Exercices

Continuité uniforme

Exercices d'apprentissage

Exercice

Etudier l'uniforme continuité des fonctions suivantes.

1. \(f : x \longmapsto \sqrt{x}\) sur \(\mathbb{R}_+\).

Correction

Soit \(\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\). Alors

\[\forall x,y\in \mathbb{R}_+, \quad |x-y| \leq \varepsilon^2 \quad \Longrightarrow \quad |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|} \leq \varepsilon.\]

L'inégalité intéressante vient du fait que la fonction \(x\longmapsto \sqrt{x}-\sqrt{x-y}\) est décroissante sur \([y , +\infty[\), donc en particulier en \(x = y\) nous avons l'inégalité souhaitée.

2. \(g : x \longmapsto x \ln(x)\) sur \(]0,1]\)

Correction

Cette fonction est prolongeable par continuité en \(0\) et on conclut grâce au théorème de Heine.

3. \(h : x\longmapsto \ln(x)\) sur \(\mathbb{R}_+^*\).

Correction

Cette fonction n'est pas bornée sur l'intervalle bornée \(]0,1]\).

Exercice

Soit \(f : [0,1[ \longrightarrow \mathbb{K}\) uniformément continue. Montrer que la fonction \(f\) est bornée.

Correction

Soit \(\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\). Il existe \(\delta \in ~]0,1[\) tel que

\[\forall x,y\in [0,1[, \quad |x-y| \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon.\]

Ainsi

\[\forall x\in [1-\delta,1[, \quad \quad |f(x)| \leq |f(x) - f(1-\delta)| + |f(1-\delta)| \leq \varepsilon + |f(1-\delta)|.\]

Donc la fonction \(f\) est bornée sur \([1-\delta, 1[\) et également sur \([0,1-\delta]\) donc sur \([0,1[\).

Exercices d'entrainement

Exercice

Soit \(f : \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable.

1. Montrer que si la fonction dérivée \(f'\) est bornée alors la fonction \(f\) est uniformément continue.

Correction

On suppose que la fonction dérivée \(f'\) est bornée. Soient \(\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\) et \(x,y\in \mathbb{R}_+\). Alors, d'après l'inégalité des accroissements finis,

\[|f(x) - f(y)| \leq \sup_{[x,y]} |f'| |x-y| \leq \sup |f'| |x-y|.\]

Donc pour \(\delta = \min\left( \dfrac{\varepsilon}{\sup |f'|}, 1 \right)\),

\[|x-y| \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon.\]

2. Montrer que si \(\lim_{x \to +\infty} |f'(x)| = +\infty\) alors la fonction \(f\) n'est pas uniformément continue.

Correction

On suppose que la \(f\) est uniformément continue. Soit \(\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\). Alors il existe \(\delta \in \mathbb{R}_+^*\) tel que

\[\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad |x-y| \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon.\]

En particulier

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad |f(x+\delta) - f(x)| \leq \varepsilon.\]

Or, d'après le théorème des accroissements finis, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), il existe \(c_x \in ~]x, x+\delta[\) tel que

\[|f(x+\delta) - f(x)| = \delta |f'(c_x)|.\]

Donc

\[|f'(c_x)| \leq \dfrac{\varepsilon}{\delta}.\]

Ainsi nous n'avons pas \(\lim_{+\infty} |f'| = +\infty\). En effet dans ce cas il existerait \(A \in \mathbb{R}_+^*\) tel que

\[\forall x \geq A, \quad |f(x)| > \dfrac{\varepsilon}{\delta}.\]

Et ainsi, comme \(c_x > x\),

\[\forall x\geq 1, \quad |f(c_x)| > \dfrac{\varepsilon}{\delta}.\]

Exercice

Soit \(f : \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}\) uniformément continue telle que

\[\forall x \in \mathbb{R}_+^*, \quad f(nx) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0.\]

Montrer que \(\lim_{+\infty} f = 0\).

Correction

Soit \(\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\). Il existe \(\delta \in \mathbb{R}_+^*\) tel que

\[\forall x,y \in \mathbb{R}_+^*, \quad |x-y| \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x)-f(y)| \leq \dfrac{\varepsilon}{2}.\]

Or il existe \(N\in \mathbb{N}\) tel que

\[\forall n\geq N, \quad |f(n\delta)| \leq \dfrac{\varepsilon}{2}.\]

Soit \(x \geq N\delta\). Alors en considérant \(n = \left\lfloor \dfrac{x}{\delta} \right\rfloor\), nous avons \(n\geq N\) et

\[\left| n - \dfrac{x}{\delta} \right| \leq 1\]

i.e.

\[|n\delta - x| \leq \delta.\]

Donc

\[|f(x)| \leq |f(x) - f(n\alpha)| + |f(n\alpha)| \leq \varepsilon.\]

Exercices d'approfondissement

Fonctions continues par morceaux

Exercices d'apprentissage

Exercice

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0,1]\) par

\[f(0) = 0, \quad \forall t\in ~]0,1], f(t) = \sin\left( \dfrac{1}{t} \right).\]

Etudier la continuité par morceaux de la fonction \(f\).

Correction

La fonction \(\sin\) n'admet pas de limite en \(+\infty\). Donc la fonction \(f\) n'admet pas de limite à droite de \(0\). Donc la fonction \(f\) n'est pas continue par morceaux.

Exercice

Soient \(a,b,c\in \mathbb{R}\) tels que \(a<b\) et \(c < \dfrac{b-a}{2}\). On considère les fonctions \(f,g\) définies sur \([a,b]\) par

\[\forall x\in [a,b], \quad f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } |x| \leq c \\ 0 & \text{sinon}, \end{cases} \quad g(x) = \int_a^b f(x-t) dt.\]

Donner une expression explicite de la fonciton \(g\).

Correction

Soit \(x \in [a,b]\). Alors, par changement de variable affine \(s = t-x, dx = dt\)

\[g(x) = \int_a^b f(x-t) dt = \int_{a-x}^{b-x} f(-s) ds.\]

Puis, par parité de la fonciton \(f\),

\[g(x) = \int_{a-x}^{b-x} f(s) ds.\]

Puis, par relation de Chasles,

\[g(x) = \int_{a-x}^{(a-x)\vee (-c)} f(s) ds + \int_{(a-x)\vee (-c)}^{(b-x)\wedge c} f(s) ds + \int_{(b-x)\wedge c}^{b-x} f(s) ds.\]

Puis, d'après l'expression de la fonction \(f\),

\[g(x) = 0 + (b-x) \wedge c - (a-x)\vee (-c) + 0 = (b-x) \wedge c - (a-x)\vee (-c).\]

Par conséquent

• Si \(x \leq a-c\) alors

\[\forall s\in[a-x, b-x], \quad s \geq b-x > b-a+c > 3 c > c,\]

d'où

\[g(x) = \int_{a-x}^{b-x} f(s) = 0;\]

• Si \(a-c < x \leq a+c\) alors \(a-x \geq -c\) et \(b-x > 2c+a-x \geq c\), d'où

\[g(x) = c - (a-x) = x + c-a.\]

• Si \(a+c < x \leq b-c\) alors \(a-x < -c\) et \(b-x \geq c\), d'où

\[g(x) = b-x - (a-x) = b-a.\]

• Si \(b-c < x \leq b+c\) alors \(b-x < c\) et \(a-x < b-2c-x < -c\), d'où

\[g(x) = b-x - c = -x +b-c.\]

En conclusion la fonction \(g\) est affine par morceaux.

Exercice

Soit \(f \in \mathcal{E}([a,b])\). Montrer qu'il existe une subdivision \(\sigma\) du segment \([a,b]\) adaptée à la fonction \(f\) telle que toute autre subdivision du segment \([a,b]\) adaptée à la fonction \(f\) soit plus fine que la subdivision \(\sigma\).

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

La composition de deux fonctions continues par morceaux est-elle nécessairement continue par morceaux ?

Correction

Le problème va venir des limites de la fonction à gauche sur les bords de son domaine de définition qui peuvent être infinies. On considère les fonctions \(f ; [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(g : ~]0,+\infty[~ \longrightarrow \mathbb{R}\) définies par

\[\forall x\in ~]0,1], f(x) = x, \quad f(0) = 1, \quad \forall y \in \mathbb{R}_+^*, g(y) = \dfrac{1}{y}.\]

Alors

\[\forall x\in ~]0,1], \quad (g\circ f)(x) = \dfrac{1}{x}, \quad (g\circ f)(0) = g(1) = 1.\]

Ainsi la fonction \(g\circ f\) n'admet pas de limite à droite finie en \(0\) donc n'est pas continue par morceaux.

Exercice

Soit \([a,b] \subset \mathbb{R}\).

1. On considère \(C_0([a,b])\) le sous-espace vectoriels des fonctions continues sur le segement \([a,b]\) d'intégrale nulle. Montrer que

\[\mathcal{E}([a,b]) \oplus C_0([a,b]).\]

Correction

2. On considère \(f \in C_m([a,b])\) de subdivision adaptée \((a_0, ..., a_n)\).

2.a. Montrer qu'il existe \(\varphi \in \mathcal{E}([a,b])\) et \(g \in C_m([a,b])\) telles que \((a_0, ..., a_n)\) soit une subdivision adaptée et

\[f = \varphi + g, \quad \lim_{a_i^+} g = \lim_{a_i^-} g.\]

Correction

2.b. On considère \(\psi : [a,b] \longrightarrow \mathbb{K}\) définie par

\[\forall x\in [a,b], \quad \psi(x) = \begin{cases} 0 & \text{si} & x\notin \{a_0, ..., a_n\} \\ g(a_i) - \lim_{a_i^+} g & \text{si} & x = a_i. \end{cases}\]

Et ...

Exercices d'approfondissement

Intégration

Exercices d'apprentissage

Exercice

Soit \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\) continue. Montrer que

\[\left| \int_a^b f(t) dt \right| = \int_a^b |f(t)| dt\]

si et seulement si \(f\geq 0\) ou \(f\leq 0\).

Correction

Exercice

Soit \(f : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}\) continue telle que

\[\int_0^1 f(t) dt = \dfrac{1}{2}.\]

Montrer que la fonction \(f\) admet un point fixe.

Correction

Exercice

Soient \(f \in C_m([a,b],\mathbb{R})\) et \(c\in ~]a,b[\). Montrer que

\[\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(t) dt \leq \max\left( \dfrac{1}{c-a} \int_a^c f(t) dt, \dfrac{1}{b-c} \int_c^b f(t) dt \right).\]

Correction

Exercice

Soit \(f \in C_m([a,b])\). Montrer que la fonction

\[g : x\longmapsto \int_a^b f(t) \sin(xt) dt\]

est lipschitzienne sur le segment \([a,b]\).

Correction

Soient \(x,y \in [a,b]\). Alors

\[|g(x) - g(y)| \leq \int_a^b |f(t)||\sin(xt) - \sin(yt)| dt \leq \int_a^b |f(t)||xt - yt| dt = |x-y| \int_a^b |f(t)t| dt.\]

Donc la fonction \(g\) est \(\int_a^b |f(t)t| dt\)-lipschitzienne.

Exercice

Soit \(f \in C([0,1])\). Montrer que les fonctions suivantes sont de classe \(C^1\) et exprimer leurs fonctions dérivées.

1. \(x\longmapsto \int_{2x}^{x^2} f(t) dt\)

Correction

2. \(x\longmapsto \int_0^x x f(t) dt\)

Correction

3. \(x\longmapsto \int_0^x f(t+x) dt\)

Correction

Exercice

Soient \(f \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) et \(g : \mathbb{R}^* \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall x\in \mathbb{R}^*, \quad g(x) = \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) dt.\]

1. Montrer que la fonction \(g\) est prolongeable par continuité sur \(\mathbb{R}\).

Correction

Nous avons

\[g(x) = \dfrac{F(x) - F(0)}{x} \underset{x\to 0}{\longrightarrow} F'(0) = f(0).\]

Donc la fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\) et prolongeable par continuité en \(0\) par la valeur \(f(0)\).

2. Montrer que la fonction \(g\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).

Correction

Nous avons par dérivation d'un produit et intégration par parties

\[g'(x) = - \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) dt + \dfrac{f(x)}{x} = - \dfrac{1}{x^2} \left( [tf(t)]_0^x - \int_0^x tf(t) dt \right) + \dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{1}{x^2} \int_0^x tf(t) dt = \dfrac{G(x) - G(0)}{x^2}.\]

Or

\[G(x) \underset{x\to 0}{\sim} G(0) + G'(0) x + \dfrac{G''(0)}{2} x^2 = G(0) + \dfrac{G''(0)}{2} x^2.\]

Donc

\[g'(x) \underset{x\to 0}{\longrightarrow} \dfrac{1}{2} f'(0).\]

Ainsi la fonction \(g\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice

Déterminer les limites suivantes.

1. \(\lim_{x\to 0^+} \int_{-x}^x \sin(t^2) dt\)

Correcton

2. \(\lim_{x\to +\infty} \int_x^{2x} \dfrac{dt}{\lnt(t)}\)

Correction

3. \(\lim_{x\to +\infty} \int_x^{2x} \dfrac{\sin(t)}{t} dt\)

Correction

4. \(\lim_{x\to 0^+} \int_x^{2x} \dfrac{e^t}{t} dt\)

Correction

5. \(\lim_{x\to +\infty} \int_x^{2x} \dfrac{e^{\frac{1}{t}}}{t} dt\)

Correction

6. \(\lim_{x\to +\infty} \int_x^{2x} \dfrac{\cos\left( \dfrac{1}{t} \right)}{t} dt\)

Correction

Exercices d'entrainement

Exercice

Soit \(f \in C([0,1],\mathbb{R})\) telle que

\[\int_0^1 f(t) dt = 0.\]

On note \(m\) et \(M\) le minimum et le maximum de la fonction \(f\) sur \([0,1]\). Montrer que

\[\int_0^1 f(t)^2 dt \leq -m M.\]

Correction

Nous avons

\[\int_0^1 f(t)^2 dt \leq -m M\]

si et seulement si

\[0 \geq \int_0^1 (f(t))^2 dt + m M = \int_0^1 (f(t))^2 dt (m + M) \int_0^1 f(t) dt + \int_0^1 mM dt = \int_0^1 (f(t)- m)(f(t) - M) dt\]

ce qui est vrai.

Exercice

Soit \(f \in C([a,b], \mathbb{R})\).

1. On suppose que

\[\int_a^b f(t) dt = 0.\]

Montrer que la fonction \(f\) s'annule au moins une fois sur le segment \([a,b]\).

Correction

Si \(f\neq 0\) alors par continuité \(f > 0\) ou \(f < 0\). Ainsi \(\int_a^b f > 0\) ou \(\int_a^b f < 0\).

2. On suppose que

\[\int_a^b f(t) dt = \int_a^b tf(t) dt = 0.\]

Montrer que la fonction \(f\) s'annule au moins deux fois sur le segment \([a,b]\).

Correction

Si la fonction \(f\) ne s'annule pas alors d'après la question précédente \(\int_a^b f \neq 0\) ce qui est absurde. Si la fonction \(f\) s'annule une seule fois en \(c \in [a,b]\). Alors la fonction \(f\) change de signe en \(c\) car sinon \(\int_a^b f \neq 0\). Ainsi la fonction

\[g : x \longmapsto f(x) (x-c)\]

ne change pas de signe, est continue et vérifie

\[\int_a^b g = \int_a^f(x) x dx - c\int_a^b f = 0.\]

Donc \(g = 0\) i.e.

\[\forall x\in [a,b]\backslash \{c\}, \quad f(x) = 0\]

i.e. par continuité de la fonction \(f\), \(f = 0\) ce qui est absurde.

3. Enoncer et démontrer une généralisation des résultats précédents pour que la fonction \(f\) s'annule plusieurs fois.

Correction

On suppose que, pour \(n \in \mathbb{N}\),

\[\int_a^b f(t) dt = \int_a^b tf(t) dt = ... = \int_a^b t^nf(t) dt = 0.\]

Montrons que la fonction \(f\) s'annule au moins \(n\) fois. Procédons par récurrence sur \(n \in \mathbb{N}\). L'initisalisation vient de la première question. On suppose le résultat vrai au rang \(n \in \mathbb{N}\). On suppose que

\[\int_a^b f(t) dt = \int_a^b tf(t) dt = ... = \int_a^b t^nf(t) dt = \int_a^b t^{n+1} f(t) = 0.\]

Alors, en particulier, par hypothèse de récurrence, la fonction \(f\) s'annule au moins \(n\) fois. On suppose par l'absurde que la fonction \(f\) s'annule exactement \(n\) fois en \(c_1, ..., c_n \in [a,b]\). On note également \(d_1, ..., d_p \in \{c_1, ..., c_n\}\) les zéros où la fonction \(f\) change de signe. Nous avons alors \(p\geq 1\) car sinon \(\int_a^b f > 0\). On considère alors comme à la question précédente la fonction

\[g : x \longmapsto f(x) (x - d_1) ... (x-d_p).\]

Alors la fonction \(g\) est continue, ne change pas de signe et vérifie

\[\int_a^b g = ... = 0.\]

Donc \(g = 0\) puis \(f = 0\) ce qui est absurde.

Exercice

Soient \(f,g \in C([a,b], \mathbb{R})\). Montrer qu'il existe \(c\in ~]a,b[\) tel que

\[g(c) \int_a^b f(t) dt = f(c) \int_a^b g(t) dt.\]

Correction

On considère la fonction \(h\) définie par

\[\forall x\in [a,b], \quad h(x) = g(x) \int_a^b f(t) dt - f(x) \int_a^b g(x) dx.\]

Alors la fonction \(h\) est continue et

\[\int_a^b h(x) dx = 0.\]

Donc la fonction \(h\) s'annule.

Exercice

Soient \(f,g \in C([a,b], \mathbb{R})\). On suppose que la fonction \(f\) est décroissante et positive.

1. Soit

\[S_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(a_k) \int_{a_k}^{a_{k+1}} g(t) dt, \quad a_k = a+k\dfrac{b-a}{n}, \quad 0\leq k\leq n, \quad n\in \mathbb{N}^*.\]

Montrer que

\[S_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \int_a^b f(t) g(t) dt.\]

Correction

2. Soit \(G\) la primitive de la fonction \(g\) s'annulant en \(a\). Montrer que

\[f(a) \min_{[a,b]} G \leq S_n \leq f(a) \max_{[a,b]} G.\]

Correction

3. En déduire qu'il existe \(c \in [a,b]\) tel que

\[\int_a^b f(t) g(t) dt = f(a) \int_a^c g(t) dt.\]

Correction

4. On suppose maintenant que la fonction \(f\) est monotone. Montrer qu'il existe \(c \in [a,b]\) tel que

\[\int_a^b f(t) g(t) dt = f(a) \int_a^c g(t) dt + f(b) \int_c^b g(t) dt.\]

Correction

Exercice

Soit \(f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) telle que

\[\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad f(x) -f(y) = \int_{2x+y}^{2y+x} f(t) dt.\]

Montrer que la fonction \(f\) est affine.

Correction

On note \(F\) une primitive de la fonction \(f\). Soient \(x,y\in \mathbb{R}\). Alors

\[f(x) = f(y) + F(2x+y) - F(2y+x).\]

Donc la fonction \(f\) est dérivable en \(x\) et

\[f'(x) = 0 + 2 f(2x+y) - f(2y+x).\]

Puis si l'on dérive par rapport à \(y\)

\[0 = 2f'(2x+y) - 2 f'(2y+x)\]

i.e.

\[f'(2x+y) = f'(2y+x).\]

Or l'application \((x,y) \longmapsto (2x+y, 2y+x)\) est une bijection car linéaire de déterminant non nul. Ainsi \(f' = 0\). Donc la fonction \(f\) est affine.

Exercices d'approfondissement

Exercice

Soit \(f\in C([0,1], \mathbb{R})\) telle que

\[\int_0^1 f(t) dt = 0.\]

Montrer qu'il existe \(x\in ~]0,1[\) tel que

\[\int_0^x t f(t) dt = 0.\]

Correction

Exercice

Soit \(f \in C^1([0,\pi], \mathbb{R})\) telle que \(f(0) = f(\pi) = 0\). Montrer que

\[\int_0^\pi f^2 \leq \int_0^\pi (f')^2\]

et préciser le cas d'égalité. On pourra chercher et utiliser une fonction \(\varphi\) telle que \(\int_0^\pi (f')^2 - f^2 = \int_0^\pi (f' - \varphi f)^2.\)

Correction

Exercice

Résoudre l'équation d'inconnue \(x\in \mathbb{R}\)

\[2^x + 4^{x^2} = 3^x + 3^{x^2}.\]

Correction

Sommes de Riemann

Exercices d'apprentissage

Exercice

Déterminer les limites des suites de terme général suivant.

1. \(\sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2+k^2}\)

Correction

Nous avons

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2+k^2} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+\left(\frac{k}{n})^2} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \int_0^1 \dfrac{dt}{1+t^2} = \dfrac{\pi}{4}.\]

2. \(\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2 + k^2}\)

Correction

Nous avons

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2+k^2} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{\frac{k}{n}}{1+\left(\frac{k}{n})^2} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \int_0^1 \dfrac{t}{1+t^2} dt = \dfrac{1}{2} \ln(2).\]

3. \(\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2kn}}\)

Correction

Nous avons

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2kn}} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1+2\frac{k}{n}}} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \int_0^1 \dfrac{dt}{\sqrt{1+2t}} = \sqrt{3} - 1.\]

4. \(\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{n}{k^2}\)

Correction

5. \(\dfrac{1}{n} ~^n \sqrt{(n+1) (n+2) ... (2n)}\)

Correction

Exercices d'entrainement

Exercices d'approfondissement

Formules de Taylor

Exercices d'apprentissage

Exercice

Soient \(f \in C^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) et \(a\in \mathbb{R}\). Déterminer la limite suivante.

\[\lim_{h\to 0} \dfrac{f(a+h) - 2 f(a) + f(a-h)}{h^2}.\]

Correction

Nous avons d'après la formule de Taylor-Young :

\[f(a+h) \underset{h \to 0}{=} f(a) + f'(a) h + \dfrac{1}{2} f''(a) h^2 + o(h^2)\]

et

\[f(a-h) \underset{h \to 0}{=} f(a) - f'(a) h + \dfrac{1}{2} f''(a) h^2 + o(h^2).\]

Donc

\[f(a+h) - 2 f(a) + f(a-h) \underset{h\to 0}{=} f''(a) h^2 + o(h^2).\]

Ainsi

\[\lim_{h\to 0} \dfrac{f(a+h) - 2 f(a) + f(a-h)}{h^2} = f''(a).\]

Exercices d'entrainement

Exercice

1. Montrer que

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad \left| e^x - \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} \right| \leq \dfrac{|x|^{n+1}e^x}{(n+1)!}.\]

Correction

2. En déduire la limite suivante.

\[\lim_{n\to +\infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}\]

Correction

Exercice

Soit \(f \in C^2([0,1], \mathbb{R})\). Déterminer la limite de la suite définie par

\[S_n = \sum_{k=1}^n f\left( \dfrac{k}{n^2} \right) - nf(0).\]

Correction

On note \(M = \sup_{[0,1]} |f''| \in \mathbb{R}\) car \(f\) est de classe \(C^2\) sur le segment \([0,1]\). Alors, par inégalité de Taylor-Lagrange,

\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad \forall k\in \{1, ..., n\}, \quad \left| f\left( \dfrac{k}{n^2} \right) - f(0) - \dfrac{k}{n^2} f'(0) \right| \leq \dfrac{M}{2} \dfrac{k^2}{n^4}.\]

Ainsi

\[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad \left|S_n - f'(0) \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2}| \leq \frac{M}{2n^4} \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{M n(n+1)(2n+1)}{12 n^4} \underset{n\to +\infty} 0.\]

Donc

\[\lim_{n\to +\infty} S_n = f'(0) \lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1} \frac{k}{n^2} = f'(0) \lim_{n\to +\infty} \dfrac{n(n+1)}{2n^2} = \dfrac{f'(0)}{2}.\]

Exercices d'approfondissement