Cours

Objectifs du programme officiel :

Généralites sur les fonctions

• Ensemble de définition

• Représentation graphique, transformations \(x\longmapsto f(x) + a, x\longmapsto f(ax)\)

• Parité, imparité, périodicité

• Somme, produit, composée

• Monotonie

• Fonctions majorées, minorées, bornées

Dérivation

• Dérivée d'une fonction

• Dérivée d'une combinaison linéaire, d'un produit, d'un quotient, d'une composée

• Caractérisation des fonctions constantes, (dé)croissantes parmi les fonctions dérivables sur un intervalle

• Tableau de variations, recherche d'extrema, démonstrations d'inégalités, tracé du graphe

• Représentation graphique et dérivée d'une fonction réciproque

• Fonctions de classe \(C^1\)

• Dérivées d'ordre supérieur

Fonctions usuelles

• Fonctions exponentielles, logarithme néperien, puissances, logarithme décimal, logarithme en base 2

• Relations \((xy)^a = x^a y^a, x^{a+b} = x^a x^b, (x^a)^b = x^{ab}\)

• Croissances comparées des fonctions logarithme, puissances et exponentielle

• Inégalités \(e^x \geq 1+x, \ln(1+x) \leq x\).

• Fonctions circulaires réciproques \(\arcsin, \arccos, \arctan\)

• Fonctions hyperboliques \(\text{ch}, \text{sh}, \text{th}\)

Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle

• Dérivée d'une fonction à valeurs complexes

• Dérivée d'une combinaison linéaire, d'un produit, d'un quotient

• Dérivée de \(\exp(\varphi)\) où \(\varphi\) est une fonction dérivable à valeurs complexes

Limite d'une fonction en un point

• Limite finie ou infinie d'une fonction en \(a \in \overline{\mathbb{R}}\)

• Unicité de la limite

• Limite finie en \(a\) implique bornée au voisinage de \(a\)

• Limite à droite, limite à gauche

• Caractérisation séquentielle de la limite

• Opérations sur les limites : Combinaison linéaire, produit, quotient, composition

• Passage à la limite avec une inégalité

• Existence d'une limite par encadrement

• Théorème de la limite monotone

Continuité en un point

• Continuité, prolongement par continuité en un point

• Continuité à gauche, à droite en un point

• Caractérisation séquentielle de la continuité en un point

• Opérations sur les fonctions continues en un point : Combinaison linéaire, produit, quotient, composition

Continuité sur un intervalle

• Continuité sur un intervalle

• Théorème des valeurs intermédaires

• Image d'un intervalle par une fonction continue, cas d'une fonction continue strictement monotone

• Théorème des bornes atteintes

• Image d'un segment par une fonction continue

• Continue injective implique strictement monotone

• Strictement monotone continue implique une fonction réciproque continue de même monotonie

Fonctions complexes

• Extensions des définitions et résultats généraux sur les limites et la continuité

• Caractérisation de la limite et de la continuité avec les parties réelles et imaginaires

Nombre dérivée, fonction dérivée

• Dérivabilité en un point, nombre dérivé

• Dérivable implique continue

• Caractérisation par le développement limité à l'ordre 1

• Dérivabilité à gauche, à droite

• Dérivabilité et dérivée sur un intervalle

• Opérations sur les fonctions dérivables : Combinaison linéaire, produit, quotient, composition, réciproque

I. Généralités

Définition : Ensemble de définition

On considère une partie \(D \subset \mathbb{R}\) et une fonction réelle \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\). Alors la partie \(D\) est appelée l'ensemble de définition de la fonction \(f\), ou encore son domaine. On note \(\mathcal{F}(D,\mathbb{R})\) leur ensemble ou encore \(\mathbb{R}^D\).

Exemple

La fonction racine carrée \(\sqrt{\cdot}\) peut être considérée sur toute partie de \(\mathbb{R}_+\) mais sur aucune partie intersectant \(\mathbb{R}_-^*\).

Remarque

Pour tout \(x \in D\) et \(y \in \mathbb{R}\) tels que \(y =f(x)\), on dit que l'élément \(y\) est l'image de l'élément \(x\) par la fonction \(f\) et que l'élément \(x\) est un antécédent de l'élément \(y\) par la fonction \(f\). On fera attention à la distinction utilisée entre "le" et "un" : Il n'y a qu'une seule image pour chaque élément \(x\in D\) mais il peut y avoir plusieurs antécédents (ou aucun) à chaque élément de \(y\in \mathbb{R}\).

Exemple

L'image de \(2\) par la fonction carrée est uniquement \(4\) mais \(4\) admet deux antécédents par la fonction carrée à savoir \(-2\) et \(2\).

Remarque

On peut représenter graphiquement une fonction réelle.

Exemple

Graphique de la fonction \(x \longmapsto x^3 - 8 x^2 + x+10\) sur \([0,10]\).

Propositon

On considère une fonction réelle \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(a\in \mathbb{R}\). Alors :

• Le graphique de la fonction \(x\longmapsto f(x+a)\) est l'image du graphique de la fonction \(f\) par la translation de vecteur \(-\overrightarrow{(0,0)(a,0)}\).

• Le graphique de la fonction \(x\longmapsto f(x) + a\) est l'image du graphique de la fonction \(f\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{(0,0)(0,b)}\).

• Si \(a\neq 0\) alors le graphique de la fonction \(x \longmapsto f(ax)\) est l'image du graphique de la fonction \(f\) par la dilatation de rapport \(\dfrac{1}{a}\) et de direction l'axe des abcisses.

• Le graphique de la fonction \(x \longmapsto af(x)\) est l'image du graphique de la fonction \(f\) par la dilatation de rapport \(a\) et de direction l'axe des ordonnées.

Exemples

Définition : Fonctions paires, impaires, périodiques

On considère une fonction réelle \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\). Alors on dit que la fonction est :

• paire si pour tout \(x\in D, -x\in D\) et \(f(-x) = f(x),\)

• impaire si pour tout \(x\in D -x\) et \(f(-x) = -f(x),\)

• périodique s'il existe un réel \(T \in \mathbb{R}^*_+\), appelé période, tel que pour tout \(x\in D, x+T,x-T \in D\) et \(f(x+T) = f(x)\).

Exemples

Fonction paireFonction impaireFonction périodique

Pour tout \(k\in \mathbb{N}\) la fonction \(x\longmapsto x^{2k}\) est paire. La fonction \(\cos\) également.

Pour tout \(k\in \mathbb{N}\) la fonction \(x\longmapsto x^{2k+1}\) est impaire. La fonction \(\sin\) également.

Parmi les fonctions polynômes, seules les fonctions constantes sont périodiques. Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont périodiques et leur plus petite période est \(2\pi\) mais \(4\pi, 6\pi, ...\) sont également des périodes.

Remarque

Une fonction peut être ni paire ni impaire. Attention à ne pas confondre avec les entiers qui sont forcément pairs ou impairs.

Exemple

La fonction \(\exp\).

Remarque

Le graphique d'une fonction :

• paire est symétrique par rapport à l'axe des abcisses,

• impaire est symétrique par rapport à l'origine,

• pérodique de période \(T\) est la répétition du graphique de la fonction restreinte \(f_{|[0,T]}\).

Exemples

Fonction paireFonction impaireFonction périodique

Remarque

L'étude d'une fonction paire ou impaire peut être réduite à \(\mathbb{R}_+\) et l'étude d'une fonction périodique de période \(T\) peut être réduite à \(D\cap [a,a+T]\) pour \(a\in D\).

Remarque

Une fonction \(f\) périodique peut admettre une plus petite période \(T \in \mathbb{R}_+^*\) mais ce n'est pas tout le temps le cas.

Exemple

La fonction \(f = \mathbb{1}_{\mathbb{Q}}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 1\) si \(x\in \mathbb{Q}\) et \(f(x) = 0\) si \(x\notin \mathbb{Q}\) est périodique et l'ensemble de ses périodes est \(\mathbb{Q}_+^*\) qui n'admet pas de plus petit élément.

Définitions : Somme, produit de fonctions, quotient

On considère deux fonctions réelles \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(g : D\longrightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(\lambda \in \mathbb{R}\). Alors :

• La fonction somme \(f + g\) est définie par, pour tout \(x\in D,\)

\[(f+g)(x) = f(x) + g(x).\]

• La fonction \(\lambda f\) est définie par, pour tout \(x\in D,\)

\[(\lambda f)(x) = \lambda f(x).\]

• La fonction produit \(fg\) est définie par, pour tout \(x\in D,\)

\[(fg)(x) = f(x) g(x).\]

• La fonction quotient \(\dfrac{f}{g}\) est définie par, pour tout \(x\in D\) tel que \(g(x) \neq 0\),

\[\left( \dfrac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Définition : Composée de fonctions

On considère deux fonctions réelles \(f : D_f \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(g : D_g \longrightarrow \mathbb{R}\) tels que \(g(D_g) \subset D_f\). Alors la fonction composée \(f\circ g\) est définie par, pour tout \(x\in D_g,\)

\[(f\circ g)(x) = f(g(x)).\]

Exemple

La fonction \(x\in \mathbb{R} \longmapsto \exp\left(- \dfrac{x^2}{2} \right)\) est la composée des fonctions \(f = \exp, g : x\in \mathbb{R} \longmapsto - \dfrac{x}{2}\) et \(h : x\in \mathbb{R} \longmapsto x^2\) :

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad \exp\left(- \dfrac{x^2}{2}\right) = (f\circ g\circ h)(x).\]

Remarque

On peut étudier la somme, le produit ou la composée de fonctions paires, impaires ou périodiques.

Exemples

• Une somme de fonctions paires (respectivement impaires) reste paire (respectivement impaire).

• En général une somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire est ni paire ni impaire comme par exemple \(\cos + \sin\).

• Un produit entre deux fonctions paires (respectivement impaires) est pair.

• Un produit entre une fonction paire et une fonction impaire est impair.

• Une composée entre une fonction quelconque et une fonction paire reste paire.

• Une composée entre deux fonctions impaires reste impaire.

• Une composée entre une fonction paire et une fonction impaire reste paire.

Définitions : Fonctions croissantes, décroissantes, monotones

On considère une fonction réelle \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\). Alors on dit que la fonction \(f\) est :

• croissante si

\[\forall x,y\in D, \quad x\leq y \quad \Longrightarrow \quad f(x) \leq f(y),\]

• décroissante si

\[\forall x,y\in D, \quad x\leq y \quad \Longrightarrow \quad f(x) \geq f(y),\]

• monotone si la fonction \(f\) est croissante ou décroissante.

Exemples

Fonction monotoneFonction non monotone

La fonction \(x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

La fonction \(\sin\) n'est pas monotone sur \(\mathbb{R}\) mais est strictement croissante sur \(\left[ - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]\).

Remarque

On définit les mêmes notions de façon strice en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.

Remarque

On peut étudier la somme, le produit ou la composée de fonctions croissantes ou décroissantes.

Exemples

• La somme (ou composée) de fonctions de même monotonie a la même monotonie.

• Le produit de fonctions positives croissantes reste croissante (et positive).

• La composée de fonctions monotones de monotonies opposées est décroissante.

Définitions : Fonctions majorées, minorées, bornées

On considère une fonction réelle \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\). Alors on dit que la fonction \(f\) est :

• majorée s'il existe \(M\in \mathbb{R}\) tel que pour tout \(x\in D,\)

\[f(x) \leq M,\]

• minorée s'il existe \(m \in \mathbb{R}\) tel que pour tout \(x\in D,\)

\[f(x) \geq m,\]

• bornée si la fonction \(f\) est majorée et minorée.

Exemples

Fonction majoréeFonction minoréeFonction bornée

La fonction \(x \in \longmapsto \sqrt{1-x^2}\) est majorée par \(1\) sur \([-1,1]\).

La fonction carrée est minorée par \(0\).

Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont bornées par \(-1\) et \(1\).

Proposition

On considère une fonction réelle \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\). Alors la fonction \(f\) est bornée si et seulement si la fonction \(|f|\) est majorée.

Démonstration

Remarque

Majorée signifie que le graphique est situé en dessous de la droite d'équation \(y = M\), minorée en dessous de la droite d'équation \(y = m\) et bornée compris entre ces deux droites

Exemple

Définition : Maximum, minimum, extremum

On considère une fonction \(f : D\longrightarrow \mathbb{R}\) et un élément \(x_0 \in D\). Alors on dit que la fonction \(f\) admet :

• Un maximum (global) en \(x_0\) si

\[\forall x\in D, \quad f(x) \leq f(x_0).\]

• Un minimum (global) en \(x_0\) si

\[\forall x\in D, \quad f(x) \geq f(x_0).\]

• Un extremum (global) en \(x_0\) si elle admet un maximum ou un minimum global en \(x_0\).

Exemples

MaximumMinimum

La maximum de la fonction \(\cos\) est 1 et il est atteint en \(0\) et plus généralement en \(2k\pi, k\in \mathbb{Z}\).

Le minimum de la fonction \(x\longmapsto x(x-1)\) sur \([0,1]\) est \(-\dfrac{1}{4}\) et il est atteint en \(\dfrac{1}{2}\).

Remarque

Une fonction majorée n'admet pas nécessairement de maximum. Idem pour minorée ou bornée.

Exemple

La fonction \(x\longmapsto - \dfrac{1}{x^2}\) est majorée par \(0\). Il s'agit même de son petit majorant, qu'on appelle borne supérieure, mais ne l'atteint jamais.

Proposition

On considère une fonction \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) est injective alors sa restriction à \(f(I)\) à l'arrivée \(f^{|f(I)}\) est une bijection.

Définition : Fonction réciproque

On considère une fonction \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) est injective alors on définit sa fonction réciproque \(f^{-1} : f(I) \longrightarrow \mathbb{R}\) comme la bijection réciproque de l'application \(f^{|f(I)}\).

Exemple

La fonction carrée est bijective de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}_+\) et sa bijection réciproque est la fonction racine carrée. De même la fonction cube est bijective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) et sa bijection récirpoque est la fonction racine cubique.

Remarque

Le graphique de la fonction réciproque est l'image du graphique de la fonction par la symétrie axiale d'axe la droite d'équation \(y = x\).

Exemple

II. Limites

Définition : Limite finie en un point

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(a\) dans \(I\) ou sur une des extrémités de l'intervalle \(I\) ce que l'on note \(a\in \overline{I}\).

• Si \(a \neq \pm \infty\) alors on dit que la fonction \(f\) admet une limite finie en \(a\) s'il existe un réel \(\ell \in \mathbb{R}\), appelé limite de la fonction \(f\) au point \(a\), tel que

\[\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists \delta \in \mathbb{R}_+^*, \quad \forall x \in I, \quad |x-a| \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - \ell| \leq \varepsilon.\]

• Si \(a = +\infty\) alors on dit que la fonction \(f\) admet une limite finie en \(a\) s'il existe un réel \(\ell \in \mathbb{R}\), appelé limite de la fonction \(f\) en \(a\), tel que

\[\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists A \in \mathbb{R}, \quad \forall x\in I, \quad x \geq A \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - \ell| \leq \varepsilon.\]

• Si \(a = -\infty\) alors on dit que la fonction \(f\) admet une limite finie en \(a\) s'il existe un réel \(\ell \in \mathbb{R}\), appelé limite de la fonction \(f\) en \(a\), tel que

\[\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists A \in \mathbb{R}, \quad \forall x\in I, \quad x \leq A \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - \ell| \leq \varepsilon.\]

On note alors

\[f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell.\]

Exemple

La limite de la fonction inverse en \(+\infty\) est \(0\)

\[\dfrac{1}{x} \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} 0.\]

Définition : Limite infinie en un point

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(a\) une des extrémités de l'intervalle \(I\). Alors on dit que la fonction \(f\) admet \(+\infty\) comme limite en \(a\) si

\[\forall A \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists \delta \in \mathbb{R}_+^*, \quad \forall x\in I, \quad |x-a| \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad f(x) \geq A.\]

On note alors \(f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} +\infty\). On dit aussi que la fonction \(f\) diverge vers \(+\infty\) au point \(a\).

Exemple

La fonction carrée diverge vers \(+\infty\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\)

\[x^2 \underset{x\to \pm +\infty}{\longrightarrow} +\infty.\]

Remarque

On définit la même notion avec \(-\infty\) en remplaçant \(f(x) \geq A\) par \(f(x) \leq A\).

Proposition : Unicité de la limite

On considère une fonction réelle \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\) et \(a \in \overline{I}\). Si la fonction \(f\) admet une limite (finie ou infinie) au point \(a\) alors la limite est unique et on la note

\[\lim_{x\to a} f(x).\]

Démonstration

Propositon

On considère une fonction réelle \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\) et \(a \in \overline{I}\). Si la fonction \(f\) admet une limite finie au point \(a\) alors la fonction \(f\) est bornée au voisinage du point \(a\) : il existe \(\delta \in \mathbb{R}_+^*\) tel que la fonction \(f\) soit bornée sur \(I \cap [a-\delta, a+\delta]\).

Démonstration

Exemple

La fonction inverse est bornée au voisinage de \(+\infty\) alors qu'elle ne l'est pas sur \(\mathbb{R}_+^*\).

Définition : Limite à gauche ou à droite

On considère une fonction \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\) et \(a \in I\). Alors on dit que la fonction \(f\) admet :

• une limite finie à gauche en \(a\) s'il existe un réel \(\ell \in \mathbb{R}\), appelé limite à gauche de la fonction \(f\) au point \(a\), tel que

\[\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists \delta \in \mathbb{R}_+^*, \quad \forall x \in I, \quad a-x \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - \ell| \leq \varepsilon.\]

On note alors \(f(x) \underset{\begin{array}{c} x\to a \\ x< a\end{array}}{\longrightarrow} l\),

• une limite finie à droite en \(a\) s'il existe un réel \(\ell \in \mathbb{R}\), appelé limite à droite de la fonction \(f\) au point \(a\), tel que

\[\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists \delta \in \mathbb{R}_+^*, \quad \forall x \in I, \quad x-a \leq \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - \ell| \leq \varepsilon.\]

On note alors \(f(x) \underset{\begin{array}{c} x\to a \\ x> a\end{array}}{\longrightarrow} l\).

Exemple

Nous avons

\[\dfrac{1}{x} \underset{x\to 0^+}{\longrightarrow} +\infty, \quad \dfrac{1}{x} \underset{x\to 0^-}{\longrightarrow} -\infty.\]

Proposition : Unicité de la limite à gauche ou à droite

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(a \in I\). Alors si la fonction \(f\) admet une limite finie à gauche (respectivement à droite) au point \(a\) alors elle est unique, on la note alors \(\lim_{\begin{array}{c} x\rightarrow a \\ x<a \end{array}} f(x)\) (respectivement \(\lim_{\begin{array}{c} x\rightarrow a \\ x>a \end{array}} f(x)\)), ou encore \(\lim_{x\to a^+} f(x)\) (respectivement \(\lim_{x\to a^-} f(x)\)).

Démonstration

Proposition : Caractérisation séquentielle de la limite

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(a \in \overline{I}\). Alors la fonction \(f\) admet une limite finie ou infinie au point \(a\) si et seulement si

\[\forall (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in I^\mathbb{N}, \quad x_n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} a \quad \Longrightarrow \quad f(x_n) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \lim_{x\to a} f(x).\]

Démonstration

Exemple

On peut montrer que la fonction \(\sin\) n'admet pas de limite en \(+\infty\) car

\[2\pi n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} +\infty, \quad\sin(2\pi n) = 0 \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0\]

et

\[2\pi n + \dfrac{\pi}{2} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} +\infty, \quad \sin\left( 2\pi n + \dfrac{\pi}{2} \right) = 1 \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 1 \neq 0.\]

Proposition

On considère deux fonctions réelles \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(g : I \longrightarrow \mathbb{R}\), deux réels \(\lambda,\mu \in \mathbb{R}\) et \(a \in \overline{I}\). Si les fonctions \(f\) et \(g\) admettent des limites au point \(a\) alors les fonctions \(\lambda f + \mu g\) et \(fg\) également et :

\[\lim_{x\to a} (\lambda f + \mu g)(x) = \lim_{x\to a} f(x) + \mu \lim_{x\to a} g(x),\]

\[\lim_{x\to a} (fg)(x) = \lim_{x\to a} f(x) \lim_{x\to a} g(x).\]

Démonstration

Remarque

Dans la proposition précédente on utilise la règle des opérations habituelles sur \(\overline{\mathbb{R}}\).

Proposition

On considère deux fonctions réelles \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(g : J \longrightarrow \mathbb{R}\) tels que \(g(J) \subset I\) et \(a \in \overline{J}\). Si la fonction \(g\) admet une limite au point \(a\) et la fonction \(f\) au point \(g(a)\) alors la fonction \(f\circ g\) admet une limite au point \(a\) et

\[\lim_{x\to a} (f\circ g)(x) = \lim_{y\to g(a)} f(y).\]

Démonstration

Remarque

Dans la proposition précédente, on notait \(g(a) = +\infty\) si la limite de la fonction \(g\) est infinie au point \(a\).

Proposition

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}, a \in \overline{I}\) et \(c\in \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) admet une limite finie au point \(a\) et pour tout \(x\in I,\)

\[f(x) < c.\]

Alors

\[\lim_{x\to a} f(x) \leq c.\]

Démonstration

Théorème : Limite par encadrement

On considère trois fonctions réelles \(f,g,h : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(a\in \overline{I}\). Si les fonctions \(f\) et \(h\) admettent le même limite \(\ell\) au point \(a\) et pour tout \(x\in I,\)

\[f(x) \leq g(x) \leq h(x).\]

Alors la fonction \(g\) admet une limite au point \(a\) et

\[\lim_{x\to a} g(x) = \ell.\]

Démonstration

On suppose \(a \neq \pm +\infty\) et que les fonctions \(f\) et \(h\) admettent la même limite \(\ell\) au point \(a\). Soit \(\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\). Alors il existe \(\delta_1,\delta_2 \in \mathbb{R}_+^*\) tels que

\[\forall x\in I, \quad |x-a| \leq \delta_1 \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - \ell| \leq \varepsilon\]

et

\[\forall x\in I, \quad |x-a| \leq \delta_2 \quad \Longrightarrow \quad |h(x) - \ell| \leq \varepsilon.\]

On considère alors \(\delta = \min(\delta_1,\delta_2) \in \mathbb{R}_+^*\) et \(x\in I\) tel que \(|x-a| \leq \delta\). Donc en particulier \(|x-a| \leq \delta_1\) et \(|x-a| \leq \delta_2\), d'où

\[- \varepsilon \leq f(x) - \ell \leq \varepsilon, \quad - \varepsilon \leq h(x) - \ell \leq \varepsilon.\]

Or \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\). Donc

\[-\varepsilon \leq f(x) - \ell \leq g(x) - \ell \leq h(x) - \ell \leq \varepsilon.\]

Autrement dit nous avons bien

\[|g(x) - \ell| \leq \varepsilon.\]

Les cas \(a = \pm \infty\) se traitent de la même manière.

Corollaire

On considère deux fonctions \(f,g : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(a\in \overline{I}\). Si la fonction \(f\) est bornée au voisinage de \(a\) et la fonction \(g\) converge vers \(0\) en \(a\). Alors leur fonction produit \(fg\) converge vers \(0\) en \(a\).

Démonstration

Théorème : Théorème de la limite monotone

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(a = \sup I\). Si la fonction \(f\) est croissante et majorée (ou décroissante et minorée) alors la fonction \(f\) admet une limite finie au point \(a\).

Démonstration

Théorème : Théorème de la limite montone infinie

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(a = \sup I\). Si la fonction \(f\) est croissante non majorée (respectivement décroissante non minorée) alors la fonction \(f\) admet \(+\infty\) (respectivement \(-\infty\)) comme limite au point \(a\).

Démonstration

III. Continuité

Définition : Continuité en un point

On considère une fonction réelle \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(a \in D\). Alors on dit que la fonction \(f\) est coninue au point \(a\) si

\[f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} f(a).\]

Exemple

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = \begin{cases} \begin{array}{rcl} \dfrac{\sin(x)}{x} & \text{si} & x\neq 0 \\ 1 & \text{si} & x = 0 \end{array} \end{cases},\]

est continue sur \(\mathbb{R}\). En effet il s'agit d'un quotient bien défini de fonctions continues sur \(\mathbb{R}^*\) et en \(0\) nous avons bien

\[\dfrac{\sin(x)}{x} \underset{x\to 0}{\longrightarrow} 1.\]

Remarque

On définit de même les notions plus faibles de continuité à gauche ou à droite.

Exemple

La fonction \(\mathbb{1}_{[0,+\infty[}\) est continue à droite sur \(\mathbb{R}\) mais n'est pas continue à gauche en \(0\).

Définition : Prolongement par continuité

On considère un ensemble réel \(D\subset \mathbb{R}\), un réel \(a\in D\) et une fonction réelle \(f : D\backslash \{a\} \longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) admet une limite finie au point \(a\) alors on définit le prolongement par continuité \(\tilde{f}\) de la fonction \(f\) sur l'ensemble \(D\) par

\[\tilde{f}_{|D} = f, \quad \tilde{f}(a) = \lim_{x\to a} f(x).\]

Exemple

La fonction \(f : x \longmapsto \dfrac{x+1}{x^3 + 1}\) est non définie en \(-1\) mais y est prolongeable par continuité par la valeur \(1\). En effet

\[\dfrac{x+1}{x^3+1} = \dfrac{x+1}{(x+1)(x^2 - x +1)} = \dfrac{1}{x^2 - x + 1} \underset{x\to 1}{\longrightarrow} 1.\]

Proposition : Caractérisation séquentielle de la continuité

On considère une fonction réelle \(f : D\longrightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(a\in D\). Alors la fonction \(f\) est continue au point \(a\) si et seulement si

\[\forall (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in D^\mathbb{N}, \quad x_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} a \quad \Longrightarrow \quad f(x_n) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} f(a).\]

Démonstration

Proposition

Les combinaisons linéaires, les produits, les quotients (bien définis) et les composées de fonctions continues en un point sont continues en ce point.

Démonstration

Exemple

Les fonctions polynomiales sont continues en tout point de \(\mathbb{R}\) comme sommes et produits de telles fonctions.

Définition : Continuité sur un intervalle

On considère une fonction réelle \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\). Alors on dit que la fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \(I\) si la fonction \(f\) est continue en tout point \(a\) de l'intervalle \(I\).

Exemples

Fonction continue sur un intervalleFonction non continue sur un intervalle

Les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sont continues sur l'intervalle \([0,2\pi]\).

La fonction signe \(s\) définie par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad s(x) = \begin{cases} 1 & \text{si} & x>0 \\ 0 & \text{si} & x = 0 \\ -1 & \text{si} & x<0 \end{cases}\]

n'est pas continue sur tout intervalle contenant \(0\) comme par exemple \([-1,1]\).

Théorème : Théorème des valeurs intermédiaires

On considère une fonction réelle \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) :

• est continue sur l'intervalle \([a,b]\),

• vérifie \(f(a) \leq 0 \leq f(b)\).

Alors il existe un réel \(c\in [a,b]\) tel que \(f(c) = 0\).

Démonstration

On considère les suites \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}, (b_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définies par récurrence de la manière suivante

\[a_0 = a, \quad b_0 = b.\]

Puis, pour \(n\in \mathbb{N}\), si \(f\left(\dfrac{a_n + b_n}{2}\right) \leq 0\) alors \(a_{n+1} = a_n\) et \(b_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2}\). Sinon \(a_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2}\) et \(b_{n+1} = b_n\). Par conséquent nous avons \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) croissante, \((b_n)_{n\in \mathbb{N}}\) décroissante, \(a_n \leq b_n\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\), et on montre par récurrence sur \(n\in \mathbb{N}\) :

\[b_n - a_n = \dfrac{b-a}{2^n}.\]

En effet l'initialisation vient de \(b_0 - a_0 = \dfrac{b - a}{2^0}\) puis si l'on suppose la propriété vraie au rang \(n\) alors

\[b_{n+1} - a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n + b_n}{2} - a_n & \text{si} & f\left(\dfrac{a_n + b_n}{2}\right) \leq 0 \\ b_n - \dfrac{a_n + b_n}{2} & \text{si} & f\left(\dfrac{a_n + b_n}{2}\right) > 0 \end{cases} = \dfrac{b_n - a_n}{2} = \dfrac{b-a}{2^{n+1}}.\]

Le principe de récurrence permet donc de conclure. Ainsi

\[b_n - a_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0.\]

Donc les suites \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) et \((b_n)_{n\in \mathbb{N}}\) sont adjacentes donc convergentes vers la même limite \(c \in [a,b]\). Nous avons

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n).\]

Donc par passage à la limite et caractérisation séquentielle de la continuité de la fonction \(f\)

\[f(c) \leq 0 \leq f(c).\]

Autrement dit \(f(c) = 0\).

Exemple

La fonction \(x\longmapsto x^2 - 2\) est continue sur \([0,2]\) avec \(f(0) = - 2 <0\) et \(f(2) = 2 > 0\). Donc, par théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(c \in [0,2]\) tel que \(f(c) = 0\). Il s'agit de \(c = \sqrt{2}\).

Corollaire

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \(I\) alors l'image de l'intervalle \(I\) par la fonction \(f\) est un intervalle réel.

Démonstration

Corollaire

On considère une fonction réelle \(f : ~]a,b[~ \longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \(]a,b[\) et strictement croissante (respectivement strictement décroissante) alors l'image de l'intervalle \(]a,b[\) par la fonction \(f\) est l'intervalle \(]f(a),f(b)[\) (respectivement \(]f(b),f(a)[\)).

Démonstration

Théorème : Théorème des bornes atteintes

On considère une fonction réelle \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) est continue sur le segment \([a,b]\) alors la fonction \(f\) est bornée et atteint ses bornes.

Démonstration

Corollaire

On considère une fonction réelle \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) est continue sur le segment \([a,b]\) alors l'image du segment \([a,b]\) par la fonction \(f\) est également un segment.

Démonstration

Proposition

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) est continue et injective alors la fonction \(f\) est strictement monotone.

Démonstration

Corollaire

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) est continue et strictement monotone alors la fonction \(f\) est bijective de l'intervalle \(I\) vers l'intervalle \(f(I)\) et admet une bijection réciproque \(f^{-1} : f(I) \longrightarrow I\) continue et de même monotonie.

Démonstration

Exemple

La bijection réciproque de la fonction \(\exp\) est la fonction \(\ln\) qui est également strictement croissante.

IV. Dérivation

Définition : Taux d'accroissement

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(a \in I\). Alors le taux d'accroissement de la fonction \(f\) au point \(a\) est la fonction \(\tau_a : I\backslash \{a\} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall x\in I\backslash \{a\}, \quad \tau_a(x) = \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a}.\]

Exemple

Le taux d'accroissement de la fonction carré est donnée par

\[\forall a\in \mathbb{R}, \quad \forall x\in \backslash \{a\}, \quad \tau_a(x) = \dfrac{x^2 - a^2}{x-a} = x+a.\]

Définition : Fonction dérivable en un point

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(a \in I\). Alors on dit que la fonction \(f\) est dérivable au point \(a\) si le taux d'accroissement \(\tau_a\) admet une limite finie au point \(a\). Dans ce cas la dérivée (ou nombre dérivé) \(f'(a)\) de la fonction \(f\) au point \(a\) est définie par

\[f'(a) = \lim_{x\to a} \tau_a(x) = \lim_{x\to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a}.\]

Exemple

La dérivée de la fonction carré \(f\) est donnée par

\[\forall a\in \mathbb{R}, \quad f'(a) = \lim_{x\to a} (x+a) = 2a.\]

Proposition

On considère une fonction réelle \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(a\in I\). Si la fonction \(f\) est dérivable au point \(a\) alors la fonction \(f\) est continue au point \(a\).

Démonstration

Remarque

La réciproque de la proposition précédente n'est pas vérifiée. La continuité n'implique pas la dérivabilité.

Exemple

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) définie par \(f = |\cdot|\) est continue en \(0\) mais n'y est pas dérivable

\[\lim_{x\to 0^+} \tau_0(x) = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{|x|}{x} = 1, \quad \lim_{x\to 0^-} \tau_0(x) = \lim_{x\to 0^-} \dfrac{|x|}{x} = -1 \neq 1.\]

Proposition

On considère une fonction réelle \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\) et un réel \(a\in I\). Alors la fonction \(f\) est dérivable au point \(a\) si et seulement s'il existe une fonction réelle \(\varepsilon\) définie sur un intervalle non vide \(J\) comprenant \(0\) telle que \(\varepsilon(h) \underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0\)

\[\forall h\in J, \quad f(a+h) = f(a) + f'(a)h + h\varepsilon(h).\]

Démonstration

Exemple

Nous avons avec la fonction carrée

\[\forall h\in \mathbb{R}, \quad f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2 = a^2 + 2 h f'(a) + h \varepsilon(h), \quad \varepsilon(h) = h \underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0.\]

Remarque

Géométriquement la dérivée d'une fonction en un point correspond au coefficient directeur de la droite tangente à la courbe de la fonction en ce point : Droite d'équation \(y = f'(x) (x-a) + f(a)\).

Exemple

Remarque

Si la fonction est la position d'un point par rapport au temps alors sa dérivée en un instant est sa vitesse instantanée en ce point.

Remarque

On peut définir de façon similaire les notions de dérivabilité à gauche ou à droite en un point. Mais attention une fonction est dérivable si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite avec les mêmes dérivées :

\[f'_g(a) = \lim_{x\to a, x<a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x\to a, x>a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} = f_d'(a).\]

Définition : Fonction dérivable sur un intervalle

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\). Alors on dit que la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(I\) si elle l'est en tout point \(a\) de cet intervalle. Dans ce cas la fonction dérivée \(f'\) de la fonction \(f\) est la fonction \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall x\in I, \quad f'(x) = \lim_{y\to x} \dfrac{f(y) - f(x)}{y-x}.\]

Exemple

Les fonctions constantes sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) de fonction dérivée nulle.

Proposition

On considère deux fonctions réelles \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\) et \(g : I\longrightarrow \mathbb{R}\) et deux réels \(\lambda,\mu\). Si les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables sur l'intervalle \(I\) alors les fonctions \(\lambda f+\mu g\) et \(fg\) sont dérivables sur l'intervalle \(I\) et

\[(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g', \quad (fg)' = f'g + g'f.\]

Si de plus la fonction \(g\) ne s'annule pas sur l'intervalle \(I\) alors les fonctions \(\dfrac{1}{g}\) et \(\dfrac{f}{g}\) sont dérivables sur l'intervalle \(I\) et

\[\left(\dfrac{1}{g}\right)' = - \dfrac{g'}{g^2}, \quad \left( \dfrac{f}{g} \right) ' = \dfrac{f'g - g'f}{g^2}.\]

Démonstration

Soit \(a \in I\). Alors il existe deux fonctions \(\varepsilon_1 : J_1 \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(\varepsilon_2 : J_2 \longrightarrow \mathbb{R}\) telles que \(0 \in J_1 \cap J_2\), \(\varepsilon_1(h) \underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0, \varepsilon_2(h) \underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0\) et

\[\forall h\in J_1 \cap J_2, \quad f(a+h) = f(a) + f'(a) h + h\varepsilon_1(h), \quad g(a+h) = g(a) + f'(a) h + h \varepsilon_2(h).\]

Donc

\[\forall h\in J_1 \cap J_2, \quad (\lambda f + \mu g)(a+h) = \lambda f(a) + \mu g(a) + (\lambda f'(a) + \mu g'(a)) h + h (\lambda \varepsilon_1(h) + \mu \varepsilon_2(h)),\]

avec \(\lambda \varepsilon_1(h) + \mu \varepsilon_2(h) \underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0\). Donc la fonction \(\lambda f + \mu g\) est dérivable en \(a\) de dérivée

\[(\lambda f+\mu g)'(a) = \lambda f'(a) + \mu g'(a).\]

De même

\[\forall h\in J_1 \cap J_2, \quad (fg)(a) = (f(a) + f'(a) h + h\varepsilon_1(h))(g(a) + g'(a) h + h\varepsilon_2(h)) = f(a) g(a) + (f'(a) g(a) + g'(a) f(a)) h + h\varepsilon_3(h),\]

avec

\[\varepsilon_3(h) = \varepsilon_1(h)(g(a) + g'(a) h + h \varepsilon_2(h)) + \varepsilon_2(h) (f(a) + f'(a) h + h \varepsilon_1(h)) \underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0.\]

Donc la fonction \(fg\) est dérivable en \(a\) de dérivée

\[(fg)'(a) = f'(a) g(a) + g'(a) f(a).\]

Puis si \(g(a) \neq 0\) alors il existe \(J_3 \subset J_2\) tel que \(0\in J_3\) et pour tout \(h\in J_3, g(a+h) \neq 0\) et

\[\dfrac{1}{g(a+h)} = \dfrac{1}{g(a) + g'(a) h + h \varepsilon_2(h)} = \dfrac{1}{g(a)} \dfrac{1}{1 + h \dfrac{g'(a) + \varepsilon_2(h)}{g(a)}} = \dfrac{1}{g(a)} \left(1 - h \dfrac{g'(a) + \varepsilon_2(h)}{g(a)} \right) \dfrac{1}{\left(1 + h \dfrac{g'(a) + \varepsilon_2(h)}{g(a)}\right) \left( 1 - h \dfrac{g'(a) + \varepsilon_2(h)}{g(a)}\right)} = \dfrac{1}{g(a)} - h \dfrac{g'(a)}{(g(a))^2} + h \varepsilon_4(h),\]

avec \(\varepsilon_4(h) \underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0\). Donc la fonction \(\dfrac{1}{g}\) est dérivable de dérivée

\[\left( \dfrac{1}{g} \right)'(a) = - \dfrac{g'(a)}{(g(a))^2}.\]

Pour la fonction \(\dfrac{f}{g}\) on écrit \(\dfrac{f}{g} = f\times \dfrac{1}{g}\) et on applique ce qui précède.

Proposition

On considère deux fonctions réelles \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(g : J \longrightarrow \mathbb{R}\) telles que \(g(J) \subset I\). Si les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables alors la fonction \(f\circ g\) est dérivable et

\[(f\circ g)' = f' \times (g'\circ f).\]

Démonstration

Corollaire

On considère une fonction réelle \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction \(f\) est dérivable et bijective de l'intervalle \(I\) vers l'intervalle \(J = f(I)\) alors la fonction réciproque \(f^{-1}\) est dérivable sur \(\{x\in I, f'(x) \neq 0\}\) et sur cet ensemble.

\[(f^{-1})' = \dfrac{1}{f'\circ f^{-1}}.\]

Démonstration

Proposition

On considère une fonction réelle \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction est dérivable sur l'intervalle \(I\) alors la fonction \(f\) est croissante (respectivement décroissante) sur l'intervalle \(I\) si et seulement si sa fonction dérivée \(f'\) est positive (respectivement négative) sur l'intervalle \(I\).

Démonstration

Corollaire

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\). Si la fonction est dérivable sur l'intervalle \(I\) alors la fonction \(f\) est constante sur l'intervalle \(I\) si et seulement si sa fonction dérivée est nulle \(f' = 0\).

Démonstration

Remarque

A partir de l'étude du signe de la fonction dérivée, nous pouvons en déduire les variations de la fonction à partir de son tableau de variations, puis l'allure de son graphique, ses extrema éventuels ou encore des inégalités.

Exemples

VariationsAllure du graphiqueExtremaInégalité

On considère la fonction \(f\) définie par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = x^3 - x^2.\]

Alors la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) de fonction dérivée \(f'\) donnée par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x-2).\]

On en déduit le tableau de variations suivant.

\[\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & \dfrac{2}{3} & & 1 & & +\infty \\ \hline x & & - & 0 & + & & + & & + & \\ 3x - 2 & & - & & - & 0 & + & & + & \\ f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & & + & \\ & & & & & & & & \nearrow & \\ f & & & 0 & & & & 0 & & \\ & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\ \hline \end{array}\]

La fonction \(f\) n'est pas bornée sur \(\mathbb{R}\) mais sur \([0,1]\) nous avons \(f\) bornée entre \(f\left( \dfrac{2}{3} \right) = - \dfrac{4}{27}\) et \(0\) dont le minimum est \(- \dfrac{4}{27}\) atteint en \(\dfrac{2}{3}\) et le maximum est \(0\) atteint en \(0\) et \(1\).

Pour tout \(x\in \mathbb{R}\) nous avons

\[x^2 \leq x^3 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq 1.\]

Remarque

• Si \(\lim_{x\to a} f(x) = \pm \infty\) et \(a\neq \pm +\infty\) alors on dit que la droite d'équation \(x = a\) est une asymptote verticale de la fonction \(f\).

• Si \(\lim_{x\to \pm \infty} f(x) = \ell\) alors on dit que la droite d'équation \(y = \ell\) est une asymptote horizontale de la fonction \(f\).

Nous avons donc une idée du graphique de la fonction \(f\) au voisinage de \(a\) ou de \(\pm \infty\).

Exemples

Asymptote verticaleAsymptote horizontale

V. Dérivabilité supérieure

Définition : Fonction dérivable deux fois

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\). Alors on dit que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l'intervalle \(I\) si la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(I\) et si sa fonction dérivée \(f'\) l'est également. Dans ce cas la dérivée seconde de la fonction \(f\) est la fonction \(f''\) définie par

\[f'' = (f')'.\]

Exemple

La fonction carrée \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f''(x) = 2.\]

Définition : Fonction dérivable \(k\)-fois

On considère une fonction réelle \(f : I \longrightarrow \mathbb{R}\) et un entier \(k\in \mathbb{N}^*\). Alors on dit que la fonction \(f\) est \(k\)-fois dérivable sur l'intervalle \(I\) si la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle et si sa fonction dérivée \(f'\) est \(k-1\)-fois dérivable. Dans ce cas la dérivée \(k\)-ième de la fonction \(f\) est la fonction \(f^{(k)}\) définie par

\[f^{(k)} = (f')^{(k-1)}.\]

Exemple

La fonction \(\exp\) est \(k\)-fois dérivable et

\[\exp^{(k)} = \exp.\]

Remarque

La définition précédente est réalisée par récurrence.

Définition : Fonction infiniment dériable

On considère une fonction réelle \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\). Alors on dit que la fonction \(f\) est infiniment dérivable sur l'intervalle \(I\) si la fonction \(f\) est \(k\)-fois dérivable sur l'intervalle \(I\) pour tout \(k\in \mathbb{N}^*\).

Exemple

La fonction carrée \(f\) est infiniment dérivable sur \(\mathbb{R}\) et

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2, \quad f'(x) = 2x, \quad f''(x) = 2, \quad \forall k\in \mathbb{N},k\geq 3 \Longrightarrow f^{(k)}(x) = 0.\]

Remarque

Au niveau des notations, on note \(D^k(I,\mathbb{R})\) l'ensemble des fonctions \(k\)-fois dérivables définies sur \(I\) pour \(k\in \mathbb{N}^* \cup \{+\infty\}\) et \(C^k(I,\mathbb{R})\) l'ensembles des fonctions \(k\)-fois dérivables de dérivée \(k\)-ième continue.

Proposition

On considère deux fonctions réelles \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\) et \(g : I\longrightarrow \mathbb{R}\), deux réels \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) et un entier \(k\in \mathbb{N}^*\). Si les fonctions \(f\) et \(g\) sont \(k\)-fois dérivables sur l'intervalle \(I\) alors la fonction \(\lambda f + \mu g\) est l'est également et

\[(\lambda f + \mu g)^{(k)} = \lambda f^{(k)} + \mu g^{(k)}.\]

Démonstration

Proposition : Formule de Leibniz

On considère deux fonctions réelles \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\) et \(g : I\longrightarrow \mathbb{R}\) et un entier \(k\in \mathbb{N}^*\). Si les fonctions \(f\) et \(g\) sont \(k\)-fois dérivables sur l'intervalle \(I\) alors la fonction \(fg\) l'est également et

\[(fg)^{(k)} = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} f^{(j)} g^{(n-j)}.\]

Démonstration

Remarque

Nous avons les résultats similaires pour les quotients (bien définis) et composées de fonctions plusieurs fois dérivables. De même pour la bijection réciproque d'une fonction bijective plusieurs fois dérivables. Cependant les formules associées ne sont pas explicites.

VI. Fonctions usuelles

Proposition

On considère un entier \(n\in \mathbb{N}\). Alors la fonction \(\text{id}_\mathbb{R}^n\) est infiniment dérivable sur \(\mathbb{R}\),

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad (x^n)' = nx^{n-1},\]

\[\forall k\in \{0, ..., n\}, \quad \forall x\in \mathbb{R}, \quad (x^n)^{(k)} = n(n-1)...(n-k+1) x^{n-k},\]

et

\[\forall k\in \{n+1, ...\}, \quad \forall x\in \mathbb{R}, \quad (x^n)^{(k)} = 0.\]

Démonstration

Remarque

Nous pouvons en déduire son tableau de variations et sa représentation graphique.

Proposition

On considère un entier \(n\in \mathbb{N}^*\). Alors la fonction \(\dfrac{1}{\text{id}_{\mathbb{R}^*}^n}\) est infiniment dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et

\[\forall x\in \mathbb{R}^*, \quad \left( \dfrac{1}{x^n} \right)' = - \dfrac{n}{x^{n+1}},\]

et

\[\forall k\in \mathbb{N}, \quad \left( \dfrac{1}{x^n} \right)^{(k)} = \dfrac{(-1)^k n (n+1) ... (n+k - 1)}{x^{n+k}}.\]

Démonstration

Remarque

Nous pouvons en déduire son tableau de variations et sa représentation graphique.

Définition : Fonction exponentielle

La fonction exponentielle \(\exp\) est défini comme l'unique solution de l'équation différentielle sur \(\mathbb{R}\)

\[\begin{cases} y' = y \\ y(0) = 1 \end{cases}.\]

Remarque

Si on note \(e = \exp(1) \in \mathbb{R}\) alors nous avons également l'écriture

\[\exp(x) = e^x, \quad x\in \mathbb{R}.\]

Proposition

La fonction \(\exp\) réalise une bijection entre \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R}_+^*\).

Démonstration

Définition : Fonction logarithme népérien

La fonction \(\ln : \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}\) est définie comme la bijection réciproque de la fonction \(\exp\).

Exemples

\(e^0 = 1\) et \(e^1= 1\). Donc \(\ln(1) = 0\) et \(\ln(e) = 1\).

Proposition

On considère deux réels \(a,b\in \mathbb{R}\) et un entier \(n\in \mathbb{Z}\). Alors

\[e^{a+b} = e^a e^b, \quad e^{-a} = (e^a)^{-1}, \quad e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}, \quad (e^a)^n = e^{na}.\]

Et si \(a,b>0\) alors

\[\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b), \quad \ln\left(\dfrac{1}{a} \right) = - \ln(a), \quad \ln \left( \dfrac{a}{b} \right) = \ln(a) - \ln(b), \quad n \ln(a) = \ln(a^n).\]

Démosntration

Proposition

La fonction exponentielle \(\exp : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}_+^*\) est infiniment dérivable sur \(\mathbb{R}\) et

\[\forall k\in \mathbb{N}, \quad \exp^{(k)} = \exp.\]

Et la fonction \(\ln\) est infiniment dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) et

\[\forall x\in \mathbb{R}_+^*, \quad \ln'(x) = \dfrac{1}{x}.\]

Démonstration

Proposition

Nous avons les limites

\[\lim_{+\infty} \exp = +\infty, \quad \lim_{-\infty} \exp = 0, \quad \lim_{+\infty} \ln = + \infty, \quad \lim_0 \ln = -\infty.\]

Démonstration

Remarque

Nous pouvons en déduire leurs tableaux de variations et leurs représentation graphique.

Définition : Logarithme en base \(a\)

On considère un réel \(a\in \mathbb{R}_+^*\). Alors le logarithme en base \(a\) est défini par

\[\log_a = \dfrac{\ln}{\ln(a)}.\]

Exemples

En base 2

=== "En base 10"$ Soit \(x\in \mathbb{N}\) un nombre à \(n\) chiffres. Alors \(10^{n-1} \leq x < 10^n\). Donc $n-1 \leq \log_{10}(x) < n. Ainsi

📋 Texte

$$n = \lfloor \log_{10} \rfloor +1.$$

Définition : Fonction puissance

On considère un réel \(\alpha \in \mathbb{R}\). Alors on définit la fonction puissance \(\text{id}_{\mathbb{R}^*_+}^\alpha\) par

\[\forall x\in \mathbb{R}_+^*, \quad x^\alpha = e^{\alpha \ln(x)}.\]

Remarque

Il s'agit d'une extension de la définition des fonctions puissances avec une puissance entière qui elles sont définies sur \(\mathbb{R}\).

Proposition

On considère deux réels \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\) et deux réels strictement positifs \(x,y\in \mathbb{R}_+^*\). Alors

\[(xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha, \quad \left(\dfrac{x}{y}\right)^\alpha = \dfrac{x^\alpha}{x^\beta} \quad x^{\alpha + \beta} = x^\alpha x^\beta, \quad x^{\alpha - \beta} = \dfrac{x^\alpha}{x^\beta} \quad (x^\alpha)^\beta = x^{\alpha \beta}.\]

Démonstration

Proposition

On considère un réel \(\alpha \in \mathbb{R}\). Alors la fonction puissance \(\text{id}_{\mathbb{R}_+^*}^\alpha\) est infiniment dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) et

\[\forall x\in \mathbb{R}_+^*, \quad (x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}.\]

Démonstration

Corollaire

On considère un réel \(\alpha \in \mathbb{R}\).

• Si \(\alpha = 0\) alors la fonction puissance \(\text{id}_{\mathbb{R}_+^*}^\alpha = 1\) est constante et dérivée nulle.

• Si \(\alpha > 0\) alors la fonction puissance \(\text{id}_{\mathbb{R}_+^*}^\alpha\) est strictement croissante et

\[\lim_{x\to +\infty} x^\alpha = +\infty, \quad \lim_{x\to 0} x^\alpha = 0.\]

• Si \(\alpha < 0\) alors la fonction puissance \(\text{id}_{\mathbb{R}_+^*}^\alpha\) est strictement décroissante et

\[\lim_{x\to +\infty} x^\alpha = 0, \quad \lim_{x\to 0} x^\alpha = +\infty.\]

Démonstration

Remarque

Nous pouvons en déduire son tableau de variations et sa représentation graphique.

(insérer une image)

Proposition

Nous avons les inégalités utiles suivantes :

• pour tout \(x\in \mathbb{R}, e^x \geq 1+x,\)

• pour tout \(x \in ~]-1,+\infty[, \ln(1+x) \leq x\).

Démonstration

Proposition : Croissances comparées

On considère trois réels \(\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}_+^*\). Alors

• \(\lim_{x\to +\infty} \dfrac{(\ln(x))^\alpha}{x^\beta} = 0\).

• \(\lim_{x\to 0} |\ln(x)|^\alpha x^\beta = 0\).

• \(\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^\beta}{e^{\gamma x}} = 0\).

• \(\lim_{x\to -\infty} |x|^\beta e^{\gamma x} = 0\).

Ce que nous notons abusivement

\[(\ln(x))^\alpha << x^\beta << e^{\gamma x}.\]

Démonstration

Propositon

La fonction cosinus est dérivable et bijective de \([0,\pi]\) dans \([-1,1]\) et la fonction sinus de \(\left[ - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]\) dans \([-1,1]\) avec

\[\cos' = -\sin, \quad \sin' = \cos.\]

On définit alors les fonctions \(\arccos\) et \(\arcsin\) comme leurs bijections réciproques sur ces intervalles.

Démonstration

Corollaire

Les fonctions \(\arccos\) et \(\arcsin\) sont infiniment dérivables sur l'intervalle \(]-1,1[\) et

\[\forall x\in ~]-1,1[, \quad \arccos'(x) = - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \arcsin'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\]

Démonstration

Remarque

Nous pouvons en déduire leurs tableaux de variations et leurs représentations graphiques.

(insérer une image)

Proposition

La fonction tangente est bijective de \(\left] - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right[\) dans \(\mathbb{R}\). On définit alors la fonction \(\arctan\) comme sa bijection réciproque sur ces intervalles.

Démonstration

Corollaire

La fonction \(\arctan\) est infiniment dérivable sur \(\mathbb{R}\) et

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad \arctan'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}.\]

Démonstration

Remarque

Nous pouvons en déduire son tableau de variations et sa représentation graphique.

(insérer une image)

Définition : Fonctions trigonométriques hyperboliques

On définit les fonctions cosinus, sinus et tangentes hyperboliques par

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad \text{ch}(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \text{sh}(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \text{th}(x) = \dfrac{\text{sh}(x)}{\text{ch}(x)}.\]

Proposition

Nous avons

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad (\text{ch}(x))^2 - (\text{sh}(x))^2 = 1.\]

Démonstration

Proposition

Les fonctions \(\text{ch}, \text{sh}, \text{th}\) sont infiniment dérivables sur \(\mathbb{R}\) et

\[\text{ch}' = \text{sh}, \quad \text{sh}' = \text{ch}, \quad \text{th}' = \dfrac{1}{(\text{ch})^2} = 1 - (\text{th})^2.\]

Démonstration

Proposition

Nous avons les limites suivantes

\[\lim_{+\infty} \text{ch} = \lim_{-\infty} \text{ch} = +\infty, \quad \lim_{+\infty} \text{sh} = +\infty, \quad \lim_{-\infty} \text{sh} = - \infty, \quad \lim_{+\infty} \text{th} = 1, \quad \lim_{-\infty} \text{th} = -1.\]

Démonstration

Remarque

Nous pouvons en déduire leurs tableaux de variations et leurs représentations graphiques.

(insérer une image)

VII. Fonctions d'une variable réelle à valeurs complexes

Remarque

On définit les notions de limites, continuité et dérivabilité des fonctions à valeurs complexes de la même façon en remplaçant la valeur absolue par le module.

Propositon

On considère une fonction à valeurs complexes \(f : I\longrightarrow \mathbb{C}\). Alors :

• pour tout \(a \in \overline{I}\), la fonction \(f\) admet une limite finie au point \(a\) si et seulement si les parties réelle \(\text{Re}(f)\) et imaginaire \(\text{Im}(f)\) de la fonction \(f\) le sont. Dans ce cas

\[\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} \text{Re}(f) (x) + i \lim_{x\to a} \text{Im}(f)(x),\]

• la fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \(I\) si et seulement si les parties réelle \(\text{Re}(f)\) et imaginaire \(\text{Im}(f)\) le sont.

• la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(I\) si les parties réelle \(\text{Re}(f)\) et imaginaire \(\text{Im}(f)\) de la fonction \(f\) le sont. Dans ce cas

\[f' = \text{Re}(f)' + i \text{Im}(f)'.\]

Démonstration

Exemples

LimiteContinuitéDérivabilité

Proposition

On considère une fonction \(\varphi : I \longrightarrow \mathbb{C}\) et la fonction \(f = \exp \circ \varphi\) :

\[\forall x\in I, \quad f(x) = e^{\varphi(x)}.\]

Si la fonction \(\varphi\) est dérivable sur \(I\) alors la fonction \(\varphi\) également et

\[\forall x\in I, \quad f'(x) = \varphi'(x) e^{\varphi(x)}.\]

Démonstration