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Cours

Objectifs du programme officiel

Continuité uniforme

  • Continuité uniforme

  • Exemple des fonctions lipschitzienne

  • Théorème de Heine

Fonctions continues par morceaux

  • Subdivision d'un segment, pas d'une subdivision

  • Fonction en esacalier

  • Fonction continue par morceaux

  • Structure de sous-espace vectoriel et de sous-anneau

Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment

  • Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment à valeurs dans \(\mathbb{K}\)

  • Interprétation géométrique

  • Linéarité, positivité et croissance de l'intégrale

  • Inégalité triangulaire intégrale

  • Relation de Chasles

  • Si \(f\) continue positive d'intégrale nulle alors \(f = 0\)

  • Intégrale d'une fonction paire ou impaire sur un segment centre en \(0\), d'une fonction périodique sur un intervalle de période

  • Valeur moyenne d'une fonction continue par morceaux sur un segment

Sommes de Riemann

  • Définition

  • Interprétation géométrique

  • Convergence vers l'intégrale

Lien entre intégrale et primitive

  • Dérivation de \(\int_a^x f(t) dt\) pour \(f\) continue

  • Existence de primitives

Formules de Taylor globales
  • Formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange

I. Continuité uniforme⚓︎

Définition : Fonction uniformément continue

On considère une fonction \(f : I \longrightarrow \mathbb{K}\). Alors on dit que la fonction \(f\) est uniformément continue si

\[\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists \delta \in \mathbb{R}_+^*, \quad \forall x,y\in I, \quad |x-y| \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon.\]
Exemple

Proposition

  • Un fonction lipschitzienne est uniformément continue.

  • Une fonction uniformément continue est continue.

  • Une fonction uniformément continue sur un intervalle bornée est bornée.

Démonstration

On considère une fonction \(f : I \longrightarrow \mathbb{K}\).

  • On suppose que la fonction \(f\) est uniformément continue et \(I = ~]a,b[\). Soit \(\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\). Alors il existe \(\delta \in \mathbb{R}_+^*\) tel que

\[\forall x,y \in ~]a,b[, \quad |x-y| \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon.\]

Soit \(x \in I\). On subdivise l'intervalle bornée \(]a,b[\) en sous-intervalle de longueur \(\delta\) :

\[a = y_0 < y_1 < ... < y_N = b, \quad y_{i+1} - y_i = \delta, i\in \{0, ..., N-1\}, \quad N\in \mathbb{N}.\]

Alors il existe \(i = i(x) \in \{0, ..., N\}\) tel que \(|x-y_i| \leq \delta\). Donc

\[|f(x)| \leq |f(x) - f(y_i)| + |f(y_i)| \leq \varepsilon + \max_{0\leq j\leq N} |f(y_j)|.\]

Donc la fonction \(f\) est bornée.

Exemples

Théorème de Heine

On considère une fonction \(f : I \longrightarrow \mathbb{K}\). Si la fonction \(f\) est continue et l'intervalle \(I\) est un segment alors la fonction \(f\) est uniformément continue.

Démonstration
Exemple

II. Fonctions continues par morceaux⚓︎

Définition : Subdivision, pas d'une subdivision

On considère un segment non vide \([a,b] \subset \mathbb{R}\). Alors une subdivision du segment \([a,b]\) est une famille de réels strictement ordonnés \((a_0, ..., a_n) \in [a,b]^{n+1}\) tels que

\[a = a_0 < a_1 < ... < a_n = b.\]

De plus le pas de la subdivision \((a_0, ..., a_n)\) est défini par \(h = \max\{a_{i+1} - a_i, \quad i\in \{0, n-1\}\}\).

Exemples

(insérer une image)

(insérer une image)

Définition : Fonction en escalier

On considère une fonction \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{K}\). Alors on dit que la fonction \(f\) est en escalier s'il existe une subdivision \((a_0, ..., a_n)\) du segment \([a,b]\) telle que la fonction \(f\) soit constante sur chaque intervalle \(]a_i,a_{i+1}[\) pour \(i\in \{0,n-1\}\). On dit alors que la subdivision \((a_0, ..., a_n)\) est adpatée à la fonction \(f\). On note alors \(\mathcal{E}([a,b])\) leur ensemble.

Exemple

Remarque

Autrement dit il existe \((c_0, ..., c_{n-1}) \in \mathbb{K}^n\) et \((d_0, ..., d_n) \in \mathbb{K}^{n+1}\) tels que

\[f = \sum_{i=0}^{n-1} c_i \mathbb{1}_{]a_i, a_{i+1}[} + \sum_{i=0}^n d_i \delta_{a_i}.\]
Exemple

Définition : Subdivision plus fine qu'une autre

On considère deux subdivision \(\sigma = (x_i)_{0\leq i\leq n}\) et \(\sigma' = (y_j)_{0\leq j\leq p}\) d'un intervalle \([a,b]\). Alors on dit que la subdivision \(\sigma'\) est plus fine que la subdivision \(\sigma\) si

\[\forall i\in \{0, ..., n\}, \quad \exists j \in \{0, ..., p\}, \quad y_j = x_i.\]

Dans ce cas on le note \(\sigma \subset \sigma'\).

Exemple

Remarque

Autrement dit les points de la subdivision \(\sigma\) font parties de ceux de la subdivision \(\sigma'\).

Proposition

On considère un segment réel \([a,b]\). Soit \(fng \in \mathcal{E}([a,b])\) et \(\sigma, \sigma'\) deux subdivisions de l'intervalle \([a,b]\).

  • Si \(\sigma \subset \sigma'\) et la subdivision \(\sigma\) est adaptée à la fonction \(f\) alors la subdivision \(\sigma'\) également.

  • Il existe une subdivision adaptée aux fonctions \(f\) et \(g\) en même temps. Par exemple la subdivision notée \(\sigma \cup \sigma'\) obtenue en réunissant leurs points.

  • La subdivision \(\sigma \cup \sigma'\) est plus fine que les subdivisions \(\sigma\) et \(\sigma'\).

Démonstration

Définition : Fonction continue par morceaux

On considère une fonction \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{K}\). Alors on dit que la fonction \(f\) est continue par morceaux s'il existe une subdivision \((a_0, ..., a_n)\) du segment \([a,b]\) telle que la fonction \(f\) est continue sur chaque intervalle \(]a_i,a_{i+1}[\) pour \(i\in \{0, ..., n-1\}\), et prolongeable par continuité sur chaque segment \([a_i, a_{i+1}]\). On note alors \(C_m([a,b])\) leur ensemble.

Exemple

Remarque

Autrement dit la fonction \(f\) admet des limites à gauche et à droite en tout point du segment \([a,b]\) (non nécessairement les mêmes)$.

Proposition

  • Une fonction continue par morceaux est bornée.

  • Une fonction en escalier ou continue est continue par morceaux.

Démonstration

Proposition

Les ensembles \(\mathcal{E}([a,b])\) et \(C_m([a,b])\) sont des sous-espaces vectoriels et des sous-anneaux de l'ensemble \(\mathcal{F}([a,b],\mathbb{K})\).

Démonstration

III. Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment⚓︎

Définition : Intégrale d'une fonction en escalier

On considère \(f \in \mathcal{E}([a,b])\) et \((x_0, ..., x_n)\) une subdivision du segement \([a,b]\) adaptée à la fonction \(f\). On note \(y_1, ..., y_n\) les valeurs prises par la fonction \(f\) sur les intervalles \(]x_0, x_1[, ..., ]x_{n-1}, x_n[\). Alors l'intégrale de la fonction \(f\) sur le segment \([a,b]\) est définie par

\[\int_a^b f(x) dx = \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) y_k.\]
Exemple

Remarques

  • Dans le cas réel, l'intégrale est la somme des aires algébriques des rectangles définies par le graphe de la fonction \(f\).

(insérer une image)

  • La valeur de l'intégrale ne dépend pas des valeurs \(f(x_0), ..., f(x_n)\).

Proposition

On considère \(f,g\in \mathcal{E}([a,b])\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\). Alors l'intégration vérifie les propriétés suivantes :

  • Indépendance de la subdivision : \(\int_a^b f(x) dx\) ne dépend pas de la subdivision adaptée à la fonction \(f\).

  • Linéarité :

\[\int_a^b (\lambda f(x) + \mu g(x)) dx = \lambda \int_a^b f(x) dx + \mu \int_a^b g(x) dx.\]
  • Positivité :
\[f \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad \int_a^b f(x) dx \geq 0.\]
  • Croissance :
\[f\leq g \quad \Longrightarrow \quad \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx.\]
  • Inégalité triangulaire :
\[\left| \int_a^b f(x) dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| dx.\]
  • Relation de Chasles :
\[\forall c \in [a,b], \quad \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx.\]
Démonstration

Proposition

On considère \(f \in C_m([a,b])\) réelle et \(\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\). Alors il existe \(\varphi, \psi \in \mathcal{E}([a,b])\) réelles telles que

\[\varphi \leq f \leq \psi, \quad \psi - \varphi \leq \varepsilon.\]

(insérer une image)

Démonstration

Corollaire

On conisdère \(f\in C_m([a,b])\) réelle,

\[I^-(f) = \sup\left\{ \int_a^b \varphi(x) dx, \quad \varphi\in \mathcal{E}([a,b]), \quad \varphi \leq f \right\}\]

et

\[I^+(f) = \inf\left\{ \int_a^b \psi(x) dx, \quad \varphi\in \mathcal{E}([a,b]), \quad \psi \geq f \right\}.\]

Alors

\[I^-(f) = I^+(f).\]
Démonstration

Définition : Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment

On considère une fonction \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{K}\) continue par morceaux de subdivision associée \((a_0, ..., a_n)\). Alors l'intégrale de la fonction \(f\) est définie par

\[\int_a^b f(x) dx = I^-(f) = I^+(f).\]
Exemple

Remarque

On la note également \(\int_a^b f, \int_{[a,b]} f\) ou \(\int_{[a,b]} f(x) dx\).

Remarque

L'intégrale peut être vu comme l'aire algébrique entre la courbe de la fonction et l'axe des abcisses.

(insérer une image)

Proposition

On considère \(f,g\in C_m([a,b])\) réelles et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\). Alors l'intégration vérifie les propriétés suivantes :

  • Linéarité :
\[\int_a^b (\lambda f(x) + \mu g(x)) dx = \lambda \int_a^b f(x) dx + \mu \int_a^b g(x) dx.\]
  • Positivité :
\[f \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad \int_a^b f(x) dx \geq 0.\]
  • Stricte positivité :
\[f > 0 \quad \Longrightarrow \quad \int_a^b f(x) dx > 0.\]
  • Croissance :
\[f\leq g \quad \Longrightarrow \quad \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx.\]
  • Inégalité triangulaire :
\[\left| \int_a^b f(x) dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| dx.\]
  • Relation de Chasles :
\[\forall c \in [a,b], \quad \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx.\]
Démonstration

Remarque

Nous pouvons également manipuler les intégrales \(\int_b^a f\) en les définissant par \(\int_b^a f = - \int_a^b f\). On en déduit les propriétés similaires.

Proposition

On considère une fonction continue \(f \in C([a,b])\) positive. Alors \(\int_a^b f = 0\) si et seulement si \(f = 0\).

Démonstration
Exemple

Proposition

On considère une fonction \(f \in CM([-a,a])\).

  • Si la fonction \(f\) est paire alors
\[\int_{-a}^a f = 2 \int_0^a f.\]
  • Si la fonction \(f\) est impaire alors
\[\int_{-a}^a f = 0.\]
Démonstration
Exemples

Proposition

On considère une fonction \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue par morceaux sur tout segment réel. Si la fonction \(f\) est \(T\)-périodique alors, pour tout \(n\in \mathbb{N}\),

\[\int_0^{nT} f = n \int_0^T f.\]
Démonstration
Exemple

Remarque

L'intégration sert à obtenir la valeur moyenne d'une fonction sur un segment. En effet pour \(f\in CM([a,b])\), sa valeur moyenne est \(\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f\).

Exemple

IV. Sommes de Riemann⚓︎

Définition : Somme de Riemann

On considère une fonction \(f \in C_m([a,b])\). Alors une somme de Riemann associée à la fonction \(f\) est un terme de la forme

\[S(f, \sigma) = \sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1} - a_i) f(x_i),\]

avec \(\sigma = ((a_0, ..., a_n),(x_0, ..., x_{n-1}))\) couple, appelé subdivision marquée du segment \([a,b]\), tel que \((a_0, ..., a_n)\) soit une subdivision du segment \([a,b]\) et \(x_i \in [a_i, a_{i+1}]\) pour tout \(i\in \{0, ..., n-1\}\).

Exemple

Théorème

On considère une fonction \(f \in C_m([a,b])\) et une subdivision marquée \(\sigma\) de pas \(h\). Alors

\[S(f,\sigma) \underset{h\to 0}{\longrightarrow} \int_a^b f.\]
Démonstration

(d'abord pour une fonction continue puis pour une fonction continue par morceaux)

Corollaire

On considère une fonction \(f \in C_m([a,b])\). Alors

\[\dfrac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left( a+ \dfrac{b-a}{n} k\right) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \int_a^b f.\]

Il s'agit de la convergence de la somme de Riemann la plus usuelle.

Démonstration
Exemple

Remarque

Il s'agit de la méthode des rectangles à gauche.

(insérer une image)

Remarque

On peut obtenir de même la convergence des méthodes des rectangles à droite ou des trapèzes.

Remarque

Nous pouvons construire l'intégrale d'une fonction complexe grâce aux intégrales de la partie réelle et de la partie imaginaire et en déduire les propriétés similaires.

V. Formules de Taylor globales⚓︎

Théorème : Formule de Taylor avec reste intégral

On considère une fonction \(f \in C^{n+1}([a,b])\) pour \(n\in \mathbb{N}\). Alors

\[f(b) = f(a) + (b-a) f'(a) + \dfrac{(b-a)^2}{2} f''(a) + ... + \dfrac{(b-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + \int_a^b \dfrac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)} (t) dt = \sum_{k=0}^n \dfrac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) + \int_a^b \dfrac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt.\]
Démonstration
Exemple

Remarque

Cette formule donne une expression exacte du reste du développement limité ce qui est utile pour étudier sa régularité.

Exemple

Théorème : Inégalité de Taylor-Lagrange

On considère une fonction \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{K}\). Si la fonction \(f\) :

  • est \(n\)-fois dérivable sur le segment \([a,b]\),

  • est \(n+1\)-fois dérivable sur l'intervalle ouvert \(]a,b[\) pour \(n\in \mathbb{N}\),

  • admet une dérivée \(n+1\)-ième \(f^{(n+1)}\) bornée sur \(]a,b[\) par une constante \(M\in \mathbb{R}_+^*\).

Alors

\[\left| f(b) - \sum_{k=0}^n \dfrac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) \right| \leq \dfrac{M(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}.\]
Démonstration
Exemple