecteurs \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{k}\) forment une famille libre (on dit également linéairement indépendants) :

\[\forall a,b,c\in \mathbb{R}, \quad a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{k} + c\overrightarrow{k} = 0 \quad \Longrightarrow \quad a = b = c = 0.\]

Dans le cas contraire on dit que la famille est liée (ou linéairement dépendants).

Proposition : Existence et unicité des coordonnées cartésiennes

On considère un repère \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\) et un point \(A \in \mathbb{R}^3\). Alors il existe un unique triplet de réels \((x_A, y_A, z_A) \in \mathbb{R}^3\) tel que

\[\overrightarrow{OA} = x_A \overrightarrow{i} + y_A \overrightarrow{j} + z_A \overrightarrow{k}.\]

Les réels \(x_A, y_A\) et \(z_A\) sont alors appelés coordonnées cartésiennes du point \(A\) dans le repère \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\).

Démonstration

Exemple

Définition : Repères orthogonal, orthonormal, orthonormal direct

On considère un repère \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\) et un point \(A \in \mathbb{R}^3\).

• On dit que ce repère est orthognal si les vecteurs \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\) sont orthogonaux deux à deux.

• On dit que ce repère est orthonormal si les vecteurs \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\) sont orthogonaux deux à deux et de normes égales à \(1\).

• On dit que ce repère est orthonormal direct si les vecteurs \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\) sont de normes égales à \(1\) et d'angles orientés \(\widehat{\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}}, \widehat{\overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}}, \widehat{\overrightarrow{k}, \overrightarrow{i}}\) égaux à \(\dfrac{\pi}{2}\).

Démonstration

Exemples

Repère orthogonalRepère orthonormalRepère orthonormal direct

(insérer une image)

(insérer une image)

(insérer une image)

Définition : Repère cylindrique

Exemple

Proposition : Existence et unicité des coordonnées cylindriques

Exemple

Proposition : Existence et unicité des coordonnées sphériques

Exemple

II. Produit scalaire

Définition : Norme euclidienne dans l'espace

On considère un vecteur \(\overrightarrow{u}\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\) de coordonnées \((x,y,z)\) dans une certaine base orthonormale de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors sa norme euclidienne par rapport à cette base est définie par

\[\lVert \overrightarrow{u} \rVert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.\]

Exemple

Remarque

Nous avons également la distance entre deux points \(A\) et \(B\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\) dans un repère orthonormée

\[d(A,B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 + (z_A - z_B)^2}.\]

Exemple

Définition : Produit scalaire entre deux vecteurs de l'espace

On considère deux vecteurs non nul du l'espace \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\). Alors le produit scalaire entre ces deux vecteurs est défini par

\[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \lVert \overrightarrow{u} \rVert \lVert \overrightarrow{v} \rVert \cos(\widehat{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}}).\]

Si l'un des deux vecteurs est nul alors on le définit par

\[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0.\]

Exemple

Proposition

L'application produit scalaire est :

• bilinéaire :

\[\forall \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \in \mathbb{R}^3, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad (\lambda \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}) + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}, \quad \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \lambda (\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w},\]

• symétrique :

\[\forall \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \in \mathbb{R}^3, \quad \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}.\]

Démonstration

Proposition

On considère une base orthonormale \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) et deux vecteurs \(\overrightarrow{u},\overright{v}\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Alors, en notant

\[\overrightarrow{u} = x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j} + z_1 \overrightarrow{k}, \quad \overrightarrow{v} = x_2 \overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j} + z_3 \overrightarrow{k},\]

nous avons

\[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2.\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors

\[\lVert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \rVert^2 = \lVert \overrightarrow{u} \rVert^2 + \lVert \overrightarrow{v} \rVert^2 + 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}.\]

Autrement dit

\[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \dfrac{\lVert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \rVert^2 - \lVert \overrightarrow{u} \rVert^2 - \lVert \overrightarrow{v} \rVert^2}{2}.\]

Démonstration

Proposition

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont orthogonaux si et seulement si \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = 0\).

Démonstration

Exemples

Vecteurs orthogonauxVecteurs non orthogonaux

Proposition

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) non nuls de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors l'angle \(\theta = \widehat{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}}\) vérfie

\[\cos(\theta) = \dfrac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert \lVert \overrightarrow{v}}.\]

Démonstration

Exemple

III. Produit vectoriel dans l'espace orienté

Définition : Produit vectoriel entre deux vecteurs de l'espace

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarow{v}\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\).

• Si les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont non colinéaires alors leur produit vectoriel \(\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}\) est défini par le vecteur directement orthogonal au plan \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) de norme \(\lVert \overrightarrow{u} \rVert \lVert \overrightarrow{v}\rVert |\sin(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})|\) :

\[\widehat{\overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}} = \widehat{\overrightarrow{w}, \overrightarrow{u}} = \dfrac{\pi}{2}, \quad \lVert \overrightarrow{w} \rVert = \lVert \overrightarrow{u} \rVert \lVert \overrightarrow{v}\rVert |\sin(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})|.\]

• Si les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires alors leur produit vectoriel \(\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}\) est défini par le vecteur nul :

\[\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}.\]

Exemple

Remarque

Dans le premier cas les vecteurs \(\overightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\) forment une base directe de l'espace vectoriel \(\mathbb{R}^3\).

Proposition

L'application produit vectoriel \(\wedge : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3\) est :

• bilinéaire :

\[\forall \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \in \mathbb{R}^3, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad (\lambda \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \wedge \overrightarrow{w} = \lambda (\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{w}) + \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{w}, \quad \overrightarrow{u}\wedge(\lambda \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \lambda (\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{w},\]

• antisymétrique :

\[\forall \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \in \mathbb{R}^3, \quad \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} = - (\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{u}).\]

Démonstration

Proposition

On considère une base orthonormée directe \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) et deux vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors, en notant

\[\overrightarrow{u} = x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j} + z_1 \overrightarrow{k}, \quad \overrightarrow{v} = x_2 \overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j} + z_2 \overrightarrow{k},\]

nous avons

\[\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} = (y_1 z_2 - y_2 z_1) \overrightarrow{i} + (z_1 x_2 - z_2 x_1) \overrightarrow{j} + (x_1 y_2 - x_2 y_1) \overrightarrow{k} = \left(\begin{array}{c} y_1 z_2 - y_2 z_1 \\ z_1 x_2 - z_2 x_1 \\ x_1 y_2 - x_2 y_1 \end{array} \right).\]

Démonstration

Exemple

Remarque

Nous pouvons représenter le produit vectoriel de la façon suivante :

(insérer une image)

Proposition

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si \(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\).

Démonstration

Exemples

Vecteurs colinéairesVecteurs non colinéaires

Proposition

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors la norme de leur produit vectoriel \(\lVert \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \rVert\) est égal à l'aire orientée du parallélogramme \(OACB\) avec \(A = O + \overrightarrow{u}, B = O + \overrightarrow{v}\) et \(C = O + \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\).

(insérer une image)

Démonstration

Exemple

IV. Produit mixte ou déterminant dans l'espace orienté

Définition : Déterminer ou produit mixte

On considère trois vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors leur produit mixite (ou déterminant) est défini par

\[[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = (\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}.\]

Exemple

Proposition

On considère trois vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors la valeur absolue de leur déterminant (ou produit mixte) \(|[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}]|\) est égal au volume du parallélépipède \(OABCDEFG\) avec \(A = O + \overrightarrow{u}, B = O + \overrightarrow{v}\) et \(C = O + \overrightarrow{w}\).

(insérer une image)

Démonstration

Exemple

Proposition

L'application déterminant (ou produit mixte) \([\cdot, \cdot, \cdot] : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}\) est :

• trilinéaire :

\[\forall \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}, \overrightarrow{x} \in \mathbb{R}^3, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad [\lambda \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}, \overrightarrow{x}] = \lambda [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{w}, \overrightarrow{x}] + [\overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}, \overrightarrow{x}], \quad [\overrightarrow{u}, \lambda \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}, \overrightarrow{x}] = \lambda [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{x}] + [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{w}, \overrightarrow{x}], \quad [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \lambda \overrightarrow{w} + \overrightarrow{x}] = \lambda [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] + [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{x}]\]

• antisymétrique :

\[\forall \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \in \mathbb{R}^3, \quad [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = - [\overrightarrow{w}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}].\]

Démonstration

Proposition

On considère une base orthonormée directe \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) et trois vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{k}\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors, en notant

\[\overrightarrow{u} = x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j} + z_1 \overrightarrow{k}, \quad \overrightarrow{v} = x_2 \overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j} + z_2 \overrightarrow{k}, \quad \overrightarrow{w} = x_3 \overrightarrow{i} + y_3 \overrightarrow{j} + z_3 \overrightarrow{k},\]

nous avons

\[[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = x_3 \left[ \left( \begin{array}{c} y_1 \\ z_1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} y_2 \\ z_2 \end{array} \right) \right] - y_3 \left[ \left( \begin{array}{c} x_1 \\ z_1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} x_2 \\ z_2 \end{array} \right) \right] + z_3 \left[ \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right) \right] = x_1y_2z_3 + y_1z_2x_3 + z_1x_2y_3 - x_1 z_2 y_3 - y_1 x_2 z_3 - z_1 y_2 x_3.\]

Démonstration

Exemple

Remarque

Nous pouvons représenter le calcul du déterminant de la manière suivante :

(insérer une image)

Proposition

On considère trois vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors les vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont coplanaires si et seulement si \([\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = 0\).

Démonstration

Exemples

Vecteurs coplanairesVecteurs non coplanaires

V. Plans

Définition : Plan dans l'espace

Une plan de l'espace \(\mathbb{R}^3\) non verticale est l'ensemble des points \(A(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\) tels que

\[z = ax +by +c\]

avec \(a,b, c\in \mathbb{R}\). Et un plan verticale est l'ensemble des points \(A(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\) tels que

\[z = c\]

avec \(c\in \mathbb{R}\).

Exemple

Proposition

Un plan de l'espace \(\mathbb{R}^3\) est entièrement déterminée par sa représentation paramétrique

\[\begin{cases} x(t) & = & x_A + a_1t_1 + a_2t_2 \\ y(t) & = & y_A + b_1t_1 + b_2 t_2 \\ z(t) & = & z_A + c_1t_1 + c_2 t_2 \end{cases}, \quad t_1, t_2\in \mathbb{R}\]

avec \(A(x_A, y_A, z_A)\) point du plan et \(a_1, a_2,b_1, b_2,c_1, c_2 \in \mathbb{R}\) tels que les vecteurs \(\left( \begin{array}{c} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \right)\) et \(\left( \begin{array}{c} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \right)\) soient non colinéaires.

Démonstration

Exemple

Proposition

Un plan de l'espace \(\mathbb{R}^3\) est entièremement déterminée par son équation cartésienne

\[a x + b y + c z = d,\]

avec \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\) et \((a,b,c) \neq (0,0,0)\).

Démonstration

Exemple

Définition : Vecteurs directeurs, vecteur normal

On considère un plan \(P\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\) et deux vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \in \mathbb{R}^3\) non nuls.

• On dit que les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont des vecteurs directeurs du plan \(P\) s'ils ne sont pas colinéaires et pour tout \(A,B \in P\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont coplanaires.

• On dit que le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur normal du plan \(P\) si si pour tout \(A,B \in P\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont orthogonaux.

Exemples

Vecteurs directeursVecteur normal

Remarque

Dans la représentation paramétrique d'un plan

\[\begin{cases} x(t) & = & x_A + a_1t_1 + a_2t_2 \\ y(t) & = & y_A + b_1t_1 + b_2 t_2 \\ z(t) & = & z_A + c_1t_1 + c_2 t_2 \end{cases}, \quad t_1, t_2\in \mathbb{R}\]

les vecteur \(\left( \begin{array}{c} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{array} \right)\) et \(\left( \begin{array}{c} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{array} \right)\) sont des vecteurs directeurs du plan.

Proposition

On considère un plan \(P\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors le plan \(P\) est entièrement déterminée par :

• Trois points distincts \(A(x_A,y_A,z_A), B(x_B, y_B, z_B), C(x_C, y_C, z_C)\) du plan \(P\) non alignés. En effet l'équation cartésienne de la droite \(P\) est alors

\[(x_A - x_B) (y - y_A) - (y_A - y_B) (x - x_A) + (z - z)(z-z_A) = 0.\]

• Un point \(A(x_A,y_A,z_A)\) du plan \(P\) et deux vecteurs directeurs \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{array} \right)\) et \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{array}{c} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{array} \right)\) au plan \(P\). En effet l'équation cartésienne du plan \(P\) est alors

\[ = 0.\]

• Un point \(A(x_A, y_A, z_A)\) du plan \(P\) et un vecteur normal \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right)\) au plan \(P\). En effet l'équation cartésienne du plan \(P\) est alors

\[a (x-x_A) + b (y - y_A) + c(z-z_A) = 0.\]

Démonstration

Exemples

A partir de trois points non alignésA partir d'un point et de deux vecteurs directeursA partir d'un point et d'un vecteur normal

Proposition

(projeté orthogonal sur un plan)

VI. Droites

Définition

Une droite de l'espace \(\mathbb{R}^3\) non verticale est l'ensemble des points \(A(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\) tels que

\[y = a_1x+b_1, \quad z = a_2 x + b_2\]

avec \(a_1, a_2,b_1, b_2\in \mathbb{R}\). Et une droite verticale est l'ensemble des points \(A(x,y,z) \in \mathbb{R}^2\) tels que

\[x = c\]

avec \(c\in \mathbb{R}\).

Exemple

Proposition

Une droite de l'espace \(\mathbb{R}^3\) est entièrement déterminée par sa représentation paramétrique

\[\begin{cases} x(t) & = & x_A + at \\ y(t) & = & y_A + bt \\ z(t) & = & z_A + ct \end{cases}, \quad t\in \mathbb{R}\]

avec \(A(x_A, y_A, z_A)\) point de la droite et \(a,b,c \in \mathbb{R}\) tels que \((a,b,c) \neq (0,0)\).

Démonstration

Exemple

Proposition

Une droite de l'espace \(\mathbb{R}^3\) est entièremement déterminée par son système d'équation cartésienne

\[\begin{cases} a_1 x & + & b_1 y & + & c_1 z & = d_1 \\ a_2 x & + & b_2 y & + & c_2 z & = & d_2 \end{cases},\]

avec \(a_1, a_2,b_1, b_2, c_1, c_2, d_1, d_2 \in \mathbb{R}\) et \((a_1,b_1,c_1, d_1)\) et \((a_2, b_2, c_2, d_2)\) non proportiennels.

Démonstration

Exemple

Définition : Vecteur directeur, vecteurs normaux

On considère une droite \(D\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\) et deux vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \in \mathbb{R}^3\) non nuls.

• On dit que le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur directeur de la droite \(D\) si pour tout \(A,B \in D\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaire.

• On dit que les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont des vecteurs normaux de la droite \(D\) s'ils ne sont pas colinéaires et pour tout \(A,B \in D\), le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est orthogonal aux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).

Exemples

Vecteur directeurVecteurs normaux

Remarque

Autrement dit le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur directeur de la droite \(D\) si

\[\forall A\in D, \quad A + \overrightarrow{u} \in B.\]

On pourra alors noter

\[D = A + \text{Vect}(u).\]

Remarque

Dans la représentation paramétrique d'une droite

\[\begin{cases} x(t) & = & x_A + at \\ y(t) & = & y_A + bt \\ z(t) & = & z_A + ct \end{cases}, \quad t\in \mathbb{R}\]

le vecteur \(\left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right)\) est un vecteur directeur de la droite.

Proposition

On considère une droite \(D\) de l'espace \(\mathbb{R}^3\). Alors la droite \(D\) est entièrement déterminée par :

• Deux points distincts \(A(x_A,y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B)\) de la droite \(D\). En effet le système d'équations cartésiennes de la droite \(D\) est alors

$$$$

• Un point \(A(x_A,y_A, z_A)\) de la droite \(D\) et un vecteur directeur \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\) à la droite \(D\). En effet le système d'équations cartésiennes de la droite \(D\) est alors

$$$$

• Un point \(A(x_A, y_A)\) de la droite \(D\) et deux vecteurs normaux \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{array} \right)\) et \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{array}{c} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{array} \right)\) à la droite \(D\). En effet le système d'équations cartésiennes de la droite \(D\) est alors

$$$$

Démonstration

Exemples

A partir de deux points distinctsA partir d'un point et d'un vecteur directeurA partir d'un point et de deux vecteurs normaux

Définition : Ligne de niveau

Exemple

Proposition

Démonstration

Exemple

Proposition

Démonstration

Exemple

Définition : Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Exemple

Remarque

Lemme

Démonstration

Proposition

(projeté orthogonal sur une drotie)

Démonstration

Exemples

Avec un vecteur directeurAvec deux vecteurs normaux

Remarque

Exemple

Définition : Distance entre une droite et un point

Exemple

Remarque

Proposition

(distance)

Démonstration

Exemples

Avec un vecteur directeurAvec deux vecteurs normauxAvec une équation cartésienne

VII. Sphères

VIII. Intersections de plans, de droites et de sphères