Cours

Objectifs du programme officiel :

Calcul de primitives

Primitives d'une fonction définie sur un intervalle à valeurs complexes, lien avec les intégrales
Calcul des primitives, de $x\longmapsto e^{\lambda x}, x\longmapsto e^{ax} \cos(bx), x\longmapsto e^{ax} \sin(bx)$, application au calcul d'intégrales
Primitives des fonctions exponentielle, logarithme, puissances, trigonométriques et hyperboliques, et des fonctions $x\longmapsto \dfrac{1}{1+x^2}, x\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, des fonctions du type $x\longmapsto \dfrac{1}{ax^2 +bx +c}$, dérivées des fonctions composées
Intégration par parties, changement de variable

Equations différentielles linéaires du premier ordre

$y' + a(x) y = b(x)$, équation homogène associée
Ensemble des solutions de l'équation homogène
Principe de superposition
Ensemble des solutions de l'équation avec une solution particulière
Méthode de la variation de la constante
Existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy

Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

$y'' + ay' + by = f(x)$, équation homogène associée
Ensemble des solutions de l'équation homogène
Principe de superposition
Ensemble des solutions de l'équation avec une solution particulière
Solution particulière quand $f(x)$ est de la forme $Ae^{\lambda x}, B\cos(\omega x)$ ou $B\sin(\omega x)$
Existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy

Extremum local et point critique

Point critique
Extremum local
Condition nécessaire d'un extremum local

Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rollet
Egalité des accroissements finis
Inégalité des accroissements finis
Caractérisation des fonctions dérivables constantes, monotones, strictement monotones
Théorème de la limite de la dérivée

Fonctions de classe $C^k$

Fonction de classe $C^k, k\in \mathbb{N} \cup {+\infty}$
Opérations sur les fonctions de classe $C^k$ : Combinaison linéaire, produit (formule de Leibniz), quotient, composition, réciproque

Fonctions complexes

Extension des définitions et résultats précédents
Caractérisation de la dérivabilité avec parties réelle et imaginaire
Inégalité des accroissements finis pour une fonction complexe de classe $C^1$

Convexité

Définition générique
Inégalité de Jensen
Caractérisation de la convexité par la croissance des pentes
Position du graphe par rapport à ses sécantes

Fonctions convexes dérivables, deux fois dérivables

Caractérisation des fonctions convexes dérivables
Position du graphe par rapport à ses tangentes
Caractérisation des fonctions convexes deux fois dérivables

I. Extremum local et point critique⚓︎

Définition : Point critique

On considère une fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ et un point $x_0 \in I$. Alors on dit que le point $x_0$ est un point critique de la fonction $f$ si la fonction $f$ est dérivable en le point $x_0$ et

\[f'(x_0) = 0.\]

Exemple

Le point $0$ est un point critique de la fonction cube $x \longmapsto x^3$.

Proposition

On considère une fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$. Si la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ et si elle admet un extremum (maximum ou minimum) en un point $x_0 \in \overset{\circ}{I}$ i.e. $x_0$ n'est pas une extremité de l'intervalle $I$, alors le point $x_0$ est un point critique de la fonction $f$ : $f'(x_0) = 0$.

Démonstration

On suppose que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ et qu'elle admet un maximum en $x_0 \in \overset{\circ}{I}$. Alors

\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0, x>x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \leq 0\]

et

\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0, x<x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \geq 0.\]

Donc $f'(x_0) = 0$. On procède de même dans le cas d'un minimum.

Exemple

La fonction $\cos$ définie sur $[- \pi, \pi]$ admet un maximum atteint en $0 \in ~]\pi,\pi[$ et nous avons bien $\cos'(0) = -\sin(0) = 0$.

Remarque

La proposition signifie qu'il faut chercher les maximiseur ou minimiseur $x_0 \in I$ parmi les points critiques intérieurs de la fonction $f$. Mais ceci n'est pas suffisant.

Exemple

La fonction $f : x \longmapsto x |x|$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(0) = 0$ mais la fonction $f$ n'admet pas de maximum ou de minimum en $0$.

Remarque

Il est important que le point soit intérieur à l'intervalle $I$. Une fonction dérivable peut admette un extremum en un point extrémal de l'intervalle $I$ sans que sa dérivée s'y annule.

Exemple

On considère la fonction $\exp$ sur l'intervalle $[0,+\infty[$. Alors cette fonction admet un minimum atteint en $0$ mais $\exp'(0) = 1 \neq 0$.

II. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis⚓︎

Théorème de Rolle

On considère une fonction réelle $f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ :

continue sur $[a,b]$,
dérivable sur $]a,b[$,
vérifiant $f(a) = f(b)$.

Alors il existe $c\in ~]a,b[$ tel que $f'(c) = 0$.

Démonstration

La fonction $f$ est continue sur le segment $[a,b]$, donc, par théorème des bornes atteintes, la fonction $f$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $\alpha, \beta \in [a,b]$ tels que

\[f(\alpha) = \min_{[a,b]} f, \quad f(\beta) = \max_{[a,b]} f.\]

Si $f(\alpha) = f(\beta)$ alors la fonction $f$ est constante et $f'(c) = 0$ pour tout $c\in [a,b]$. Sinon $f(\alpha) < f(\beta)$ et comme $f(a) = f(b)$, nous avons nécessairement $\alpha \notin \{a,b\}$ ou $\beta \notin \{a,b\}$. Autrement dit la fonction $f$ admet un extremum en un point intérieur $c\in \{\alpha,\beta\}$ à l'intervalle $[a,b]$. Donc $f'(c) = 0$.

Théorème des accroissement finis

On considère une fonction réelle $f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ :

continue sur $[a,b]$,
dérivable sur $]a,b[$.

Alors il existe $c\in ~]a,b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a).$

Démonstration

"Il suffit de pencher la tête." On considère la fonction $g$ définie par

\[\forall x\in [a,b], \quad g(x) = f(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a).\]

Alors la fonction $g$ est :

continue sur $[a,b],
dérivable sur $]a,b[$,
$g(a) = g(b).

Ainsi, d'après le théorème de Rolle, il existe $c\in ~]a,b[$ tel que

\[0 = g'(c) = f'(c) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}\]

i.e.

\[f(b) - f(a) = f'(c)(b-a).\]

Remarque

Géométriquement le théorème précédent siginifie qu'il existe une tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ qui soit parallèle à la droite $((a,f(a)), (b,f(b)))$.

Remarque

Si la fonction $f$ correspond à la position d'un point sur une droite alors le point a été au moins une fois à sa vitesse moyenne.

Proposition : Inégalité des accroissements finis

On considère une fonction réelle $f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ :

continue sur $[a,b]$,
dérivable sur $]a,b[$,
il existe $M\in \mathbb{R}_+^*$ tel que $|f'(x)| \leq M$ pour tout $x\in ~]a,b[$.

Alors

\[|f(b) - f(a)|\leq M|b-a|.\]

De plus nous avons également $|f(x) - f(y)| \leq M|x-y|$ pour tout $x,y \in [a,b]$. On dit alors que la fonction $f$ est $M$-lipschitizenne sur le segment $[a,b]$.

Démonstration

Nous pouvons appliquer le théorème des accroissements finis : il existe $c\in ~]a,b[ \in \mathbb{R}$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c) (b-a)$.

Donc

\[|f(b) - f(a)| = |f'(c)||b-a| \leq M |b-a|.\]

Puis pour $x,y \in [a,b]$, nous pouvons supposer, quitte à inverser leurs rôles, $x\leq y$. Si $x = y$ alors l'inégalité est immédiate. Sinon $x < y$ et dans ce cas nous pouvons appliquer ce qui précède sur l'intervalle $[x,y]$ pour obtenir l'inégalité souhaitée.

Exemple

Corollaire

On considère une suite $u \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ définie par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, avec $f : I\longrightarrow I$. Si la fonction $f$ est $k$-lipschitzienne sur l'intervalle $I$ avec $k \in ~]0,1[$ alors la fonction $f$ possède un unique point fixe $l \in I$ et la suite $u$ converge vers ce point fixe $l$.

Démonstration

Corollaire

On considère une fonction $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$. Si la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ alors la fonction $f$ est :

constante sur l'intervalle $I$ si et seulement si $f' = 0$,
croissante (respectivement décroissante) sur l'intervalle $I$ si et seulement si $f' \geq 0$ (respectivement $f'\leq0$),
strictement croissante (respectivement décroissante) sur l'intervalle $I$ si et seulement si $f'>0$ (respectivement $f'<0$).

Démonstration

Théorème : Théorème de la limite de la dérivée

On considère une fonction $f : I\longrightarrow \mathbb{R}$. Si la fonction $f$ :

est continue sur l'intervalle $I$,
est dérivable sur $I\backslash \{a\}$ pour $a\in I$,
admet une fonction dérivée $f'$ sur $I\backslash \{a\}$ qui admet une limite finie $l$ au point $a$ : $\lim_{x\to a} f'(x) = l$.

Alors la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ et $f'(a) = l = \lim_{x\to a} f'(x)$. De plus la fonction dérivée $f'$ est continue au point $a$.

Démonstration

Exemples

Limite finieLimite infinie

On considère la fonction $f$ définie par

\[\forall x\in \mathbb{R}\backslash \{-1\}, \quad f(x) = \dfrac{x^3 + x + 2}{x^3 + 1}.\]

Alors la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}\backslash \{-1\}$ et est prolongeable de façon dérivable en $-1$ par

\[f(-1) = \dfrac{4}{3}, \quad f'(-1) = \dfrac{1}{3}.\]

La fonction racine carrée est continue sur $[0,+\infty[$, dérivable sur $]0,+\infty[$ mais sa dérivée n'admet pas de limite finie en $0$. Donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$. La fonction admet une tangente verticale au point $0$.

III. Fonctions convexes⚓︎

A. Convexité⚓︎

Définition : Fonction convexe, fonction concave

On considère une fonction réelle $f : I\longrightarrow \mathbb{R}$.

On dit que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $I$ si

\[\forall x,y\in I, \quad \forall t\in [0,1], \quad f((1-t)x+ty) \leq (1-t) f(x) + tf(y).\]

On dit que la fonction $f$ est concave sur l'intervalle $I$ si

\[\forall x,y\in I, \quad \forall t\in [0,1], \quad f((1-t)x+ty) \geq (1-t) f(x) + tf(y).\]

Exemples

Fonction convexeFonction concaveFonction ni convexe ni concave

La fonction $\exp$ est convexe.

La fonction $\ln$ est concave.

La fonction $\sin$ n'est ni convexe ni concave sur $\mathbb{R}$. Par contre elle concave sur $[0,\pi]$ et convexe sur $[-\pi,0]$.

Proposition : Inégalité de Jensen

On considère une fonction réelle $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$.

Si la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $I$ alors

\[\forall (x_i)_{1\leq i\leq n} \in I^n, \quad \forall (\lambda_i)_{1\leq i\leq n} \in \mathbb{R}^n_+, \quad \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 \quad \Longrightarrow \quad f\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).\]

Si la fonction $f$ est concave sur l'intervalle $I$ alors

\[\forall (x_i)_{1\leq i\leq n} \in I^n, \quad \forall (\lambda_i)_{1\leq i\leq n} \in \mathbb{R}^n_+, \quad \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 \quad \Longrightarrow \quad f\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) \geq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).\]

Démonstration

Proposition : Caractérisation de la convexité par la croissance des pentes

On considère une fonction réelle $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$. Alors les assertions suivantes sont équivalentes.

La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $I$.
Les fonctions pentes des corde dont on fixe une extrémité sont croissantes : pour tout $x_0\in I$, la fonction $x \longmapsto \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$ est croissante sur $I\backslash \{x_0\}$.
La fonction $f$ vérifie l'inégalité des pentes

\[\forall a,b,c\in I, \quad a<b<c \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq \dfrac{f(c) - f(a)}{c-a} \leq \dfrac{f(c) - f(b)}{c-b}.\]

Démonstration

Corollaire

On considère une fonction réelle $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$. Si la fonction $f$ admet un minimum local en un point $a \in I$ :

\[\exists \delta \in \mathbb{R}_+^*$, \quad \forall x\in I\backslash [a-\delta,a+\delta], \quad f(x) \geq f(a).\]

Alors la fonction $f$ admet un minimum global en $a$ :

\[\forall x\in I, \quad f(x) \geq f(a).\]

Remarque

Géométriquement la représentation graphique d'une fonction convexe se situe en dessous de ses cordes et celle d'une fonction concave se situe au dessus de ses cordes.

B. Fonctions convexes dérivables et deux fois dérivables⚓︎

Proposition

On considère une fonction réelle $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ et un point intérieur $a\in \overset{\circ}{I}$. Si la fonction $f$ est convexe alors la fonction $f$ est dérivable à droite et à gauche en $a$ et

\[f'_g(a) = \lim_{x\to a, x<a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} \leq \lim_{x\to a, x>a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} = f_d'(a).\]

Démonstration

Corollaire

On considère une fonction réelle $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$. Si la fonction $f$ est convexe alors la fonction $f$ est continue sur l'intérieur $\overset{\circ}{\circ}$.

Démonstration

Remarque

Une fonction convexe peut être discontinue aux bords de son intervalle de définition.

Exemple

On considère la fonction $f$ définie par $f(0) = 1$ et $f(x) = x$ pour $x\in ~]0,1]$. Alors la fonction $f$ est convexe sur $[0,1]$ mais n'est pas continue en $0$.

Proposition : Caractérisation de la convexité parmi les fonctions dérivables

On considère une fonction réelle $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$. Si la fonction $f$ est dérivable sur l'intérieur $\overset{\circ}{I}$ alors la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $I$ si et seulement la fonction dérivée $f'$ est croissante sur l'intérieur $\overset{\circ}{I}$.

Démonstration

Exemple

Remarque

Géométriquement la proposition signifie que la représentation graphique d'une fonction convexe se situe au dessus de ses tangentes :

\[\forall a\in \overset{\circ}{I}, \quad \forall x\in I, \quad f(x) \geq f'(a) (x-a) + f(a).\]

Proposition : Caractérisation de la convexité parmi les fonctions deux fois dérivables

On considère une fonction réelle $f : I\longrightarrow \mathbb{R}$. Si la fonction $f$ est deux fois dérivables sur l'intérieur $\overset{\circ}{I}$ alors la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $I$ si et seulement la fonction dérivée seconde $f''$ est positive sur l'intérieur $\overset{\circ}{I}$.

Démonstration

Exemple

Définition

On considère une fonction réelle $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ et un point $a \in I$. Alors on dit que le point $a$ est un point d'inflexion de la fonction $f$ si la fonction $f$ change de convexité en $a$.

Exemple

Remarque

Dans le cas des fonctions deux fois dérivables, cela correspond à un changement de signe de la dérivée seconde $f''$.

IV. Primitives et intégrales⚓︎

A. Primitives⚓︎

Définition : Primitive d'une fonction

On considère une fonction continue $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$. Alors une primitive de la fonction $f$ est une fonction dérivable $F : I \longrightarrow \mathbb{K}$ telle que $F' = f$.

Exemple

Une primitive de la fonction $x\longmapsto 3x^2 + 2x + 4$ sur $\mathbb{R}$ est la fonction $x\longmapsto x^3 + x^2 + 4 x + 1$.

Proposition

On considère une fonction continue $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$. Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ alors les primitives de la fonction $f$ sont exactement les fonctions de la forme $F+c$ pour $c\in \mathbb{K}$.

Démonstration

Exemple

Une autre primitive de la fonction $x\longmapsto 3x^2 + 2x + 4$ sur $\mathbb{R}$ est la fonction $x\longmapsto x^3 + x^2 + 4 x + 2$.

Proposition

On considère deux fonctions continues $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$ et $g : I \longrightarrow \mathbb{K}$ et $\lambda,\mu \in \mathbb{K}$. Si les fonctions $F$ et $G$ sont des primitives des fonctions $f$ et $g$ alors la fonction $\lambda F+\mu G$ est une primitive de la fonction $\lambda f+\mu g$.

Démonstration

Proposition : Primitives des fonctions usuelles

Une primitive de la fonction $x\to x^\alpha$ pour $\alpha \in \mathbb{R}\backslash \{-1\}$, est la fonction $x\to \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$.
Une primitive de la fonction $\exp$ est la fonction $\exp$.
Une primitive de la fonction $\ln$ est la fonction $x\to x\ln(x) - x$.
Une primitive de la fonction $\cos$ est la fonction $\sin$.
Une primitive de la fonction $\sin$ est la fonction $-\cos$.
Une primitive de la fonction $\tan$ est la fonction $- \ln \circ \cos$.
Une primitive de la fonction $\text{ch}$ est la fonction $\text{sh}$.
Une primitive de la fonction $\text{sh}$ est la fonction $\text{ch}$.
Une primitive de la fonction $\text{th}$ est la fonction $\ln \circ \text{ch}$.

Démonstration

Proposition

Une primitive de la fonction $x\to e^{\lambda x}$ pour $\lambda \in \mathbb{K}^*$, est la fonction $x\to \dfrac{e^{\lambda x}}{\lambda}$.
Une primitive de la fonction $x\to \dfrac{1}{1+x^2}$ est la fonction $\arctan$.
Une primitive de la fonction $x\to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ est la fonction $\arcsin$.

Démonstration

Corollaire

On considère $a\in \mathbb{K}^*$ et $b\in \mathbb{R}^*$. Alors nous pouvons en déduire une primitive de la fonction $x\to e^{ax} \cos(bx)$ et de la fonction $x \to e^{ax} \sin(bx)$.

Démonstration

Exemple

On considère la fonction $f : x\in \mathbb{R} \longmapsto e^{ix} \cos(2x)$. Alors d'après la formule d'Euler

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = e^{ix} \cos(2x) = e^{ix} \dfrac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{2} = \dfrac{1}{2} e^{3ix} + \dfrac{1}{2}e^{-ix}.\]

Donc une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est donnée par $F : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}$ donnée par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad F(x) = \dfrac{1}{2} \dfrac{e^{3ix}}{3i} + \dfrac{1}{2} \dfrac{e^{-ix}}{-i} = - \dfrac{i}{6} e^{3ix} + \dfrac{i}{2} e^{-ix} = - \dfrac{i}{6} \cos(3x) + \dfrac{1}{6} \sin(3x) + \dfrac{i}{2} \cos(x) + \dfrac{1}{2} \sin(x).\]

Proposition : Décomposition en éléments simples

On considère une fonction polynomiale réelle $f$ définie par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = ax^2 + bx + c\]

et le discriminant associé

\[\Delta = b^2 - 4ac.\]

Si $\Delta > 0$ alors il existe $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ tels que $f(x) = a(x-x_1) (x-x_2)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Les racines $x_1$ et $x_2$ sont données par

\[x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.\]

Si $\Delta = 0$ alors il existe $x_0 \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) = a(x-x_0)^2$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. La racine $x_0$ est donnée par

\[x_0 = - \dfrac{b}{2a}.\]

Si $\Delta < 0$ alors il existe $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ tels que $f(x) = a((x-\alpha)^2 + \beta^2)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Les réels $\alpha$ et $\beta$ sont obtenus en faisant apparaître une identité remarquable

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = a x^2 + a \dfrac{b}{a}x + a \dfrac{b^2}{4a^2} + c - \dfrac{b^2}{4a} = a \left(\left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a^2}\right).\]

Autrement dit

\[\alpha = - \dfrac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = \sqrt{\dfrac{4ac - b^2}{4a}}.\]

Démonstration

Exemples

=== $\Delta > 0$ Si $f(x) = x^2 - 3x + 2$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, alors $\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$ et $x_1 = \dfrac{3 + 1}{2} = 2, x_2 = \dfrac{3-1}{2} = 1$ donc

📋 Texte

$$\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = (x-2)(x-1).$$

=== $\Delta = 0$ Si $f(x) = x^2 - 2 x + 1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, alors $\Delta = 4 - 4 = 0$ et $x_0 = -\dfrac{-2}{2} = 1$ donc

📋 Texte

$$\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = (x-1)^2.$$

=== $\Delta < 0$ Si $f(x) = x^2 + x + 1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, alors $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ donc, en faisant apparaître une identité remarquable

📋 Texte

$$\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 + x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \left( x+\dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{3}{4}.$$

Corollaire

On considère une fonction polynomiale réelle $f$ définie par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = ax^2 + bx + c.\]

Si $\Delta > 0$ alors une primitive de la fonction $\dfrac{1}{f}$ sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}\backslash \{x_1, x_2\}$ est donnée par

\[x\longmapsto \lambda \ln(|x-x_1|) + \mu \ln(|x-x_2|), \quad \lambda,\mu,x_1, x_2 \in \mathbb{R}.\]

Si $\Delta = 0$ alors une primitive de la fonction $\dfrac{1}{f}$ sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}\backslash \{x_0\}$ est donnée par

\[x\longmapsto -\dfrac{1}{a(x-x_0)}, \quad x_0 \in \mathbb{R}.\]

Si $\Delta < 0$ alors une primitive de la fonction $\dfrac{1}{f}$ sur $\mathbb{R}$ est donnée par

\[x\longmapsto \dfrac{1}{a\beta}\arctan \left(\dfrac{x-\alpha}{\beta}\right), \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}.\]

Démonstration

Exemples

=== $\Delta > 0$ Si $f(x) = x^2 - 3x + 2 = (x-2)(x-1)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, alors par décomposition en éléments simples

📋 Texte

$$\forall x\in \mathbb{R}, \quad \dfrac{1}{f(x)} = \dfrac{1}{x-2} - \dfrac{1}{x-1}.$$

Donc une primitive $F$ de la fonction $\dfrac{1}{f}$ sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}\backslash \{1, 2\}$ est donnée par

$$\forall x\in I, \quad F(x) = \ln(|x-2|) - \ln(|x-1|).$$

=== $\Delta = 0$ Si $f(x) = x^2 - 2 x + 1 = (x-1)^2$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ alors une primitive de la fonction $\dfrac{1}{f}$ sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}\backslash\{1\}$ est donnée par

📋 Texte

$$\forall x\in I, \quad F(x) = -\dfrac{1}{x-1}.$$

=== $\Delta < 0$ Si $f(x) = x^2 + x + 1 = \left( x+\dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{3}{4}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ alors une primitive $F$ de la fonction $\dfrac{1}{f}$ est donnée par

📋 Texte

$$\forall x\in \mathbb{R}, \quad F(x) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \right) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \dfrac{2x + 1}{\sqrt{3}} \right).$$

B. Intégrales⚓︎

Définition : Intégrale

On considère une fonction continue $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$ et $a,b\in I$ tels que $a \leq b$.

Si $\mathbb{K} = \mathbb{R}_+$ alors $\int_a^b f(x) dx$ est l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.
Si $\mathbb{K} = \mathbb{R}_+$ alors, en notant $f_+ = \max(f,0)$ la partie positive de la fonction $f$ et $f_- = \max(-f,0)$ sa partie négative,

\[\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f_+(x) dx - \int_a^b f_-(x) dx.\]

Si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ alors

\[\int_a^b f(x) dx = \int_a^b \text{Re}(f)(x) dx + i \int_a^b \text{Im}(f)(x) dx.\]

Exemple

Fonction positiveFonction réelleFonction complexe

L'intégrale de la fonction $f : x \longmapsto \sqrt{1-x^2}$ entre $-1$ et $1$ vaut $\dfrac{\pi}{2}$ car il s'agit de l'aire d'un demi-cerle de rayon 1.

L'intégrale de la fonction $f = \sin$ entre $-\pi$ et $\pi$ est nulle car les aires à gauche et à droites de $0$ se compensent.

L'intégrale de la fonction $f : x\longmapsto e^{ix}$ entre $0$ et $\pi$ est donné

\[\int_0^\pi e^{ix} dx = \int_0^\pi \cos(x) dx + i\int_0^\pi \sin(x) dx = 0 + i 2 = 2i.\]

Remarque

De même on définit également

\[\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx.\]

Proposition

On considère deux fonctions continues $f,g : I \longrightarrow \mathbb{K}$, deux scalaires $\lambda,\mu \in \mathbb{K}$ et $a,b \in I$. Alors nous avons :

1. La linéarité

\[\int_a^b (\lambda f + \mu g)(x) dx = \lambda \int_a^b f(x) + \mu \int_a^b g(x) dx.\]

2. La positivité

\[f\geq 0 \quad \Longrightarrow \quad \int_a^b f(x) dx \geq 0.\]

3. Le caractère défini

\[f \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad \left[\int_a^b f(x) dx = 0 \quad \Longrightarrow \quad f = 0\right].\]

4. La croissance

\[f\leq g \quad \Longrightarrow \quad \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx.\]

5. L'inégalité triangulaire

\[\left| \int_a^b f(x) dx \right| \leq \int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)| dx.\]

6. La relation de Chasles

\[\forall c\in I, \quad \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx.\]

Démonstration

Proposition

On considère une fonction continue $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$ et deux réels $a,b\in I$. Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ alors

\[\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a).\]

Démonstration

Exemple

Une primitive de la fonction $x\longmapsto \dfrac{1}{1+x^2}$ sur $\mathbb{R}$ est la fonction $\arctan$ donc

\[\int_{-1}^1 \dfrac{dx}{1+x^2} = \left[\arctan(x)]_{-1}^1 = \arctan(1) - \arctan(-1) = \dfrac{\pi}{4} - - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}.\]

Proposition

On considère une fonction continue $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$ et un réel $a\in I$. Alors la fonction

\[x \longmapsto \int_a^x f(t)dt\]

est dérivable de fonction dérivée $f$. Autrement dit toute fonction continue admet une primitive.

Démonstration

Exemple

Une primive de la fonction $x\longmapsto e^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$ est la fonction $F$ donnée par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad F(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt.\]

Théorème : Intégration par parties

On considère deux fonctions $f,g : I \longrightarrow \mathbb{K}$ de classe $C^1$ et deux réels $a,b \in I$. Alors

\[\int_a^b f'(x) g(x) dx = [f(x) g(x)]_a^b - \int_a^b f(x) g'(x) dx.\]

Démonstration

Exemple

On souhaite calculer l'intégrale $\int_0^\pi x\cos(x) dx$. Alors on dérive la fonction $x\longmapsto x$ et on primitive la fonction $\cos$ :

\[\int_0^\pi x\cos(x) dx = \left[ x \sin(x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi \sin(x) dx = \pi \sin(\pi) - 0 - \left[-\cos(x) \right]_0^\pi = 0 + \cos(\pi) - \cos(0) = -2.\]

Théorème : Intégration par changement de variable

On considère une fonction continue $f : J \longrightarrow \mathbb{K}$, une fonction réelle $\varphi : I\longrightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^1$ telle que $\varphi(I) \subset J$ et $a,b\in I$. Alors

\[\int_a^b f(\varphi(s)) \varphi'(s) ds = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t) dt.\]

Démonstration

Exemple

On souhaite calculer l'intégrale $\int_0^{\sqrt{\pi}} \cos(\sqrt{x}) dx$. Alors on pose $t = \sqrt{x}$ donc $dt = \dfrac{dx}{2\sqrt{x}} = \dfrac{dx}{2t}$ d'où

\[\int_0^\sqrt{\pi} \cos(\sqrt{x}) dx = \int_0^\pi \cos(t) 2 t dt = 2 \int_0^\pi t \cos(t) dt = -4.\]

Remarque

Il faut bien faire attention de changer les bornes de l'intégrales pendant le changement de variable.

V. Equations différentielles linéaires⚓︎

A. Du premier ordre⚓︎

Définition : Equation différentielle linéaire du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme

\[y'(t) = a(t) y(t) + b(t), \quad t\in I,\]

d'inconnue $y : I \longrightarrow \mathbb{K}$ dérivable et de paramètres $a : I \longrightarrow \mathbb{K}$ et $b : I \longrightarrow \mathbb{K}$ deux fonctions continues. On note $S$ l'ensemble des solutions de cette équation.

Exemple

L'équation $t y'(t) = y(t) + e^t, t\in \mathbb{R}_+^*$ est une équation différentielle linéaire du premier ordre car elle est équivalente à

\[y'(t) = \dfrac{1}{t} y(t) + \dfrac{e^t}{t}, \quad t\in \mathbb{R}_+^*.\]

Définition : Equation homogène associée

L'équation homogène associée à celle de la définition précédente est l'équation

\[y'(t) = a(t) y(t), \quad t\in I.\]

On note $S_H$ l'ensemble des solutions de cette équation.

Exemple

L'équation homogène associée à l'équation différentielle de l'exemple précédent est l'équation

\[y'(t) = \dfrac{1}{t} y(t), \quad t\in \mathbb{R}_+^*.\]

Remarque

Si la fonction $a$ est constante alors les solutions de l'équation homogène associée sont exactement de la forme

\[y(t) = \lambda e^{at}, \quad t\in I, \quad \lambda\in \mathbb{K}.\]

Proposition

On considère une équation homogène

\[y'(t) = a(t) y(t), \quad t\in I, \quad a\in C(I,\mathbb{K}),\]

avec $a : I\longrightarrow \mathbb{K}$ continue, et une primitive $A : I\longrightarrow \mathbb{K}$ de la fonction $a$. Alors les solutions de l'équation précédente sont exactement de la forme

\[y(t) = \lambda e^{A(t)}, \quad t\in I, \quad \lambda \in \mathbb{K}.\]

Démonstration

Exemple

Une primitive de la fonction $\dfrac{1}{t}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ est la fonction $\ln$. Donc les solutions (réelles) de l'équation différentielle homogène $ty'(t) = y(t)$ sont exactement de la forme

\[y(t) = \lambda e^{\ln(t)} = \lambda t, \quad t\in \mathbb{R}_+^*, \quad \lambda \in \mathbb{R}.\]

Proposition : Principe de superposition

On considère deux équations différentiells linéaires du premier ordre

\[(1) \quad y'(t) = a(t) y(t) + b_1(t), \quad t\in I,\]

\[(2) \quad y'(t) = a(t) y(t) + b_2(t), \quad t\in I,\]

avec $a,b_1,b_2 : I \longrightarrow \mathbb{K}$ continues. On considère églament $y_1$ solution de l'équation $(1)$, $y_2$ solution de l'équation $(2)$ et $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}$. Alors la fonction $\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2$ est solution de l'équation

\[y'(t) = a(t) y(t) + b_1(t) + b_2(t), \quad t\in I.\]

Démonstration

Corollaire

On considère une équation

\[y'(t) = a(t) y(t) + b(t), \quad t\in I,\]

avec $a,b : I \longrightarrow \mathbb{K}$ continues, et une solution particulière $y_p$ de cette équation. Alors les solutions de cette équation sont exactement de la forme

\[y = y_p + y_h, \quad y_h \in S_H.\]

Démonstration

Exemple

L'équation différentielle homogène $y'(t) = \cos(t) y(t), t\in \mathbb{R}$ admet comme solutions

\[y_h(t) = \lambda e^{\sin(t)}, \quad t\in \mathbb{R}, \quad \lambda \in \mathbb{R}.\]

Et l'équation différentielle $y'(t) = \cos(t) y(t) + \cos(t) - \cos(t) \sin(t), t\in \mathbb{R}$ admet comme solution particulière

\[y_p(t) = \sin(t), \quad t\in \mathbb{R}.\]

Donc les solutions de cette équation différentielle sont exactement de la forme

\[y(t) = \lambda e^{\sin(t)} + \sin(t), \quad t\in \mathbb{R}_+, \quad \lambda \in \mathbb{R}.\]

Remarque : Méthode de variation de la constante

On considère une équation

\[y'(t) = a(t) y(t) + b(t), \quad t\in I,\]

avec $a,b : I \longrightarrow \mathbb{K}$ continues, et une solution

\[y_h(t) = \lambda e^{A(t)}, \quad t\in I,\]

de l'équation homogène associée, avec $A$ une primitive de la fonction $a$. Alors on détermine une solution particulière de l'équation en considérant une fonction dérivable $\lambda : I \longrightarrow \mathbb{K}$ et la fonction

\[y_p(t) = \lambda(t) e^{A(t)}, \quad t\in I.\]

Donc la fonction $y_p$ est solution de l'équation si et seulement si

\[\forall t\in I, \quad \lambda'(t) e^{A(t)} + \lambda (t) a(t) e^{A(t)} = a(t) \lambda(t) e^{A(t)} + b(t),\]

i.e.

\[\forall t\in I, \quad \lambda'(t) = b(t) e^{-A(t)},\]

i.e. la fonction $\lambda$ est une primitive de la fonction $b(t)e^{-A(t)}$.

Exemple

L'équation différentielle $ty'(t) = y(t) + e^t, t\in \mathbb{R}^*$ admet comme solutions de l'équation homogène associée

\[y_h(t) = \lambda t, \quad t\in \mathbb{R}_+^*, \quad \lambda \in \mathbb{R}.\]

On considère alors $\lambda : \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}$ dérivable et la fonction $y$ définie par

\[y(t) = \lambda(t) t, \quad t\in \mathbb{R}_+^*.\]

Alors la fonction $y$ est solution de l'équation différentielle si et seulement si

\[t\lambda'(t) + t\lambda(t) = \lambda (t) t + e^t, \quad t\in \mathbb{R}_+^*\]

i.e.

\[\lambda'(t) = \dfrac{e^t}{t}, \quad t\in \mathbb{R}_+^*.\]

Une primitive de la fonction $t\longmapsto \dfrac{e^t}{t}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ est la fonction

\[t\longmapsto \int_1^t \dfrac{e^s}{s} ds.\]

Donc une solution particulière est donnée par

\[y_p(t) = t\int_1^t \dfrac{e^s}{s} ds.\]

Par conséquent les solutions de l'équation différentielle sont exactement de la forme

\[y(t) = \lambda t + t \int_1^t \dfrac{e^s}{s} ds = t\left(\lambda + \int_1^t \dfrac{e^s}{s} ds\right), \quad t\in \mathbb{R}_+^*, \quad \lambda \in \mathbb{R}.\]

Théorème d'existence et d'unicité de la solution

On considère une équation, appelée problème de Cauchy,

\[\begin{cases} y'(t) = a(t) y(t) + b(t), \quad t\in I \\ \\ y(t_0) = y_0, \end{cases}\]

avec $a,b : I\longrightarrow \mathbb{K}$ continues, $t_0\in I$ et $y_0 \in \mathbb{K}$ appelée condition initiale. Alors l'équation admet une unique solution.

Démonstration

Exemple

Soit $y : \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}$ vérifiant le problème de Cauchy

\[\begin{cases} ty'(t) = y(t) + e^t, \quad t\in \mathbb{R}_+^* \\ \\ y(1) = 1. \end{cases}\]

Alors d'après l'exemple précédente il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que

\[y(t) = t\left(\lambda + \int_1^t \dfrac{e^s}{s} ds\right), \quad t\in \mathbb{R}_+^*.\]

Or

\[1 = y(1) = \lambda + 0 = \lambda.\]

Donc

\[y(t) = t\left(1 + \int_1^t \dfrac{e^s}{s} ds\right), \quad t\in \mathbb{R}_+^*.\]

B. Du second ordre à coefficients constants⚓︎

Définition : Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est de la forme

\[y''(t) + a_1 y'(t) + a_2 y(t) = f(t), \quad t\in I,\]

d'inconnue $y : I \longrightarrow \mathbb{K}$ dérivable et de paramètres $a_1,a_2 \in \mathbb{K}$ et $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$ fonction continue appelée second membre de l'équation. On note $S$ l'ensemble des solutions de cette équation.

Définition : Equation homogène associée

L'équation homogène associée à celle de la définition précédente est l'équation

\[y''(t) + a_1 y'(t) + a_2 y(t) = 0, \quad t\in I.\]

On note $S_H$ l'ensemble des solutions de cette équation.

Définition : Equation caractéristique de l'équation homogène

On considère une équation homogène

\[y''(t) + a_1 y'(t) + a_2 y(t) = 0, \quad t\in I.\]

avec $a_1, a_2 \in \mathbb{K}$. Alors l'équation caractéristique associée est l'équation polynomiale du second degré

\[x^2 + a_1 x + a_2 = 0.\]

Exemple

L'équation caractéristique de l'équation différentielle $y''(t) + y'(t) + y(t) = t$ est l'équation

\[x^2 + x + 1 = 0.\]

Proposition : Solutions complexes de l'équation homogène

On considère une équation homogène

\[y''(t) + a_1 y'(t) + a_2 y(t) = 0, \quad t\in I,\]

avec $a_1,a_2\in \mathbb{C}$, et on note $\Delta = a_1^2 - 4 a_2$ le discriminant de l'équation caractéristique associée.

Si $\Delta \neq 0$ alors l'équation caractéristique associée admet deux solutions distinctes $r_1,r_2\in \mathbb{C}$. Ainsi les solutions de l'équation homogène sont exactement de la forme

\[y(t) = \lambda_1 e^{r_1 t} + \lambda_2 e^{r_2 t}, \quad t\in I, \quad \lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{C}.\]

Si $\Delta = 0$ alors l'équation caractéristique admet une unique solution $r_0 \in \mathbb{C}$. Ainsi les solutions de l'équation homogène sont exactement de la forme

\[y(t) = (\lambda t + \mu) e^{r_0 t}, \quad t\in I, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{C}.\]

Démonstration

Exemples

Discriminant nulDiscriminant non nul

L'équation différentielle homogène $y'' + y' + y = 0$ admet comme équation caractéristique

\[x^2 + x + 1 = 0\]

qui admet comme solutions

\[r_1 = \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} = e^{\frac{2i\pi}{3}} = j \quad \text{et} \quad r_2 = \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2} = j^2.\]

Donc les solutions sont exactement de la forme

\[y(t) = \lambda e^{jt} + \mu e^{j^2 t}, \quad t\in \mathbb{R}_+, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{C}.\]

L'équation différentielle homogène $y'' - 2iy' - y = 0$ admet comme équation caractéristique

\[x^2 - 2i - 1 = 0\]

de discriminant $\Delta = -4 + 4 = 0$ donc de solution

\[r_0 = \dfrac{2i}{2} = i = e^{i\frac{\pi}{2}}.\]

Donc les solutions de l'équation différentielle sont exactement de la forme

\[y(t) = (\lambda t + \mu) e^{it}, \quad t\in \mathbb{R}, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{C}.\]

Proposition : Solutions réelles de l'équation homogène

On considère une équation homogène

\[y''(t) + a_1 y'(t) + a_2 y(t) = 0, \quad t\in I,\]

avec $a_1,a_2\in \mathbb{R}$, et on note $\Delta = a_1^2 - 4 a_2$ le discriminant de l'équation caractéristique associée.

Si $\Delta > 0$ alors l'équation caractéristique associée admet deux solutions distinctes $r_1,r_2\in \mathbb{R}$. Ainsi les solutions de l'équation homogène sont exactement de la forme

\[y(t) = \lambda_1 e^{r_1 t} + \lambda_2 e^{r_2 t}, \quad t\in I, \quad \lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{R}.\]

Si $\Delta = 0$ alors l'équation caractéristique admet une unique solution $r_0 \in \mathbb{R}$. Ainsi les solutions de l'équation homogène sont exactement de la forme

\[y(t) = (\lambda t + \mu) e^{r_0 t}, \quad t\in I, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{R}.\]

Si $\Delta < 0$ alors l'équation caractéristique admet deux solutions complexes non réelles conjuguées $a+ib, a-ib \in \mathbb{C} \backslash \{R\}$. Ainsi les solutions réelles de l'équation homogène sont exactement de la forme

\[y(t) = (\lambda \cos(b t) + \mu \sin(b t))e^{at}, \quad t\in I, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{R}.\]

Démonstration

Exemples

Discriminant strictement positifDiscriminant nulDiscriminant strictement négatif

(comme dans le cas complexe)

On considère comme dans l'exemple précédent l'équation différentielle $y'' + y' + y = 0$ de discriminant $-3 < 0$ et de racines de l'équation caractéristique associée

\[r_1 = j = e^{\frac{2i\pi}{3}} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} i \quad \text{et} \quad r_2 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} i.\]

Donc les solutions de l'équation différentielle sont exactement de la forme

\[y(t) = \left(\lambda \cos \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} t \right) + \mu \sin\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} t \right)\right)e^{-\frac{1}{2} t}, \quad t\in \mathbb{R}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}.\]

Proposition : Principe de superposition

On considère deux équations différentiells linéaires du second ordre à coefficients constants

\[(1) \quad y''(t) + a_1 y'(t) + a_2 y = f_1(t), \quad t\in I,\]

\[(2) \quad y''(t) + a_1 y'(t) + a_2 y = f_2(t), \quad t\in I,\]

avec $a_1,a_2 \in \mathbb{K}$ et $f_1,f_2 : I \longrightarrow \mathbb{K}$ continues. On considère églament $y_1$ solution de l'équation $(1)$, $y_2$ solution de l'équation $(2)$ et $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}$. Alors la fonction $\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2$ est solution de l'équation

\[y''(t) + a_1 y'(t) + a_2 y(t) = f_1(t) + f_2(t), \quad t\in I.\]

Démonstration

Corollaire

On considère une équation

\[y''(t) + a_1 y'(t) + a_2 y(t) = f(t), \quad t\in I,\]

avec $a_1,a_2 \in \mathbb{K}$ et $f : I \longrightarrow \mathbb{K}$ continue, et une solution particulière $y_p$ de cette équation. Alors les solutions de cette équation sont exactement de la forme

\[y = y_p + y_h, \quad y_h \in S_H.\]

Démonstration

Remarque

Il existe des méthodes particulières pour trouver une solution particulière pour certaines formes de second membre $f$. Par exemple quand le second memebre est :

polynomiale $f$ alors on cherche une solution particulière polynomiale,
de la forme $A(t)e^{\lambda t}$ avec $A$ fonction polynomiale de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{K}$, et selon si $\lambda$ est solution de l'équation caractéristique,
de la forme $B\cos(\lambda t), B,\lambda \in \mathbb{R}$, et selon si $\lambda$ est solution de l'équation caractéristique,
de la forme $B\sin(\lambda t), B,\lambda \in \mathbb{R}$, et selon si $\lambda$ est solution de l'équation caractéristique.

Exemples

Polynomiale$Ae^{\lambda t}$ avec $\lambda$ non solution$Ae^{\lambda t}$ avec $\lambda$ solution simple$Ae^{\lambda t}$ avec $\lambda$ solution double

On cherhce une solution particulière de l'équation différentielle

\[y''(t) + y'(t) + y(t) = 3t^2 + 2t + 1, \quad t\in \mathbb{R}.\]

Alors on cherche une solution de la forme

\[y(t) = at^2 + bt +c, \quad t\in \mathbb{R}, \quad a,b,c\in \mathbb{R}.\]

Donc la fonction $y$ est solution de l'équation différentielle si et seulement si

\[at^2 + (2a + b) t + 2a + b + c = 2a + 2at + b + at^2 + bt+c = 3t^2 + 2t + 1, \quad t\in \mathbb{R}.\]

Donc, par unicité des cœfficients d'une fonction polynomiale, si et seulement si

\[a = 3, \quad b = 2 - 2 a = -4 \quad \text{et} \quad c = 1 - 2a - b = -1.\]

Par conséquent une solution particulière de l'équation différentielle est donnée par

\[y(t) = 3t^2 - 4t - 1, \quad t\in \mathbb{R}.\]

On considère l'équation différentielle

\[y''(t) + y'(t) + y(t) = t e^{2t}, \quad t\in \mathbb{R}.\]

Alors $2$ n'est pas solution de l'équation caractéristique $x^2 + x + 1 = 0$ donc on cherche une solution particulière de la forme $y(t) = A(t) e^{2t}, t\in \mathbb{R}$ avec $A$ fonction polynomiale de même degré que la fonction polynomiale $t\longmapsto t$ i.e.

\[y(t) = (at+b)e^{2t}, \quad t\in \mathbb{R}.\]

La fonction $y$ est solution de l'équation différentielle si et seulement si

\[te^{2t} = 2ae^{2t} + 2ae^{2t} + 4(at + b)e^{2t} + ae^{2t} + 2(at + b)e^{2t} + (at+b)e^{2t} = (7at + 5a + 7b)e^{2t}, \quad t\in \mathbb{R}\]

i.e.

\[a = \dfrac{1}{7} \quad \text{et} \quad b = \dfrac{5a}{7} = \dfrac{5}{49}.\]

Donc une solution particulière de l'équation différentielle est donnée par

\[y(t) = \left( \dfrac{t}{7} + \dfrac{5}{49}\right) e^{2t}.\]

On considère l'équation différentielle

\[y''(t) - 3 y'(t) + 2y(t) = e^t, \quad t\in \mathbb{R}.\]

Alors $1$ est solution de l'équation caractéristique associée $x^2 - 3 x + 2 = 0$ donc on cherche une solution particulière de la forme $y(t) = A(t) e^t, t\in \mathbb{R}$ avec $A$ fonction polynomiale de degré un de plus que la fonction polynomiale $t\longmapsto 1$ qui devant le terme $e^t$, i.e.

\[y(t) = (at+b) e^t, \quad t\in \mathbb{R}.\]

Donc la fonction $y$ est solution de l'équation différentielle si et seulement si

\[e^t = ae^t + ae^t + (at + b)e^t -3 ae^t -3 (at + b)e^t + 2(at+b)e^t = -ae^t, \quad t\in \mathbb{R}\]

i.e. $a = -1$ et $b\in \mathbb{R}$. Donc une solution particulière de l'équation différentielle est donnée par

\[y(t) = -te^t, \quad t\in \mathbb{R}.\]

On considère l'équation différentielle

\[y''(t) + 4y'(t) + 4 y(t) = e^{-2t}, \quad t\in \mathbb{R}.\]

Alors $-2$ est solution double de l'équation caractéristique associée $0 = x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ donc on cherche une solution particulière de la forme $y(t) = A(t) e^{-2t}, t\in \mathbb{R}$ avec $A$ fonction polynomiale de degré deux de plus que la fonction polynomiale $t\longmapsto 1$ qui devant le terme $e^{-2t}$, i.e.

\[y(t) = (at^2+bt+c) e^{-2t}, \quad t\in \mathbb{R}.\]

Donc la fonction $y$ est solution de l'équation différentielle si et seulement si

\[e^{-2t} = 2a e^{-2t} - 2(2at + b)e^{-2t} -2(2at + b)e^{-2t} + 4(at^2 + bt + c) e^{-2t} + 4(2at + b) e^{-2t} -8 (at^2 + bt +c) e^{-2t} + 4(at^2 + b t + c)e^{-2t} = 2a e^{-2t}, \quad t\in \mathbb{R}\]

i.e. $a = \dfrac{1}{2}$ et $b,c\in \mathbb{R}$. Donc une solution particulière de l'équation homogène est donnée par

\[y(t) = \dfrac{t^2}{2} e^{-2t}, \quad t\in \mathbb{R}.\]

Théorème d'existence et d'unicité de la solution

On considère un problème de Cauchy

\[\begin{cases} y''(t) + a_1 y'(t) + a_2 y(t) = f(t), \quad t\in I \\ \\ y(t_0) = y_0 \\ \\ y'(t_0) = y_0', \end{cases}\]

avec $a_1,a_2 \in \mathbb{K}, f : I\longrightarrow \mathbb{K}$ continue, $t_0\in I$ et $y_0,y_0' \in \mathbb{K}$ appelées conditions initiales. Alors l'équation admet une unique solution.

Démonstration

Exemple

On considère le problème de Cauchy

\[\begin{cases} y''(t) + y'(t) + y(t) = t e^{2t}, \quad t\in \mathbb{R} \\ \\ y(0) = 0 \\ \\ y'(0) = 0. \end{cases}\]

Soit $y$ une solution réelle. Alors, d'après les exemples précédents, il existe $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ tels que

\[y(t) = y_h(t) + y_p(t) = \lambda \cos \left( \dfrac{2\pi}{3} t \right) + \mu \sin\left( \dfrac{2\pi}{3} t \right) + \left( \dfrac{t}{7} + \dfrac{5}{49}\right) e^{2t}, \quad t\in \mathbb{R}.\]

Or

\[0 = y(0) = \lambda + 0 + \dfrac{5}{49}.\]

Donc

\[\lambda = - \dfrac{5}{49}.\]

Puis

\[0 = y'(0) = - \dfrac{2\pi \lambda}{3} \sin \left( \dfrac{2\pi}{3} 0 \right) + \dfrac{2\pi \mu}{3} \cos\left( \dfrac{2\pi}{3} 0 \right) + \left( \dfrac{2\times 0}{7} + \dfrac{10}{49} + \dfrac{1}{7} \right) e^{2\times 0} = \dfrac{2\pi \mu}{3} + \dfrac{17}{49}.\]

Donc

\[\mu = - \dfrac{51}{98 \pi}.\]

Par conséquent

\[y(t) = - \dfrac{5}{49} \cos \left( \dfrac{2\pi}{3} t \right) - \dfrac{51}{98 \pi} \sin\left( \dfrac{2\pi}{3} t \right) + \left( \dfrac{t}{7} + \dfrac{5}{49}\right) e^{2t}, \quad t\in \mathbb{R}.\]