Exercices

Extrema et accroisements finis

Exercices d'apprentissage

Exercice

Soient \(a,b,c\in \mathbb{R}\). Montrer qu’il existe \(x\in ~]0;1[\) tel que

\[4ax^3+3bx^2+2cx = a+b+c.\]

Correction

On considère la fonction \(f\) polynomiale définie

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = a x^4 + b x^3 + cx^2.\]

Alors la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur \([0,1]\). Donc d'après le théorème des accroissements finis il existe \(x \in ~]0,1[\) tel que

\[a+b+c = f(1) - f(0) = f'(x) (1-0) = f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx.\]

Exercice

Soit \(a\in \mathbb{R}_+^*\) et \(f : [0,a] \longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction dérivable telle que

\[f(0) = f(a) = 0, \quad f'(0)=0.\]

1. Montrer que la dérivée de la fonction \(g : x\longmapsto \dfrac{f(x)}{x}\) s’annule sur \(]0,a[\).

Correction

Nous avons par définition de la dérivée de la fonction \(f\) en \(0\)

\[g(x) = \dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{f(x) - 0}{x-0} = \dfrac{f(x) - f(0)}{x-0} \underset{x\to 0}{\longrightarrow} f'(0) = 0.\]

Donc la fonction \(g\) est prolongeable par continuité en \(0\) par la valeur \(0\). Donc \(g(0) = 0 = g(a)\). Ainsi, d'après le théorème de Rolle, il existe \(c\in ~]0,a[\) tel que \(g'(a)= = 0\).

2. En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente au graphe de la fonction \(f\) passe par l’origine.

Correction

Nous avons

\[\forall x\in ~]0,a], \quad g'(x) = \dfrac{f'(x) x - f(x)}{x^2}.\]

Donc en \(x = c\)

\[0 = f'(c) c - f(c).\]

Donc la tangente au graphe de la fonction \(f\) en \(c\) a pour équation

\[y = f'(c) (x - c) + f(c) = f'(c) x.\]

Ainsi cette droite passe bien par l'origine.

Exercice

A l'aide du théorème des accroissements finis, déterminer la limite

\[\lim_{x\to +\infty} ((x+1)e^{\frac{1}{x+1}} - xe^{\frac{1}{x}}).\]

Correction

Soit \(x \in \mathbb{R}_+^*\). Alors la fonction \(f : t\longmapsto t e^{\frac{1}{t}}\) est continue sur \([x,x+1]\) et dérivable sur \(]x,x+1[\). Donc d'après le théorème des accroissements finis il existe \(c_x \in ~]x,x+1[\) tel que

\[(x+1)e^{\frac{1}{x+1}} - xe^{\frac{1}{x}} = f(x+1) - f(x) = f'(c_x)(x+1 - x) = f'(c_x) = e^{\frac{1}{c_x}}\left( 1 - \dfrac{1}{c_x} \right).\]

Or \(c_x > x\) donc \(c_x \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} +\infty\). Ainsi

\[(x+1)e^{\frac{1}{x+1}} - xe^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{c_x}}\left( 1 - \dfrac{1}{c_x} \right) \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} e^0 (1 - 0) = 1.\]

Exercices d'entrainement

Exercice

Pour \(n \in \mathbb{N},\) on considère \(f_n\) la dérivée \(n\)-ième de la fonction \(x \longmapsto (x^2−1)^n\).

1. Montrer que la fonction \(f_n\) est une fonction polynomiale de degré \(n\).

Correction

2. Calculer \(f_n(1)\) et \(f_n(−1)\).

Correction

3. Montrer que la fonction \(f_n\) possède exactement \(n\) racines distinctes toutes dans \(]−1;1[\).

Correction

Exercice

Soit \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(C^2\) telle que

\[f(a) = f'(a), \quad f(b) = f'(b).\]

En considérant l'application \(\varphi : x \longmapsto (f(x) - f'(x)) e^x\), montrer qu'il existe \(c \in ~]a,b[\) tel que \(f(c) = f''(c)\).

Correction

Exercice

Une fonction \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) est dite \(\alpha\)-Hölderienne s'il existe \(M\in \mathbb{R}_+\) tel que

\[\forall x,y \in I, \quad |f(x) - f(y)| \leq M |x-y|^\alpha.\]

1. Montrer qu'une fonction \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) est \(1\)-Hölderienne.

Correction

2. Montrer les fonctions \(\alpha\)-Hölderiennes pour \(\alpha > 1\) sont constantes.

Correction

3. On considère la fonction \(f : x\longmapsto x\ln(x)\) définie sur \(]0,1[\).

Montrer que la fonction \(f\) n'est pas \(1\)-Hölderienne mais qu'elle est \(\alpha\)-Hölderienne pour tout \(\alpha\in ~]0,1[\).

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soient \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction deux fois dérivables sur \(I\) et \(a,b,c \in I\) distincts. Montrer qu'il existe \(d\in I\) tel que

\[\dfrac{f(a)}{(a-b)(a-c)} + \dfrac{f(b)}{(b-c)(b-a)} + \dfrac{f(c)}{(c-a)(c-b)} = \dfrac{1}{2} f''(d).\]

Correction

Exercice

Soit \(f\in C^2(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})\) telle que \(\lim_{+\infty} f = a \in \mathbb{R}\).

1. Si la dérivée seconde \(f''\) est bornée, que dire de \(\lim_{+\infty} f'\) ?

Correction

2. Le résultat subsite-t-il sans l'hypothèse de dérivée seconde bornée ?

Correction

Convexité et concavité

Exercices d'apprentissage

Exercice

Soit \(f,g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) deux fonctions telles que la fonction \(f\) soit convexe et la fonction \(g\) convexe et croissante. Montrer que la fonction \(g\circ f\) est convexe.

Correction

Soit \(x,y \in \mathbb{R}\). Soit \((1-t) x + ty, t\in [0,1]\) un point sur le segment \([x,y]\). Montrons que son image par la fonction \(g\circ f\) est dessous de son image par la droite reliant \((x,g(f(x)))\) et \((y,g(f(y)))\). Nous avons par convexité de la fonction \(f\)

\[f((1-t) x + t y) \leq (1-t) f(x) + tf(y).\]

Puis par croissance de la fonction \(g\)

\[g(f((1-t) x + ty)) \leq g((1-t) f(x) + tf(y)).\]

Puis par convexité de la fonction \(g\)

\[g(f((1-t) x + ty)) \leq (1-t)g(f(x)) + t g(f(y)).\]

Donc la fonction \(g\circ f\) est bien convexe.

Exercice

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) convexe strictement croissante. Montrer que \(\lim_{+\infty} f = + \infty\).

Correction

Soit \(x \in ~]1,+\infty[\). La fonction \(f\) est convexe donc d'après l'inégalité des pentes appliquées à \(0<1<x\) :

\[f(1) - f(0) = \dfrac{f(1) - f(0)}{1-0} \leq \dfrac{f(x) - f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)}{x}.\]

Donc \(f(x) \geq x (f(1) - f(0))\) avec \(f(1) - f(0) > 0\) par stricte croissance. Ainsi \(\lim_{+\infty} f = +\infty\).

Exercice

Soit \(f : \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable, concave et vérifiant \(f(0) \geq 0\). Montrer que la fonction \(f\) est sous-additive :

\[\forall x,y\in \mathbb{R}_+, \quad f(x+y) \leq f(x)+f(y).\]

Correction

Soit \(x\in \mathbb{R}_+\) et \(\varphi\) la fonction définie par

\[\forall y\in \mathbb{R}_+, \quad \varphi(y) = f(x) + f(y) - f(x+y).\]

Alors la fonction \(\varphi\) est dérivable comme différence de telles fonctions et

\[\forall y \in \mathbb{R}_+, \quad \varphi'(y) = f'(y) - f'(x+y).\]

Or la fonction \(f\) est concave donc sa dérivée est décroissante, d'où \(\varphi' \leq 0\) i.e. la fonction \(\varphi\) est croissante. Ainsi

\[\forall y \in \mathbb{R}_+, \quad 0\leq f(0) = \varphi(0) \geq \varphi(y) = f(x) + f(y) - f(x+y).\]

Exercice

Etudier la convexité de la fonction \(f : x\longmapsto \ln(1+x^2)\) sur \(\mathbb{R}\).

Correction

La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de telles fonctions et

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f'(x) = \dfrac{2x}{1+x^2}.\]

Donc la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f''(x) = \dfrac{2(1+x^2) - 4x^2}{(1+x^2)^2} = 2\dfrac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} = 2 \dfrac{(1-x)(1+x)}{(1+x^2)^2}.\]

On obtient alors

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f''(x) \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -1 \leq x\leq 1.\]

Ainsi la fonction \(f\) est convexe sur \([-1,1]\) et concave sur \(]-\infty,-1]\) et \([1,+\infty[\).

Exercice

Etablir les inégalités suivantes par un argument de convexité.

1. \(\ln(1+x) \leq x\) pour tout \(x > -1\).

Correction

La fonction \(x\longmapsto \ln(1+x)\) est concave sur \(]-1,+\infty[\) et dérivable. Donc en particulier en dessous de sa tangente en \(0\) :

\[\forall x\in ~]-1,+\infty[, \quad \ln(1+x) \leq 1 (x-0) + \ln(1+0) = x.\]

2. \(\dfrac{2}{\pi} x \leq \sin(x) \leq x\) pour tout \(x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right]\).

Correction

La fonction \(\sin\) est concave sur \(\left[0, \dfrac{\pi}{2} \right]\) car deux fois dérivable et \(\sin'' = - \sin \leq 0\) sur \(\left[0, \dfrac{\pi}{2} \right]\). Donc elle est au dessus de sa corde entre les points \((0,\sin(0)) = (0,0)\) et \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \sin \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \right) = \left( \dfrac{\pi}{\pi}{2},1\right)\) :

\[\forall x\in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right], \quad \sin(x) \geq \dfrac{1-0}{\dfrac{\pi}{2} - 0} x + 0 = \dfrac{2}{\pi}x.\]

Et elle en dessous de sa tangente en \(0\) :

\[\forall x\in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right], \quad \sin(x) \leq \sin'(0)(x-0) + \sin(0) = x.\]

3. \(x^{n+1} - (n+1) x + n \geq 0\) pour tout \(x\in \mathbb{R}_+\) et \(n\in \mathbb{N}\).

Correction

La fonction \(f : x\longmapsto x^{n+1}\) est convexe sur \(\mathbb{R}_+\) car deux fois dérivable et \(f''(x) = (n+1)nx^{n-1} \geq 0\) pour tout \(x\in \mathbb{R}_+\). Donc elle est au dessus de sa tangente en \(1\) :

\[\forall x\in \mathbb{R}_+, \quad x^{n+1} \geq f'(1) (x-1) + f(1) = (n+1)(x-1) + 1 = (n+1) - n.\]

4. \(\ln \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \geq \sqrt{\ln(x) \ln(y)}\) pour tout \(x,y\in \mathbb{R}_+^*\).

Correction

La fonction \(\ln \circ \ln\) est concave sur \(\mathbb{R}_+^*\) donc

\[\forall x,y \in \mathbb{R}_+, \quad \ln\left(\ln\left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} \right)\right) = \ln\left(\ln\left( \left(1-\dfrac{1}{2}\right) + \dfrac{1}{2} y \right)\right) \geq \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) \ln(\ln(x)) + \dfrac{1}{2} \ln(\ln(y)) = \ln \left( \sqrt{\ln(x) \ln(y)} \right).\]

Donc par croissance de la fonction \(\exp\)

\[\forall x,y \in \mathbb{R}_+, \quad \ln \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \geq \sqrt{\ln(x) \ln(y)}.\]

5. \(a^t b^{1-t} \leq ta + (1-t) b\) pour tout \(t\in [0,1]\) et \(a,b\in \mathbb{R}^+\).

Correction

La fonction \(\ln\) est concave donc

\[\forall a,b\in \mathbb{R}_+, t\in [0,1], \quad \ln(ta + (1-t) b) \geq t\ln(a) + (1-t) \ln(b) = \ln(a^t b^{1-t}).\]

Donc par croissance de la fonction \(\exp\)

\[\forall a,b\in \mathbb{R}_+, t\in [0,1], \quad ta + (1-t) b \geq a^t b^{1-t}.\]

6. \(\dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q} \geq ab\) pour tout \(a,b \in \mathbb{R}_+^*\) et \(p,q\in \mathbb{R}_+^*\) tels que \(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} = 1\) (inégalité de Young).

Correction

Soit \(a,b \in \mathbb{R}_+^*\) et \(p,q \in \mathbb{R}_+^*\) tels que \(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} = 1\). Or la fonction \(\ln\) est concave donc en appliquant la définition de la convexité aux points \(a^p, b^q\) avec les cœfficients \(\dfrac{1}{p}, 1-\dfrac{p} = \dfrac{1}{q}\) nous obtenons

\[\ln \left( \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}\right) \geq \dfrac{1}{p} \ln(a^p) + \dfrac{1}{q} \ln(b^q) = \ln(ab).\]

Donc par croissance de la fonction \(\exp\)

\[dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q} \geq ab.\]

Exercices d'entrainement

Exercice

Soit \(f : ~]0,+\infty[~ \longrightarrow \mathbb{R}\). Montrer que la fonction \(x \longmapsto xf(x)\) est convexe si et seulement si la fonction \(x \longmapsto f\left( \dfrac{1}{x}\right)\) l'est également.

Correction

Exercice

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) convexe.

1. On suppose \(\lim_{+\infty} f = 0\). Montrer que la fonction \(f\) est positive.

Correction

2. On suppose que la fonction \(f\) présente une droite asymptote en \(+\infty\) : il existe \(a,b\in \mathbb{R}\) tels que

\[f(x) - (ax+b) \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} 0.\]

Etudier la position de la courbe de la fonction \(f\) par rapport à cette asymptote.

Correction

Exercice

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x)= xe^{−x}.\]

1. Étudier les variations de la fonction \(f\).

Correction

2. Calculer la dérivée seconde de la fonction \(f\). En quelle valeur s’annule-t-elle ?

Correction

3. Vérifier que la courbe représentative de la fonction \(f\) traverse sa tangente en ce point.

Correction

4. Donner l’allure du graphe de la fonction \(f\).

Correction

Exerice

Soient \(p,q\in \mathbb{R}_+^*\) tels que \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1\).

1. Montrer que, pour tout \(a,b\in \mathbb{R}_+\),

\[a^{\frac{1}{p}} b^{\frac{1}{q}} \leq \dfrac{a}{p} + \dfrac{b}{q}.\]

Correction

2. En déduire que, pour tout \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{R}_+\),

\[\dfrac{ab}{(a_1^p + a_2^p)^{\frac{1}{p}}(b_1^q + b_2^q)^{\frac{1}{q}}} \leq \dfrac{1}{p} \dfrac{a_1^p}{a_1^p + a_2^p} + \dfrac{1}{q} \dfrac{b_1^q}{b_1^q + b_2^q}.\]

Correction

3. En déduire que

\[a_1 b_1 + a_2 b_2 \leq (a_1^p + a_2^p)^{\frac{1}{p}} (b_1^q + b_2^q)^{\frac{1}{q}}.\]

Correction

4. Conclure que, pour tout \(n\in \mathbb{N}, a_1, ..., a_n, b_1, ..., b_n \in \mathbb{R}_+\),

\[\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{\frac{1}{p}} \left( \sum_{i=1}^n b_i^q \right)^{\frac{1}{q}}.\]

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soit $ f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ continue.

1. On suppose que

\[\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad f\left( \dfrac{x+y}{2} \right) \leq \dfrac{f(x) + f(y)}{2}.\]

Montrer que la fonction \(f\) est convexe.

Correction

2. On suppose qu'il existe \(M\in \mathbb{R}_+\) tel que

\[\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad |f(x+y) - f(x-y) - 2 f(x)| \leq My^2.\]

En considérant les fonctions \(x \longmapsto f(x) + M \dfrac{x^2}{2}\) et \(x \longmapsto f(x) - M \dfrac{x^2}{2}\), montrer que la fonction \(f\) est dérivable.

Exercice

Soit \(f : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}\) continue, concave et vérifiant \(f(0) = 1\). Montrer que

\[\int_0^1 xf(x) dx \leq \dfrac{2}{3} \left( \int_0^1 f(x) dx \right)^2.\]

Correction

Primitives et intégrales

Exercices d'apprentissage

Exercice

Déterminer les primitives des fonctions suivantes.

1. \(t \longmapsto te^{t^2}\) sur \(\mathbb{R}\)

Correction

Cette fonction est presque de la forme \(u'e^u\) donc une primitive sur \(\mathbb{R}\) est

\[t\longmapsto \dfrac{e^{t^2}}{2}\]

et l'ensemble des primitives est

\[\{t\longmapsto \dfrac{e^{t^2}}{2} + c, \quad c\in \mathbb{R}\}.\]

2. \(t \longmapsto \dfrac{\ln(t)}{t}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\)

Correction

Cette fonction est presque de la forme \(2u' u\) donc une primitive sur \(\mathbb{R}_+^*\) est

\[t\longmapsto \dfrac{(\ln(t))^2}{2}.\]

3. \(t\longmapsto \dfrac{1}{t\ln(t)}\) sur \(]1,+\infty[\)

Correction

4. \(\cos \times \sin\) sur \(\mathbb{R}\)

Correction

5. \(\tan\) sur \(\left] - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[\)

Correction

6. \(\cos^3 = \cos \times \cos \times \cos\) sur \(\mathbb{R}\)

Correction

7. \(x \longmapsto \dfrac{x}{1+x^2}\) sur \(\mathbb{R}\)

Correction

8. \(x\longmapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\) sur \(]-1,1[\)

Correction

9. \(x\longmapsto \dfrac{x^2}{1+x^3}\) sur \(]-1,+\infty[\)

Correction

10. \(x\longmapsto \dfrac{t}{1+t^4}\) sur \(\mathbb{R}\)

??? success "Correction

Exercice

Calculer les intégrales suivantes.

1. \(\int_0^1 t^n dt\) avec \(n\in \mathbb{N}\)

Correction

2. \(\int_1^4 \dfrac{dt}{\sqrt{t}}\)

Correction

3. \(\int_0^1 \dfrac{1}{1+t^2} dt\)

Correction

4. \(\int_1^2 \dfrac{dt}{t^2}\)

Correction

5. \(\int_0^{\frac{1}{2}} \dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\)

Correction

6. \(\int_1^2 \ln(t) dt\)

Correction

Exercice

Déterminer par intégrations par partes les primitives des fonctions suivantes.

1. \(t\longmapsto t\ln(t)\) sur \(\mathbb{R}_+^*\)

Correction

2. \(t\longmapsto t (\sin(t))^3\) sur \(\mathbb{R}\)

Correction

3. \(t\longmapsto (t+1) \text{ch}(t)\) sur \(\mathbb{R}\)

Correction

Exercice

Calculer par intégrations par parties les intégrales suivantes.

1. \(\int_0^1 \ln(t^2 +1) dt\)

Correction

2. \(\int_0^{\frac{1}{2}} \arcsin(t) dt\)

Correction

3. \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{t}{(\cos(t))^2} dt\)

Correction

4. \(\int_0^1 t \arctan(t) dt\)

Correction

Exercice

Déterminer par changement de variable les primitives des fonctions suivantes.

1. \(t\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{t^3}}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\)

Correction

2. \(t \longmapsto \dfrac{e^{2t}}{e^t + 1}\) sut \(\mathbb{R}\)

Correction

Exercice

Calculer par changement de variable les intégrales suivantes.

1. \(\int_0^\pi \dfrac{\sin(t)}{3 + (\cos(t))^2} dt\)

Correction

2. \(\int_1^2 \dfrac{\ln(1+t) - \ln(t)}{t^2} dt\)

Correction

3. \(\int_1^e \dfrac{dt}{t\sqrt{\ln(t) +1}}\)

Correction

4. \(\int_1^2 \dfrac{\ln(t)}{\sqrt{t}} dt\)

Correction

5. \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos(t)}{2 - (\cos(t))^2} dt\)

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

Déterminer les primitives des fonctions suivantes.

1. \(t\longmapsto \dfrac{1}{it+1}\) sur \(\mathbb{R}\)

Correction

2. \(t \longmapsto t \sin(t) e^t\) sur \mathbb{R}$

Correction

3. \(t \longmapsto \sin(t) (\cos(t))^3\) sur \(\mathbb{R}\)

Correction

4. \(t\longmapsto \ln(t)\) sur \(]0,+\infty[\)

Correction

5. \(t\longmapsto t^2 \sin(t)\) sur \(\mathbb{R}\)

Correction

6. \(t\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - t^2}}\) sur \(]-a,a[\) pour \(a \in \mathbb{R}_+^*\)

Correction

Exercice

Soit \(\lambda \in \mathbb{R} \backslash \{-1,1\}\).

1. Etudier la fonction \(f_\lambda : D \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall x\in D, \quad f_\lambda(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 - 2\lambda \cos(x) + \lambda^2}}.\]

Correction

2. Calculer

\[\int_0^\pi f_\lambda (x) dx.\]

Correction

Exercice

Calculer les inégrales suivantes.

1. \(\int_1^{e^x} \sin(\ln(t)) dt\)

Correction

2. \(\int_0^{\frac{1}{2}} e^{\arcsin(t)} dt\)

Correction

3. \(\int_0^1 t(\arctan(t))^2 dt\)

Correction

Exercice

Soit \(x\in ~]-1,1[\). En effectant le changement de variable \(u = \tan \left( \dfrac{t}{2}\right)\), calculer

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{1 - x \cos(t)} dt.\]

Correction

Exercice

Déterminer les primitives des fonctions suivantes ainsi que leur domaine de continuité.

1. \(x\longmapsto \dfrac{1}{x^3 - x}\)

Correction

2. \(x\longmapsto \dfrac{x+1}{x^3+x}\)

Correction

3. \(\dfrac{x-1}{x^2 + 2x+2}\)

Correction

Exercice

Calculer les intégrales suivantes.

1. \(\int_0^1 \dfrac{dx}{x^2 + x +1}\)

Correction

2. \(\int_0^1 \dfrac{x}{x^3 + 1}dx\)

Correction

3. \(\int_0^1 \dfrac{\arctan(x)}{(x+1)^2} dx\)

Correction

Exercice

Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). On souhaite déterminer la primitive sur \(\mathbb{R}\) s'annulant en \(0\) de la fonction

\[f_n : x \longmapsto \dfrac{1}{(1+x^2)^n}.\]

1. Justifier l'existence et l'unicité de la fonction recherchée que l'on note \(F_n\).

Correction

2. Déterminer une relation de récurrence entre \(F_{n+1}\) et \(F_n\).

Correction

3. Exprimer \(F_2\) et \(F_3\).

Correction

Exercice

Soit \(f : \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}\) continue admettant une limite finie \(\ell \in \mathbb{R}\) en \(+\infty\). On souhaite montrer que la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}_+\) est \(\ell\) :

\[\dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) dt \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} \ell.\]

1. Soit \(\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\). Montrer qu'il existe \(A \in \mathbb{R}_+\) tel que pour tout \(x\geq A\)

\[\left| \dfrac{1}{x} \int_A^x (f(t) - \ell) dt\right| \leq \varepsilon.\]

Correction

2. Conclure en décomposant l'intervalle \([0,x] = [0,A] \cup [A,x]\).

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soit \(f : \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que

\[f(t) + f'(t) \underset{t\to +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \mathbb{R}.\]

Montrer que

\[f(t) \underset{t\to +\infty}{\longrightarrow} \ell.\]

Exercice

Soient \(a,b\in \mathbb{R}, \mu \in \mathbb{R}_+^*\) et \(f\in C^2([a,b], \mathbb{R})\) telles que sa fonction dérivée \(f'\) soit monotone et

\[\forall x\in [a,b], \quad |f'(x)| \geq \mu.\]

Montrer que

\[\left| \int_a^b e^{2i\pi f(t)} dt \right| \leq \dfrac{1}{\mu \pi}.\]

Correction

Exercice

Calculer

\[\int_0^{\sqrt{3}} \arcsin\left( \dfrac{2t}{1+t^2} \right) dt.\]

Correction

Equations différentielles

Exercices d'apprentissage

Exercice

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes.

1. \(y' - \sin(x) y = 0\)

Correction

2. \(y'+y=2\sin(x)\)

Correction

3. \(y'+y=x-e^x +\cos(x)\)

Correction

4. \(y' + 2xy = x\)

Correction

5. \(y' + \dfrac{2x}{1+x^2}y = 1\)

Exercice

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes.

1. \(y'' - 3y' + 2y = 0\)

Correction

2. \(y'' - 2y' + 5y = 0\)

Correction

3. \(y'' - (1+3i) y' - 4y = 0\)

Correction

4. \(y'' + y' + y = 1 + 2 e^{-x}\)

Correction

5. \(y'' + y = 2 (\cos(x))^2\)

Correction

6. \(y'' + 2y' +y = 2\text{ch}(x)\)

Correction

Exercice

Déterminer la solution sur \(\mathbb{R}\) du problème de Cauchy

\[y' - (x+1) (y+1) = 0, \quad y(0) = 1.\]

Correction

Exercice

Soit \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue telle que

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = 1 + \int_0^x f(t) \cos(x-t) dt.\]

1. Montrer que la fonction \(f\) est deux fois dérivable.

Correction

2. Déterminer une expression de la fonction \(f\).

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

Résoudre sur \(]-1,1[\) les équations différentielles suivantes.

1. \(\sqrt{1-x^2} y' + y = 1\)

Correction

2. \((1-x^2) y' - xy = \sqrt{1-x^2}\)

Correction

Exercice

Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre dont les fonctions solutions sont les fonctions \(f_\lambda : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \lambda \in \mathbb{R}\), définies par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f_\lambda(x) = \dfrac{x+\lambda}{1+x^2}.\]

Correction

Exercice

Soient \(\omega, \omega_0 \in \mathbb{R}_+^*\) distincts. Déterminer les solutions de l'équation différentielle

\[y'' + \omega^2 y = \cos(\omega_0 x)\]

vérifiant les conditions initiales \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 0\).

Correction

Exercice

Soient \(a \in \mathbb{R}^*\) et \(\varphi : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continue périodique de période \(T\in \mathbb{R}_+^*\).

1. Montrer que si \(y\) est une solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation

\[(E) : y' + a y = \varphi(x)\]

alors la fonction \(t \longmapsto y(t+T)\) l'est aussi.

Correction

2. En déduire qu'une solution \(y\) de l'équation \((E)\) est \(T\)-périodique si et seulement si \(y(0) = y(T)\).

Correction

3. Montrer que l'équation \((E)\) admet une unique solution \(T\)-périodique.

Correction

Exercices d'approfondissement

Exercice

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l'équation différentielle

\[y' + y = \max(x,0).\]

Correction

Exercice

Déterminer les couples \((a,b)\in \mathbb{R}^2\) tels que les solutions de l'équation différentielle \(y'' + ay' + by = 0\) soient toutes bornées sur \(\mathbb{R}_+\).

Correction

Exercice

Soit \(a\in \mathbb{R}_+^*\) et \(f : \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que

\[\lim_{+\infty} (f' + a f) = 0.\]

Montrer que

\[\lim_{+\infty} f = 0.\]

Correction