Exercices

Groupe symétrique⚓︎

Exercices d'apprentissage

Exercice

Décomposer les permutations suivantes en produit de cycles à supports disjoints et calculer leur signature.

1. $\sigma = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 3 & 7 & 8 & 2 & 4 & 1 & 6 \end{array} \right)$

Correction

Nous avons

\[\sigma = (1 \quad 5 \quad 2 \quad 3 \quad 7) (4\quad 8 \quad 6).\]

Donc

\[\varepsilon(\sigma) = 1\times 1 = 1.\]

2. $\sigma = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 6 & 3 & 7 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{array} \right)$

Correction

3. $\sigma = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 5 & 4 & 8 & 7 & 6 & 2 & 1 \end{array} \right)$

Correction

4. $\sigma = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 3 & 2 & 7 & 4 & 8 & 5 & 6 \end{array} \right)$

Correction

Exercice

Soient $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geq 2$ et $\tau \in \mathcal{S}_n$ une transposition.

1. Montrer que l'application $\varphi : \sigma \in \mathcal{S}_n \longmapsto \tau \circ \sigma \in \mathcal{S}_n$ est une bijection.

Correction

Il s'agit d'une involution $\varphi^2 = \text{id}_{\mathcal{S}_n}$.

2. En déduire le cardinal du groupe symétrique $|\mathcal{A}_n|$.

Correction

Nous avons

\[|\mathcal{A}_n| = |\varphi(\mathcal{A}_n)| = |\mathcal{S}_n\backslash \mathcal{A}_n| = |\mathcal{S}_n| - |\mathcal{A}_n|.\]

Donc

\[|\mathcal{A}_n| = \dfrac{|\mathcal{S}_n|}{2} = \dfrac{n!}{2}.\]

Exercice

Soient $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geq 2$, $\sigma \in \mathcal{S}_n$ et $c\in \mathcal{S}_n$ un $p$-cycle :

\[c = (a_1 \quad a_2 \quad ... \quad a_p).\]

Montrer que la permutation $\sigma \circ c \circ \sigma^{-1}$ est un $p$-cycle que l'on précisera.

Correction

Soit $k \in \{1, ..., n\}$.

Si $k = \sigma(a_i), i\in \{1, ..., p-1\}$, alors

\[(\sigma c \sigma^{-1})(k) = \sigma(c(a_i)) = \sigma(a_{i+1}).\]

Si $k = \sigma(a_p)$ alors

\[(\sigma c\sigma^{-1})(k) = \sigma(c(a_p)) = \sigma(a_1).\]

Si $k \neq \sigma(a_i)$ pour tout i\in {1, ..., p}$ alors $\sigma^{-1}(k) \notin \text{Supp}(c)$ et donc

\[(\sigma c \sigma^{-1})(k) = \sigma(c(\sigma^{-1}(k))) = \sigma(\sigma^{-1}(k)) = k.\]

Par conséquent $\sigma c\sigma^{-1}$ est un $p$-cycle donné par

\[\sigma c \sigma^{-1} = (\sigma(a_1) \quad \sigma(a_2) \quad ... \quad \sigma(a_p)).\]

Exercice

Soient $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geq 2$, $i,j \in \{1, ..., n\}$ tels que $i \neq j$, et $\sigma \in \mathcal{S}_n$. Montrer que les permutations $\sigma$ et $\tau = (i \quad j)$ commutent si et seulement si le sous-ensemble $\{i,j\}$ est stable par la permutation $\sigma$.

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

Calculer leur signature des permutations suivantes.

1. $\sigma = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 2 & ... & n-1 & n \\ n & n-1 & ... & 2 & 1 \end{array} \right)$

Correction

Nous avons si $n = 2m$ pair alors

\[\sigma = (1 \quad n) (2 \quad n-1) ... \left( m-1 \quad m+1 \right).\]

Donc

\[\varepsilon(\sigma) = (-1)^{m-1} = (-1)^{\frac{n-2}{2}}.\]

Si $n = 2m+1$ impaire alors

\[\sigma = (1 \quad n) (2 \quad n-1) ... \left(m \quad m+1).\]

Donc

\[\varepsilon(\sigma) = (-1)^m = (-1)^{\frac{n-1}{2}}.\]

Nous pouvons également utiliser le nombre d'inversions

\[\varepsilon(\sigma) = (-1)^{I(\sigma)}\]

avec

\[I(\sigma) = n-1 + n-2 + ... + 1 + 0 = \dfrac{n(n-1)}{2}.\]

2. $\sigma = \left( \begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & ... & n & n+1 & n+2 & ... & 2n-1 & 2n \\ 1 & 3 & 5 & ... & 2n-1 & 2 & 4 & ... & 2n-2 & 2n \end{array} \right)$

Correction

Nous avons directement

\[I(\sigma) = 0 + 1 + 2 + ... + n-1 + 0 + ... + 0 = \dfrac{n(n-1)}{2}.\]

Donc

\[\varepsilon(\sigma) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}.\]

Exercice

Soient $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geq 5$ et $(a \quad b \quad c), (a'\quad b' \quad c') \in \mathcal{S}_n$. Montrer qu'il existe $\sigma \in \mathcal{A}_n$ tel que

\[\sigma \circ (a \quad b \quad c) \circ \sigma^{-1} = (a' \quad b' \quad c').\]

Correction

On considère $\sigma \in \mathcal{S}_n$ tel que

\[\sigma(a) = a', \quad \sigma(b) = b', \quad \sigma(c) = c'.\]

Si $\sigma \notin \mathcal{A}_n$ alors, comme $n\geq 5$, il existe $d,e \in \{1, ..., n\} \backslash \{a, b,c}$ distincts et on considère

\[\sigma \circ (d \quad e).\]

Exercice

Soient $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geq 2$, et $c = (1 \quad 2 \quad ... \quad n-1 \quad n)$.

1. Soient $\sigma \in \mathcal{S}_n$ telle que $\sigma c = c \sigma$, et $k = \sigma (1)$. Montrer que

\[c^{-(k-1)}(k) = 1.\]

2. Soit $s = c^{-(k-1)} \sigma$. Montrer que pour tout $i\in \{1, ..., n}$

\[s = c^{(i-1)} s c^{-(i-1)}\]

et en déduire que

\[s(i) = i.\]

3. Déterminer toutes les permutations qui commutent avec la permutation $c$.

Correction

Soit $\sigma \in \mathcal{S}_n$ tel que $\sigma c = c\sigma$, $k = \sigma(1)$ et

\[s = c^{-(k-1)} \sigma.\]

Alors d'après la question précédent $s = \text{id}_{\{1, ..., n\}$. Donc

\[\sigma = c^k.\]

Réciproquement tout $c^k, k\in \{1, ..., n\}$, commute avec la permutation $c$.

Exercice

Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geq 2$. Déterminer tous les morphismes du groupe $\mathcal{S}_n$ vers le groupe $\mathbb{C}^*$.

Correction

Soit $\varphi$ un tel morphisme. Soit $\tau = (1 \quad 2)$. Alors $\tau^2 = \text{id}_{\{1, ..., \}}$. Donc $\varphi(\tau)^2 = 1$. Ainsi $\varphi(\tau) \in \{-1, 1\}$. De même soit $\tau ' = (i \quad j)$ une permutation quelconque. Alors il existe $\sigma \in \mathcal{S}_n$ tel que $\tau' = \sigma \tau \sigma^{-1}$. Donc $\varphi(\tau') = \varphi(\tau)$...

Exercice

Soient $n\in \mathbb{N}$ et

\[H = \{\sigma \in \mathcal{S}_n, \quad \forall k\in \{1, ..., n\}, \quad \sigma(k) + \sigma(n+1-k) = n+1\}.\]

Montrer que l'ensemble $H$ est un sous-groupe du groupe $\mathcal{S}_n$.

Correction

Nous avons bien $H \subset \mathcal{S}_n$.
Soient $\sigma, \sigma' \in H$. Alors pour tout $k\in \{1, ..., n\}$

\[\sigma(\sigma'(k)) = n+1 - \sigma(n+1 - \sigma'(k)) = n+1 - \sigma(\sigma'(k)).\]

Donc

\[\sigma \sigma' \in H.\]

Soient $\sigma \in H$ et $k\in \{1, ..., n\}$. On considère $\ell = \sigma^{-1}(k)$. Alors

\[\sigma(n+1-\ell) = n+1 - \sigma(\ell) = n+1 -k.\]

Donc

\[\sigma^{-1}(n+1-k) = n+1 - \ell.\]

Puis

\[\sigma^{-1}(k) + \sigma^{-1}(n+1-k) = \ell + n+1-\ell = n+1.\]

Donc

\[\sigma^{-1} \in H.\]

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soient $a_1, ..., a_n, b_1, ..., b_n \in \mathbb{R}$ tels que

\[a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_n, \quad b_1 \leq b_2 \leq ... \leq b_n.\]

Déterminer

\[\min_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \left( \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} \right) \quad \text{et} \quad \max_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \left( \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} \right).\]

Démonstration

Formes multilinéaires alternées⚓︎

Exercices d'apprentissage

Exercice

Exercices d'entrainement

Exercice

Soient $F,G$ deux sous-espaces vectoriels supplémenaires d'un espace vectoriel $E$. On considère une forme linéaire $f$ sur l'espace $E$, $p$ la projection vectoriel sur le sous-espace $F$ parallèlement au sous-espace $G$ et $q = \text{id}_E - p$ appelé sa projection complémentaire. Montrer que l'application

\[\begin{array}{rcl} \varphi : E\times E & \longrightarrow & \mathbb{K} \\ (x,y) & \longmapsto & f(p(x))f(q(y)) - f(p(y))f(q(x)) \end{array}\]

est une forme bilinéaire alternée sur l'espace $E$.

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$, $f \in L(E)$ et $e$ une base de l'espace $E$. Montrer que pour tout $x_1, ..., x_n \in E^n$,

\[\sum_{i=1}^n \det_e(x_1, ..., x_{k-1}, f(x_k), x_{k+1}, ..., x_n) = \text{tr}(f) \det_e(x_1, ...,x_n).\]

Correction

Déterminants théoriques⚓︎

Exercices d'apprentissage

Exercice

On considère $m\in \mathbb{R}$ et les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ :

\[u = (m, 1, 1), \quad v = (1,m,1), \quad w = (1,1,m).\]

Pour quelles valeurs du réel $m$, cette famille constitue-t-elle une base de $\mathbb{R}^3$ ?

Correction

Nous avons

\[\det_e(u,v,w) = m^3 + 1 + 1 - m - m - m = m^3 - 3m + 2 = (m-1)(m^2 + m - 2) = (m-1)(m-1)(m+2) = (m-1)^2 (m+2).\]

Donc la famille $(u,v,w)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ si et seulement si $m\notin \{1, -2}$.

Exercice

Soient $n\in \mathbb{N}$ et $a_0, ..., a_n \in \mathbb{R}$ distincts. Montrer que la famille de polynômes $((X+a_0)^n, ..., (X+a_n)^n)$ constitue une base de l'espace $\mathbb{R}_n[X]$.

Correction

Nous avons

\[\forall k\in \{0, ..., n\}, \quad (X+a_k)^n = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} a_k^{n-j} X^j.\]

Donc

\[\det_e((X+a_0)^n, ..., (X+a_n)^n) = \left| \begin{array}{cccc} a_0^n & a_1^n & \dots & a_n^n \\ n a_0^{n-1} & n a_1^{n-1} & \dots & a_n^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n a_0 & n a_1 & \dots & n a_n \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{array} \right| = \prod_{j=0}^n \binom{n}{j} V(a_n, ..., a_0) \neq 0.\]

Exercice

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

1. Quelle relation lie $\det(A)$ et $\det(\overline{A})$ ?

Correction

Nous avons

\[\det(\overline{A}) = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n \overline{a_{j\sigma(j)}} = \overline{\det(A)}.\]

2. Montrer que si $A^T = \overline{A}$ alors $\det(A) \in \mathbb{R}$.

Correction

On suppose que $A^T = \overline{A}$. Alors

\[\det(A) = \det(A^T) = \det(\overline{A}) = \overline{\det(A)}.\]

Donc $\det(A) \in \mathbb{R}$.

Exercice

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.

1. Montrer que si la matrice $A$ est antisymétrique et $n$ impair alors la matrice $A$ n'est pas inversible.

Correction

On suppose que la matrice $A$ est antisymétrique et $n$ impair. Alors

\[\det(A) = \det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n \det(A) = -\det(A).\]

Donc $\det(A) = 0$.

2. Comparer les déterminants $\det(A)$ et $\det(((-1)^{i+j}a_{ij})_{1\leq i,j\leq n})$.

Correction

Nous avons

\[\det(((-1)^{i+j}a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}) = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n (-1)^{i+\sigma(i)} a_{i\sigma(i)} = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \varepsilon(\sigma) (-1)^{2n} \prod_{i=1}^n a_{i\sigma(i)} = \det(A).\]

3. Calculer le déterminant $\det(C_1 -C_2, ..., C_{n-1} - C_n, C_n - C_1)$.

Correction

Nous avons

\[C_1 - C_2 + C_2 - C_3 + ... + C_{n-1} - C_n + C_n - C_1 = 0.\]

Donc le déterminant est nul.

Exercice

On considère l'endomorphisme $f \in L(\mathbb{R}^3)$ défini par

\[\forall x,y,z \in \mathbb{R}, \quad f(x,y,z) = (y+z, x+z, x+y).\]

Calculer $\det(f)$. Cet endomorphisme est-il inversible ?

Correction

Nous avons

\[\det(f) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right| = 0 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 = 2.\]

Donc l'endomorphisme $f$ est inversible.

Exercice

On considère l'application

\[\begin{array}{rcl} f : \mathbb{R}_{2n+1}[X] & \longrightarrow & \mathbb{R}[X] \\P & \longmapsto & (2n+1)XP - (X^2 - 1) P'. \end{array}\]

1. Montrer que $f \in L(\mathbb{R_{2n+1}[X]})$.

Correction

L'application $f$ est linéaire par linéarité de la dérivation et de la bilinéarité du produit. De plus

\[f(1) = (2n+1) X.\]

Puis pour tout $k\in \{1, ..., 2n+1\}$,

\[f(X^k) = (2n+1) X^{k+1} - (X^2-1) kX^{k-1} = (2n+1 -k) X^{k+1} + k X^{k-1}.\]

Ainsi

\[\forall k\in \{0, ..., 2n\}, \quad f(X^k) \in \mathbb{R}_{2n+1}[X]\]

et

\[f(X^{2n+1}) = 0 + (2n+1) X^{2n}.\]

Donc $f\in L(\mathbb{R}_{2n+1}[X])$.

2. Calculer $\det(f)$.

Correction

Nous avons par développements successifs selon la première ligne et la première colonne

\[\det(f) = ... = (-1)^{n+1} (1\times 3 \times ... \times (2n+1))^2 = (-1)^{n+1} \left( \dfrac{(2n+1)!}{2^n n!} \right)^2.\]

Exercices d'entrainement

Exercice

Soient $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geq 2$, $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de colonnes $A_1, ..., A_n$ et $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de colonnes

\[B_j = \sum_{i=1, i\neq j}^n A_i.\]

Exprimer $\det(B)$ en fonction de $\det(A)$.

Correction

Nous avons, en notant $e$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$, par propriétés du déterminant

\[\det(B) = \det_e(B_1, ..., B_n) = \det_e\left( \sum_{i=1}^n B_i, B_2, ..., B_n \right) = \det_e\left( (n-1)\sum_{j=1}^n A_j, B_2, ..., B_n \right) = (n-1) \det_e\left( \sum_{j=1}^n A_j, B_2 - \sum_{j=1}^n A_j, ..., B_n - \sum_{j=1}^n A_j \right) = (n-1) \det_e\left( \sum_{j=1}^n A_j, -A_2, ..., -A_n \right) = (-1)^{n-1}(n-1) \det(A).\]

Exercice

Soient $A \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ antisymétrique et $J \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ la matrice avec que des $1$ comme cœfficients. Montrer que

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad \det(A + xJ) = \det(A).\]

On pourra montrer qu'il s'agit d'une fonction affine paire en $x$.

Correction

Soit $x\in \mathbb{R}$. Nous avons par opérations

\[L_i \longleftarrow L_i - L_1, \quad 2\leq i\leq n,\]

\[\det(A+xJ) = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} + x & ... & a_{1n} + x \\ a_{21} - a_{11} & ... & a_{2n} - a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} - a_{11} & ... & a_{nn} - a_{1n} \end{array} \right|.\]

Puis par développement selon la première ligne

\[\det(A+xJ) = \sum_{j=1}^n \alpha_j (a_{1j} + x) = ax+b.\]

Donc la fonction $x\longmapsto \det(A+xJ)$ est affine. Puis comme la matrice $A$ est antisymétrique et $J$ symétrique

\[\det(A-xJ) = \det(-A^T - xJ^T) = (-1)^{2n} \det(A + xJ) = \det(A+xJ).\]

Donc la fonction est également paire. Donc constante. En particulier

\[\det(A+xJ) = \det(A+0J) = \det(A).\]

Exercice

Soient $X,Y \in \mathbb{R}^n$. Exprimer le déterminant de

\[M = I_n + Y X^T\]

en fonction du réel $X^T Y$.

Correction

Nous avons

\[M = (e_1 + x_1 Y \quad ... \quad e_n + x_nY).\]

Donc par $n$-linéarité du déterminant

\[\det(M) = \det(e_1 \quad ... \quad e_n) + \sum_{i=1}^n x_i \det(e_1 \quad ... \quad e_{i-1} \quad Y \quad e_{i+1} \quad ... \quad e_n) = 1 + \sum_{i=1}^n x_i y_i = 1 + X^T Y.\]

Exercice

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ à cœfficients positifs telle que

\[\forall i\in \{1, ..., n\}, \quad \sum_{j=1}^n a_{ij} \leq 1.\]

Montrer que

\[|\det(A)| \leq 1.\]

Correction

On procède par récurrence sur $n\in \mathbb{N}^*$ :

Pour $n = 1$ nous avons la conclusion souhaitée.
On suppose le résultat vrai au rang $n\in \mathbb{N}^*$. Soit $A \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$ à cœfficients positifs telle que

\[\forall i\in \{1, ..., n+1\}, \quad \sum_{j=1}^n a_{ij} \leq 1.\]

On développe par rapport à la première ligne

\[\det(A) = \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{i+j} a_{1j} \Delta_{1j}.\]

On applique l'hypothèse de récurrence aux matrices $\Delta_{1j}$ pour obtenir

\[|\det(A)| \leq \sum_{j=1}^{n+1} a_{1j} \leq 1.\]

Le théorème de récurrence permet de conclure.

Exercice

On considère

\[V = \{x\longmapsto e^x P(x), \quad P\in \mathbb{R}_n[X]\}.\]

1. Montrer que la partie $V$ est un sous-espace vectoriel de l'espace $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Préciser $\dim(V)$.

Correction

2. Montrer que l'application dérivation $D$ est un endomorphisme de l'espace $V$. Préciser $\det(D)$.

Correction

On note $f_k = X^k \exp, 0\leq k\leq n$. Alors la famille $b = (f_k)_{0\leq k\leq n}$ est une base de l'espace $V$ et

\[\forall k\in \{0, ..., n\}, \quad D(f_k) = f_k + kf_{k-1}.\]

Donc

\[\det(D) = \det(\text{Mat}_b(D)) = \det \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & & 0 \\ & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & n \\ 0 & & 1 \end{array} \right) = 1.\]

Exercice

Soit $f \in L_\mathbb{R}(\mathbb{C})$.

1. Montrer qu'il existe un unique couple $(a,b)\in \mathbb{C}^2$ tel que

\[\forall z\in \mathbb{C}, \quad f(z) = az + b\overline{z}.\]

Correction

2. Exprimer en fonction de complexes $a$ et $b$ le déterminant de l'endomorphisme $f$.

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tel que

\[\forall i\in \{1, ..., n\}, \quad |a_{ii}| > \sum_{j=1, j\neq i}^n |a_{ij}|.\]

1. Montrer que la matrice $A$ est inversible.

Correction

2. Montrer que si la matrice $A$ est à cœfficients strictement positifs alors $\det(A) > 0$.

Correction

Calcul de déterminants⚓︎

Exercices d'apprentissage

Exercice

Calculer les déterminants des matrices suivantes et préciser si la matrice est inversible.

1. $A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right)$.

Correction

2. $B = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$.

Correction

3. $C = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right)$.

Correction

Exercice

Calculer les déterminants des matrices carrées de taille $n$ suivantes.

1. $A_n = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & n & n & \dots & n \\ n & 2 & n & \ddots & \vdots \\ n & n & 3 & \ddots & n \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & n \\ n & \dots & n & n & n \end{array} \right)$.

Correction

On raisonne par récurrence sur $n\in \mathbb{N}^*$. Dans $|A_n|$ on effectue l'opération $L_n \longleftarrow L_n - L_1$ et on développe selon la dernière ligne pour obtenir

\[|A_n| = (-1)^{n-1}(n-1) \left| \begin{array}{ccccc} 2 & n & n & \dots & n \\ n & 3 & n & \ddots & \vdots \\ n & n & 4 & \ddots & n \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & n \\ n & \dots & n & n & n \end{array} \right|.\]

Donc, par itérations successives

\[|A_n| = (-1)^{n-1} (n-1) (-1)^{n-2}(n-2) ... (-n) = (-1)^{n+1} n!.\]

2. $B_n = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \ddots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \ddots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \end{array} \right)$.

Correction

3. $C_n = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & & \ddots & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 1 & 1 \end{array} \right)$.

Correction

4. $D_n = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & & \ddots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Correction

Exercice

Calculer les déterminants suivants.

1. $\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{array} \right|$.

Correction

2. $\left| \begin{array}{ccc} a+b & b+c & c+a \\ a^2 + b^2 & b^2 + c^2 & c^2 + a^2 \\ a^3 + b^3 & b^3 + c^3 & c^3 + a^3 \end{array} \right|$.

Correction

Nous avons par linéarité selon la première colonne

\[\left| \begin{array}{ccc} a+b & b+c & c+a \\ a^2 + b^2 & b^2 + c^2 & c^2 + a^2 \\ a^3 + b^3 & b^3 + c^3 & c^3 + a^3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a & b+c & c+a \\ a^2 & b^2 + c^2 & c^2 + a^2 \\ a^3 & b^3 + c^3 & c^3 + a^3 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} b & b+c & c+a \\ b^2 & b^2 + c^2 & c^2 + a^2 \\ b^3 & b^3 + c^3 & c^3 + a^3 \end{array} \right|\]

avec, par opérations sur les colonnes,

\[\left| \begin{array}{ccc} a & b+c & c+a \\ a^2 & b^2 + c^2 & c^2 + a^2 \\ a^3 & b^3 + c^3 & c^3 + a^3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a & b+c & c \\ a^2 & b^2 + c^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 + c^3 & c^3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{array} \right|\]

et de façon similaire

\[\left| \begin{array}{ccc} b & b+c & c+a \\ b^2 & b^2 + c^2 & c^2 + a^2 \\ b^3 & b^3 + c^3 & c^3 + a^3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} b & c & c+a \\ b^2 & c^2 & c^2 + a^2 \\ b^3 & c^3 & c^3 + a^3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} b & c & a \\ b^2 & c^2 & a^2 \\ b^3 & c^3 & a^3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{array} \right|.\]

Donc

\[\left| \begin{array}{ccc} a+b & b+c & c+a \\ a^2 + b^2 & b^2 + c^2 & c^2 + a^2 \\ a^3 + b^3 & b^3 + c^3 & c^3 + a^3 \end{array} \right| = 2\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{array} \right| = 2 abc(b-a)(c-b)(c-a)\]

Exercice

Soit $a\in \mathbb{C}$. Calculer le déterminant de taille $n$

\[D_n = \left| \begin{array}{cccc} 2a & & & (0) \\ a & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & a \\ (0) & & a & 2a \end{array} \right|.\]

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

Montrer que

\[D_n = \left| \begin{array}{ccccc} 1 & n & n-1 & \dots & 2 \\ 2 & 1 & \ddots & & 3 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ n-1 & & \ddots & 1 & n \\ n & n-1 & \dots & 2 & 1 \end{array} \right| = \dfrac{(-1)^{n+1}}{2} (n+1) n^{n-1}.\]

Correction

Exercice

Soient $a,\lambda_1, ..., \lambda_n \in \mathbb{C}$. Calculer le déterminant de la matrice suivante, appelée matrice de Hurwitz,

\[H = aJ + \text{diag}(\lambda_1, ..., \lambda_n), \quad J = (1)_{1\leq i,j\leq n}.\]

Correction

Exercice

Soient $A \in GL_n(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $\delta \in \mathbb{R}_+^*$ tel que

\[\forall x\in [-\delta, \delta], \quad A+xB \in GL_n(\mathbb{R}).\]

Correction

Exercice

Soient $A,B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que

\[\det(A) = \det(B) = \det(A+B) = \det(A-B) = 0.\]

Montrer que

\[\forall x,y\in \mathbb{R}, \quad \det(xA+yB) = 0.\]

Correction

On considère l'application

\[\begin{array}{rcl} \varphi : \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \det(A+tB). \end{array}\]

Alors, grâce à la formule du déterminant, la fonction $\varphi$ est polynomiale de degré 3 et de cœfficient de degré 3 est $\det(B) = 0$. Donc la fonction $\varphi$ est de degré au plus 2. Or

\[varphi(0) = \varphi(1) = \varphi(-1) = 0.\]

Donc la fonction $\varphi$ est nulle. Ainsi

\[\forall t\in \mathbb{R}, \quad \det(A+tB) = 0.\]

Soit $x,y \in \mathbb{R}$. Si $x = 0$ alors

$$$\det(xA+yB) = y^3 \det(B) = 0$

et si $x\neq 0$ alors

\[\det(xA+yB) = x^3 \det\left( A + \dfrac{y}{x} B \right) = x^3 \varphi\left( \dfrac{y}{x} \right) = 0.\]

Exercice

On considère $x_1, ..., x_n \in [0,\pi]$ distincts et

\[P_n = \prod_{1\leq i<j\leq n} (\cos(x_i) - \cos(x_j)).\]

1. Combien le produit définit le réel $P_n$ comporte-t-il de termes ?

Correction

2. Pour $n = 4$ écrire la matrice

\[M = (\cos((j-1)x_i))_{1\leq i,j\leq 4}.\]

Correction

3. Montrer que les cœfficients $m_{ij}$ sont polynomiaux en les $\cos(x_i)$.

Correction

4. Calculer le déterminant $\det(M)$ en fonction du réel $P_4$ et montrer que $|\det(M)| < 24$.

Correction

Exercice

Calculer le déterminant suivant de taille $n$.

\[D_n = \left| \begin{array}{cccccc} \binom{1}{0} & \binom{1}{1} & 0 & \dots & \dots & 0 \\ \binom{2}{0} & \binom{2}{1} & \binom{2}{2} & 0 & & \vdots \\ \binom{3}{0} & \binom{3}{1} & \binom{3}{2} & \binom{3}{3} & \ddots & \vdots \\ \binom{4}{0} & \binom{4}{1} & \binom{4}{2} & \binom{4}{3} & \ddots & 0 \\ \vdots & & & & \ddots & \binom{n-1}{n-1} \\ \binom{n}{0} & \binom{n}{1} & \binom{n}{2} & \binom{n}{3} & \ddots & \binom{n}{n-1} \end{array} \right|\]

Correction

On effectue les opérations suivantes

\[L_n \longleftarrow L_n - L_{n-1}, ..., L_2 \longleftarrow L_2 - L_1\]

nous obtenons, grâce à la formule du triangle de Pascal,

\[D_n = \left| \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 0 & \binom{1}{0} & \binom{1}{1} & 0 & & \vdots \\ 0 & \binom{2}{0} & \binom{2}{1} & \binom{2}{2} & \ddots & \vdots \\ 0 & \binom{3}{0} & \binom{3}{1} & \binom{3}{2} & \ddots & 0 \\ \vdots & & & & \ddots & \binom{n-2}{n-2} \\ 0 & \binom{n-1}{0} & \binom{n-1}{1} & \binom{n-1}{2} & \ddots & \binom{n-1}{n-2} \end{array} \right|.\]

Puis par développement selon la première colonne

\[D_n = D_{n-1}.\]

Ainsi par itérations successives

\[D_n = ... = D_1.\]

Exercice

Soient $a,b\in \mathbb{R}$ tels que $(a,b) \neq (0,0)$. Calculer le déterminant de taille $n$

\[D_n = \left| \begin{array}{cccc} a+b & b & & (0) \\ a & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & b \\ (0) & & a & a+b \end{array} \right|.\]

Correction

On développe selon la première ligne

\[D_n = (a+b) D_{n-1} - b ...\]

puis selon la première colonne dans le dernier terme

\[D_n = (a+b) D_{n-1} - ab D_{n-2}.\]

Ainsi la suite $D$ est récurrente linéaire d'ordre 2 d'équation caractéristique

\[0 = r^2 - (a+b) r + ab = (r-a)(r-b).\]

Si $a \neq b$ alors il existe $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ tels que

\[D_n = \lambda a^n + \mu b^n\]

puis grâce aux deux conditions initiales

\[D_n = \dfrac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a-b}.\]

Puis si $a = b$ alors il existe $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ tels que

\[D_n = (\lambda n + \mu) a^n\]

puis grâce aux deux conditions initiales

\[D_n = (n+1)a^n.\]

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soient $n\in \mathbb{N}^*, a_1, ..., a_n, b_1, ..., b_n \in \mathbb{R}$ tels que $a_i+b_j \neq 0$ pour tout $i,j\in \{1, ..., n\}$. Calculer

\[\det\left( \left( \dfrac{1}{a_i+b_j} \right)_{1\leq i,j\leq n} \right).\]

Correction

Exercice

Calculer le déterminant de la matrice

\[A_n = \left( \begin{array}{ccc} a & & (b) \\ & \ddots & \\ (c) & & a \end{array} \right) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}).\]

Correction

Applications et cas particuliers⚓︎

Exercices d'apprentissage

Exercice

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie. On suppose qu'il existe $f\in L(E)$ tel que $f^2 = - \text{id}_E$. Montrer que $n = \text{dim}(E)$ est paire.

Correction

Nous avons

\[0\leq \det(f)^2 = \det(f^2) = \det(-\text{id}_E) = (-1)^n.\]

Donc $(-1)^n = 1$ i.e. $n = \text{dim}(E).$ est pair.

Exercice

En calculant de deux façons le déterminant

\[\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{array} \right|\]

factoriser $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ par $a+b+c$.

Correction

Nous avons d'après la règle de Sarrus

\[\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{array} \right| = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc.\]

Et en effectuant l'opération $L_1 \longleftarrow L_1 + L_2 + L_3$

\[\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a+b+c & b & c \\ c+a+b & a & b \\ b+c+a & c & a \end{array} \right| = (a+b+c) \left| \begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 1 & a & b \\ 1 & c & a \end{array} \right| = (a+b+c)(a^2 + b^2 +c^2 - ab - bc - ca).\]

Exercice

Soient $\alpha \in \mathbb{C}$ et

\[M = \left( \begin{array}{cccc} 1 & \alpha & & (0) \\ & \ddots & \ddots & \\ (0) & & \ddots & \alpha \\ \alpha & (0) & & 1 \end{array} \right) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}).\]

1. Calculer $\det(M)$.

Correction

2. Déterminer le rang de la matrice $M$ en fonction du complexe $\alpha$.

Correction

Exercice

On considère un système d'équations linéaires d'équation matricielle $AX = B$.

1. Montrer que ce système admet une unique solution si et seulement si $\det(A) \neq 0$.

Correction

Si $\det(A) \neq 0$ alors la matrice $A$ est inversible et l'unique solution est donnée par $X = A^{-1} B$.
Réciproquement si $\det(A) = 0$ alors la matrice $A$ est non inversible, en particulier non injective : il existe $X_0 \in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}$ tel que $AX_0 = 0$. Si l'équation $AX = B$ admet une solution $X$ alors le vecteur $X+X_0$ est également solution. Donc il n'y a pas unicité.

2. Montrer que sa solution est alors déterminée par

\[x_j = \dfrac{1}{\det(A)} \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & b_1 & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & b_n & \dots & a_{nn} \end{array} \right|, \quad 1\leq j\leq n.\]

Correction

On note $C_1, ...., C_n$ les colonnes de la matrice $A$. Alors

\[x_1 C_1 + ... + x_n C_n = B.\]

Donc par $n$-linéarité du déterminant

\[\det(C_1, ..., C_{j-1}, B, C_{j+1}, ..., C_n) = \sum_{k=1}^n x_k \det(C_1, ..., C_{j-1}, C_k, C_{j+1} ..., C_n). = x_j.\]

3. Donner la solution du système d'équations linéaires

\[\begin{cases} x & + & y & + & z & = & 1 \\ ax & + & by & + & cz & = & d \\ a^2 x & + & b^2 y & + c^2 z & = & d^2 \end{cases}\]

avec $a,b,c,d \in \mathbb{K}$ distincts.

Correction

Nous avons

\[x = \dfrac{1}{\det(A)} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ d & b & c \\ d^2 & b^2 & c^2 \end{array} \right| = \dfrac{1}{\det(A)}(bc^2 + db^2 + cd^2 - d^2b - c^2 d - b^2 c) = ...\]

De même pour $y$ et $z$.

Exercice

Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ telles que $\det(A), \det(B)$ soient premiers entre eux. Montrer qu'il existe $U,V \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ telles que

\[UA + VB = I_n.\]

Correction

Comme $\det(A)$ et $\det(B)$ sont premiers entre eux, d'après l'identité de Bézout, il existe $u,v\in \mathbb{Z}$ tels que

\[u\det(A) + v\det(B) = 1\]

i.e.

\[u \det(A) I_n + v\det(B) I_n = I_n\]

i.e.

\[u\text{Com}(A)^T A + v \text{Com}(B)^T B = I_n.\]

Exercices d'entrainement

Exercice

Quels sont les endomorphismes $f$ de $\mathbb{R}^n$ tels que $f(\mathbb{Z}^n) \subset \mathbb{Z}^n$ ?

Correction

Exercice

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Etudier la bijectivité de l'application

\[\begin{array}{rcl} f_A : \mathbb{K}^n & \longrightarrow & \mathbb{K}^n \\ x & \longmapsto & (\det(C_1, ..., C_{j-1}, x, C_{j+1}, ..., C_n))_{1\leq j\leq n}. \end{array}\]

Correction

Exercice

Soient $a,b\in \mathbb{K}$. Calculer le rang de la matrice

\[M(a,b) = \left( \begin{array}{ccc} a & & (b) \\ & \ddots & \\ (b) & & a \end{array} \right) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).\]

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soient $I$ intervalle non vide de $\mathbb{R}$ et $f_1, ..., f_n : I \longrightarrow \mathbb{R}$. Montrer que la famille $(f_1, ..., f_n)$ est libre si et seulement s'il existe $x_1, ..., x_n \in I$ tels que $\det((f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}) = 0$.

Correction

Exercice

Comatrice⚓︎

Exercices d'apprentissage

Exercice

Soit $S\in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Montrer que la comatrice $\text{Com}(S)$ est également symétrique.

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

On considère $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geq 2$, et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ à cœfficients entiers. Montrer que la matrice $A$ est inversible d'inverse à cœfficients entiers si et seulement si $|\det(A)| = 1$.

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soient $A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant. Montrer que les comatrices $\text{Com}(A)$ et $\text{Com}(B)$ commutent également.

Correction

Exercice

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.

1. Donner le rang de $B = (\text{Com}(A))^T$ en fonction de celui de la matrice $A$.

Correction

2. On suppose $\text{rg}(A) = n-1$ et on considère $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que

\[AC = CA = 0_{nn}.\]

Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que

\[C = \lambda B.\]