Cours

Objectifs du programme officiel

Groupe symétrique

• Groupe des permutations de l'ensemble \(\{1, ..., n\}\)

• Cycle, transposition

• Décomposition d'une permutation en produit de cycles à supports disjoints, existence, unicité, commutativité

Signature d'une permutation

• Décomposition d'une permutation en produit de transpositions

• Signature

Formes \(n\)-linéaires alternées

• Forme \(n\)-linéaire sur un espace vectoriel de dimension \(n\)

• Antisymétrie, effet d'une permutation

• Image d'une famille liée

Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base

• Unique forme linéaire associée à une base

• Expression du déterminant dans une base en fonction des coordonnées

• Lien entre \(\det_e\) et \(\det_{e'}\)

• \((x_1, ..., x_n)\) est une base si et seulement si \(\det_e(x_1, ..., x_n) \neq 0\)

Déterminant d'un endomorphisme

• Déterminant d'un endomorphisme

• Déterminant d'une composée

• Caractérisation des automorphismes

Déterminant d'une matrice carrée

• Déterminant d'une matrice carrée

• Caractère \(n\)-linéaire alternée par rapport aux colonnes

• Déterminant d'un produit, d'un multiple scalaire d'une matrice

• Caractérisation des matrices inversibles

• \(\det : GL(E) \longrightarrow \mathbb{K}^*\) est un morphisme de groupes

• Déterminant d'une transposée

• Caractère \(n\)-linéaire alternée par rapport aux lignes

Comatrice

• Définition de la comatrice

• Relation \(A \text{Com}(A)^T = \text{Com}(A)^T A = \text{det}(A) I_n\)

• Expression de l'inverse d'une matrice inversible

I. Groupe symétrique

Remarque

Dans tout ce chapitre on considère un entier non nulle \(n\in \mathbb{N}^*\).

A. Généralités

Définition : Permutation de l'ensemble \(\{1, ..., n\}\)

On considère une application \(\sigma : \{1, ..., n\} \longrightarrow \{1, ..., n\}\). Alors on dit que l'application \(\sigma\) est une permutation si elle est bijective. On note alors \(\mathcal{S}_n\) leur ensemble.

Exemple

Remarque

On note une permutation \(\sigma\) par \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & \dots & n \\ \sigma(1) & \dots & \sigma(n) \end{array} \right)\).

Définitions : Cycle, transposition

On considère une permutation \(\sigma \in \mathcal{S}_n\) et un entier \(k\in \{2, ..., n\}\). Alors on dit que la permutation \(\sigma\) est :

• un \(k\)-cycle s'il existe \(a_1, ..., a_k \in \{1, ..., n\}\) distincts tels que

\[\forall i\in \{1, ..., k-1\}, \quad \sigma(a_i) = a_{i+1}, \quad \sigma(a_k) = a_1,\]

et

\[\forall a \in \{1, ..., n\} \backslash \{a_1, ..., a_k\}, \quad \sigma(a) = a.\]

• une transposition si la permutation \(\sigma\) est un \(2\)-cycle : il existe \(a,b\in \{1, ...,n\}\) distincts tels que

\[\sigma(a) = b, \quad \sigma(b) = a, \quad \forall c\in \{1, ..., n\} \backslash \{a,b\}, \sigma(c) = c.\]

Exemple

Définition : Points fixes et support d'une permutation

On considère une permutation \(\sigma \in \mathcal{S}_n\) et un entier \(a \in \{1, ..., n\}\). Alors on dit que l'entier \(a\) est un point fixe de la permutation \(\sigma\) si \(\sigma(a) = a\). On note alors \(\text{Fix}(\sigma)\) leur ensemble et on appelle

\[\text{Supp}(\sigma) = \{1, ..., n\} \backslash \text{Fix}(\sigma) = \{a\in \{1, ..., n\}, \quad \sigma(a) \neq a\}\]

le support de la permutation \(\sigma\).

Exemple

Remarque

On peut alors noter une permutation seulement grâce à son support et à l'image des éléments de celui-ci :

\[\sigma = (a_1 \quad \sigma(a_1) \quad ... \quad \sigma^{r_1-1}(a_1)) \circ ... \circ (a_s \quad \sigma(a_s) \quad ... \quad \sigma^{r_s-1}(a_s)).\]

Exemple

Proposition

On considère deux permutations \(\sigma_1, \sigma_2 \in \mathcal{S}_n\). Alors

\[\text{Supp}(\sigma_1) \cap \text{Supp}(\sigma_2) = \emptyset \quad \Longrightarrow \quad \sigma_1 \circ \sigma_2 = \sigma_2 \circ \sigma_1.\]

Démonstration

Exemple

A supports disjointsA supports non disjoints

Théorème

On considère une permutation \(\sigma \in \mathcal{S}_n\). Alors il existe une unique (à l'ordre près) décomposition de la permutation \(\sigma\) comme composée de cycles à supports disjoints : il existe des cycles \(\sigma_1, ..., \sigma_r \in \mathcal{S}_n\) tels que

\[\sigma = \sigma_1 \circ ... \circ \sigma_r, \quad \text{Supp}(\sigma_1) \cap ... \text{Supp}(\sigma_r) = \emptyset.\]

Démonstration

Remarque

La démonstration n'est pas exigible mais il faut savoir le faire en pratique.

Exemples

B. Signature d'une permutation

Proposition

Toute permutation peut se décomposer en produits de transpositions. Mais la décomposition n'est pas unique. Seule la parité du nombre de transpositions apparaissant est unique

Démonstration

Exemple

Théorème

Il existe un unique morphisme de groupes \(\varepsilon : \mathcal{S}_n \longrightarrow \{-1,1\}\), appelé signature, envoyant toute transposition sur \(-1\).

Démonstration

Exemples

Remarque

La démonstration n'est pas exigible mais il faut savoir calculer la signature d'une permutation en pratique grâce à sa décomposition en cycles à supports disjoints.

Corollaire

Le morphisme signature \(\varepsilon\) vérifie donc, pour tout \(\sigma,\tau \in \mathcal{S}_n\) :

• Si \(\sigma = \tau_1 ... \tau_k\) produit de transpositions alors \(\varepsilon(\sigma) = (-1)^k\).

• Si la permutation \(\sigma\) est un \(k\)-cycle pour \(k\in \{1, ..., n\}\) alors \(\varepsilon(\sigma) = (-1)^{k-1}\).

• \(\varepsilon(\sigma \circ \tau) = \varepsilon(\sigma) \varepsilon (\tau)\).

• \(\varepsilon(\sigma^{-1}) = (\varepsilon(\sigma))^{-1}\).

Démonstration

Exemples

Proposition

Soit \(\sigma \in \mathcal{S}_n\). Alors

\[\varepsilon(\sigma) = \prod_{1\leq i<j\leq n} \dfrac{\sigma(i) - \sigma(j)}{i-j}.\]

Démonstration

Exemple

Définition : Inverion d'une permutation

On considère \(\sigma \in \mathcal{S}_n\). Alors une inversion de la permutation \(\sigma\) est un couple \((i,j) \in \{1, ..., n\}^2\) tel que

\[i<j \quad \text{et} \quad \sigma(i) > \sigma(j).\]

On note \(I(\sigma)\) le nombre d'inversions de la permutation \(\sigma\).

Exemple

Remarque

En pratique pour une permutation donnée, on compte pour chaque terme de la deuxième ligne le nombre de termes à sa droite qui lui sont inférieurs. On somme le tout ce qui nous le nombre d'inversions de la permutation.

Proposition

On considère \(\sigma \in \mathcal{S}_n\). Alors

\[\varepsilon(\sigma) = (-1)^{I(\sigma)}.\]

Démonstration

Exemple

Définition : Groupe alternée

On définit \(\mathcal{A}_n\), appelé groupe alternée, le noyau du morphisme de groupe \(\varepsilon : \mathcal{S}_n \longrightarrow \{-1, 1\}\).

Exemple

Remarque

Il s'agit donc d'un sous-groupe du groupe \(\mathcal{S}_n\).

II. Déterminants

Remarque

Dans tout ce chapitre on considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(\dim(E) = n\in \mathbb{N}^*\).

A. Formes \(n\)-linéaires alternées

Définition : Forme \(n\)-linéaire alternée

On considère une application \(f : E^n \longrightarrow \mathbb{K}\). Alors on dit que l'application \(f\) est \(n\)-linéaire si l'application \(f\) est linéaire par rapport à chaque variable :

\[\forall i\in \{1, ..., n\}, \quad \forall x_1, ..., x_n \in E, x_i' \in E, \lambda \in \mathbb{K},\]

\[f(x_1, ..., x_{i-1}, x_i + \lambda x_i', x_{i+1}, ..., x_n) = f(x_1, ...,x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, ..., x_n) + \lambda f(x_1, ..., x_{i-1}, x_i', x_{i+1}, ...,x_n).\]

Dans ce cas on dit que la forme \(n\)-linéaire \(f\) est alternée si pour toute transposition \(\sigma \in \mathcal{S}_n\) et toute famille de vecteurs \((x_1, ..., x_n)\in E^n\),

\[f(x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)}) = - f(x_1, ..., x_n).\]

Exemple

Remarque

En dimensions 2 et 3, on peut voir une forme \(n\)-linéaire alternée comme le calcul d'une aire ou d'un volume formé par des vecteurs.

Exemples

En dimension 2En dimension 3

Proposition

On considère une forme \(n\)-linéaire alternée \(f : E^n \longrightarrow \mathbb{K}\), une permutation \(\sigma \in \mathcal{S}_n\) et une famille de vecteurs \((x_1, ..., x_n) \in E^n\). Alors

\[f(x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma) f(x_1, ..., x_n).\]

On dit alors que la forme \(n\)-linéaire alternée \(f\) est antisymétrique.

Démonstration

Exemple

Remarque

A l'inverse si

\[f(x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)}) = f(x_1, ..., x_n).\]

Alors on dit que la forme \(n\)-linéaire \(f\) est symétrique.

Corollaire

Une forme \(n\)-linéaire \(f : E^n \longrightarrow \mathbb{K}\) est alternée si et seulement si elle est antisymétrique.

Démonstration

Proposition

On considère une forme \(n\)-linéaire alternée \(f : E^n \longrightarrow \mathbb{K}\), une permutation \(\sigma \in \mathcal{S}_n\) et une famille de vecteurs \((x_1, ..., x_n) \in E^n\). Si la famille \((x_1, ..., x_n)\) est une famille liée alors

\[f(x_1, ..., x_n) = 0.\]

Démonstration

Exemple

B. Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base

Proposition

On considère une base \(e\) de l'espace \(E\). Alors il existe une unique forme \(n\)-linéaire alternée \(f : E^n \longrightarrow \mathbb{K}\) telle que \(f(e_1, ..., e_n) = 1\). On la note alors \(\det_e\) et on l'appelle déterminant dans la base \(e\). De plus toute forme \(n\)-linéaire alternée est un multiple de l'application \(\det_e\).

Démonstration

Exemple

Théorème

On considère une base \(e\) de l'espace \(E\) et une famille de vecteurs \((x_1, ..., x_n) \in E^n\). Alors

\[\det_e(x_1, ..., x_n) = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n x_{i\sigma(i)}.\]

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère une base \(e\) de l'espace \(E\). Alors l'ensemble des formes \(n\)-linéaires alternées sur l'espace \(E\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(1\) engendré par l'application \(\det_e\).

Démonstration

Proposition

On considère la base canonique \(e\) de l'espace \(\mathbb{R}^n\) et une famille de vecteurs \((x,y,z) \in (\mathbb{R}^n)^3\).

• Si \(n = 2\) alors \(\det_e(x,y)\) correspond à l'aire orientée du parallélogramme de côtés \(x, y\) :

\[\det_e(x,y) = \left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{array} \right| = x_1 y_2 - x_2 y_1.\]

• Si \(n = 3\) alors \(\det_e(x, y, z)\) correspond au volume orienté du parallélépipède de côtés \(x, y, z\) :

\[\det_e(x,y,z) = \left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{array} \right| = x_1y_2z_3 + x_3 y_1 z_2 + x_2 y_3 z_1 - x_3 y_2 z_1 - x_1 y_3 z_2 - x_2 y_1 z_3.\]

Le dernier calcul est également appelé la règle de Sarrus.

Démonstration

En dimension 2En dimension 3

Exemples

En dimension 2En dimension 3

Remarque

La règle de Sarrus n'est pas très pratique car génère un grand nombre de calculs. On favorisera des opérations sur les lignes ou les colonnes pour obtenir des calculs plus simples.

Proposition

On considère deux bases \(e,e'\) de l'espace \(E\). Alors nous avons

\[\det_{e'} = \det_{e'}(e) \det_e.\]

Démonstration

Exemple

Théorème

On considère une base \(e\) de l'espace \(E\) et une famille de vecteurs \((x_1, ..., x_n)\in E^n\). Alors la famille \((x_1, ..., x_n)\) est une base de l'espace \(E\) si et seulement si

\[\det_e(x_1, ..., x_n) \neq 0.\]

Démonstration

Exemples

C. Déterminant d'une matrice carrée

Définition : Déterminant d'une matrice carrée

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors le déterminant de la matrice \(A\) est le déterminant des vecteurs colonnes \(C_1, ..., C_n\) de la matrice \(A\) dans la base canonique \(e\) de \(\mathbb{K}^n\) :

\[\det(A) = \det_e(C_1, ..., C_n).\]

Exemple

Proposition

L'application \(\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathbb{K}\) est une forme \(n\)-linéaire alternée par rapport aux colonnes.

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux matrices carrées \(A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et un scalaire \(\lambda \in \mathbb{K}\). Alors \(\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors la matrice \(A\) est inversible si et seulement si \(\det(A) \neq 0\). Dans ce cas

\[\det(A^{-1}) = (\det(A))^{-1}.\]

Démonstration

Exemple

Corollaire

L'application \(\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathbb{K}\) induit un isomorphisme de groupes entre \(GL_n(\mathbb{K})\) et \(\mathbb{K}^*\).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors \(\det(A^T) = \det(A)\).

Démonstration

Exemple

Corollaire

L'application \(\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathbb{K}\) est une forme \(n\)-linéaire alternée par rapport aux lignes.

Démonstration

Exemple

D. Déterminant d'un endomorphisme

Définition : Déterminant d'un endomorphisme

On considère un endomorphisme \(u\in L(E)\) et une base \(e\) de l'espace \(E\). Alors le déterminant de l'endomorphisme \(u\) est défini par

\[\det(u) = \det(M_e(u)).\]

Exemple

Remarque

Comme \(\det(AB) = \det(BA)\), le déterminant d'un endomorphisme \(u\) ne dépend pas de la base \(e\) choisie.

Exemple

Proposition

On considère deux endomorphismes \(u,v\in L(E)\). Alors

\[\det(u\circ v) = \det(u) \det(v).\]

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère un endomorphisme \(u\in L(E)\). Alors l'endomorphisme \(u\) est un automorphisme si et seulement si \(\det(u) \neq 0\). Dans ce cas

\[\det(u^{-1}) = (\det(u))^{-1}.\]

Démonstration

Exemple

E. Calcul des déterminants

Proposition

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et une matrice d'opération élémentaire \(B \in GL_n(\mathbb{K})\).

• Si la matrice \(B\) correspond à l'opération échange de deux lignes (respectivement deux colonnes) alors la matrice \(BA\) (respectivement \(AB\)) a un signe opposé à celui de \(\det(A)\) :

\[\det(BA) = -\det(A) = \det(AB).\]

• Si la matrice \(B\) correspond à l'opération multiplication d'une ligne (respectivement une colonne) par un scalaire \(\lambda \in \mathbb{K}\) alors la matrice \(BA\) (respectivement \(AB\)) a pour déterminant \(\lambda \det(A)\) :

\[\det(BA) = \lambda \det(A) = \det(AB).\]

• Si la matrice \(B\) correspond à l'opération ajout d'une ligne (respectivement une colonne) à une autre alors la matrice \(BA\) (respectivement \(AB\)) a le même déterminant \(\det(A)\) :

\[\det(BA) = \det(A) = \det(AB).\]

Démonstration

Exemples

Echange de deux lignesMutliplication d'une colonneAjout d'une combinaison linéaires de lignes à une autre

Définition : Cofacteur

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors le cofacteur de l'élément $a_{ij} de la matrice \(A\) est un scalaire

\[\text{cof}(a_{ij}) = (-1)^{i+j+1} \det(A_{ij}),\]

avec \(A_{ij}\) la matrice obtenue en supprimant la \(i\)-ième ligne et la \(j\)-ième colonne de la matrice \(A\) pour \(i,j\in \{1, ..., n\}\).

Exemples

Théorème : Développement par rapport à une ligne ou une colonne

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et un entier \(j\in \{1, ..., n\}\). Alors on obtient :

• le développement de \(\det(A)\) selon la \(j\)-ième ligne

\[\det(A) = a_{j1} \text{cof}(a_{j1}) + ... + a_{jn} \text{cof}(a_{jn}),\]

• le développement de \(\det(A)\) selon la \(j\)-ième colonne

\[\det(A) = a_{1j} \text{cof}(a_{1j}) + ... + a_{nj} \text{cof}(a_{nj}).\]

Démonstration

Exemples

Corollaire

On considère une matrice triangulaire \(A \in \mathcal{T}_n(\mathbb{K})\). Alors

\[\det(A) = \prod_{i=1}^n a_{ii}.\]

Démonstration

Exemple

Définition : Déterminant de Vandermonde

On considère une famille de scalaires \((a_1, ..., a_n) \in \mathbb{K}^n\). Alors le déterminant de Vandermonde associée à la famille \((a_1, ..., a_n)\) est le déterminant de la matrice de Vandermonde associée

\[V(a_1, ..., a_n) = \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \dots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \dots & a_n^{n-1} \end{array} \right|.\]

Exemple

Proposition

On considère une famille de scalaires \((a_1, ..., a_n) \in \mathbb{K}^n\). Alors

\[V(a_1, ..., a_n) = \prod_{1\leq i<j\leq n} (a_j - a_i).\]

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère une famille de scalaires \((a_1, ..., a_n) \in \mathbb{K}^n\). Alors la matrice de Vandermonde associée aux scalaires \(a_1, ..., a_n\) est inversible si et seulement si \(V(a_1, ..., a_n) \neq 0\).

Démonstration

Exemple

Remarque

Si l'on considère les polynômes interpolateurs de Lagrange \(L_1, ..., L_n\) associés aux scalaires \(a_1, ..., a_n\) distincts alors la famille \(B = (L_1, ..., L_{n-1})\) est une base de l'espace \(\mathbb{K}_{n-1}[X]\) et, en notant \(e\) la base canonique de l'espace \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\), la matrice \(P_{eB} = M_{Be}(\text{id}_{\mathbb{R_{n-1}[X]}})\) est une matrice de Vandermonde.

Exemple

F. Comatrice

Définition : Comatrice

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors la comatrice de la matrice \(A\) est la matrice \(\text{Com}(A)\) définie par

\[\text{Com}(A) = (\text{cof}(a_{ij}))_{1\leq i,j\leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).\]

Exemple

En dimension 2En dimension 3

Proposition

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Alors

\[A (\text{Com}(A))^T = (\text{Com}(A))^T A = \det(A)I_n.\]

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Si la matrice \(A\) est inversible alors

\[A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} (\text{Com}(A))^T.\]

Démonstration

Exemples

Remarque

Dans le cadre de la dimension \(n = 2\) on retrouve la formule

\[\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)\]

si \(ad - bc \neq 0\).