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Exercice 1 : Calculs de sommes
Soit \(P\in \mathbb{K}[X]\) scindé à racines \(x_1, ..., x_n\) non nécessairement distinctes. Soit \(a\in \mathbb{K}\) tel que \(P(a) \neq 0\). Calculer les sommes :
1. \(\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{a-x_i}\)
2. \(\sum_{i=1}^n \dfrac{x_i}{a-x_i}\)
3. \(\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{(a-x_i)^2}\)
Exercice 2 : Calcul d'une intégrale
On considère la fraction rationnelle
1. Déterminer la décomposition en irréductibles du polynôme \(Q\) dans \(\mathbb{C}[X]\) puis dans \(\mathbb{R}[X]\).
2. Effectuer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle \(F\) dans \(\mathbb{C}(X)\).
3. En déduire sa décomposition en éléments simples dans \(\mathbb{R}(X)\).
4. Pour \(A \in [1, +\infty[\) on considère
4.a. Calculer \(I(A)\) en fonction de \(A\).
4.b. Déterminer la limite \(\lim_{A\to +\infty} I(A)\).
Exercice 3 : Décomposition en éléments simples
Soit \(x_1, ..., x_n \in \mathbb{K}\) distincts et \(P = \prod_{k=1}^n (X-x_k)\).
1. Montrer qu'il existe \(a,b\in \mathbb{K}\) et \(A,Q \in \mathbb{K}[X]\) tels que
2. Montrer que \(b(Q(x_1))^2 = 1\) et \(Q(x_1) = P'(x_1)\).
3. Montrer que \(((a(X-x_1) + b)Q^2)'(x_1) = 0\).
4. Montrer que \(Q'(x_1) = \dfrac{1}{2} P''(x_1)\).
5. En déduire la décomposition en élément simple de \(\dfrac{1}{P^2}\).
Exercice 4 : Développement limité de la fonction \(\arcsin\)
1. Rappeler l'expression donnant le développement limité à l'ordre 2 en \(0\) de la fonction \(f_1 : x\longmapsto (1+x)^\alpha\) pour \(\alpha \in \mathbb{R}\).
2. En déduire le développement limité à l'ordre 2 en \(0\) de la fonction \(x \longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\).
3. Déduire de la question précédente le développement limité à l'ordre 5 en \(0\) de la fonction \(\arcsin\).
Exercice 5 : Développement limité
1. Soient \(f,g\) deux fonctions de classe \(C^7\) sur \(\mathbb{R}\) impaires qui vérifient
1.a. Justifier que les fonctions \(f\) et \(g\) admettent des développements limités au voisinage de \(0\) à l'ordre 7. Combien de coefficients sont connus ?
1.b. Justifier que la fonction \(f\circ g - g\circ f\) admet un développement limité à l'ordre 7 en \(0\).
1.c Le calculer en fonction des développements limités des fonctions \(f\) et \(g\).
2. Déterminer la limite éventuelle \(\lim_{x\to 0} \dfrac{\text{sh}(\arctan(x)) - \arctan(\text{sh}(x))}{x^7}.\)
Problème 1 : Equivalent d'une suite
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^* \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par
1. Etudier les variations de la fonction \(f\) et sa convexité.
2. Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction \(f\).
3.a. Déterminer un développement asymptotique de la fonction \(f\) en \(+\infty\) en \(o\left( \dfrac{1}{x^2} \right)\).
3.b. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) l'équation \(f(x) = \dfrac{n+1}{n}\) admet une unique solution \(u_n \in \mathbb{R}_+^*\).
3.c. Montrer que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) est croissante et déterminer sa limite.
3.d. Déterminer un équivalent simple de la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\).
Problème 2 : Recherche de polynômes
On cherche les polynômes \(P \in \mathbb{C}[X]\) tels que \(P(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}\).
1. Soit \(P\in \mathbb{C}[X]\) tel que \(\mathbb{P}(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}\) et \(n = \text{deg}(P)\).
1.a. Que dire si \(n = 0\) ?
1.b. On suppose que \(n\geq 1\). Expliciter le polynômes interpolateur de Lagrange du polynôme \(P\) associés aux entiers \(0, 1, ..., n\).
1.c. En déduire que \(P \in \mathbb{Q}[X]\).
2. Soit \(P\in \mathbb{Q}[X]\) tel que \(P(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}\). On suppose que \(n \geq 2\).
2.a. Montrer qu'il existe \(c\in \mathbb{Z}^*\) tel que \(cP \in \mathbb{Z}[X]\). On note \(R = cP\).
2.b. Montrer que \(R(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}\).
2.c. Montrer qu'il existe un nombre premier \(m\) qui ne divise pas le coefficient dominant du polynôme \(R\).
2.d. Soit \(\dfrac{p}{q}\) un antécédent, sous forme irréductible, de \(\dfrac{1}{m}\) par \(R\). Montrer que \(m \mid q^n\) puis \(m^n \mid q^n\) et \(m \mid \dfrac{q^n}{m}\).
2.e. En déduire une absurdité.
3. Conclure.