Cours

I. Convergence et divergence

Remarque

Dans tout ce chapitre on considère une suite \(u = (u_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}^\mathbb{N}\).

Définitions : Somme partielle, série

La suite des sommes partielles de la suite \(u\) est la suite \((S_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad S_n = \sum_{k=0}^n u_k \in \mathbb{K}.\]

On appelle cette suite la série \(\sum u_n\).

Exemple

Définition : Série convergente, divergente

On dit que la série \(\sum u_n\) est convergente si la suite \((S_n)_{n\in \mathbb{N}}\) admet une limite finie. Dans ce cas on note \(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\) sa limite. Dans le cas contraire on dit que la série \(\sum u_n\) est divergente.

Exemples

Série convergenteSérie divergente

Proposition

On considère une autre série \(\sum v_n \in \mathbb{K}^\mathbb{N}\) et un scalaire \(\lambda \in \mathbb{K}\). Si les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont convergentes alors la série \(\sum (\lambda u_n + v_n)\) l'est également et nous avons

\[\sum_{n=0}^{+\infty} (\lambda u_n + v_n) = \lambda \sum_{n=0}^{+\infty} u_n + \sum_{n=0}^{+\infty} v_n.\]

Démonstration

Exemple

Remarque

On peut avoir une somme de séries divergentes qui est une série convergente.

Exemple

Proposition

Si la série \(\sum u_n\) est convergente alors \(u_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0\).

Démonstration

Exemple

Remarque

La réciproque de la proposition n'est pas vérifiée. Il n'est pas suffisant d'avoir \(u_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0\) pour avoir que la série \(\sum u_n\) est convergente. Si la série \(\sum u_n\) ne vérifie pas \(u_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0\) alors on dit que la série \(\sum u_n\) est grossièrement divergente.

Exemple

Définition : Reste d'une série

Si la série \(\sum u_n\) est convergente alors la suite des restes de la série \(\sum u_n\) est la suite \((R_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k.\]

Exemple

Remarque

La suite \((R_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est bien définie car \(R_n = \sum_{k=0}^{+\infty} u_k - S_n \in \mathbb{K}\).

Proposition

La suite \(u\) et la série \(\sum (u_{n+1} - u_n)\) sont de même nature. En cas de convergence nous avons

\[\lim_{n\to +\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty}(u_{n+1} - u_n) + u_0.\]

Démonstration

Exemple

Proposition

Si la suite \(u\) est géométrique de raison \(q \in \mathbb{K}\) alors la série \(\sum u_n\), appelée série géométrique, est convergente si et seulement si \(|q|<1\). Dans ce cas nous avons

\[\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} q^n u_0 = \dfrac{u_0}{1-q}.\]

Démonstration

Exemple

(paradoxe de la flèche)

Proposition

On considère un scalaire \(z\in \mathbb{K}\). Si \(u_n = \dfrac{z^n}{n!}\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\) alors la série \(\sum u_n\) est convergente de somme \(e^z\) :

\[e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{z^n}{n!}.\]

Démonstration

Exemple

II. Séries à termes positifs

Proposition

Si \(u\in (\mathbb{R}_+)^\mathbb{N}\) alors la série \(\sum u_n\) est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles \((S_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est majorée.

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une autre suite \(v \in \mathbb{K}^\mathbb{N}\). Si les suites \(u\) et \(v\) sont à termes positifs, \(u\leq v\) et la série \(\sum v_n\) est convergente (respectivement \(\sum u_n\) divergente) alors la série \(\sum u_n\) est également convergente (respectivement \(\sum v_n\) divergente) et \(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n \leq \sum_{n=0}^{+\infty} v_n\).

Démonstration

Exemples

Séries convergentesSéries divergentes

Remarque

Le résultat précédent n'est pas vérifié si l'on ne suppose pas la positivité.

Exemple

Corollaire

On considère une autre suite \(v\in \mathbb{K}^\mathbb{N}\). Si les suites \(u\) et \(v\) sont à termes positifs et \(u_n \underset{n\to +\infty}{\sim} v_n\) alors les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature.

Démonstration

Exemple

Remarque

Ici aussi, le résultat précédent n'est pas vérifié si l'on ne suppose pas la positivité.

Exemple

Proposition

On suppose que \((u_n)_{n\in \mathbb{N}} = (f(n))_{n\in \mathbb{N}}\) avec \(f : \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}_+\) fonction continue. Si la fonction \(f\) est décroissante alors nous avons l'encadrement des sommes partielles

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad \int_0^{n+1} f(t) dt \leq \sum_{k=0}^n u_k = \sum_{k=0}^n f(k) \leq \int_0^n f(t) dt + f(0).\]

Nous pouvons alors en déduire la convergence ou le divergence de la série \(\sum u_n\).

Démonstration

Exemples

Série convergenteSérie divergente

Corollaire

On considère un scalaire \(\alpha \in \mathbb{K}\). Si \(u_n = \dfrac{1}{n^\alpha}\) pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), alors la série \(\sum u_n = \sum \dfrac{1}{n^\alpha}\), appelée série de Riemann, est convergente si et seulement si \(\text{Re}(\alpha) > 1\).

Démonstration

Exemples

III. Séries à termes réels ou complexes

Définition : Série absolument convergente

On dit que la série \(\sum u_n\) est absolument convergente si la série à termes positifs \(\sum |u_n|\) est convergente.

Exemple

Proposition

Si la série \(\sum u_n\) est absolument convergente alors la série \(\sum u_n\) est convergente.

Démonstration

Exemple

Remarque

La réciproque de la proposition précédente n'est pas vérifiée. Si la série \(\sum u_n\) est convergente mais pas la série \(\sum |u_n|\) alors on dit que la série \(\sum u_n\) est semi-convergente.

Exemple

Proposition

On considère une suite à termes positifs \(v \in (\mathbb{R}_+)^\mathbb{N}\). Si \(u_n \underset{n\to +\infty} O(v_n)\) et la série \(\sum v_n\) est convergente alors la série \(\sum u_n\) est absolument convergente (donc convergente).

Démonstration

Exemple

Remarque

La condition \(v_n \geq 0\) est importante car son absence peut mettre en défaut le résultat.

Exemple

IV. Théorème des séries alternées

Théorème des séries alternées

On suppose que la suite \(u\) est positive, décroissante et converge vers \(0\) alors la série alternée \(\sum (-1)^n u_n\) est convergente. De plus, en notant \(S = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n u_n\) sa somme, \((S_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left(\sum_{k=0}^n (-1)^k u_k\right)_{n\in \mathbb{N}}\) la suite des sommes partielles et \((R_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left(\sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k u_k\right)_{n\in \mathbb{N}}\) la suite des restes, nous avons

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad S_{2n+1} \leq S \leq S_{2n}, \quad |R_n| \leq u_{n+1},\]

et \(R_n\) du signe de \((-1)^{n+1}\).

Démonstration

Exemple

V. Familles sommables de réels positifs

Remarque

On utilise dans le reste de ce chapitre les conventions usuelles sur \([0,+\infty]\). Notamment le fait que \(\sup A = +\infty\) si la partie \(A\) de \(\mathbb{R}_+\) est non majorée. De plus on considère dans cette section une famille de réels positifs \((x_i)_{i\in I} \in (\mathbb{R}_+)^I\) avec \(I\) ensemble quelconque.

Définition : Somme d'une famille de réels positifs

La somme de la famille \((x_i)_{i\in I}\) est l'élément \(\sum_{i\in I} u_i \in [0,+\infty]\) défini comme la borne supérieure des \(\sum_{i\in J} u_i\) pour \(J \subset I\) fini :

\[\sum_{i\in I} u_i = \sup\left\{ \sum_{i\in J} u_i, \quad J\subset I, |J| < +\infty \right\}.\]

Exemple

Remarque

Dans le cas où \(I = \mathbb{N}\), nous nous retrouvons dans le cadre précédent avec, en cas de convergence de la série \(\sum u_n\)

\[\sum_{n\in \mathbb{N}} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n,\]

et en cas de divergence de la série \(\sum u_n\), \(\sum_{n\in \mathbb{N}} u_n = +\infty\).

Proposition

On considère une permutation \(\sigma \in \mathcal{S}(I)\). Alors \(\sum_{i\in I} u_{\sigma(i)} = \sum_{i\in I} u_i\).

Démonstration

Exemple

Définition : Famille sommable de réels positifs

On dit que la famille \((x_i)_{i\in I}\) est sommable si \(\sum_{i\in I} u_i < +\infty\).

Exemple

Proposition

On considère une autre famille \((v_i)_{i\in I} \in (\mathbb{R}_+)^I\) et un réel positif \(\lambda \in \mathbb{R}_+\). Si les familles \((u_i)_{i\in I}, (v_i)_{i\in I}\) sont sommables alors la famille \((\lambda u_i + v_i)_{i\in I}\) également et

\[\sum_{i\in I} (\lambda u_i + v_i) = \lambda \sum_{i\in I} u_i + \sum_{i\in I} v_i.\]

De plus si nous avons seulement \(\lambda > 0\) alors nous avons dans \([0,+\infty]\),

\[\sum_{i\in I} (\lambda u_i + v_i) = \lambda \sum_{i\in I} u_i + \sum_{i\in I} v_i.\]

Démonstration

Exemple

Théorème de sommation par paquets

Si \(I = \sqcup_{j\in J} I_j\) alors nous avons dans \([0,+\infty]\)

\[\sum_{i\in I} u_i = \sum_{j\in J}\left( \sum_{i\in I_j} u_i\right).\]

Démonstration

Corollaire : Théorème de Fubini positif

Si \(I = I_1 \times I_2\) alors nous avons dans \([0,+\infty]\)

\[\sum_{i\in I} u_i = \sum_{k \in I_1} \left( \sum_{l \in I_2} u_{k,l} \right) = \sum_{l \in I_2} \left( \sum_{k \in I_1} u_{k,l} \right).\]

Démonstration

Exemple

VI. Familles sommables de réels ou complexes

Remarque

Pour cette dernière section, nous supposons que \((x_i)_{i\in I} \in \mathbb{K}^I\).

Définition : Famille sommable de réels ou complexes

On dit que la famille \((x_i)_{i\in I}\) est sommable si la famille de réels positifs \((|x_i|)_{i\in I}\) est sommable. On note alors \(l^1(I)\) leur ensemble.

Exemple

Remarque

Dans le cas où \(I = \mathbb{N}\), la famille \((x_i)_{i\in \mathbb{N}}\) est sommable si et seulement si la série \(\sum u_n\) est absolument convergente.

Proposition

On considère une sous-famille \((x_i)_{i\in J}\) de la famille \((x_i)_{i\in I}\) avec \(J\subset I\). Si la famille \((x_i)_{i\in I}\) est sommable alors la sous-famille \((x_i)_{i\in J}\) également.

Démonstration

Exemple

Proposition

Si la famille \((x_i)_{i\in I}\) est sommable alors il existe un unique scalaire \(s \in \mathbb{K}\) tel que

\[\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists J\subset I, \quad |J| < +\infty \quad \left| \sum_{i\in J} u_i - s \right| \leq \varepsilon.\]

On appelle alors le scalaire \(s\) la somme de la famille sommable \((x_i)_{i\in I}\) et on le note \(\sum_{i\in I} x_i\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une permutation \(\sigma \in \mathcal{S}(I)\). Alors la famille \((x_i)_{i\in I}\) est sommable si et seulement si la famille \((x_{\sigma(i)})_{i\in I}\) l'est également. Dans ce cas

\[\sum_{i\in I} x_{\sigma(i)} = \sum_{i\in I} x_i.\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une famille de réels positifs \((y_i)_{i\in I} \in (\mathbb{R}_+)^i\). Si la famille \((y_i)_{i\in I}\) est sommable et \(|x_i| \leq y_i\) pour tout \(i\in I\) alors la famille \((x_i)_{i\in I}\) est sommable et

\[\left| \sum_{i\in I} x_i \right| \leq \sum_{i\in I} y_i.\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une famille \((y_i)_{i\in I} \in \mathbb{K}^I\) et un scalaire \(\lambda \in \mathbb{K}\). Si les familles \((x_i)_{i\in I}\) et \((y_i)_{i\in I}\) sont sommables alors la famille \((\lambda x_i + y_i)_{i\in I}\) est également sommable et

\[\sum_{i\in I} (\lambda x_i + y_i) = \lambda \sum_{i\in I} x_i + \sum_{i\in I} y_i.\]

Autrement dit l'ensemble \(l^1(I)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et l'application somme est linéaire.

Démonstration

Exemple

Théorème de sommation par paquets

Si \(I = \sqcup_{j\in J} I_j\) et \((x_i)_{i\in I}\) est une famille sommable alors :

• pour tout \(j\in J\), la sous-famille \((x_i)_{i\in I_j}\) est sommable,

• la famille \(\left(\sum_{i\in I_j} x_i\right)_{j\in J}\) est sommable,

• nous avons l'égalité

\[\sum_{i\in I} x_i = \sum_{j\in J} \left( \sum_{i\in I_j} x_i \right).\]

Démonstration

Exemple

Corollaire : Théorème de Fubini

Si \(I = I_1 \times I_2\) et \((x_i)_{i\in I}\) est une famille sommable alors :

• pour tout \(k\in I_1\), la sous-famille \((x_{k,l})_{l\in I_2}\) est sommable,

• pour tout \(l\in I_2\), la sous-famille \((x_{k,l})_{k\in I_1}\) est sommable,

• les familles \(\left(\sum_{l\in I_2} x_{k,l}\right)_{k\in I_1}\) et \(\left(\sum_{k\in I_1} x_{k,l}\right)_{l\in I_2}\) sont sommables,

• nous avons l'égalité

\[\sum_{i\in I} x_i = \sum_{k \in I_1} \left( \sum_{l\in I_2} x_{k,l} \right) = \sum_{l\in I_2} \left( \sum_{k \in I_1} x_{k,l} \right).\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une famille \((y_j)_{j\in J} \in \mathbb{K}^J\). Si les familles \((x_i)_{i\in I}\) et \((y_j)_{j\in J}\) sont sommables alors la famille \((x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}\) est sommable et

\[\sum_{(i,j) \in I\times J} x_i y_j = \left(\sum_{i\in I} x_i\right) \left(\sum_{j\in J} y_j\right).\]

Démonstration

Exemple

Remarque

On en déduit le résultat similaire pour une famille finie de familles sommables.

Corollaire : Produit de Cauchy

On considère deux suites \(u,v\in \mathbb{K}^\mathbb{N}\). Si les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont absolument convergentes alors la série \(\sum \sum_{k=0}^n u_k v_{n-k}\) est également absolument convergente et

\[\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^n u_k v_{n-k} = \left( \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right) \left( \sum_{n=0}^{+\infty} v_n \right).\]

Démonstration

Exemple

Remarque

Il faut bien retenir que \(\left( \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right) \left( \sum_{n=0}^{+\infty} v_n \right) \neq \sum_{n=0}^{+\infty} u_n v_n\).

Exemple

Proposition

L'application exponentielle \(\exp\) est un morphisme de groupes entre (\(\mathbb{C}\),+) et \((\mathbb{C}^*, \times)\).

Démonstration