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Cours

Objectifs du programme officiel :

Opérations sur les matrices

  • Addition, multiplication par un scalaire, combinaison linéaire

  • Matrice élémentaire, décomposition des matrices

  • Produit matriciel, bilinéarité, associativité

  • Produit de matrices élémentaires, symbole de Kronecker

  • Transposée d'une matrice

  • Opérations sur les transposées, combinaison linéaire, produit

Opérations élémentaires
  • Interprétation des opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes en termes de produit matriciel
Systèmes linéaires

  • Ecriture matricielle \(AX = B\) d'un système linéaire, système linéaire homogène associé

  • Système compatible

  • Solutions générales à partir d'une solution particulière et des solutions du système linéaire homogène associé

Anneau des matrices carrées

  • Non commutativité, diviseurs de zéro, éléments nilpotents

  • Matrice identité, matrice scalaire

  • Matrices symétriques, antisymétriques

  • Formule du binôme, calcul de puissances

  • Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supérieures, inférieures

  • Matrice inversible, inverse, groupe linéaire

  • Inverse d'une transposée

  • Opérations élémentaires vis-à-vis de l'inversibilité

  • Calcul de l'inverse d'une matrice par opérations élémentaires ou par résolution de système

  • Condition d'inversibilité d'une matrice triangulaire, son inverse est triangulaire, cas particulier des matrices diagonoles

I. Opérations sur les matrices⚓︎

Définition

On considère deux entiers naturels non nuls \(n,p\in \mathbb{N}^*\). Alors une matrice \(A\) dans \(\mathbb{K}\) de taille \(n\times p\) est un tableau d'éléments de \(\mathbb{K}\) avec \(n\) lignes et \(p\) colonnes :

\[A = \left( \begin{array}{ccc} A_{11} & \dots & A_{1p} \\ \vdots & (A_{ij}) & \vdots \\ A_{n1} & \dots & A_{np} \end{array} \right)\]

On note \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) leur ensemble.

Exemple

La matrice nulle est la matrice composée que de 0 :

\[0_{np} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & \dots & 0 \\ \vdots & (0) & \vdots \\ 0 & \dots & 0 \end{array} \right).\]

Remarque

On note alors \(A_{ij}\) les éléments de la matrice \(A\) pour tout \(i\in \{1,..., n\}\) et \(j\in \{1, ..., p\}\).

Remarque

S'il n'y a qu'une seule colonne alors on parle de matrice colonne ou encore de vecteur colonne et on peut identifier leur ensemble avec \(\mathbb{K}^n\).

Définition

On considère deux matrices \(A,B \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\). Alors on définit :

  • la matrice \(A+B\) par
\[\forall i\in \{1, ..., n\}, j\in \{1, ..., p\}, \quad (A+B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij},\]
  • la matrice \(\lambda A\) par
\[\forall i\in \{1, ..., n\}, j\in \{1, ..., p\}, \quad (\lambda A)_{ij} = \lambda A_{ij}.\]
Exemples
\[\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a + e & b + f \\ c + g & d + h \end{array} \right).\]
\[\lambda \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \lambda a & \lambda b \\ \lambda c & \lambda d \end{array} \right).\]

Remarque

Il est important que les matrices \(A\) et \(B\) aient le même nombre de lignes et de colonnes pour les sommer.

Proposition

Le couple \((\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),+)\) est un groupe abélien d'élément neutre la matrice nulle et pour tout \(A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) son opposée est

\[-A = (-a_{ij})_{1\leq i\leq n, 1\leq j\leq p}.\]
Démonstration

Proposition

Soit \(A,B\in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K}),\lambda,\mu \in \mathbb{K}\). Alors nous avons :

  • La distributivité à gauche
\[(\lambda + \mu)A.\]
  • La distributivité à droite
\[\lambda (A+B) = \lambda A + \lambda B.\]
  • L'associativité mixte
\[\lambda (\mu A) = (\lambda \mu) A.\]
  • \(1A = A\).
Démonstration

Définition : Combinaison linéaire

Une combinaison linéaire est une matrice de la forme \(\lambda A + \mu B\) avec \(A,B\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(\lambda,\mu \in \mathbb{K}\).

Exemple
\[\lambda \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) + \mu \left( \begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \lambda a + \mu e & \lambda b + \mu f \\ \lambda c + \mu g & \lambda d + \mu h \end{array} \right).\]

Définition : Matrice élémentaire

On considère deux entiers \(i_0\in \{1, ..., n\}\) et \(j_0\in \{1, ..., p\}\). Alors la matrice élémentaire \(E_{i_0j_0}\) est définie par

\[(E_{i_0j_0})_{ij} = \delta_{i_0j_0}(i,j) = \begin{cases} 1 & \text{si} \quad i=i_0,j=j_0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} = \delta_{i_0}(i) \delta_{j_0}(j),\]

où \(\delta_{i_0j_0}\) est appelé symbole de Kronecker associé au couple \((i_0,j_0)\) et \(\delta_{i_0}, \delta_{j_0}\) ceux associés respectivement aux entiers \(i_0,j_0\).

Exemple

Nous avons par exemple

\[E_{11} = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{array} \right).\]

Proposition

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\). Alors la matrice est combinaison linéaire de matrices élémentaires :

\[A = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^p A_{ij} E_{ij}.\]
Démonstration
Exemple
\[\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = a E_{11} + b E_{12} + c E_{21} + dE_{22}. \]

Définition : Produit matriciel

On considère deux matrices \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\) et \(B\in \mathcal{M}_{pq}(\mathbb{K})\). Alors on définit la matrice \(AB \in \mathcal{M}_{nq}(\mathbb{K})\) par

\[\forall i\in \{1, ..., n\}, j\in \{1, ..., q\}, \quad (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^p A_{ik}B_{kj}.\]
Exemple
\[\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{array} \right).\]

Remarque

Il est important que le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la seconde matrice. Il faut bien faire attention : il ne s'agit pas du produit terme à terme.

Remarque

On peut réaliser une multiplication matricielle en représentant les deux matrices comme ceci :

Proposition

Le produit matriciel est une loi de composition interne associative, distributive sur la somme \(+\) et non commutative. De plus pour tout \(\lambda \in \mathbb{K}, A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K}), B\in \mathcal{M}_{pq}(\mathbb{K})\),

\[\lambda (AB) = A(\lambda B) = (\lambda A) B, \quad I_n A = A = A I_p, \quad 0_{mn} A = 0_{mp}, \quad A 0_{pq} = 0_{nq}.\]
Démonstration

Proposition

On considère \(i,j,k,l \in \{1, ..., n\}\). Alors

\[E_{ij} E_{kl} = \delta_j(k) E_{il}.\]
Démonstration

Proposition

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\) et une matrice colonne \(X \in \mathbb{K}^p\). Alors la matrice colonne \(AX\) est combinaison linéaire des colonnes \(C_1, ..., C_p\) de la matrice \(A\) :

\[AX = \sum_{k=1}^p X_k C_k.\]
Démonstration
Exemple

Définition : Transposée

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\). Alors la transposée \(A^T\) de la matrice \(A\) est la matrice de \(M_{pn}(\mathbb{K})\) définie par

\[\forall i\in \{1, ..., p\}, j\in \{1, ..., n\}, \quad (A^T)_{ij} = A_{ji}.\]
Exemple

Remarque

Géométriquement la transposée d'une matrice \(A\) est obtenue par symétrie.

Exemple

Proposition

On considère deux matrices \(A,B\in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\). Alors

\[(A^T)^T = A, \quad (A+B)^T = A^T + B^T, \quad (\lambda A)^T = \lambda A^T.\]
Démonstration
Exemple

Proposition

On considère deux matrices \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\) et \(B\in \mathcal{M}_{pq}(\mathbb{K})\). Alors

\[(AB)^T = B^T A^T.\]
Démonstration
Exemple

II. Opérations élémentaires⚓︎

Définition : Opération élémentaire

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\). Alors les opérations élémentaires sont :

  • multiplier une ligne (ou une colonne) de la matrice \(A\) par un nombre \(\lambda \in \mathbb{K}^*\),

  • échanger deux lignes (ou deux colonnes) de la matrice \(A\),

  • ajouter à une ligne (respectivement une colonne) de la matrice \(A\) une combinaison linéaire d'autres lignes (respectivement d'autres colonnes) de la matrice \(A\).

Exemples

Remarque

On note ces opérations, pour \(i\in \{1, ...,n\}\) et \(j\in \{1, ..., p\}\),

  • \(L_i \longleftarrow \lambda L_i,\) pour \(\lambda \in \mathbb{K}^*\).

  • \(L_i \longleftrightarrow L_j\).

  • \(L_i \longleftarrow L_i + \sum_{k=1,k\neq i}^n \lambda_k L_k,\) pour \(\lambda_1, ..., \lambda_{i-1},\lambda_{i+1}, ..., \lambda_n \in \mathbb{K}\).

  • \(C_j \longleftarrow \lambda C_j,\) pour \(\lambda \in \mathbb{K}^*\).

  • \(C_i \longleftrightarrow C_j\).

  • \(C_j \longleftarrow C_j + \sum_{k=1,k\neq j}^p \lambda_k C_k,\) pour \(\lambda_1, ..., \lambda_{i-1},\lambda_{i+1}, ..., \lambda_n \in \mathbb{K}\).

Définition : Matrices d'opération élémentaire

On considère \(i\in \{1, ..., n\}, j\in \{1, ..., p\}\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\). Alors on définit les matrices élémentaires carrées par :

  • \(D(i,\lambda) = \left( \begin{array}{ccccccc} 1 \\ & \ddots & & & & (0) \\ & & 1 \\ & & & \lambda \\ & (0) & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{array} \right)\) où le \(\lambda\) est en position \(i,i\).

  • \(E(i,j) = \left( \begin{array}{cccccccccccc} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & 0 & & & & 1 \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ & & & 1 & & & & 0 \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \end{array} \right)\) où les \(0\) de la diagonale sont en position \(i,i\) et \(j,j\).

  • \(T(i,j,\lambda) = \left( \begin{array}{ccccccccc} 1 \\ & \ddots \\ & \lambda & \ddots \\ & & & \ddots \\ & & & & 1 \end{array} \right)\) où le \(\lambda\) est en position \(i,j\) avec \(i\neq j\).

Exemples

Proposition

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})\). Alors :

  • \(L_i \longleftarrow \lambda L_i,\) pour \(\lambda \in \mathbb{K}^*,\) correspond à la multiplication \(D(i,\lambda)A\).

  • \(L_i \longleftrightarrow L_j\) correspond à la multiplication \(E(i,j)A\).

  • \(L_i \longleftarrow L_i + \lambda L_k\) correspond à la multiplication \(T(i,k,\lambda)A\).

  • \(C_j \longleftarrow \lambda C_j,\) pour \(\lambda \in \mathbb{K}^*,\) correspond à la multiplication \(A D(j,\lambda)\).

  • \(C_i \longleftrightarrow C_j\) correspond à la multiplication \(AE(j,i)\).

  • \(C_j \longleftarrow C_j + \lambda C_k\) correspond à la multiplication \(A T(j,k,\lambda)\)..

Démonstration
Exemples

Remarque

Il faut retenir que les opérations sur les lignes se font par multipliciation matricielle à gauche et que les opérations sur les colonnes se fonction par multiplication matricielle à droite.

III. Systèmes linéaires⚓︎

Proposition

Un système linéaire dans \(\mathbb{K}\)

\[(S) \quad \begin{cases} \begin{array}{cccccccc} a_{11} x_1 & + & \dots & + & a_{1p} x_p & = & b_1 \\ \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} x_1 & + & \dots & + & a_{np} x_p & = & b_n \end{array} \end{cases},\]

est équivalent à l'équation matricielle

\[AX = B,\]

où l'on note \(A = (a_{ij})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq p} \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K}), B = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n1}(\mathbb{K})\) et \(X = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) \in \mathcal{M}_{p1}(\mathbb{K})\).

Démonstration
Exemple

Définition : Système homogène associé

On considère un système linéaire d'équation matricielle \(AX=B\). Alors le système homogène associé est le système linéaire d'équation matricielle \(AX=0_n\).

Exemple

Définition : Système compatible

On considère un système linéaire d'équation matricielle \(AX=B\). Alors on dit que ce système est compatible s'il admet au moins une solution.

Exemples

Proposition

On considère un système linéaire homogène d'équation matricielle \(AX = 0_n\). Alors \(0_p\) est solution de cette équation et l'ensemble des solutions est stables par combinaison linéaire.

Démonstration

Proposition

On considère un système linéaire d'équation matricielle \(AX=B\). Alors la matrice colonne \(B\) est combinaison linéaire des matrices colonnes de la matrice \(A\) si et seulement si ce système est compatible.

Démonstration
Exemple

Proposition

On considère un système linéaire d'équation matricielle \(AX=B\). Si ce système est compatible alors les solutions de l'équation matricielle sont exactement de la forme

\[X = X_0 + Y,\]

avec \(X_0\) solution particulière de l'équation matricielle \(AX=B\) et \(Y\) solution quelconque de l'équation matricielle \(AX=0\) associée au système homogène.

Démonstration
Exemple

Théorème : Algorithme du pivot de Gauss de façon matricielle

On considère un système linéaire d'équation matricielle \(AX=B\). Alors l'algorithme du pivot de Gauss consiste matriciellement à :

  • multiplier par des matrices d'opérations élémentaires à gauche l'équation matricielle \(AX=B\) pour se ramener à une équation matricielle \(A'X = B'\) avec une matrice \(A'\) triangulaire supérieure, autrement dit avec uniquement des \(0\) en dessous de la diagonale,

  • conclure comme précédemment.

Démonstration
Exemples

On considère la matrice

\[A = \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & -1 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & - 3 \end{array} \right)\]

et la matrice colonne

\[B = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array} \right).\]

Alors le système \(AX = B\) n'admet pas de solution.

On considère la matrice

\[A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & -6 \end{array} \right)\]

et la matrice colonne

\[B = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right).\]

Alors le système \(AX = B\) admet une unique solution donnée par

\[X = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right)\]

On considère la matrice

\[A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -3 & 4 & -2 \\ 1 & -1 & 9 & -1 \\ 1 & -2 & 7 & - 2 \end{array} \right)\]

et la matrice colonne

\[B = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 9 \end{array} \right).\]

Alors le système \(AX = B\) admet une infinité de solutions et sont exactement de la forme

\[X = \left( \begin{array}{c} -61-11\lambda \\ -14-3\lambda \\ 6+\lambda \\ \lambda \end{array} \right), \quad \lambda \in \mathbb{R}.\]

IV. Anneau des matrices carrés⚓︎

Proposition

L'ensemble des matrices carrées \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) = \mathcal{M}_{nn}(\mathbb{K})\) est un anneau pour l'addition \(+\) et la multiplication \(\times\). De plus si \(n\geq 2\) alors il s'agit d'un anneau non commutatif et non intègre.

Démonstration

Corollaire

Si \(n\geq 2\) alors il existe des matrices \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) diviseurs de la matrice nulle \(0_{nn}\), autrement dit il existe une matrice \(B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que

\[AB = 0.\]

De plus il existe des matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) nilpotentes non nulles : il existe \(k\in \mathbb{N}\) tel que \(k\geq 2\) et

\[A^k = 0_{nn}.\]
Exemples

Pour \(n\geq 2\)

\[E_{11} E_{22} = 0.\]

Pour \(n\geq 2\)

\[E_{1n}^2 = 0.\]

Définitions : Matrice identité, matrice scalaire

La matrice identité de l'anneau \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est la matrice diagonale avec uniquement des \(1\) sur la diagonale, que l'on note \(I_n\),

\[I_n = \left(\begin{array}{ccc} 1 & & (0) \\ & \ddots & \\ (0) & & 1 \end{array}\right).\]

Une matrice scalaire est alors une matrice carrée de la forme \(\lambda I_n\), pour \(\lambda \in \mathbb{K}\), diagonale avec uniquement des \(\lambda\) sur la diagonale.

Définitions : Matrice symétrique, matrice anti-symétrique

On considère une matrice carrée \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors on dit que la matrice \(A\) est :

  • symétrique si \(A^T = A\), autrement dit si la matrice \(A\) est symétrique par rapport à la diagonale,

  • antisymétrique si \(A^T = - A\), autrement dit si les coefficients de la matrice \(A\) sont opposés deux à deux par rapport à la diagonale.

On note leurs ensembles respectifs \(\mathcal{S}_n(\mathbb{K})\) et \(\mathcal{A}_n(\mathbb{K})\).

Exemples

La matrice \(\left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{array} \right)\) est symétrique.

La matrice \(\left( \begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right)\) est antisymétrique.

Proposition

On considère une matrice carrée \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors il existe un unique couple de matrices \((S,A) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) tel que

\[M = S + A, \quad S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{K}), \quad A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{K}).\]
Démonstration

Proposition : Formule du binôme de Newton

On considère deux matrices carrées \(A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et un entier \(N\in \mathbb{N}\). Si les matrices \(A\) et \(B\) commutent \(AB=BA\) alors

\[(A+B)^N = \sum_{k=0}^N \binom{N}{k} A^k B^{N-k}.\]
Démonstration

Remarque

La proposition précédente peut servir à calculer la puissance \(N\)-ième d'une matrice carrée \(A\) qui vérifie \(A=D+N\) avec \(D,N\) deux matrices carrées qui commutent et dont les puissances sont faciles à calculer.

Exemple

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) tel que \(A^2 = 0\). Alors

\[(A+I_n)^N = I_n + N A.\]

Proposition

On considère deux matrices carrées \(A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et un entier \(N\in \mathbb{N}\). Si les matrices \(A\) et \(B\) commutent \(AB=BA\) alors

\[A^N - B^N = (A - B) \sum_{k=0}^{N-1} A^k B^{n-1 - k}.\]
Démonstration

Définitions : Matrices diagonales, triangulaires supérieures, triangulaires inférieures

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors on dit que la matrice \(A\) est :

  • diagonale si pour tout \(i,j\in \{1, ..., n\}\) distincts \(i\neq j\), \(A_{ij} = 0\) :
\[A = \left( \begin{array}{ccc} A_{11} & & (0) \\ & \ddots & \\ (0) & & A_{nn} \end{array} \right).\]
  • triangulaire supérieure si pour tout \(i,j \in \{1, ..., n\}\) tels que \(j<i\), \(A_{ij} = 0\) :
\[A = \left( \begin{array}{ccc} A_{11} & \dots & A_{1n} \\ & \ddots & \vdots \\ (0) & & A_{nn} \end{array} \right).\]
  • triangulaire inférieure si pour tout \(i,j \in \{1, ..., n\}\) tels que \(i<j\), \(A_{ij} = 0\) :
\[A = \left( \begin{array}{ccc} A_{11} & & (0) \\ \vdots & \ddots & \\ A_{n1} & \dots & A_{nn} \end{array} \right).\]

On note leurs ensembles respectifs \(\mathcal{D}_n(\mathbb{K}), \mathcal{T}^+_n(\mathcal{K}), \mathcal{T}^-_n(\mathbb{K})\).

Exemples
\[A = \left( \begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{array} \right).\]
\[A = \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{array} \right).\]
\[A = \left( \begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ b & c & 0 \\ d & e & f \end{array} \right).\]

Proposition

Les ensembles \(\mathcal{D}_n(\mathbb{K}), \mathcal{T}^+_n(\mathcal{K}), \mathcal{T}^-_n(\mathbb{K})\) forment des anneaux pour l'addition et la multiplication. Plus précisément on considère deux matrices carrés \(A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), si les matrices \(A\) et \(B\) sont toutes les deux diagonales, triangulaires supérieures ou triangulaires inférieures alors leur produit \(AB\) l'est encore de coefficients diagonaux

\[\forall i\in \{1, ..., n\}, \quad (AB)_{ii} = A_{ii} B_{ii}.\]
Démonstration
Exemple
\[\left( \begin{array}{ccc} a & b \\ 0 & c \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} d & e \\ 0 & f \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} ad & ae + bf \\ 0 & cf \end{array} \right).\]

Corollaire

On considère \(A \in \mathcal{D}_n(\mathbb{K})\) et \(k\in \mathbb{N}\). Alors \(A^k \in \mathcal{D}_n(\mathbb{K})\) et

\[A^k = \left( \begin{array}{ccc} A_{11} & & (0) \\ & \ddots & \\ (0) & & A_{nn} \end{array} \right)^k = \left( \begin{array}{ccc} A_{11}^k & & (0) \\ & \ddots & \\ (0) & & A_{nn}^k \end{array} \right).\]
Démonstration

Définition : Matrice inversible

On considère une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors on dit que la matrice \(A\) est inversible s'il existe une matrice \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que

\[BA=I_n = AB.\]

On note \(GL_n(\mathbb{K})\) leur ensemble.

Exemple
\[D(1,2) = D\left(1, \dfrac{1}{2}).\]

Proposition

L'ensemble des matrices inversibles \(GL_n(\mathbb{K})\) est un groupe pour la multiplication de neutre la matrice identité \(I_n\).

Démonstration

Proposition

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Si la matrice \(A\) est inversible alors sa transposée \(A^T\) est également inversible et

\[(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T.\]
Démonstration

Proposition

On considère deux matrices carrées \(A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Si les matrices \(A\) et \(B\) sont inversibles alors leur produit \(AB\) l'est également et

\[(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}.\]
Démonstration

Remarque

On fera bien attention à l'ordre des termes.

Remarque

On considère une matrice carrée \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Si la matrice \(A\) est inversible alors on peut déterminer son inverse \(A^{-1}\) en multipliant à gauche les matrices \(A,I_n\) par des matrices d'opérations élémentaires \(M_1, ..., M_r\) afin de se ramener à un couple \((A',I')\) avec \(A'\) matrice triangulaire supérieure puis à un couple \((A'',I'')\) avec \(A''\) matrice diagonale et enfin au couple \((I_n,A^{-1})\) car \(M_r ...M_1 A = I_n\). Pour se faire on réprésente les matrices comme ceci

\[\begin{array}{c|c} A & I_n \\ \vdots & \vdots \\ \left( \begin{array}{ccc} A_{11}' & \dots & A_{1n}' \\ & \ddots & \vdots \\ (0) & & A_{nn}' \end{array} \right) & I' \\ \vdots & \vdots \\ \left( \begin{array}{ccc} A_{11}'' & & (0) \\ & \ddots & \\ (0) & & A_{nn}' \end{array} \right) & I'' \\ \vdots & \vdots \\ I_n & A^{-1} \end{array}.\]
Exemple

On considère la matrice \(A\) suivante et on écrit la matrice \(I_3\) à côté

\[A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right) \quad \mid \quad \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right).\]

On effectue alors les opérations \(L_2 \longleftarrow L_2 - L_1\) et \(L_3 \longleftarrow L_3 - 2 L_1\) et on obtient

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -3 \end{array} \right) \quad \mid \quad \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} \right).\]

Puis on effectue les opérations \(L_1 \longleftarrow L_1 - L_2\) et \(L_3 \longleftarrow L_3 + L_2\) et on obtient

\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 \end{array} \right) \quad \mid \quad \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \end{array} \right).\]

Puis on effectue ...

Remarque

On peut également calculer l'inverse de la matrice inversible \(A\) en résolvant le système linéaire associé à l'équation matricielle \(AX=Y\) d'inconnue \(X \in \mathbb{K}^n\) et de paramètre quelconque \(Y \mathbb{K}^n\). En effet en exprimant l'inconnue \(X\) par rapport au second membre \(Y\), on obtient un système linéaire associé à une équation matricielle de la forme \(BY = X\), et ainsi \(A^{-1} = B\).

Exemple

On considère le système linéaire associé à la matrice \(A\) de l'exemple précédent...

Proposition

On considère une matrice carrée de taille 2 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\). Alors \(A \in GL_2(\mathbb{K})\) si et seulement si \(ad - bc \neq 0\). Dans ce cas nous avons

\[A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right).\]
Exemple

Proposition

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Si la matrice \(A\) est diagonale, triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure alors la matrice \(A\) est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux \(A_{11}, ..., A_{nn}\) sont non nuls. Dans ce cas l'inverse \(A^{-1}\) de la matrice \(A\) est de même type (diagonale, triangulaire supérieure, triangulaire inférieure) et de coefficients diagonaux \(A_{11}^{-1}, ..., A_{nn}^{-1}\).

Démonstration
Exemples

= "Matrice diagonale inversible"

= "Matrice triangulaire inversible"