Devoir maison des vacances d'hiver

Exercice 1 : Logique

1. Soient \(P\) et \(Q\) deux assertions. Montrer que les assertions "\(\text{non}(P \Longrightarrow Q)\)" et "\(P\) et \(\text{non}(Q)\)" sont équivalentes.

2. Soient \(A,B,Q\) trois assertions telles que l'assertion \([A\Longrightarrow B] \Longrightarrow C\) est vraie. Qui est nécessaire à qui ? Qui est suffisant à qui ?

3. Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\). Que veulent signifier les assertions suivantes et les nier avec des quantificateurs.

• \(\forall x\in \mathbb{R}, f(x) \neq 0\)

• \(\forall M\in \mathbb{R}^*_+, \exists A \in \mathbb{R}_+^*, \forall x\geq A, f(x) > M\)

• \(\forall x\in \mathbb{R}, f(x) > 0 \Longrightarrow x\leq 0\)

• \(\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \exists \delta \in \mathbb{R}_+^*, \forall x,y\in I, |x-y| \leq \delta \Longrightarrow |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon\)

Exercice 2 : Calcul algébrique

1. Calculer

\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}.\]

2. Soit \(x \in \mathbb{R}\) et, pour tout \(n\in \mathbb{N}\),

\[P_n(x) = \prod_{k=0}^n (1+x^{2^k}).\]

Calculer \((1-x) P_n(x)\) et en déduire une expression simple de \(P_n(x)\).

3. Calculer les sommes suivantes pour \(n \in \mathbb{N}\) :

\[A = \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k}, \quad B = \sum_{k=0}^n (-1)^k k \binom{n}{k} \quad \text{et} \quad C = \sum_{k=0}^n k^2 \binom{n}{k}.\]

4. Soit \(x\in \mathbb{R}\) et \(n\in \mathbb{N}^*\). On considère

\[U = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos(kx) \quad \text{et} \quad V = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \sin(kx).\]

Déterminer des expressions simplifiées de \(U\) et \(V\).

5. Soit \(n\in \mathbb{N}\) tel que \(n \geq 2\). Calculer

\[\sum_{1\leq i<j\leq n} |i-j| \quad \text{et} \quad \sum_{1\leq i,j\leq n} |i-j|.\]

Exercice 3 : Complexes

1. Soit \(n\in \mathbb{N}\) tel que \(n\geq 2\).

1.a. Montrer que \(\mathbb{U}_n\) l'ensemble des racines \(n\)-ièmes de l'unité est un groupe abélien.

1.b. Déterminer les éléments de \(\mathbb{U}_n\).

1.c. Montrer que leur somme est nulle.

2. On considère les complexes suivants

\[u = e^{i \frac{2\pi}{11}}, \quad S = u + u^3 + u^4 + u^5 + u^9 \quad \text{et} \quad T = u^2 + u^6 + u^7 + u^8 + u^{10}.\]

2.a. Montrer que les complexes \(S\) et \(T\) sont conjugués.

2.b. Montrer que la partie imaginaire du complexe \(S\) est positive.

2.c. Montrer que \(S+T = -1\) et \(S\times T = 3\). En déduire les valeurs de \(S\) et \(T\).

2.d. Montrer que

\[i \tan \left( \dfrac{3\pi}{11} \right) = \dfrac{u^3 - 1}{u^3 + 1} = - \sum_{k=1}^{10} (-u^3)^k.\]

Puis que

\[4i \sin \left( \dfrac{2\pi}{11} \right) = 2 (u - u^{10}).\]

2.e. En déduire que

\[\tan\left( \dfrac{3\pi}{11} \right) + 4 \sin\left( \dfrac{2\pi}{11} \right) = i(T-S) = \sqrt{11}.\]

Exercice 4 : Systèmes linéaires

1. Résoudre, en fonction de \(m\in \mathbb{R}\), le système

\[\begin{cases} mx & + & y & = & 2 \\ (m^2 + 1) x & + & 2my & = & 1. \end{cases}\]

2. Résoudre, en fonction de \(a,b,c \in \mathbb{R}\), le système linéaire

\[\begin{cases} x & + & 2y & - & 3z & = & a \\ 2x & + & 6y & - & 11z & = & b \\ x & - & 2y & + & 6z & = & c. \end{cases}\]

Exercice 5 : Ensembles et applications

On considère deux ensembles \(X\) et \(Y\) et une application \(f : X \longrightarrow Y\).

1. Montrer que l'application \(f\) est injective si et seulement si pour tout ensemble \(Z\) et toutes applications \(g,h : Z \longrightarrow X\)

\[f\circ g = f\circ h \quad \Longrightarrow \quad g = h.\]

2. Montrer que l'application \(f\) est surjective si et seulement si pour tout ensemble \(Z\) et toutes applications \(g,h : Y \longrightarrow Z\)

\[g\circ f = h\circ f \quad \Longrightarrow \quad g = h.\]

Exercice 6 : Fonctions usuelles

1. Montrer que la fonction \(\text{sh}\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur un intervalle \(I\) à préciser. On note \(\text{argsh}\) sa bijection réciproque.

2. La fonction \(\text{argsh}\) est-elle dérivable sur \(I\) ? Lorsque c'est possible, calculer les dérivées \(\text{argsh}'(x)\).

3. On considère la fonction \(\phi\) définie par

\[\phi(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+1}).\]

3.a. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction \(\phi\). Etudier sa parité. Etudier sa dérivabilité et calculer sa dérivée lorsqu'elle est définie. En déduire que

\[\phi = \text{argsh}.\]

3.b. Retrouver par un calcul direct (sans passer par les dérivées) le résultat précédent.

Exercice 7 : Primitives et intégrales

1. Déterminer une primitive de la fonction \(x \longmapsto x^2 \arctan(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

2. Calculer l'intégrale

\[\int_0^{\ln(2)} \dfrac{dt}{1+\text{th}(t)}.\]

3. On considère pour tout \(p\in \mathbb{N}\) l'intégrale

\[I_p = \int_0^1 \dfrac{x^p}{1+x^2}.\]

Calculer \(I_0\) et \(I_1\). Déterminer \(I_p + I_{p+2}\) en fonction de \(p\). En déduire \(I_2\) et \(I_3\).

4. On considère pour tout \(p,q\in \mathbb{N}\) l'intégrale

\[J_{p,q} = \int_0^1 \dfrac{x^p}{(1+x^2)^q} dx.\]

4.a. Calculer \(J_{1,q}\) en fonction de \(q\).

4.b. Déterminer une relation entre \(J_{0,q+1}\) et \(J_{0,q}\).

4.c. Déterminer \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) tels que

\[\forall p\geq 2, q\geq 1, \quad J_{p,q} = \alpha J_{p-2,q-1} + \beta J_{p-2,q}.\]

Exercice 8 : Equations différentielles

1.a. Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre dont les solutions sur \(\mathbb{R}_+^*\) sont les fonctions

\[x\longmapsto \arctan(x) - \dfrac{1}{2x} \ln(x^2+1) + \dfrac{\lambda}{x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}.\]

1.b. Résoudre l'équation différentielle

\[y' + 2xy = -x.\]

Puis déterminer l'unique solution s'annulant en \(0\).

2.a. Résoudre le problème de Cauchy

\[\begin{cases} y'' + 3y' + 2y = (3x^2 - 5)e^{-x} - 2xe^{-2x} \\ y(0) = y'(0) = 0. \end{cases}\]

2.b. Résoudre le problème de Cauchy dans \(\mathbb{R}\)

\[\begin{cases} y'' - 2y' + 5y = e^x \sin(2x) \\ y(0) = y'(0) = 0. \end{cases}\]

Exercice 9 : Nombres réels

1. On considère l'ensemble \(\mathbb{R}^2\) muni de l'ordre lexicographique \(\leq\) :

\[\forall (x_1,y_1), (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2, \quad (x_1,y_1) \leq (x_2, y_2) \quad \Longleftrightarrow \quad [x_1 < x_2 \quad \text{ou} \quad (x_1 = x_2 \quad \text{et} \quad y_1 \leq y_2)].\]

On considère également la partie \(A\) de \(\mathbb{R}^2\) définie par

\[A = \{(0,y), \quad y\in \mathbb{R}\}.\]

Montrer que la partie \(A\) est majoré dans \(\mathbb{R}^2\) mais que la partie \(A\) n'admet pas de plus petit majorant dans \(\mathbb{R}^2\).

2. On considère la partie \(A\) de \(\mathbb{Q}\) définie par

\[A = \{r\in \mathbb{Q}, \quad r^2 \leq 2\}.\]

Montrer que la partie \(A\) est majorée dans \(\mathbb{Q}\) mais que la partie \(A\) n'admet pas de plus petit majorant dans \(\mathbb{Q}\).

Exercice 10 : Suites

On considère \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\) tels que \(c(ad-bc) \neq 0\), et la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \backslash \left\{- \dfrac{d}{c}\right\}\) par

\[\forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{-\dfrac{d}{c} \right\}, \quad f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}.\]

1. Montrer que l'équation \(f(x) = x\) admet soit 1 ou 2 solutions dans \(\mathbb{R} \backslash \left\{ - \dfrac{d}{c} \right\}\) soit aucune solution réelle.

2. On suppose que l'on peut considérer la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par

\[u_0 \in \mathbb{R}\backslash \left\{ - \dfrac{d}{c} \right\} \quad \text{et} \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = f(u_n).\]

Montrer que si la fonction \(f\) n'a pas de points fixes \((f(x) = x)\) alors la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) diverge.

3. On suppose que la fonction \(f\) admet au moins un point fixe \(\alpha\). Montrer que s'il existe un entier \(p \in \mathbb{N}\) tel que \(u_p = \alpha\) alors la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est stationnaire puis que si \(p>0\) alors \(u_{p-1} = \alpha\) et en déduire que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est constante.

4. On suppose que la fonction \(f\) admet deux points fixes distincts \(\alpha\) et \(\beta\) et que \(u_0 \neq \alpha\). On considère alors la suite \((v_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad v_n = \dfrac{u_n - \beta}{u_n - \alpha}.\]

4.a. Montrer que la suite \((v_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est géométrique de raison \(\dfrac{c\alpha + d}{c\beta + d}\).

4.b. Exprimer alors, pour \(n\in \mathbb{N}\), \(v_n\) en fonction de \(n\) et \(u_0\), puis \(u_n\) en fonction de \(n\) et \(u_0\).

4.c. En déduire une condition sur \(u_0\) pour que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) soit bien définie. (Une condition du type \(u_0 \notin E\) où \(E\) l'ensemble des termes d'une certaine suite.)

5. On suppose que la fonction \(f\) admet un unique point fixe \(\alpha\) et que \(u_0 \neq \alpha\). On considère alors la suite \((v_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad v_n = \dfrac{1}{u_n - \alpha}.\]

5.a. Montrer que la suite \((v_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est arithmétique.

5.b. Exprimer alors, pour \(n\in \mathbb{N}\), \(v_n\) en fonction de \(n\) et \(u_0\), puis \(u_n\) en fonction de \(n\) et \(u_0\).

5.c. En déduire une condition sur \(u_0\) pour que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) soit bien définie. (Une condition du type \(u_0 \notin E\) où \(E\) l'ensemble des termes d'une certaine suite.)

Exercice 11 : Limites

Etudier les limites des fonctions suivantes au point indiqué.

1. \(x \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)\) en 0

2. \(\dfrac{x \cos(e^x)}{x^2 + 1}\) en \(+\infty\)

3. \(e^{x-\sin(x)}\) en \(+\infty\)

4. \(\dfrac{x+\arctan(x)}{x}\) en \(+\infty\)

5. \(x \left\lfloor \dfrac{1}{x} \right\rfloor\) en \(0\)

6. \(x \left\lfloor \dfrac{1}{x} \right\rfloor\) en \(+\infty\)

7. \(\left\lfloor \dfrac{1}{x} \right\rfloor\) en \(0\)

8. \(x^2\left\lfloor \dfrac{1}{x} \right\rfloor\) en \(0\)

Exercice 12 : Continuité

1. Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue telle que

\[\forall x,y\in \mathbb{R}, \quad f(x+y) = f(x) + f(y).\]

Montrer qu'il existe \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = \alpha x.\]

2. Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue telle que

\[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad f(x+y) = f(x) f(y).\]

2.a. Montrer que \(f\geq 0\).

2.b. Montrer que la fonction \(f\) est soit la fonction nulle soit une fonction ne s'annulant jamais.

2.c. Dans le second cas, déterminer une équation fonctionnelle vérifiée par la fonction \(g = \ln \circ f\).

2.d. Déterminer alors toutes les fonctions \(f\) continues sur \(\mathbb{R}\) telles que

\[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad f(x+y) = f(x) f(y).\]

Exercice 13 : Dérivation

On considère la fonction \(f\) définie par

\[f(x) = \dfrac{\ln(1+x)}{x}.\]

1. Déterminer l'ensemble de définition \(D\) de la fonction \(f\).

2 Montrer que la fonction \(f\) admet en \(0\) un prolongement par continuité. Par quelle valeur ? On notera \(D'\) l'ensemble de définition du prolongement que l'on notera encore \(f\).

3. La fonction \(f\) est-elle dérivable en \(0\) ? Si oui déterminer \(f'(0)\).

4. Calculer la dérivée de la fonction \(f\) sur \(D\) puis montrer que la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(D'\).

5. Etudier les variations de la fonction \(f\) et dresser son tableau de variation.

6. Montrer que la fonction \(f\) est de classe \(C^\infty\) sur \(D\).

7. Calculer la dérivée seconde de la fonction \(f\) sur \(D\).

8. Montrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\) il existe \(T_n \in \mathbb{R}[X]\) et \(a_n \in \mathbb{R}\) tels que

\[\forall x\in D, \quad f^{(n)}(x) = \dfrac{T_n(x)}{(1+x)^n x^n} + a_n \dfrac{\ln(1+x)}{x^{n+1}}.\]

9. Montrer que tous les cœfficients du polynôme \(T_n\) sont des entiers.

10. En utilisant la formule de Leibniz calculer la dérivée \(n\)-ième \(f^{(n)}\) et en déduire la valeur du polynôme \(T_n\). (On ne cherchera pas à expliciter une expression de chacun des cœfficients de ce polynôme.) Vérifier cette expression pour \(n = 2\).

Exercice 14 : Structures algébriques

Pour tout \(x \in \mathbb{Z}\) et \(n\in \mathbb{N}\) tel que \(n \geq 2\), on note \(\overline{x}\) la classe d'équivalence de \(x\) pour la relation de congruence modulo \(n\) :

\[\overline{x} = \{y\in \mathbb{Z}, \quad y \equiv x [n]\}.\]

On parlera abusivement de \(\overline{x}\) comme étant un élément de \(\overline{x}\). Autrement dit \(\overline{x}\) est n'importe quel représentant de la classe d'équivalence de \(x\).

1. Soit \(x,x' \in \mathbb{Z}\). Montrer que si \(x\equiv x'[n]\) alors \(\overline{x} = \overline{x'}\). En déduire que l'ensemble \(\{\overline{x}, x\in \mathbb{Z}\}\) est fini de cardinal \(n\). On le note \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

2. Montrer que \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un anneau pour les lois

\[\overline{x} + \overline{y} = \overline{x+y} \quad \text{et} \quad \overline{x} ~ \overline{y} = \overline{xy}.\]

3. Montrer que si \(n\) n'est pas premier alors l'anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) n'est pas intègre.

4. Montrer que l'anneau \(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier.

5. On considère \(p\in \mathcal{P}\) impair. On dit que \(a \in \mathbb{Z}\) est un carré modulo \(p\) s'il existe \(x\in \mathbb{Z}\) tel que

\[a \equiv x^2[p].\]

5.a. Montrer que dans \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) il y a \(\dfrac{p+1}{2}\) carrés. On pourra utiliser le morphisme carré sur \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*\) pour montrer qu'il y a autant de carrés que de non carrés dans \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*\).

5.b. Soit \(x\in \mathbb{Z}\) tel que \(\overline{x} \neq \overline{0}\). Montrer que \(\overline{x}\) est un carré modulo \(p\) si et seulement si \(x^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1[p]\).

5.c. Montrer que \(-1\) est un carré modulo \(p\) si et seulement si \(p\equiv 1[4]\).

Exercice 15 : Arithmétique

Pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\) on considère \(\sigma(n)\) la somme des diviseurs positifs de \(n\).

1. Calculer \(\sigma(6), \sigma(7)\) et \(\sigma(8)\).

2. Montrer que

\[\forall n\in \mathbb{N}\backslash\{0,1\}, \quad \sigma(n) \geq n+1.\]

A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on égalité ?

3.a. Soient \(p,q \in \mathcal{P}\) distincts et \(n = p q\). Montrer que

\[\sigma(n) = \sigma(p) \sigma(q).\]

3.b. On considère l'assertion suivante.

\[P : \quad \forall m,n\in \mathbb{N}^*, \quad m\neq n \quad \Longrightarrow \quad \sigma(mn) = \sigma(m) \sigma(n).\]

Cette assertion est-elle vraie ?

4. Montrer que pour tout \(p\in \mathcal{P}\) et \(k\in \mathbb{N}\)

\[\sigma(p^k) = \dfrac{p^{k+1} - 1}{p-1}.\]

5. Soient \(p,q\in \mathcal{P}\) distincts, \(k,\ell \in \mathbb{N}\) et \(n = p^k q^\ell\).

5.a. Soit \(d\in \mathbb{N}^*\). Montrer que \(d\mid n\) si et seulement s'il existe \(i,j\in \{0, ..., k\} \times \{0, ..., \ell\}\) tels que \(d = p^i q^j\).

5.b. En déduire l'égalité

\[\sigma(n) = \sigma(p^kq^\ell) = \dfrac{p^{k+1} - 1}{p-1} \dfrac{q^{\ell +1} - 1}{q-1}.\]

Exercice 16 : Espaces vectoriels

On considère l'espace vectoriel \(E = C^\infty(]-1,1[,\mathbb{R})\) et la partie \(F\) l'ensemble des fonctions polynomiales réelles restreintes au départ à \(]-1,1[\).

1. Montrer que la partie \(F\) est un sous-espace vectoriel de l'espace \(E\).

2. On considère l'application \(\varphi\) définie sur \(E\) par

\[\forall f\in E, \quad \forall x\in \mathbb{E}, \quad \varphi(f)(x) = (x^2-1) f''(x) + 2 x f'(x).\]

2.a. Montrer que l'application \(\varphi\) est un endomorphisme de l'espace \(E\).

2.b. Déterminer son noyau \(\text{ker}(\varphi)\) et \(\text{ker}(\varphi) \cap F\).

2.c. Montrer que le sous-espace vectoriel \(F\) est stable par l'endormorphisme \(\varphi\) : \(\varphi(F) \subset F\).

2.d. Soit \(P \in F\) de degré \(n\in \mathbb{N}\). Calculer le terme de plus haut degré de la fonction polynomiale \(\varphi(P)\).

2.e. Déterminer une fonction polynomiale \(K \in F\) tel que \(K(0) = 1\) et \(\varphi(K) = 6K\).

2.f. Exprimer en fonction de \(K\) les fonctions polynomiales \(P\) vérifiant \(\varphi(P) = 6P\).

Exercice 17 : Familles de vecteurs

1. Soient \(n \in \mathbb{N}^*, \alpha_1, ..., \alpha_n \in \mathbb{C}\) distincts, \(A= \text{diag}(\alpha_1, ..., \alpha_n)\) matrice diagonale de cœfficients diagonaux \(\alpha_1, ..., \alpha_n\) et

\[C(A) = \{M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \quad AM = MA\}.\]

1.a. Montrer que la partie \(C(A)\), appelé commutant de la matrice \(A\), est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).

1.b. Montrer que \((A^k)_{0\leq k\leq n-1}\) est une base du sous-espace \(C(A)\).

2. On considère les fonctions suivantes définies pour \(x \in ~]-1,1[\)

\[f_1(x) = \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}, \quad f_2(x) = \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}, \quad f_3(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad f_4(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}.\]

Quel est le rang de la famille \((f_1, f_2, f_3, f_4)\) ?

Exercice 18 : Applications linéaires

On considère l'espace vectoriel \(E = \mathbb{R}^4\) et un endomorphisme \(u\) de l'espace \(E\) tel que

\[u^2 + u + \text{id}_E = 0.\]

1.a. Montrer que pour tout \(x\in E\backslash \{0\}\) la famille \((x,u(x))\) est une famille libre.

1.b. Montrer que l'endomorphisme \(u\) est un automorphisme de l'espace \(E\) et déterminer \(u^{-1}\).

2. Soient \(x,y \in E\) tels que la famille \((x,y,u(x))\) soit libre. Montrer que la famille \((x,y,u(x),u(y))\) est une famille libre.

3. Montrer qu'il existe une base \(\mathcal{B} = (e_1, e_2,e_3,e_4)\) de l'espace \(E\) telle que \(e_3 = u(e_1)\) et \(e_4 = u(e_2)\).