Exercices

Comparaisons et limites de fonctions numériques

Exercices d'apprentissage

Exercice

Déterminer un équivalent simple des fonctions fonctions suivantes en \(+\infty\).

1. \(x \longmapsto (x+1)e^{x+1}\)

Correction

2. \(x \longmapsto \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1}\)

Correction

3. \(x \longmapsto (x+1) \ln(x) - x \ln(x+1)\)

Correction

4. \(x \longmapsto \dfrac{\sqrt{x^3 + 2}}{^3 \sqrt{x^2 + 3}}\)

Correction

Nous avons

\[\dfrac{~\sqrt{x^3 + 2}}{^3 \sqrt{x^2 + 3}~}{x^{\frac{5}{6}}} = \dfrac{~\sqrt{x^3 + 2}}{^3 \sqrt{x^2 + 3}~}{x^{\frac{3}{2} - \dfrac{2}{3}}} = \dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{2}{x^3}}}{^3\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^2}}} \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} 1.\]

Donc

\[\dfrac{\sqrt{x^3 + 2}}{^3 \sqrt{x^2 + 3}} \underset{x\to +\infty}{\sim} x^{\frac{5}{6}}.\]

Exercice

Déterminer un équivalent simple des fonctions suivantes en \(0\).

1. \(x\longmapsto \sqrt{x} - x + 2 x^{\frac{3}{2}}\)

Correction

2. \(x \longmapsto \dfrac{2\ln(x) + \sqrt{x}}{\dfrac{1}{x} - 2\ln(x)}\)

Correction

Nous avons

\[\dfrac{~\dfrac{2\ln(x) + \sqrt{x}}{\dfrac{1}{x} - 2\ln(x)}~}{~ 2 x \ln(x)~} = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{x}}{2\ln(x)}}{1 - 2\ln(x)x} \underset{x\to 0}{\longrightarrow} 1.\]

Donc

\[\dfrac{2\ln(x) + \sqrt{x}}{\dfrac{1}{x} - 2\ln(x)} \underset{x\to +\infty}{\sim} 2x\ln(x).\]

3. \(x\longmapsto \ln(\sin(x))\)

Correction

4. \(x\longmapsto e^x + x - 1\)

Correction

Exercice

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) décroissante telle

\[f(x) + f(x+1) \underset{x\to +\infty}{\sim} \dfrac{1}{x}.\]

1. Etudier la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

Correction

La fonction \(f\) est décroissante donc converge vers \(\ell \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}\). Donc \(f(x+1) \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} \ell\) et \(f(x) + f(x+1) \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} 2 \ell\). Or

\[f(x) + f(x+1) \underset{x\to +\infty}{\sim} \dfrac{1}{x}.\]

Donc, par conservation de la limite par équivalence, \(2 \ell = 0\) i.e. \(\ell = 0\).

2. Déterminer un équivalent de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

Correction

Nous avons par décroissance de la fonction \(f\)

\[f(x) + f(x+1) \leq 2f(x) \leq f(x) + f(x-1),\]

avec

\[f(x) + f(x+1), f(x)+ f(x-1) \underset{x\to +\infty}{\sim} \dfrac{1}{x}.\]

Donc, par encadrement,

\[f(x) \underset{x\to +\infty}{\sim} \dfrac{1}{2x}.\]

Exercice

Etudier les limites suivantes.

1. \(\lim_{x\to 1} \dfrac{\ln(x)}{x-1}\)

Correction

2. \(\lim_{x\to 0} \dfrac{e^{2x} - e^x}{x}\)

Correction

3. \(\lim_{x\to 0} \left( \dfrac{1}{(\sin(x))^2} - \dfrac{1}{x^2} \right)\)$

Correction

4. \(\lim_{x\to +\infty} \left( \cos \left( \dfrac{1}{x} \right) \right)^{x^2}\)

Correction

5. \(\lim_{x\to +\infty} \dfrac{xe^{-x} + x^2}{x - \ln(x)}\)

Correction

6. \(\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sqrt{xe^x - x^2}}{e^x + e^{-x}}\)

Correction

7. \(\lim_{x\to 0} \dfrac{x+\sin(x)}{x\ln(x)}\)

Correction

8. \(\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln(x)}{x^2 - 1}\)

Correction

9. \(\lim_{x\to +\infty} \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\text{ch}(x)} \right)^{\frac{1}{x}}\).

Correction

Nous avons

\[\left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\text{ch}(x)} \right)^{\frac{1}{x}} = \exp \left( \dfrac{1}{x} \ln \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\text{ch}(x)} \right) \right) = \exp \left( \dfrac{1}{x} \ln \left(\dfrac{1}{x}\left(1 - \dfrac{x}{\text{ch}(x)}\right) \right) \right) = \exp \left( \dfrac{1}{x} \left( -\ln (x) + \ln \left(1 - \dfrac{x}{\text{ch}(x)}\right) \right) \right)\]

avec \(\dfrac{x}{\text{ch}(x)} \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} 0\) et donc

\[\ln \left(1 - \dfrac{x}{\text{ch}(x)}\right) \underset{x\to +\infty}{=} - \dfrac{x}{\text{ch}(x)} + o\left( \dfrac{x}{\text{ch}(x)} \right).\]

Ainsi

\[\left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\text{ch}(x)} \right)^{\frac{1}{x}} \underset{x\to +\infty}{=} \exp \left( \dfrac{1}{x} \left(- \ln(x) - \dfrac{x}{\text{ch}(x)} + o\left( \dfrac{x}{\text{ch}(x)} \right) \right) \right) = \exp \left( - \dfrac{\ln(x)}{x} - \dfrac{1}{\text{ch}(x)} + o\left( \dfrac{1}{\text{ch}(x)} \right) \right) \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} \exp(0) = 1.\]

Exercices d'entrainement

Exercice

1. Etablir que pour tout \(y\in \mathbb{R}_+\) il existe un unique \(f(y) = x\in \mathbb{R}_+\) tel que

\[xe^x = y.\]

Correction

2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) définie précédemment en \(+\infty\).

Correction

3. Déterminer un équivalent simple de la fonction \(f\) en \(+\infty\)

Correction

Exercice

On considère

\[f(x) = x + \ln(x) - 1, \quad x\in \mathbb{R}_+^*.\]

1. Montrer que la fonction \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}_+^*\) vers un intervalle à préciser.

Correction

La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) de fonction dérivée

\[f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} > 0.\]

Donc la fonction \(f\) est strictement croissante donc injective. De plus

\[f(x) \underset{x\to 0}{\longrightarrow} -\infty, \quad f(x) \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} +\infty.\]

Ainsi la fonction \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}_+^*\) vers \(\mathbb{R}\).

2. Déterminer le développement limité à l'ordre 2 de la fonction réciproque \(f^{-1}\) en \(0\).

Correction

La fonction \(f\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) de fonction dérivée strictement positive, donc la fonction réciproque est de classe \(C^\infty\). Ainsi la fonction réciproque \(f^{-1}\) admet un développement limité à l'ordre 2 en \(0\) (par la formule de Taylor-Young) :

\[f^{-1}(y) \underset{y\to 0}{=} a + by + cy^2 + o(y^2).\]

Or l'unique antécédent de \(0\) par la fonction \(f\) est \(x = 1\). Donc \(a = 1\) et

\[y = f(f^{-1}(y)) \underset{y\to 0}{=} f(1 + by + cy^2 + o(y^2)),\]

avec

\[f(1+h) = h + \ln(1 + h) \underset{x-1\to 0}{=} h + h - \dfrac{h^2}{2} + o(h^2) = 2h - \dfrac{h^2}{2} + o(h^2).\]

Ainsi

\[y \underset{y \to 0}{=} 2(by+cy^2 + o(y^2)) - \dfrac{(by + cy^2 + o(y^2))^2}{2} + o((by+cy^2 + o(y^2))^2) = 2by + \left( 2c - \dfrac{b^2}{2} \right) y^2 + o(y^2).\]

Donc par unicité d'un développement limité

\[b = \dfrac{1}{2}, \quad c = \dfrac{b^2}{4} = \dfrac{1}{16}.\]

Autrement dit

\[f^{-1}(y) \underset{y\to 0}{=} 1 + \dfrac{y}{2} + \dfrac{y^2}{16} + o(y^2).\]

3. Déterminer un équivalent simple de la fonction \(f^{-1}\) en \(+\infty\). Faire de même en \(-\infty\).

Correction

Nous avons, comme \(f(x) \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} +\infty\),

\[f^{-1}(y) \underset{y\to +\infty}{\longrightarrow} +\infty.\]

De plus

\[f^{-1}(y) + \ln(f^{-1}(y)) - 1 = y.\]

Donc

\[y = f^{-1}(y) + \ln(f^{-1}(y)) - 1 \underset{y\to +\infty}{=} f^{-1}(y) + o(f^{-1}(y)).\]

Autrement dit

\[\dfrac{y}{f^{-1}(y)} = 1 + \dfrac{\ln(f^{-1}(y))}{f^{-1}(y)} - \dfrac{1}{f^{-1}(y)} \underset{y\to +\infty}{\longrightarrow} 1.\]

Ainsi

\[f^{-1}(y) \underset{y\to +\infty}{\sim} y.\]

On procède de la même manière en \(-\infty\). Nous avons, comme \(f(x) \underset{x\to 0}{\longrightarrow} -\infty\),

\[f^{-1}(y) \underset{y \to -\infty}{\longrightarrow} 0.\]

De plus

\[f^{-1}(y) + \ln(f^{-1}(y)) - 1 = y.\]

i.e.

\[\ln(f^{-1}(y)) = y + 1 - f^{-1}(y)\]

i.e., après passage à l'exponentielle,

\[f^{-1}(y) = e^{y+1} e^{-f^{-1}(y)}.\]

Donc

\[\dfrac{f^{-1}(y)}{e^{y+1}} = e^{-f^{-1}(y)} \underset{y\to -\infty}{\longrightarrow} 1.\]

Ainsi

\[f^{-1}(y) \underset{y\to -\infty}{\sim} e^{y+1}.\]

Exercice

1. Soient \(f,g : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(a \in \partial I\). On suppose

\[f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} 1, \quad g(x)(f(x) - 1) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ell \in \overline{\mathbb{R}}.\]

Etudier la limite de la fonction \(x\longmapsto (f(x))^{g(x)}\) en \(a\).

Correction

2. En déduire la limite

\[\lim_{x\to +\infty} \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln(2x)}{\ln(x)} \right)^{\ln(x)}.\]

Correction

Exercice d'approfondissement

Exercice

Soit \(f : \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}\) telle que

\[\lim_{x\to 0} f(x) = 0, \quad \lim_{x\to 0} \dfrac{f(x) - f\left( \dfrac{x}{2}\right)}{\sqrt{x}} = 1.\]

Déterminer un équivalent simple de la fonction \(f\) en \(0\).

Correction

Exercice

Soit

\[f(x) = \dfrac{x+1}{x} e^x, \quad x\in \mathbb{R}^*.\]

1. Montrer que l'équation \(f(x) = \lambda\) admet deux solutions \(a(\lambda) < b(\lambda)\) pour \(\lambda\) asseez grand.

Correction

2. Déterminer

\[\lim_{\lambda \to +\infty} (b(\lambda))^{a(\lambda)}.\]

Correction

Développements limités et asymptotiques de fonctions numériques

Exercices d'apprentissage

Exercice

Calculer les développement limités des fonctions suivantes.

1. \(x\longmapsto \dfrac{e^x}{x}\) à l'ordre 2 en \(1\).

Correction

Nous avons

\[\dfrac{e^x}{x} = e \dfrac{e^{x-1}}{1+x-1} \underset{x\to 1}{=} e \left(1 + (x-1) + \dfrac{(x-1)^2}{2} + o((x-1)^2)\right) \left( 1 - (x-1) + (x-1)^2 + o((x-1)^2) \right) = e + \dfrac{e}{2} (x-1)^2 + o((x-1)^2).\]

2. \(x\longmapsto \ln(1+e^x)\) à l'ordre 3 en \(0\).

Correction

3. \(x\longmapsto \dfrac{1}{1+\cos(x)}\) à l'ordre 4 en \(0\).

Correction

4. \(x\longmapsto \sqrt{3 + \text{ch}(x)}\) à l'ordre 3 en \(0\).

Correction

Nous avons

\[\sqrt{3 + \text{ch}(x)} \underset{x\to 0}{=} \sqrt{3 + 1 + \dfrac{x^2}{2} + o(x^3)} = 2 \sqrt{1 + \dfrac{x^2}{8} + o(x^3)} \underset{x\to 0}{=} 2 \left( 1+ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2}{8} + o(x^3)\right)\right) = 2 + \dfrac{x^2}{8} + o(x^3).\]

5. \(x\longmapsto \sin(x) e^x\) à l'ordre 2 en \(0\).

Correction

6. \(x\longmapsto \dfrac{\text{sh}(x)}{\ln(1+x)}\) à l'ordre 2 en \(0\).

Correction

Nous avons

\[\text{sh}(x) \underset{x \to 0}{=} x + \dfrac{x^3}{6} + o(x^4)\]

et

\[\dfrac{1}{\ln(1+x)} \underset{x\to 0}{=} \dfrac{1}{x- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)}.\]

Donc

\[\dfrac{\text{sh}(x)}{\ln(1+x)} \underset{x \to 0}{=} \dfrac{1+\dfrac{x^2}{6} + o(x^3)}{1-\dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{3} + o(x^2)} \underset{x\to 0}{=} \left(1 + \dfrac{x^2}{6} + o(x^3) \right)\left( 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{3} + o(x^2) + \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{3} + o(x^2) \right)^2 + o\left(\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{3} + o(x^2) \right)^2\right) \right).\]

Ainsi

\[\dfrac{\text{sh}(x)}{\ln(1+x)} \underset{x \to 0}{=} 1 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{12} + o(x^2).\]

Exercice

Soit \(f : ~]-1,0[~ \cup ~]0,+\infty[~\longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[f(x) = \dfrac{\ln(1+x) - x}{x^2}.\]

1. Montrer que la fonction \(f\) peut être prolongée par continuité en \(0\) et que ce prolongement est alors dérivable en \(0\).

Correction

Nous avons

\[f(x) = \dfrac{\ln(1+x) - x}{x^2} \underset{x\to 0}{=} \dfrac{x-\dfrac{x^2}{2} + o(x^2) - x}{x^2} = -\dfrac{1}{2} + o(1).\]

Donc la fonction \(f\) peut être prolongée de façon fonctinue en \(0\) par la valeur \(-\dfrac{1}{2}\). De même

\[f(x) \underset{x\to 0}{=} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{3} + o(x).\]

Ainsi le prolongement de la fonction est dérivable en \(0\) de dérivée \(f'(0) = \dfrac{1}{3}\).

2. Quelle est alors la position relative de la courbe de la fonction \(f\) par rapport à sa tangente en \(0\) ?

Correction

Nous avons de même

\[f(x) \underset{x\to 0}{=} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{3} - \dfrac{x^2}{4} + o(x^2).\]

Ainsi

\[f(x) - \left( - \dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{3} \right) \underset{x\to 0}{=} - \dfrac{x^2}{4}(1+o(1)) < 0.\]

Donc, au voisinage de \(0\), nous avons la courbe de la fonction \(f\) qui est en dessous de sa tangente en \(0\).

Exercice

Déterminer les développements asymptotiques des fonctions suivantes.

1. \(x\longmapsto \dfrac{1}{e^x - 1}\) en \(0\) à l'ordre 3

Correction

2. \(x\longmapsto \ln(x+1)\) en \(+\infty\) à l'ordre 3

Correction

3. \(x\longmapsto \dfrac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}}\) en \(0\) à la précision \(x^{\frac{5}{2}}\)

Correction

Nous avons

\[\dfrac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}} \underset{x\to 0}{=} \dfrac{x-\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}} - \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{3} + o(x^{\frac{5}{2}}).\]

4. \(x\longmapsto x^x\) en \(0\) à la précision \((x\ln(x))^2\)

Correction

Nous avons, comme \(x\ln(x) \underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0\),

\[x^x = \exp(x\ln(x)) \underset{x\to 0}{=} 1 + x\ln(x) + \dfrac{(x\ln(x))^2}{2} + o((x\ln(x))^2).\]

Exercices d'entrainement

Exercice

Déterminer les développements limites suivants.

1. \(x\longmapsto \ln(1+e^x)\) à l'ordre 3 en \(0\).

Correction

2. \(x\longmapsto e^{\sqrt{1+x}}\) à l'ordre 3 en \(0\).

Correction

3. \(x\longmapsto (1+x)^{\frac{1}{x}}\) à l'ordre 2 en \(0\).

Correction

4. \(x\longmapsto \dfrac{\ln(1+x)}{e^x - 1}\) à l'ordre 3 en \(0\).

Correction

5. \(x \longmapsto \dfrac{x - \sin(x)}{1 - \cos(x)}\) à l'ordre 3 en \(0\).

Correction

Nous avons

\[x- \sin(x) \underset{x\to 0}{=} \dfrac{x^3}{6} - \dfrac{x^5}{120} + o(x^6), \quad 1- \cos(x) \underset{x \to 0}{=} \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{24} + o(x^5).\]

Donc

\[\dfrac{x - \sin(x)}{1-\cos(x)} \underset{x\to 0}{=} \dfrac{\dfrac{x}{3} - \dfrac{x^3}{60} + o(x^4)}{1 - \dfrac{x^2}{12} + o(x^3)},\]

avec

\[\dfrac{1}{1- \dfrac{x^2}{12} + o(x^3)} \underset{x\to 0}{=} 1 + \dfrac{x^2}{12} + o(x^3).\]

Donc

\[\dfrac{x - \sin(x)}{1-\cos(x)} \underset{x\to 0}{=} \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{x^3}{60} + o(x^4) \right) \left(1 + \dfrac{x^2}{12} + o(x^3)\right) = \dfrac{x}{3} + \dfrac{x^3}{90} + o(x^3).\]

6. \(\arctan\) à l'ordre 3 en \(1\).

Correction

Exercice

On considère la fonction \(f : ~]-1,+\infty[~ \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[f(x) = x + \ln(1+x), \quad x\in ~]-1,+\infty[.\]

1. Montrer que la fonction \(f\) est bijective.

Correction

2. Montrer que la bijection réciproque \(f^{-1}\) est de classe \(C^\infty\).

Correction

3. Déterminer le développement limité de la fonction réciproque \(f^{-1}\) à l'ordre 3 en \(0\).

Correction

Exercice

Soient \(n\in \mathbb{N}\) tel que \(n\geq 2\), et \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[f(0) = 0, \quad f(x) = x^n \sin \left( \dfrac{1}{x} \right), x\in \mathbb{R}^*.\]

1. Montrer que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Correction

2. La fonction \(f\) admet-elle un développement limite en \(0\) ? Si quel est l'ordre maximal de ce développement limité ?

Correction

Exercice

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[f(0) = 0, \quad f(x) = e^{- \frac{1}{x^2}}, x\in \mathbb{R}^*.\]

Montrer que la fonction \(f\) est de classe \(C^\infty\) et que pour tout \(n\in \mathbb{N}, f^{(n)}(0) = 0\). Il s'agit d'un exemple de fonction non nulle dont tous les développements limités en \(0\) sont nuls.

Correction

Exercice

Soit \(f : [e,+\infty[~\longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall x\in [e,+\infty[, \quad f(x) = \dfrac{x}{\ln(x)}.\]

1. Montrer que la fonction \(f\) réalise une bijection entre \([e,+\infty[\) et un intervalle à préciser.

Correction

La fonction \(f\) est dérivable comme quotient de telles fonctions et

\[\forall x\in [e,+\infty[, \quad f'(x) = \dfrac{\ln(x) - 1}{(\ln(x))^2} > 0.\]

Donc la fonction \(f\) est strictement croissante donc injective. De plus

\[f(e) = e, \quad \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty.\]

Donc la fonction \(f\) est bijective de \([e,+\infty[\) dans \([e,+\infty[\).

2. Déterminer un équivalent simple de la fonction réciproque \(f^{-1}\) en \(+\infty\).

Correction

Nous avons \(f^{-1}(y) \underset{y\to +\infty}{\longrightarrow} +\infty\) et pour tout \(y\in [e,+\infty[\)

\[y = \dfrac{f^{-1}(y)}{\ln(f^{-1}(y))}\]

i.e.

\[\ln(y) = \ln(f^{-1}(y)) - \ln(\ln(f^{-1}(y))) \underset{y\to +\infty}{=} \ln(f^{-1}(y)) + o(\ln(f^{-1}(y))).\]

Donc

\[\ln(y) \underset{y\to +\infty}{\sim} \ln(f^{-1}(y)).\]

Ainsi

\[y = \dfrac{f^{-1}(y)}{\ln(f^{-1}(y))} \underset{y\to +\infty}{\sim} \dfrac{f^{-1}(y)}{\ln(y)}\]

i.e.

\[f^{-1}(y) \underset{y\to +\infty}{\sim} y \ln(y).\]

3. Déterminer un développement asymptotique de la fonction \(f^{-1}\) à l'ordre 3 en \(+\infty\).

Correction

Nous avons d'après ce qui précède et propriété du \(\ln\)

\[f^{-1}(y) = y \ln(f^{-1}(y)) \underset{y\to +\infty}{=} y\ln(y\ln(y) + o(y\ln(y))) = y\ln(y) + y \ln(\ln(y) + o(\ln(y)))\underset{y\to +\infty}{=} y \ln(y) + y \ln(\ln(y)) + o(y\ln(\ln(y))),\]

car \(\dfrac{\ln(\ln(y)+o(\ln(y))) - \ln(\ln(y))}{\ln(\ln(y))} = \dfrac{\ln ( 1 + o(1))}{\ln(\ln(y))} \underset{y\to +\infty}{\longrightarrow} 0\).

Puis on réinjecte

\[f^{-1}(y) = y \ln(f^{-1}(y)) \underset{y\to +\infty}{=} y \ln (y \ln(y) + y \ln(\ln(y)) + o(y\ln(\ln(y)))),\]

avec, par factorisation par \(y \ln(y)\) et propriété de la fonction \(\ln\),

\[\ln (y \ln(y) + y \ln(\ln(y)) + o(y\ln(\ln(y)))) = \ln\left(y\ln(y) \left( 1 + \dfrac{\ln(\ln(y))}{\ln(y)} + o\left( \dfrac{\ln(\ln(y))}{\ln(y)} \right) \right) \right) = \ln(y) + \ln(\ln(y)) + \ln\left( 1 + \dfrac{\ln(\ln(y))}{\ln(y)} + o\left( \dfrac{\ln(\ln(y))}{\ln(y)} \right) \right).\]

Donc en utilisant le développement limité de la fonction \(x \longmapsto \ln(1+x)\) en \(0\) nous obtenons finalement

\[f^{-1}(y) \underset{y\to +\infty}{=} y \ln(y) + y\ln(\ln(y)) + y\dfrac{\ln(\ln(y))}{\ln(y)} + o\left( y \dfrac{\ln(\ln(y))}{\ln(y)}\right).\]

Exercice d'approfondissement

Exercice

En calculant de deux façons le développement limité à l'ordre \(n\) en \(0\) de \(x\longmapsto (e^x - 1)^n\), montrer que pour tout \(\ell \in \{0, ..., n\}\),

\[\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{(-1)^{n-k}k^\ell}{\ell !} = \begin{cases} 0 & \text{si} & \ell < n \\ 1 & \text{si} & \ell = n. \end{cases}\]

Correction

Exercice

Soit \(\varphi : ~]-1,+\infty[~ \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\varphi(x) = x - \ln(1+x).\]

1. Montrer que la fonction \(\varphi\) définit une bijection \(\varphi_-\) entre \(]-1,0]\) et \([0,+\infty[\) et une \(\varphi_+\) entre \([0,+\infty[\) et \([0,+\infty[\).

Correction

2. Déterminer un équivalent de la fonction \(\varphi\) en \(0\) et en déduire des équivalents des fonctions réciproques \(\varphi_+^{-1}\) et \(\varphi_-^{-1}\) en \(0\).

Correction

3. Déterminer un développement asymptotique des fonctions \(\varphi_+^{-1}\) et \(\varphi_-^{-1}\) en \(0\) à l'ordre 3.

Correction

Comparaisons et limites de suites

Exercices d'apprentissage

Exercice

Classer par négligeabilité les termes généraux suivant.

1. \(n,n^2,\ln(n),e^n, n\ln(n), \dfrac{n^2}{\ln(n)}\)

Correction

2. \(\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n^2}, \dfrac{1}{\ln(n)}, \dfrac{\ln(n)}{n},\dfrac{\ln(n)}{n^2}, \dfrac{1}{n\ln(n)}\)

Correction

Exercice

Déterminer des équivalents simples en \(+\infty\) des suites de termes généraux.

1. \(\ln(n)+2n - 1\)

Correction

2. \(\dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n+1}\)

Correction

3. \(\ln(2n^3 + 1)\)

Correction

4. \(n\sin \left( \dfrac{1}{n^2 + 1} \right)\)

Correction

5. \((n+1)^n\)

Correction

6. \(\dfrac{\ln(n^2 + 1)}{n+1}\)

Correction

7. \(\dfrac{n^3 - \sqrt{n^2+1}}{\ln(n) - 2n^2}\)

Correction

8. \(\dfrac{n! + e^n}{2^n + 3^n}\)

Correction

9. \(\ln \left( \sin \left( \dfrac{1}{n} \right) \right)\)

Correction

10. \(\sqrt{\ln(n+1) - \ln(n)}\)

Correction

Exercice

Déterminer les limites suivantes des suites de termes généraux.

1. \(n\left( \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{27} - 1 \right)\)

Correction

2. \(\left( 1 + \dfrac{x}{n} \right)^n, x\in \mathbb{R}\)

Correction

3. \(\left( n\sin \left( \dfrac{1}{n} \right) \right)^{n^2}\)

Correction

4. \(n\sqrt{\ln\left( 1 + \dfrac{1}{n^2+1} \right)}\)

Correction

5. \(\dfrac{n^{\sqrt{n+1}}}{(n+1)^{\sqrt{n}}}\)

Correction

6. \((3~^n \sqrt{2} - 2 ~^n \sqrt{3})^n\)

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

Montrer que

\[\int_{n^2}^{n^3} \dfrac{dt}{1+t^2} \underset{n\to +\infty}{\sim} \dfrac{1}{n^2}.\]

Correction

Exercice

Soit \((u_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}_+^\mathbb{N}\) telle que \(u_n \underset{n\to +\infty}{=} o(\sqrt{n})\). Montrer que

\[\left(1 + \dfrac{u_n}{n}\right)^n \underset{n\to +\infty}{\sim} e^{u_n}.\]

Correction

Exercice

1. On considère quatre suites \(u,v,w,t\) à termes positifs telles que

\[u_n \underset{n\to +\infty}{\sim} v_n, \quad w_n \underset{n\to +\infty}{\sim} t_n.\]

Montrer que

\[u_n + w_n \underset{n\to +\infty}{\sim} v_n + t_n.\]

Correction

2. (contre-exemple avec des suites de signe quelconque)

Correction

Exercice

Soit \(a,b\in \mathbb{R}_+^*\). Etudier la limite

\[\lim_{n\to +\infty} \left( \dfrac{a^{\frac{1}{n}} + b^{\frac{1}{n}}}{2} \right)^n.\]

Correction

Exercice

Soit \(a \in ~]1,+\infty[\). Etudier la limite

\[\lim_{n\to +\infty} ((a+1)a^{\frac{1}{n}} - a (a+1)^{\frac{1}{n}})^n.\]

Correction

Exercice d'approfondissement

Exercice

Développements asymptotiques de suites

Exercices d'apprentissage

Exercice

Déterminer les développements asymptotiques des suites de termes généraux suivants.

1. \(\sqrt{n^2+1}\) à 3 termes

Correction

2. \(\left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n\) à 3 termes

Correction

3. \(\sqrt{n+\sqrt{n}} - \sqrt{n}\) à la précision \(\dfrac{1}{n}\)

Correction

Exercice

On considère les suites \(a\) et \(b\) définies par

\[a_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \ln(n+1), \quad b_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \ln(n), \quad n\in \mathbb{N}^*.\]

1. Montrer que \(\ln(1+x) \leq x\) pour tout \(x>-1\).

Correction

2. Montrer que les suites \(a\) et \(b\) sont convergentes de limite commune notée \(\gamma\).

Correction

3. Montrer que

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \underset{n\to +\infty}{=} \ln(n) + \gamma + o(1).\]

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

Déterminer le développement asymptotique d'ordre 3 de la suite \(u\) de terme général

\[u_n = \sum_{k=1}^n \sin \left( \dfrac{k}{n^2} \right), \quad n\in \mathbb{N}^*.\]

Correction

Exercice

Déterminer le développement asymptotique à la précision \(\dfrac{1}{n^3}\) de la suite \(u\) de terme général

\[u_n = \dfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n k!, \quad n\in \mathbb{N}.\]

Correction

Exercice

On considère la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) définie par \(u_1 \in ~]0,1[\) et la relation de récurrence

\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad u_{n+1} = 1 + \dfrac{u_n}{n+1}.\]

1. Montrer que la suite \(u\) est convergente.

Correction

Nous avons pour \(n\geq 2\)

\[u_n = 1 + \dfrac{u_{n-1}}{n}.\]

Donc pour montrer que la suite \(u\) converge vers \(1\), il est suffisant de montrer que la suite \(\left( \dfrac{u_{n-1}}{n}\right)_{n\geq 2}\) converge vers \(0\) et pour ce faire il suffit de montrer que la suite \(u\) est bornée. Nous avons par une récurrence rapide \(u_n \geq 0\) pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\). De plus \(u_1 = 1 + \dfrac{u_0}{2} < \dfrac{3}{2} \leq 2\). On montre également par récurrence que \(u_n \leq 2\) pour tout \(n \geq 2\). L'initialisation vient de ce qui précède. On suppose ensuite que \(u_n \leq 2\) pour \(n\geq 2\). Alors

\[u_{n+1} = 1 + \dfrac{u_n}{n+1} \leq 1 + \dfrac{2}{n+1} \leq 1 + \dfrac{2}{2} = 2\]

car \(n+1\geq 2\). Par conséquent la suite \(u\) est bornée ce qui permet de conclure que la suite \(u\) converge vers \(1\).

2. Déterminer deux réels \(a,b\in \mathbb{R}\) tels que

\[u_n \underset{n\to +\infty}{=} 1 + \dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right).\]

Correction

Nous avons pour \(n\) assez grand, d'après la question précédente,

\[u_n = 1 + \dfrac{u_{n-1}}{n} = 1 + \dfrac{1+\dfrac{u_{n-2}}{n-1}}{n} = 1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{u_{n-2}}{n(n-1)} \underset{n\to +\infty}{=} 1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n(n-1)} + o\left(\dfrac{1}{n(n-1)}\right).\]

Donc

\[u_n - 1 - \dfrac{1}{n} \underset{n\to +\infty}{=} \dfrac{1}{n(n-1)} + o\left(\dfrac{1}{n(n-1)}\right).\]

Autrement dit

\[u_n - 1 - \dfrac{1}{n} \underset{n\to +\infty}{\sim} \dfrac{1}{n(n-1)} \underset{n\to +\infty}{\sim} \dfrac{1}{n^2}.\]

Donc

\[u_n \underset{n\to +\infty}{=} 1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right).\]

Nous aurions également pu écrire, pour éviter de jongler avec les équivalents, que

\[o\left(\dfrac{1}{n(n-1)}\right) = o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\]

et

\[\dfrac{1}{n(n-1)} = \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{n(n-1)} - \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{n^2(n-1)} \underset{n\to +\infty}{=} \dfrac{1}{n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right).\]

Exercice d'approfondissement

Exercice

Etudes asymptotiques de suites

Exercices d'apprentissage

Exercice

Soit \(u\) suite décroissante de réels telle que

\[u_n + u_{n+1} \underset{n\to+\infty}{\sim} \dfrac{1}{n}.\]

Déterminer un équivalent simple de la suite \(u\).

Correction

Exercice

On considère la suite \(u\) définie par

\[u_n = \sum_{k=0}^n k!, \quad n\in \mathbb{N}.\]

Montrer que

\[u_n \underset{n\to +\infty}{\sim} n!\]

Correction

Exercice

On considère les équations d'inconnue \(x\in \mathbb{R}_+^*\) et de paramètre \(n \in \mathbb{N}\)

\[(E_n) : x+\ln(x) = n.\]

1. Montrer que l'équation \((E_n)\) admet une unique solution que l'on note \(x_n\).

Correction

2. Montrer que la suite \(x\) ainsi définie diverge vers \(+\infty\).

Correction

3. Déterminer un équivalent de la suite \(x\).

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

On considère la suite \(I\) définie par

\[I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin(t))^n dt.\]

1. Montrer que

\[I_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2} I_n, \quad n\in \mathbb{N}.\]

Correction

On effectue une intégration par parties pour montrer que \(I_{n+2}\) vérifie une équation simple avec \(I_n\).

2. Montrer que

\[(n+1) I_n I_{n+1} = \dfrac{\pi}{2}, \quad 0\leq I_{n+1} \leq I_n, \quad n\in \mathbb{N}.\]

Correction

Nous avons d'après la question précédente pour \(n\in \mathbb{N}\)

\[(n+2) I_{n+2} = (n+1) I_n.\]

Donc

\[(n+2) I_{n+2} I_{n+1} = (n+1) I_{n+1} I_n.\]

Puis on montre par récurrence sur \(n\in \mathbb{N}\) que \((n+1) I_{n+1} I_n = \dfrac{\pi}{2}\). En effet l'initialisation vient de

\[I_1 I_0 = \dfrac{\pi}{2},\]

et si l'on suppose le résultat vrai au rang \(n \in \mathbb{N}\) alors

\[(n+2) I_{n+2} I_{n+1} = (n+1) I_{n+1} I_n = \dfrac{\pi}{2}.\]

Le principe de récurrence permet alors de conclure. Nous avons plus simplement

\[0\leq I_{n+1} \leq I_n\]

car

\[\forall t\in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right], \quad 0\leq (\sin(t))^{n+1} \leq (\sin(t))^n.\]

3. Déterminer un équivalent de la suite \(I\).

Correction

Nous avons alors

\[1 \geq \dfrac{I_{n+1}}{I_n} \geq \dfrac{I_{n+2}}{I_n} = \dfrac{n+1}{n+2},\]

et ainsi

\[\dfrac{\pi}{2} \leq (n+1) I_n^2 = \dfrac{\pi}{2} \dfrac{I_n}{I_{n+1}} \leq \dfrac{\pi}{2} \dfrac{n+2}{n+1}.\]

Donc

\[\dfrac{n}{n+1} \leq \dfrac{I_n^2}{\dfrac{\pi}{2n}} \leq \dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}.\]

Ainsi

\[\sqrt{\dfrac{n}{n+1}} \leq \dfrac{I_n}{\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}} \leq \dfrac{\sqrt{n(n+2)}}{n+1}.\]

D'où, après passage à la limite, on en déduit

\[I_n \underset{n\to +\infty}{\sim} \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}.\]

Exercice

On considère la suite \(S\) définie par

\[S_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}, \quad n\in \mathbb{N}^*.\]

1. Montrer que

\[\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2 (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}, \quad n\in \mathbb{N}^*.\]

Correction

2. Déterminer la limite de la suite \(S\).

Correction

3. On considère la suite \(u\) définie par

\[u_n = S_n - 2 \sqrt{n}, \quad n\in \mathbb{N}^*.\]

Montrer que la suite \(u\) converge.

Correction

4. Déterminer un équivalent de la suite \(S\).

Correction

Exercice

Soient \(n\in \mathbb{N}^*\) et l'équation

\[(E_n) : x^n + x - 1 = 0.\]

1. Montrer qu'il existe une unique solution positive de l'équation \((E_n)\), que l'on note \(x_n\).

Correction

2. Montrer que \(\lim_{n\to +\infty} x_n = 1\).

Correction

3. On considère la suite \(y = 1 - x\). Montrer que pour \(n\) assez grand

\[\dfrac{\ln(n)}{2n} \leq y_n \leq 2 \dfrac{\ln(n)}{n}.\]

On pourra considérer la fonction \(f_n\) définie par \(f_n(y) = n\ln(1-y) - \ln(y), y\in ~]0,1[\).

Correction

4. Montrer que

\[\ln(y_n) \underset{n\to +\infty}{\sim} - \ln(n),\]

puis que

\[x_n \underset{n\to +\infty}{=} 1 - \dfrac{\ln(n)}{n} + o\left( \dfrac{\ln(n)}{n} \right).\]

Correction

Exercice d'approfondissement

Exercice

Soit \(f : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que \(f(1) \neq 0\).

1. Déterminer un équivalent de la suite \(I\) définie par

\[I_n = \int_0^1 t^n f(t) dt.\]

Correction

2. Même question en supposant la fonction \(f\) continue à la place de classe \(C^1\).

Correction

Exercice

Montrer que l'équation \(x^n + x^2 - 1 = 0\) admet une unique solution positive pour \(n \geq 1\) que l'on note \(x_n\). Déterminer la limite \(\ell\) de la suite \(x\) ainsi définie puis un équivalent de la suite \(x- \ell\).

Correction