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Exercice 1 : Polynômes de Bernstein

Soit \(n\in \mathbb{N}\). On appelle polynômes de Bernstein de degré \(n\) les polynômes

\[B_{n,k} = \binom{n}{k} X^k (1-X)^{n-k}, \quad k\in \{0, ..., n\}.\]

1. Représenter sur un même graphique les fonctions associées aux polynômes \(B_{3,0},B_{3,1},B_{3,2},B_{3,3}\) sur \([0,1]\).

2.a. Calculer \(\sum_{k=0}^n B_{n,k}\). En déduire que

\[\forall k\in \{0, ..., n\}, \quad \forall x\in [0,1], \quad 0\leq B_{n,k} \leq 1\]

2.b. Soit \(k\in \{1, ..., n\}\). Exprimer \(k\binom{n}{k}\) en fonction \(\binom{n-1}{k-1}\). En déduire une expression simplifiée de \(\sum_{k=0}^n k B_{n,k}\).

2.c. Calculer \(\sum_{k=0}^n k(k-1) B_{n,k}\) puis \(\sum_{k=0}^n k^2 B_{n,k}\).

3. Exprimer \(B'_{n,k}\) en fonction de \(B_{n-1,k-1}\) et \(B_{n-1,k}\) pour \(k\in \{1, ..., n-1\}\). Que se passe-t-il pour \(n\geq 1\) et \(k\in \{0, ..., n\}\) ?

4. Montrer que la famille \((B_{n,k})_{0\leq k\leq n}\) est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\).

5.a. Pour \(P \in \mathbb{R}_n[X]\) on définit

\[\varphi(P) = \sum_{k=0}^n P\left( \dfrac{k}{n} \right) B_{n,k} \in \mathbb{R}[X].\]

Montrer que

\[\forall P\in \mathbb{R}_n[X], \quad \varphi(P) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad P = 0.\]

5.b. En déduire que l'application \(\varphi\) est injective.

5.c. Soit \(a_0, ..., a_n \in \mathbb{R}\). Montrer qu'il existe un polynôme \(P \in \mathbb{R}_n[X]\) tel que \(\varphi(P) = \sum_{k=0}^n a_k B_{n,k}\).

5.d. En déduire que \(\varphi\) est une bijection de \(\mathbb{R}_n[X]\) vers lui-même.

Exercice 2 : Fractions rationnelles

Décomposer en éléments simples sur \(\mathbb{C}(X)\) et \(\mathbb{R}(X)\) les fractions rationnelles suivantes.

1. \(R_1 = \dfrac{X}{(X^2 + 1)(X^3 - 4X^2 + 5X - 2)}\)

2. \(R_2 = \dfrac{1+X - X^4 - X^5}{X(1+X+X^2)}\)

Problème 1 : Somme des inverses des carrés des entiers

1.a. Montrer que

\[\forall k\in \mathbb{N}\backslash \{0,1\}, \quad \dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}.\]

1.b. On définit la suite \(u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}^*}\) par

\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad u_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}.\]

Montrer que la suite \(u\) est convergente.

2.a. Résoudre, pour \(n \in \mathbb{N}^*\), l'équation d'inconnue \(z\in \mathbb{C}\)

\[(E) : (z+i)^{2n+1} - (z-i)^{2n+1} = 0.\]

Vérifier que toutes les solutions sont réelles et les écrire sous forme d'une cotangente \(\text{cotan}(\theta) = \dfrac{1}{\tan(\theta)}\) pour \(\theta \in \mathbb{R}\) tel que \(\tan(\theta) \neq 0\).

2.b. En déduire le nombre de solutions ?

3.a. Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). On considère le polynôme

\[P_n = \dfrac{1}{2i} ((X+i)^{2n+1} - (X-i)^{2n+1}) \in \mathbb{C}[X].\]

Déterminer \(\deg(P_n)\) en fonction de \(n\) et montrer que

\[P_n = \sum_{p=0}^n (-1)^p \binom{2n+1}{2p+1} X^{2n-2p} \quad (1).\]

3.b. En déduire que

\[P_n = (2n+1) \prod_{k=1}^n \left( X^2 - \left(\text{cotan}\left( \dfrac{k\pi}{2n+1} \right) \right)^2 \right) \quad (2).\]

3.c. En comparant le coefficient en \(X^{2n-2}\) dans \((1)\) et \((2)\), montrer que

\[\sum_{k=1}^n \left( \text{cotan} \left( \dfrac{k\pi}{2n+1} \right) \right)^2 = \dfrac{n(2n-1)}{3}.\]

3.d. En déduire que

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\left( \sin \left( \dfrac{k\pi}{2n+1} \right) \right)^2} = \dfrac{2n(n+1)}{3}.\]

4.a. Montrer que

\[\forall x\in \left[ 0, \dfrac{\pi}{2}\right[, \quad \sin(x) \leq x\leq \tan(x).\]

4.b. En déduire un encadrement de \(\dfrac{1}{\left( \dfrac{k\pi}{2n+1} \right)^2}\) pour \(k\in \{1, ..., n\}\).

4.c. En déduire la valeur de \(\ell = \lim_{n\to +\infty} u_n\).

5.a. On définit les suites \(v,w\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}^*}\) par

\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad v_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k+1}}{k^2}, \quad w_n = \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{(2k+1)^2}.\]

Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). Exprimer \(u_{2n+1} - w_n\) en fonction de \(u_n\). En déduire la limite de la suite \(w\).

5.b. Exprimer \(v_{2n} - u_{2n}\) en fonction de \(u_n\). En déduire la limite de la suite \(v\).

Problème 2 : Recherche des polynômes vérifiant une équation

Soit \(a\in \mathbb{R}_+^*\). On chercher à déterminer les couples de polynômes \((A,B) \in (\mathbb{R}[X])^2\) premiers entre eux vérifiant

\[X(A'B - AB') + X(A^2 - B^2) + aAB = 0 \quad (1).\]

Partie 1 : Recherche du degré des polynômes solutions

Soit \((A,B) \in (\mathbb{R}[X])^2\) vérifiant \((1)\) et \(A\wedge B = 1\).

1. Montrer que le monôme \(X\) divise un et seul des polynômes \(A\) et \(B\).

2. Etablir que les polynômes \(A\) et \(B\) ont le même degré et que leurs coeffients dominaux sont égaux ou opposés.

3. A l'aide du théorème de Gauss, montrer que si \(X \mid B\) alors \(A \mid B-A'\). En déduire qu'il existe \(\varepsilon \in \{-1,1\}\) tel que

\[B-A' = \varepsilon A, \quad (2).\]

4. Montrer que si \(X\mid B\) alors la relation \((1)\) peut s'écrire successivement

\[X(A-B') + aB = \varepsilon XB \quad (3)\]

\[X(2\varepsilon A' + A'') = a(\varepsilon A + A') \quad (4).\]

5. En déduire que \(a = 2\) et \(\deg(A) = 2\deg(B)\).

6. Que dire de \(a\) si c'est le polynôme \(A\) qui est divisible par le monôme \(X\) ?

Partie 2 : Vérification de la suffisance de ces conditions

Soit \((A,B) \in (\mathbb{R}[X]\backslash \{0\})^2\) vérifiant \(X\mid B,\) \((2)\) et \((4)\). On suppose que \(a = 2n\) avec \(n\in \mathbb{N}^*\).

1. Montrer que si \(0\) est un zéro d'ordre \(r\in \mathbb{N}^*\) du polynôme \(A\) alors \(r = a+1\). En déduire que \(A(0) \neq 0\). Montrer également que \(B(0) = 0\).

2. Montrer que

\[\forall k\in \{2, ..., n\}, \quad X A^{(k)} = 2 \varepsilon (n-k+2) A^{(k-2)} + (2n - k + 2 - 2 \varepsilon X) A^{(k-1)}.\]

3. Soit \(D\) le PGCD des polynômes \(A\) et \(B\). Montrer que \(D \mid A^{(p)}\) pour tout \(p\in \mathbb{N}\). En déduire que \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux.

Partie 3 : Solutions du problème posé

On suppose encore \(a = 2n\) avec \(n\in \mathbb{N}^*\).

1.a. On suppose que le polynôme \(A\) est unitaire de degré \(n\) et vérifie \((4)\). Etablir une relation entre les coefficients du polynôme \(A\) puis une expression de ces coefficients avec des factorielles.

1.b. En déduire les polynômes uniaires \(A\) de degré \(n\) vérifiant \((4)\).

2. Déterminer les couples \((A,B)\) de polynômes premiers entre eux vérifiant \((1)\).

3. Déterminer en particulier les couples \((A,B)\) pour \(n = 2\).