Cours

I. Sommes et produits

Définition : Somme et produit

On considère une famille de nombres réels \(\{a_0, ..., a_n\}\). Alors le réel \(\sum_{i=0}^n a_i\) est défini comme leur somme. De même le réel \(\prod_{i=0}^n a_i\) est défini comme leur produit.

Exemple

\[\sum_{i=1}^n 0 = 0, \quad \sum_{i=1}^n 1 = n, \quad \sum_{i=1}^n \delta_1(i) = 1, \quad \prod_{i=1}^n 0 = 0, \quad \prod_{i=1}^n 1 = 1.\]

Remarque

Si la famille de réels est notée \((a_i)_{i\in I}\) avec \(I\) un ensemble fini alors on note leur somme \(\sum_{i\in I} a_i\) et leur produit \(\prod_{i\in I} a_i\).

Remarque

L'indice \(i\) est muet. Autrement dit on peut le noter par une autre lettre

\[\sum_{i=0}^n a_i = \sum_{j=0}^n a_i = \sum_{k=0}^n a_k.\]

De plus la variable \(i\) n'a du sens qu'à l'intérieur de la somme, elle ne doit pas apparaître en dehors de la somme.

Remarque

Nous avons, pour toute famille \((a_i)_{i\in I}\) de réels, \(\sum_{i\in \emptyset} a_i = 0\) et \(\prod_{i\in \emptyset} a_i = 1\).

Proposition : Propriétés de base

On considère deux familles de réels \(\{a_0, ..., a_n\}, \{b_0, ..., b_n\},\) un réel \(\lambda\) et un entier \(k \in \{0, ..., n\}\). Alors nous :

• \(\sum_{i=0}^n (a_i+b_i) = \sum_{i=0}^n a_i + \sum_{i=0}^n b_i,\)

• \(\sum_{i=0}^n (\lambda a_i) = \lambda \sum_{i=0}^n a_i,\)

• \(\sum_{i=0}^n a_i = \sum_{i=0}^k a_i + \sum_{i=k+1}^n a_i,\)

• \(\prod_{i=0}^n a_i \prod_{i=0}^n = \prod_{i=0}^n a_i b_i,\)

• \(\prod_{i=0}^n (\lambda a_i) = \lambda^{n+1} \prod_{i=0}^n a_i,\)

• \(\prod_{i=0}^n a_i = \prod_{i=0}^k a_i \prod_{i=k+1}^n a_i.\)

Démonstration

Proposition : Sommes et produits télescopiques

On considère une famille de réels \(\{a_0, ..., a_n, a_{n+1}\}\). Alors nous avons

\[\sum_{i=0}^n (a_{i+1} - a_i) = a_{n+1} - a_0.\]

Et de même, si tous les \(a_i\) sont non nuls,

\[\prod_{i=0}^n \dfrac{a_{i+1}}{a_i} = \dfrac{a_{n+1}}{a_0}.\]

Démonstration

Exemple

Nous avons par propriété de la fonction \(\ln\) et produit téléscopique

\[\sum_{k=1}^n \ln \left( 1 + \dfrac{1}{k} \right) = \ln\left( \prod_{k=1}^n 1 + \dfrac{1}{k} \right) = \ln \left(\prod_{k=1}^n \dfrac{k+1}{k}\right) = \ln \left( \dfrac{n+1}{1}\right) = \ln(n+1).\]

Proposition : Changement d'indice

On considère une famille de réels \((a_i)_{i\in I}\) avec \(I\) un ensemble fini, et une bijection \(\varphi : J \longrightarrow I\) entre un ensemble \(J\) et l'ensemble \(J\). Alors nous avons

\[\sum_{i\in I} a_i = \sum_{j\in J} a_{\varphi(j)}.\]

Et de même

\[\prod_{i\in I} a_i = \prod_{j\in J} a_{\varphi(j)}.\]

Démonstration

Exemple

On considère trois réels \(a,b,c\) tels que \(a+b+c = 0\), et une fonction réelle \(f\). Alors, pour tous entiers naturels \(m\leq n\), par changement d'indice :

\[\sum_{k=m}^n (af(k-1) + bf(k) + cf(k+1)) = a f(m-1) + a f(m) + b f(m) + b f(n) + cf(n) + cf(n-1).\]

Proposition : Sommes connues

On considère un entier \(n\in \mathbb{N}\), et un réel \(a\). Alors

\[\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=0}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=0}^n a^k = \begin{cases} \dfrac{1-a^{n+1}}{1-a} & \text{si } a\neq 1 \\ n+1 & \text{si } a = 1 \end{cases}.\]

Démonstration

Remarque

Nous avons également, pour \(a\in \mathbb{R}\backslash \{1\}\) et \(m \in \{0, ..., n\}\),

\[\sum_{i=m}^n a^i = \dfrac{a^m - a^{n+1}}{1-a}.\]

Exemple

Nous avons

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^k} = 1 - \dfrac{1}{2^n}.\]

Ceci sert interpréter le fait qu'une flèche atteigne sa cible malgré le fait qu'elle est toujours la moitié de la distance à parcourir : si la distance à parcourir est de 1 mètre par exemple

\[\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{2^n} + ... = \lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^k} = 1.\]

Proposition : Factorisation connue

On considère deux réels \(a,b\) et un entier \(n\in \mathbb{N}\). Alors nous avons la factorisation

\[a^n - b^n = (a-b) \sum_{i=0}^{n-1} a^i b^{n-1-i}.\]

Démonstration

Exemple

\[a^4 - b^4 = (a-b)(b^3 + a b^2 + a^2 b + b^3) = (a-b)(a+b)(a^2 + b^2).\]

Remarque

Pour \(n = 2\), on reconaît l'identité remarquable, pour \(a,b\in \mathbb{R}\),

\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).\]

On rappelle les deux autres identités remarquables

\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]

Définition : Somme double

On considère une famille de réels avec deux indices \((a_{i,j})_{i\in I, j\in J}\) avec \(I,J\) deux ensembles finis. Alors leur somme est notée \(\sum_{(i,j)\in I\times J} a_{i,j}\).

Remarque

Dans ce cas, nous avons par commutativité de l'addition,

\[\sum_{(i,j) \in I\times J} a_{i,j} = \sum_{i\in I} \left(\sum_{j\in J} a_{i,j}\right) = \sum_{j\in J} \left( \sum_{i\in I} a_{i,j} \right).\]

Autrement dit nous pouvons sommer la famille \((a_{i,j})_{i\in I,j\in J}\) en commençant par l'indice \(i\) ou par l'indice \(j\).

Exemple

\[\sum_{1\leq i,j\leq n} (i+j) = n^2(n+1)\]

Proposition : Somme triangulaire

On considère une famille de réels \((a_{i,j})_{i\in \{0,...,n\},j\in \{0,..., n\}}\) avec \(n\in \mathbb{N}\). Alors nous avons la somme triangulaire

\[\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i a_{i,j} = \sum_{0\leq j\leq i\leq n} a_{i,j} = \sum_{j=0}^n \sum_{i=j}^n a_{i,j}.\]

Démonstration

Remarque

Nous appelons cette somme ainsi car si nous représentons les indices \(i\) et \(j\) selon deux axes alors nous sommons selon les indices présents dans le triangle suivant :

Exemple

\[\sum_{1\leq i\leq j \leq n} ij = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}.\]

Proposition : Produit de deux sommes

On considère un entier naturel \(n\) et deux familles de réels \(\{a_0, ..., a_n\}\) et \(\{b_0, ..., b_n\}\). Alors nous avons

\[\left(\sum_{i=0}^n a_i \right) \times \left( \sum_{i=0}^n b_i \right) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n a_i b_j = \sum_{j=0}^n \sum_{i=0}^n a_i b_j.\]

Démonstration

Corollaire : Carré d'une somme

On considère un entier naturel \(n\) et une famille de réels \(\{a_0, ..., a_n\}\). Alors nous avons

\[\left( \sum_{i=0}^n a_i \right)^2 = \sum_{i=0}^n a_i^2 + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i a_j.\]

Démonstration

Définition : Factorielle

On considère un entier naturel \(n\in \mathbb{N}\). Alors la factorielle \(n!\) de l'entier \(n\) est définie par le produit

\[n! = 1\times 2 \times ... \times n = \prod_{i=1}^n i.\]

Exemples

\[0! = 1, \quad 1! = 1, \quad 2! = 2, \quad 3! = 6, \quad 4! = 24, \quad 5! = 120, \quad 6! = 720.\]

Définition : Coefficient binomial

On considère deux entiers \(n\in \mathbb{N}\) et \(k\in \mathbb{Z}\). Alors le coefficient binomial \(\binom{n}{k}\) (ou le nombre \(k\) parmi \(n\)) est défini par

\[\binom{n}{k} = \begin{cases} \dfrac{n!}{k!(n-k)!} & \text{si } 0\leq k\leq n \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.\]

Exemple

\[\binom{0}{0} = 1,\]

\[\binom{1}{0} = 1, \quad \binom{1}{1} = 1,\]

\[\binom{2}{0} = 1, \quad \binom{2}{1} = 2, \quad \binom{2}{2} = 1,\]

\[\binom{3}{0} = 1, \quad \binom{3}{1} = 3, \quad \binom{3}{2} = 3, \quad \binom{3}{3} = 1,\]

\[\binom{4}{0} = 1, \quad \binom{4}{1} = 4, \quad \binom{4}{2} = 6, \quad \binom{4}{3} = 4, \quad \binom{4}{4} = 1.\]

Remarque

Dans la littérature (un peu ancienne) on trouve également la notation \(\binom{n}{k} = C_n^k\).

Proposition

On considère deux entiers \(n \in \mathbb{N}\) et \(k\in \mathbb{Z}\). Alors :

• \(\binom{n}{k} \in \mathbb{N}\),

• \(\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k},\)

• Si \(k\neq 1\), \(\binom{n+1}{k+1} = \dfrac{n+1}{k+1} \binom{n}{k},\)

• Relation de Pascal : \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}\).

Démonstration

Remarque

On retrouve la construction du triangle de Pascal.

(Insérer une image)

Théorème : Formule du binôme de Newton

On considère un entier naturel \(n\in \mathbb{N}\) et deux réels \(a,b\in \mathbb{R}\). Alors nous avons l'égalité

\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}.\]

Démonstration

Exemple

\[2^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}.\]

Remarque

Dans le cas où \(n = 2\), alors nous retrouvons l'identité remarquable, pour tout \(a,b\in \mathbb{R}\),

\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2.\]

II. Résolution de systèmes linéaires

Définition : Système linéaire

On considère deux entiers naturels \(n,m \in \mathbb{N}\) et deux familles de réels \((a_{i,j})_{i\in \{1, ..., n\}, j\in \{1, ..., m\}}\) et \((b_i)_{i\in \{1, ..., n\}}\). Alors le système linéaire \((S)\) associé à ces familles est la famille d'équations

\[(S) \quad \begin{cases} \begin{array}{cccccccc} a_{1,1} x_1 & + & \dots & + & a_{1,m} x_m & = & b_1 \\ \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} x_1 & + & \dots & + & a_{n,m} x_m & = & b_n \end{array} \end{cases},\]

d'inconnues \(x_1, ..., x_m \in \mathbb{R}\).

Exemples

Aucune solutionUne seule solutionPlusieurs solutions

Le système linéaire \(\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & y & + & z & = & 1 \\ x & + & y & + & z & = & -1 \end{array} \end{cases}\) n'admet aucune solution.

Le système linéaire \(\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & y & = & 1 \\ x & - & y & = & 1 \end{array} \end{cases}\) admet uniquement \((x,y) = (1,0)\) comme solution.

Le système linéaire \(\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & y & + & z & = & 0 \\ x & & & - & z & = & 0 \end{array} \end{cases}\) admet une infinité de solutions données par \((x,y,z) = (t,-2t,t) = t(1,-2,1)\) pour tout \(t\in \mathbb{R}\).

Remarque

Dans le cas où \(m = 2\), alors il s'agit d'équations de droites dans le plan réel \(\mathbb{R}^2\) et les inconnues \(x_1,x_2\) sont les coordonnées des éventuels points d'intersection entre ces \(n\) droites. Il n'y a donc que trois possibilités : aucune solution, une unique solution \((x_1,x_2)\) ou une droite de solutions si les équations sont les mêmes.

(insérer une image)

Remarque

Dans le cas où \(m = 3\), alors il s'agit d'équations de plans dans l'espace réel \(\mathbb{R}^3\) et les inconnues \(x_1, x_2, x_3\) sont les coordonnées des éventuels points d'intersection entre ces \(n\) plans. Il n'y a donc que quatre possibilités : aucune solution, une unique solution \((x_1,x_2,x_3)\), une droite de solutions s'il n'y a que deux équations différentes dans le système ou un plan de solutions si les équations sont les mêmes.

(insérer une image)

Proposition : Opérations élémentaires

On considère un système linéaire

\[(S) \quad \begin{cases} \begin{array}{cccccccc} a_{1,1} x_1 & + & \dots & + & a_{1,m} x_m & = & b_1 \\ \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} x_1 & + & \dots & + & a_{n,m} x_m & = & b_n \end{array} \end{cases},\]

d'inconnues \(x_1, ..., x_m \in \mathbb{R}\). Alors les solutions éventuelles de ce système sont exactement les mêmes si on effectue les opérations suivantes, que l'on appelle opérations élémentaires,

• un échange entre deux lignes : \(L_i \longleftrightarrow L_j\) pour \(i,j\in \{ 1,..., n\}\),

• une multiplication d'une ligne par un nombre non nul : \(L_i \longleftarrow \lambda \times L_i\) pour \(i \in \{1, ..., n\}\) et \(\lambda \in \mathbb{R}^*\),

• un ajout à une ligne d'un multiple d'une autre ligne : \(L_i \longleftarrow L_i + \lambda L_j\) pour \(i,j\in \{ 1,..., n\}\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Démonstration

Exemple

Les systèmes \(\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & 2y & + & 3z & = & 0 \\ 4x & + & 5y & + & 6z & = & 0 \\ 7 x & + & 8y & + & 9 z & = & 0 \end{array} \end{cases}\) et \(\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & 2y & + & 3z & = & 0 \\ & & y & + & 2 z & = & 0 \end{array} \end{cases}\) admettent les mêmes solutions.

Remarque

On dit alors que le nouveau système obtenu après des opérations élémentaires est équivalent au système de départ.

Proposition : Echelonnisation

On considère un système linéaire

\[(S) \quad \begin{cases} \begin{array}{cccccccc} a_{1,1} x_1 & + & \dots & + & a_{1,m} x_m & = & b_1 \\ \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} x_1 & + & \dots & + & a_{n,m} x_m & = & b_n \end{array} \end{cases},\]

d'inconnues \(x_1, ..., x_m \in \mathbb{R}\). Alors le système \((S)\) est équivalent à un système de la forme suivante. On dit alors que le système \((S)\) est équivalent au système linéaire échelonné \((S_e)\).

\[(S_e) \quad \begin{cases} \begin{array}{ccccccccccccc} a'_{1,j_1} x_{j_1} & + & & & & \dots & & & & + & a'_{1,m} x_m & = & b'_1 \\ & & & & a'_{2,j_2} x_{j_2} & + & & \dots & & + & a'_{2,m} x_m & = & b'_2 \\ & & & & & & & & & & \vdots & & \vdots \\ & & & & & & a'_{r,j_r} x_{j_r} & + & \dots & + & a'_{r,m} x_m & = & b'_r \\ & & & & & & & & & & 0 & = & b'_{r+1} \\ & & & & & & & & & & \vdots & & \vdots \\ & & & & & & & & & & 0 & = & b'_n \end{array} \end{cases},\]

avec \(r \in \{1,\min(n,m)\}\) appelé rang du systèeme linéaire, \(j_1, ..., j_r \in \{1, ..., m\}\) tels les premiers coefficients \(a'_{i,j_i}\) de chaque ligne, appelés pivots, soient non nuls.

Démonstration

Exemple

Un système échelonné au système \(\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & 2y & + & 3z & = & 0 \\ 4x & + & 5y & + & 6z & = & 0 \\ 7 x & + & 8y & + & 9 z & = & 0 \end{array} \end{cases}\) est le système \(\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & 2y & + & 3z & = & 0 \\ & & y & + & 2 z & = & 0 \end{array} \end{cases}\).

Remarque

Les lignes \(L_1, ..., L_r\) du système échelonné sont appelées les équations principales alors que les autres lignes \(L_{r+1}, ..., L_n\) sont appelés les équations secondaires. De même les inconnues \(x_{j_1}, ..., x_{j_r}\) sont appelés les inconnus principales et les autres sont appelés paramètres ou inconnues secondaires.

Remarque

En pratique on repère le coefficient le plus simple non nul devant la première variable \(x_1\) (autrement dit sur la première colonne). On échange alors la première ligne avec la ligne de ce coefficient. Puis sur ce nouveau système on effectue les opérations \(L_i \longleftarrow L_i - \dfrac{a_{i,1}}{a_{1,1}} L_1\) pour tout \(i\in \{2, ..., n\}\) afin d'obtenir des lignes \(L_2, ..., L_n\) sans terme en la première variable. On obtient alors un sous-système de taille \(n-1,m-1\) et on applique le raisonnement précédent à ce sous-système. On poursuit ces opérations jusqu'à obtenir un système équivalent échelonné.

Exemple

On considère le système

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} & & 2y & - & z & = & 1 \\ -2x & - & 4y & + & 3 z & = & -1 \\ x & + & y & - & 3z & = & -6 \end{array} \end{cases}.\]

L'opération élémentaire \(L_1 \longleftrightarrow L_3\) donne

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & y & - & 3z & = & -6 \\ -2x & - & 4y & + & 3 z & = & -1 \\ & & 2y & - & z & = & 1 \end{array} \end{cases}.\]

Puis l'opération élémentaire \(L_2 \longleftarrow L_2 + 2L_1\) donne

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & y & - & 3z & = & -6 \\ & - & 2y & - & 3 z & = & -13 \\ & & 2y & - & z & = & 1 \end{array} \end{cases}.\]

Puis l'opération élémentaire \(L_3 \longleftarrow L_3 + L_2\) donne le système échelonné

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & y & - & 3z & = & -6 \\ & - & 2y & - & 3 z & = & -13 \\ & & & - & 4z & = & -12 \end{array} \end{cases}.\]

Corollaire

Dans ce cas, nous pouvons faire la disjonction de cas suivante :

• si \(r< n\) et il existe \(i \in \{r+1, n\}\) tel que \(b_i' \neq 0\) alors le système n'admet aucune solution,

• si pour tout \(i\in \{r+1, n\}, b_i' = 0\) et \(r< m\) alors le système admet une infinité de solutions,

• si \(r = n = m\) alors le système admet une unique solution.

Proposition : Méthode de la remontée

On considère un système linéaire carré échelonné

\[(S_e) \quad \begin{cases} \begin{array}{cccccccccccc} a'_{1,1} x_1 & + & \dots & + & a'_{1,n} x_n & = & b'_1 \\ & & \ddots & & \vdots & & \vdots \\ & & & & a'_{n,n} x_n & = & b'_n \end{array} \end{cases},\]

d'inconnues \(x_1, ..., x_n\). Alors ce système admet une unique solution \((x_1, ..., x_n)\) donnée par

\[x_n = \dfrac{b'_n}{a_{n,n}'}, \quad x_{n-1} = \dfrac{1}{a'_{n-1,n-1}}(b'_{n-1}-a'_{n-1,n}x_n), \quad ...,\]

\[x_i = \dfrac{1}{a'_{i,i}} \left( b'_i - \sum_{j=i+1}^n a'_{i,j} x_j \right), \quad ..., \quad, x_1 = \dfrac{1}{a'_{1,1}} \left(b'_1 - \sum_{j=2}^n a'_{1,j} x_j \right).\]

Autrement dit on détermine d'abord le terme \(x_n\) puis on remonte jusqu'au terme \(x_1\).

Démonstration

Exemple

Le système échelonné \(\begin{cases} \begin{array}{cccccccccccc} x & + & y & + & z & = & 1 \\ & & y & + & z & = & 2 \\ & & & & z & = & 3 \end{array} \end{cases}\) admet comme unique solution \((x,y,z) = (-1, -1, 3)\). En effet nous avons

\[z = 3,\]

\[y = 2- z = 2-3 = -1,\]

\[x = 1 - y - z = 1+1-3 = -1.\]

Remarque

On peut procéder de façon similaire dans le cas où pour tout \(i\in \{r+1, n\}, b_i' = 0\) et \(r<m\). Dans ce cas les termes \(x_j, j\notin \{j_1, ..., j_r\}\) sont vus comme des paramètres pour exprimer les termes \(x_{j_1}, ..., x_{j_r}\). Les termes \(x_j, j\notin \{j_1, ..., j_r\}\) peuvent valoir n'importe quel réel. On retrouvre ainsi le fait qu'il y ait une infinité de solutions.

Exemple

Les solutions du système \(\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & 2y & + & 3z & = & 0 \\ & & y & + & 2 z & = & 0 \end{array} \end{cases}\) sont données par \((x,y,z) = (z, -2z, z)\) pour tout \(z\in \mathbb{R}\).

Théorème : Algorithme du pivot de Gauss

On considère un système linéaire carré

\[(S) \quad \begin{cases} \begin{array}{cccccccc} a_{1,1} x_1 & + & \dots & + & a_{1,n} x_n & = & b_1 \\ \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} x_1 & + & \dots & + & a_{n,n} x_n & = & b_n \end{array} \end{cases},\]

d'inconnues \(x_1, ..., x_n \in \mathbb{R}\). Alors l'algorithme du pivot de Gauss consiste à :

• échelonner le système \((S)\) pour obtenir un système échelonné \((S_e)\),

• si on obtient un système échelonné \((S_e)\) avec \(r<n\) et l'existence d'un \(i\in \{r+1,n\}\) tel que \(b_i' \neq 0\) alors conclure que le système \((S)\) n'admet pas de solution,

• si on obtient un système échelonné \((S_e)\) avec \(r = n = m\) alors déterminer l'unique solution grâce à la méthode de remontée,

• si on obtient un système échelonné \((S_e)\) avec pour tout \(i\in \{r+1,n\}, b_i' = 0\) et \(r <n\) alors déterminer l'ensemble des solutions grâce à la remarque précédente.

Démonstration

Exemples

Sans solutionAvec une unique solutionAvec une infinité de solutions

On considère le système

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & & & + & z & = & 1 \\ & & y & + & z & = & 0 \\ x & + & y & & & = & 1 \\ 2x & + & 3y & & & = & 0 \end{array} \end{cases}.\]

On échelonne alors ce système. Les opérations élementaires \(L_3 \longleftarrow L_3 - L_1\) et \(L_4 \longleftarrow L_4 - 2 L_1\) donnent

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & & & + & z & = & 1 \\ & & y & + & z & = & 0 \\ & & y & - & z & = & 0 \\ & & 3y & - & 2z & = & -2 \end{array} \end{cases}.\]

Puis les opérations élémentaires \(L_3 \longleftarrow L_3 - L_2\) et \(L_4 \longleftarrow L_4 - 3 L_1\) donnent

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & & & + & z & = & 1 \\ & & y & + & z & = & 0 \\ & & & - & 2z & = & 0 \\ & & & - & 5z & = & -2 \end{array} \end{cases}.\]

Puis l'opération élémentaire \(L_4 \longleftarrow L_4 - \dfrac{5}{2}L_3\) donne le système échelonné

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & & & + & z & = & 1 \\ & & y & + & z & = & 0 \\ & & & - & 2z & = & 0 \\ & & & & 0 & = & -2 \end{array} \end{cases}.\]

On en déduit que le système n'admet pas de solutions car \(0\neq -2\).

On considère le système

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} & & 2y & - & z & = & 1 \\ -2x & - & 4y & + & 3 z & = & -1 \\ x & + & y & - & 3z & = & -6 \end{array} \end{cases}.\]

Alors, d'après un exemple précédent, un système échelonné associé est

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} x & + & y & - & 3z & = & -6 \\ & - & 2y & - & 3 z & = & -13 \\ & & & - & 4z & = & -12 \end{array} \end{cases}.\]

Nous avons alors par méthode de la remontée nous obtenons une unique solution donnée par

\[z = 3, \quad y = 2, \quad x = 1.\]

On considère le système

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} 2x & - & 3y & & & = & 8 \\ 4x & - & 5y & + & z & = & 15 \\ 2x & - & 2y & + & z & = & 7 \end{array} \end{cases}.\]

On échelonne alors ce système. Les opérations élémentaires \(L_2 \longleftarrow L_2 - 2 L_1\) et \(L_3 \longleftarrow L_3 - L_1\) donnent

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} 2x & - & 3y & & & = & 8 \\ & & y & + & z & = & -1 \\ & & y & + & z & = & -1 \end{array} \end{cases}.\]

On remarque que \(L_2 = L_3\), on peut donc enlever la dernière ligne et on obtenir le système échelonné

\[\begin{cases} \begin{array}{cccccccc} 2x & - & 3y & & & = & 8 \\ & & y & + & z & = & -1 \end{array} \end{cases}.\]

On en déduit alors que ce système admet une infinité de solutions données par la méthode de la remontée

\[z \in \mathbb{R}, \quad y = -1 - z, \quad x = 4 + \dfrac{3}{2} y = \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2} z.\]

III. Inégalités

Proposition

L'ensemble des réels \(\mathbb{R}\) est totalement ordonné : il y existe une relation d'ordre totale. Il s'agit des relations d'ordre \(\leq\) ou \(\geq\).

Démonstration

Proposition

On considère des réels \(a,b,c\in \mathbb{R}\). Alors :

• \(a \leq c \quad \Longrightarrow \quad a+b\leq c+b,\)

• \(a \leq b \quad \Longrightarrow \quad -a\geq -b,\)

• \(a \leq c, b\geq 0 \quad \Longrightarrow \quad ab\leq cb,\)

• \(a \leq c, b\leq 0 \quad \Longrightarrow \quad ab \geq cb,\)

• \(0 < a \leq b \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}\).

Démonstration

Définition : Intervalle

Un intervalle \(I\) est une partie de l'ensemble des réels \(\mathbb{R}\) de la forme \([a,b], [a,b[,]a,b]\) ou \(]a,b[\), où \(a,b \in \mathbb{R}\) et \([a,b]\) est défini par \([a,b] = \emptyset\) si \(a>b\) et sinon par

\[[a,b] = \{x\in \mathbb{R}, \quad a\leq x\leq b\},\]

et de même pour les autres formes d'intervalle.

Remarque

On définit également la forme d'intervalle

\[[a,+\infty[ ~= \{x\in \mathbb{R}, \quad a\leq x\},\]

et de même \(]a,+\infty[, ]-\infty,a]\) et \(]-\infty,a[\).

Proposition

On considère un intervalle réel \(I \subset \mathbb{R}\) et deux fonctions réelles définies sur cet intervalle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(g : I \longrightarrow \mathbb{R}\). Alors pour étudier le signe de la fonction produit \(f\times g\) on réalise le tableau de signes des deux fonctions. De même pour étudier le signe de \(\dfrac{f}{g}\) en faisant attention aux annulations de la fonction \(g\).

Exemples

Signe d'un produitSigne d'un quotient

On considère la fonction \(\begin{array}{rcl} f : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x^2 +x - 6 \end{array}\). Alors, par factorisation avec utilisation du discriminant ou par racines remarquables,

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = (x-2)(x+3).\]

On obtient alors son tableau de signes

\[\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -3 & & 2 & & +\infty \\ \hline \text{signe}(x-2) & & - & & - & 0 & + \\ \hline \text{signe}(x+3) & & - & 0 & + & & + \\ \hline \text{signe}(f(x)) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} .\]

On considère la fonction \(\begin{array}{rcl} g : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{-x + 1}{x^2 +x - 6} \end{array}\). Alors, par factorisation avec utilisation du discriminant ou par racines remarquables,

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad g(x) = \dfrac{-x+1}{(x-2)(x+3)}.\]

On obtient alors son tableau de signes

\[\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -3 & & 1 & & 2 & & +\infty \\ \hline \text{signe}(-x+1) & & + & & + & 0 & - & & - \\ \hline \text{signe}(x-2) & & - & & - & & - & 0 & + \\ \hline \text{signe}(x+3) & & - & 0 & + & & + & & + \\ \hline \text{signe}(g(x)) & & + & || & - & 0 & + & || & - \\ \hline \end{array} .\]

Remarque

Les deux propositions précédentes servent notamment à résoudre des inégalités.

Exemple

Pour tout \(x\in \mathbb{R}\backslash\{-1,1\}\), nous avons \(\dfrac{1}{x^2 - 1} \leq \dfrac{1}{x+1}\) si et seulement si \(x\in [-1,1] \cup [2,+\infty[\).

Définition : Valeur absolue

On considère un réel \(a \in \mathbb{R}\). Alors on définit sa valeur absolue \(|a|\) par \(|a| = a\) si \(a\geq 0\) et par \(|a| = - a\) sinon.

Exemple

Nous avons \(|-4| = -(-4) = 4\) et \(|10| = 10\).

Remarque

Pour tout \(a\in \mathbb{R}\), nous avons \(|a| \geq 0\).

Proposition : Inégalité triangulaire

On considère deux réels \(a,b\in \mathbb{R}\). Alors

\[|a+b|\leq |a|+|b|\]

avec égalité si et seulement si les réels \(a\) et \(b\) sont de même signe.

Démonstration

Nous avons par positivité

\[|a+b| \leq |a| + |b| \quad \Longleftrightarrow \quad |a+b|^2 \leq (|a|+|b|)^2,\]

avec

\[|a+b|^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (|a|+|b|)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = a^2 + 2|ab|+b^2.\]

Or \(ab \leq |ab|\) donc

\[|a+b|^2 \leq (|a|+|b|)^2\]

et on en déduit l'inégalité souhaitée. Pour le cas d'égalité on remarque qu'il faut et qu'il suffise que \(ab = |ab|\), autrement dit \(ab\geq 0\) i.e. \(a\) et \(b\) de même signe.

Corollaire : Inégalité triangulaire gauche

On considère deux réels \(a,b\in \mathbb{R}\). Alors \(||a|-|b|| \leq |a-b|\) avec égalité si et seulement si les réels \(a\) et \(b\) sont de même signe.

Remarque

On considère trois réels \(a,x\in \mathbb{R}\) et un réel positif \(b\in \mathbb{R}_+\). Alors l'assertion \(|x-a| \leq b\) siginie que si l'on trace la droite des réels alors les points \(a\) et \(x\) sont à une distance inférieure à \(b\).

Définition : Parties majorée, minorée et bornée

On considère une partie \(A\) de l'ensemble des réels \(\mathbb{R}\). Alors on dit que la partie \(A\) est :

• majorée s'il existe \(M\in \mathbb{R}\) tel que pour tout \(x\in A, x \leq M\), on dit alors que \(M\) est un majorant de la partie \(A\),

• minorée s'il existe \(m\in \mathbb{R}\) tel que pour tout \(x\in A, x\geq m\), on dit alors que \(m\) est un minorant de la partie \(A\),

• bornée s'il existe \(M,m\in \mathbb{R}\) tels que pour tout \(x\in A, m\leq x\leq M\).

Exemples

Partie majoréePartie minoréePartie bornée

L'interalle \(]-\infty, -1]\) est majoré par \(0\).

L'intervalle \(]2,+\infty[\) est minoré par \(0\).

L'intervalle \(]-1,2]\) est borné par \(-10\) et \(10\).

Remarque

Une partie \(A\subset \mathbb{R}\) est bornée si et seulement s'il existe \(C\in \mathbb{R}_+\) tel que pour tout \(x\in A, |x| \leq C\).

Remarque

Il n'y a pas unicité des constantes \(m\) et \(M\) dans la définition précédente.

Exemple

L'intervalle \(]-1,2]\) est borné par \(-10\) et \(10\) mais également par \(-100\) et \(100\).

Définition : Bornes supérieure et inférieure

On considère une partie \(A \subset \mathbb{R}\). Si la partie \(A\) admet un plus petit majorant alors on le définit comme la borné supérieure de la partie \(A\) et on le note \(\sup A\).

De même si la partie \(A\) admet un plus grand minorant alors on le définit comme la borne inférieure de la partie \(A\) et on le note \(\inf A\).

Exemples

Borne supérieureBorne inférieure

La borne supérieur de l'intervalle \(]-\infty,-1]\) est \(-1\).

La borne inférieur de l'intervalle \(]2,+\infty]\) est \(2\).

Définition : Maximum, minimum

On considère une partie \(A \subset \mathbb{R}\). On dit que la partie \(A\) admet un maximum si

\[\exists M \in A, \quad \forall a \in A, \quad a\leq M.\]

De même on dit que la partie \(A\) admet un minimum si

\[\exists m \in A, \quad \forall a \in A, \quad m\leq a.\]

Remarque

Dans ces cas, il n'existe qu'un seul maximum et qu'un seul minimum que l'on note \(\max A\) et \(\min A\).

Exemples

MaximumMinimum

Le maximum de l'intervalle \(]-\infty,0]\) est \(0\).

Le minimum de l'intervalle \([10,+\infty[\) est \(10\).

Théorème

On considère une partie \(A \subset \mathbb{R}\). Si la partie \(A\) admet un maximum (respectivement minimum) alors il s'agit de la borne supérieure \(\max A = \sup A\) (respectivement borne inférieure \(\min A = \inf A\)). On dit alors que la borne supérieure (respectivement inférieure) est atteinte.

Démonstration

Remarque

Toute partie majorée (respectivement minorée) n'admet pas nécessairement de maximum (respectiement de minimum). Autrement dit une borne supérieure (respectivement inférieure) n'est pas nécessairement le maximum (respectivement minimum). Autrement dit une borne supérieure (respectivement inférieure) n'est pas nécessairement atteinte.

Exemple

L'intervalle \(]-1,1[\) n'atteint pas ses bornes. Il n'admet ni de maximum ni de minimum mais est majoré et minoré avec \(\sup ]-1,1[ = 1, \inf ]-1,1[ = -1.\)

Définition : Partie entière

On considère un réel \(x \in \mathbb{R}\). Alors sa partie entière est l'entier naturel \(\lfloor x \rfloor\) défini par

\[\lfloor x \rfloor = \max \{n\in \mathbb{Z}, \quad n\leq x\}.\]

Exemple

La partie entière de \(2\pi\) est \(6\) et celle de \(- \dfrac{1}{3}\) est \(-1\).

Proposition

On considère un réel \(x \in \mathbb{R}\). Alors sa partie entière \(\lfloor x\rfloor\) est l'unique entier \(n\in \mathbb{Z}\) tel que

\[n\leq x < n+1.\]

Démonstration

IV. Trigonométrie

Définition : Cercle trigonométrique

On définit le cercle trigonométrique comme la partie de \(\mathbb{R}^2\) définie par

\[C(0,1) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad x^2 + y^2 = 1\}.\]

Définition : Fonctions cosinus et sinus

On considère un réel \(t\in \mathbb{R}\) et le point \(M(t) = (x(t),y(t)) \in C(0,1)\) tel que l'angle algébrique entre l'axe des abcisses et le segment \([0~M(t)]\) compté dans le sens positif soit égal à \(t\). Alors le cosinus (respectivement sinus) du réel \(t\) est défini comme l'abcisse (respectivement ordonné) du point \(M(t) = (x(t),y(t))\) :

\[\cos(t) = x(t), \quad \sin(t) = y(t).\]

(insérer une image)

Exemples : Cosinus et sinus d'angles remarquables

Nous avons

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} & \dfrac{2\pi}{3} & \dfrac{3\pi}{4} & \dfrac{5\pi}{6} & \pi \\ \hline \cos(t) & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 & - \dfrac{1}{2} & - \dfrac{\sqrt{2}}{2} & - \dfrac{\sqrt{3}}{2} & - 1 \\ \hline \sin(t) & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \hline \end{array},\]

(insérer une image)

Proposition : Périodicité des fonctions cosinus et sinus

On considère deux réels \(x,y\in \mathbb{R}\) tels que \(x \equiv y [2\pi]\). Alors \(\cos(x) = \cos(y)\) et \(\sin(x) = \sin(y)\).

Démonstration

Proposition : Propriétés à retenir des fonctions cosinus et sinus

On considère deux réels \(x,y\in \mathbb{R}\). Alors :

\[\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1,\]

\[\cos(-x) = \cos(x), \quad \sin(-x) = -\sin(x),\]

\[\cos(x+y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y), \quad \sin(x+y) = \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y).\]

Démonstration

Corollaire : Propriétés induites

Nous avons également l'image d'une différence :

• \(\cos(x-y) = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y),\)

• \(\sin(x-y) = \sin(x) \cos(y) - \cos(x) \sin(y),\)

l'image du double :

• \(\cos(2x) = \cos(x)^2 - \sin(x)^2 = 2 \cos(x)^2 - 1,\)

• \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x),\)

le produit d'images :

• \(\cos(x) \cos(y) = \dfrac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)),\)

• \(\sin(x) \sin(y) = - \dfrac{1}{2}(\cos(x+y) - \cos(x-y)),\)

• \(\cos(x) \sin(y) = \dfrac{1}{2}(\sin(x+y) - \sin(x-y)),\)

la somme et la différence d'images :

• \(\cos(x) + \cos(y) = 2 \cos\left( \dfrac{x+y}{2} \right) \cos \left( \dfrac{x-y}{2} \right),\)

• \(\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left( \dfrac{x+y}{2} \right) \cos \left( \dfrac{x-y}{2} \right),\)

• \(\cos(x) - \cos(y) = - 2 \sin\left( \dfrac{x+y}{2} \right) \sin \left( \dfrac{x-y}{2} \right),\)

• \(\sin(x) - \sin(y) = 2 \cos\left( \dfrac{x+y}{2} \right) \sin \left( \dfrac{x-y}{2} \right).\)

Démonstration

Exemples

Soit \(x\in \mathbb{R}\). Pour \(y = \pi\) nous obtenons

\[\cos(x+\pi) = -\cos(x), \quad \sin(x+\pi) = - \sin(x).\]

Pour \(y = -\pi\) nous obtenons

\[\cos(x-\pi) = \cos(x), \quad \sin(x-\pi) = \sin(x).\]

Pour \(y = \dfrac{\pi}{2}\) nous obtenons

\[\cos \left( x+ \dfrac{\pi}{2} \right) = -\sin(x), \quad \sin \left( x+ \dfrac{\pi}{2} \right) = \cos(x).\]

Pour \(y = -\dfrac{\pi}{2}\) nous obtenons

\[\cos \left( x- \dfrac{\pi}{2} \right) = \sin(x), \quad \sin \left( x- \dfrac{\pi}{2} \right) = - \cos(x).\]

Exemple

Nous pouvons également en déduire pour tout \(x\in \mathbb{R}\)

\[(\cos(x))^3 = \dfrac{1}{4} \cos(3x) + \dfrac{3}{4} \cos(x).\]

Définition : Fonction tangente

La fonciton tangente est défini par, pour tout \(x\in \mathbb{R}\) tel que \(x \not\equiv \dfrac{\pi}{2} [\pi],\)

\[\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}.\]

On note \(\mathcal{D}_{\tan}\) l'ensemble de définition de la fonction tangente.

Exemples : Tangentes d'angles remarquables

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} & \dfrac{2\pi}{3} & \dfrac{3\pi}{4} & \dfrac{5\pi}{6} & \pi \\ \hline \tan(t) & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} & || & - \sqrt{3} & - 1 & - \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\ \hline \end{array},\]

Remarque

(interprétation sur le cercle trigonométrique avec une image)

Proposition : Propriétés induites

On consdière deux réels \(x,y\in \mathbb{R}\). Alors :

• \(\tan(-x) = -\tan(x),\)

• \(\tan(x+y) = \dfrac{\tan(x)+\tan(y)}{1- \tan(x)\tan(y)}\) si \(x+y\in \mathcal{D}_{\tan},\)

• \(\tan(x-y) = \dfrac{\tan(x) - \tan(y)}{1+\tan(x) \tan(y)}\) si \(x-y \in \mathcal{D}_{\tan},\)

• \(\tan(2x) = 2 \dfrac{\tan(x)}{1 - \tan(x)^2}\) si \(2x \in \mathcal{D}_{\tan}.\)

Démonstration

Exemples

Soit \(x \mathcal{D}_{\tan}\). Alors \(x+\pi, x-\pi \in \mathcal{D}_{\tan}\) et

\[\tan(x+\pi) = \tan(x) = \tan(x-\pi).\]

En particulier la fonction tangente est \(\pi\)-périodique.

Proposition : Cosinus et sinus avec la tangente de l'angle moitié

On considère un réel \(x\in \mathbb{R}\) tel que \(\dfrac{x}{2} \in \mathcal{D}_{\tan}\). Alors, en notant \(t = \tan\left( \dfrac{x}{2}\right)\), nous avons

\[\cos(x) = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \quad \sin(x) = \dfrac{2t}{1+t^2}.\]

Démonstration