Cours

I. Ensembles de nombres réels⚓︎

Définitions : Entiers naturels, relatifs, décimaux, rationnels, irrationnels, réels

On note :

$\mathbb{N}$ l'ensemble des nombres entiers positifs $n\geq 0$,
$\mathbb{Z}$ l'ensemble des nombres entiers relatifs, autrement dit positifs ou négatifs,
$\mathbb{D}$ l'ensemble des nombres décimaux, autrement dit des nombres que l'on peut écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule,
$\mathbb{Q}$ l'ensemble des nombres rationnels, autrement dit des nombres que l'on peut écrire sous forme d'une fraction,
$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ l'ensemble des nombres irrationnels, autrement dit des nombres que l'on ne peut pas écrire sous forme d'une fraction,
$\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels, autrement dit la réunion des rationnels $\mathbb{Q}$ et des irrationnels $\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$.

Exemples

Remarque

Nous avons la suite d'inclusions suivantes

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.\]

Nous avons également $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.

Remarque

Tout réel peut être approché par un nombre décimal à la précision $10^{-n}$ soit par défaut soit par excès, pour tout $n\in \mathbb{Z}$. Par défaut correspond au nombre décimal inférieur et par excès au nombre décimal supérieur.

Exemples

Définition : Partie dense réelle

On considère une partie $A \subset \mathbb{R}$. Alors on dit que la partie $A$ est dense dans $\mathbb{R}$ si elle rencontre tout intervalle réel ouvert non vide. Autrement dit si pour tout $a,b\in \mathbb{R}$ tels que $a < b$, il existe $x \in A \cap ~]a,b[$.

Proposition

Les parties $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \subset \mathbb{Q}$ sont denses dans $\mathbb{R}$.

Démonstration

Exemple

Définition : Droite réelle achevée

On définit $\overline{\mathbb{R}}$ comme la réunion des réels $\mathbb{R}$ auquelle on rajoute deux éléments : un plus grand élément $+\infty$ et un plus petit élément $-\infty$ :

\[\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{+\infty,-\infty\}.\]

Remarque

On étend les opérations réelles sur la droite achevée $\overline{\mathbb{R}}$ avec, pour tout $x\in \mathbb{R}$,

\[+\infty \pm x = + \infty, \quad - \infty \pm x = - \infty, \quad +\infty + (+\infty) = +\infty, \quad - \infty + (-\infty) = - \infty,\]

\[(+\infty)\times x = \text{signe}(x) \infty, \quad (-\infty) \times x = (- \text{signe}(x))\infty,\]

\[(+\infty) \times (+\infty) = +\infty, \quad (+\infty) \times (-\infty) = -\infty, \quad (-\infty)\times (-\infty) = +\infty.\]

II. Propriété de la borne supérieure⚓︎

Remarque

On rappelle que la borne supérieure $\sup(A)$ (respectivement inférieure $\inf(A)$) d'une partie $A \subset \mathbb{R}$ est, s'il existe, le plus petit des majorants (respectivement plus grand des minorants) de cette partie.

Exemples

Proposition

On considère une partie $A \subset \mathbb{R}$. Si la partie $A$ est non vide et majorée (respectivement minorée) alors elle admet une borne supérieure (respectivement inférieure).

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère une partie $A \subset \mathbb{R}$. Alors la partie $A$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ si et seulement si

\[\forall a,b\in A, \quad a\leq b \quad \Longrightarrow [a,b] \subset I.\]

Démonstration

Exemple

III. Généralités sur les suites réelles⚓︎

Définition : Suite réelle

Une suite réelle est une application $u : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}$ que l'on note $u = (u_n)_{n\in \mathbb{N}}$. On note $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ leur ensemble.

Exemple

Définitions : Suite majorée, minorée, bornée

On considère une suite réelle $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Alors on dit que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est :

majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}_+^*$ tel que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n \leq M$,
minorée s'il existe $m \in \mathbb{R}_+^*$ tel que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n \geq M$,
bornée s'il existe $m,M \in \mathbb{R}_+^*$ tel que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $m\leq u_n \leq M$.

Exemple

Proposition

On considère une suite réelle $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Alors la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est bornée si et seulement la suite $(|u_n|)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée.

Démonstration

Définitions : Suite stationnaire, monotone

On considère une suite réelle $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Alors on dit que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est :

stationnaire s'il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout entier naturel après ce rang $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geq N$, on ait $u_n = u_N$,
croissante si pour tout $n,m \in \mathbb{N}$ tel que $n\leq m$, on ait $u_n\leq u_m$,
décroissante si pour tout $n,m \in \mathbb{N}$ tel que $n\leq m$, on ait $u_n\geq u_m$,
monotone si elle est croissante ou décroissante.

Exemples

Suite stationnaireSuite croissanteSuite décroissanteSuite non monotone

Remarque

On définit de même les notions de stricte croissance, stricte croissance et stricte monotonie en remplaçant les inégalités par des inégalités strictes.

Exemples

Suite strictement monotoneSuite monotone non strictement

Définition : Mode de définition

On considère une suite réelle $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Alors on dit que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est définie :

explicitement s'il existe une fonction réelle $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}, u_n = f(n)$,
implicitement si pour tout $n\in \mathbb{N}$, le terme $u_n$ est l'unique solution d'une équation,
par récurrence s'il existe une fonction réelle $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ tel que, pour tout $n\in \mathbb{N}, u_{n+1} = f(u_n)$.

Exemples

ExpliciteImplicitePar récurrence

Remarque

On peut également définir une suite $u$ par récurrence avec une fonction réelle $f$ définie sur un intervalle réel $I$. Pour ceci il faut que l'intervalle $I$ soit stable par la fonction $f$, autrement dit que $f(I) \subset I$.

IV. Limite d'une suite réelle⚓︎

Définition : Suite convergente

On considère une suite réelle $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Alors on dit que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}} converge (ou admet une limite finie) si

\[\exists l \in \mathbb{R}, \quad \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, \quad \exists N\in \mathbb{N}, \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geq N \quad \Longrightarrow \quad n \quad |u_n-l| \leq \varepsilon.\]

On dit alors que le réel $l$ est une limite de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Dans le cas contraire on dit que la suite diverge.

Exemples

Suite convergenteSuite divergente

Remarque

Autrement dit à partir d'un certain rang, la suite est aussi proche que l'on souhaite d'un certain réel.

Définition : Suite divergente vers l'infini

On considère une suite réelle $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Alors on dit que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$ (ou admet une limite infinie) (respectivement $-\infty$) si

\[\forall A \in \mathbb{R}, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geq N \quad \Longrightarrow \quad u_n\geq A (\text{respectivement } \leq A).\]

Exemple

Remarque

Autrement dit la suite est aussi grande (respectivement petite) que l'on veut à partir d'un certain rang.

Proposition : Unicité de la limite

On considère une suite réelle $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Si la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est converge alors elle admet une unique limite que l'on note $\lim_{n\to+\infty} u_n$.

Démonstration

Proposition

On considère une suite réelle $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Si la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente alors elle est bornée. La réciproque n'est pas vérifiée.

Démonstration

Proposition

On considère deux suites réelles $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et un réel $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors :

si la suite $u$ converge alors la suite $\lambda u = (\lambda u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et

\[\lim_{n\to +\infty} (\lambda u_n) = \lambda \lim_{n\to +\infty} u_n,\]

si les suites $u$ et $v$ convergent alors la suite $u+v = (u_n+v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et

\[\lim_{n\to +\infty} (u_n + v_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n + \lim_{n\to +\infty} v_n,\]

si les suites $u$ et $v$ convergent alors la suite $uv = (u_n v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et

\[\lim_{n\to +\infty} (u_n v_n) = \lim_{n\to +\infty} u_n \lim_{n\to +\infty} v_n,\]

si la suite $u$ converge et $u_n \neq 0$ à partir d'un certain rang $N$ alors la suite $\dfrac{1}{u} = \left( \dfrac{1}{u_n} \right)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et

\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{u_n} = \dfrac{1}{\lim_{n\to +\infty} u_n}.\]

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux suites réelles $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Si la suite $u$ converge vers $0$ et la suite $v$ est bornée alors la suite $uv$ converge vers $0$.

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère deux suites réelles $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Si $u\leq v$ au sens où pour tout $n\in \mathbb{N}, u_n \leq v_n$, et :

les suites $u$ et $v$ convergent alors $\lim_{n\to +\infty} u_n \leq \lim_{n\to +\infty} v_n$
la suite $u$ diverge vers $+\infty$ alors la suite $v$ diverge vers $+\infty$,
la suite $v$ diverge vers $-\infty$ alors la suite $u$ diverge vers $-\infty$.

Démonstration

Exemple

Théorème : Convergence par encadrement

On considère trois suites réelles $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, (v_n)_{n\in \mathbb{N}}, (w_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Si $u\leq v\leq w$ et les suites $u$ et $w$ convergent vers la même limite $l\in \mathbb{R}$ alors la suite $v$ converge et $\lim_{n\to +\infty} v_n = l$.

Démonstration

Exemple

Corollaire

On considère deux suites réelles $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Si la suite $v$ converge vers $0$ et il existe $l\in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $|u_n - l| \leq v_n|$ alors la suite $u$ converge et $\lim_{n\to +\infty} u_n = l$.

Démonstration

Exemple

Remarque

On peut rajouter "à partir d'un certain rang" dans certaines propriétés précédentes.

V. Suites monotones⚓︎

Théorème de la limite monotone

On considère une suite $u \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$. Alors :

si la suite $u$ est majorée et croissante alors la suite $u$ est convergente,
si la suite $u$ est minorée et décroissante alors la suite $u$ est convergente.

Démonstration

Exemple

Définition : Suites adjacentes

On considère deux suites $u,v\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$. Alors on dit que les suites $u$ et $v$ sont adjacentes si :

la suite $u$ est croissante,
la suite $v$ est décroissante,
la suite $u-v$ converge vers $0$.

Exemple

Proposition

On considère deux suite $u,v\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$. Si les suites $u$ et $v$ sont adjacentes alors

\[\forall n,m\in \mathbb{N}, \quad n\leq m \quad \Longrightarrow \quad u_n \leq v_m.\]

En particulier $u_n \leq v_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Démonstration

Théorème des suites ajacentes

On considère deux suites $u,v\in \mathbb{R}^\mathbb{N}. Si les suites $u$ et $v$ sont adjacentes alors les suites $u$ et $v$ converge, et vers la même limite

Démonstration

Exemple

VI. Suites extraites⚓︎

Suite extraite

On considère une suite $u \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$. Alors une suite extraite de la suite $u$ est une suite $v \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ telle qu'il existe une application $\varphi : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}$ appelée extractrice telle que $v_n = u_{\varphi(n)}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Exemple

Proposition

On considère une suite $u \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$. Si la suite $u$ est convergente alors toutes ses suites extraites sont également convergentes et vers la même limite.

Démonstration

Exemple

Remarque

La contraposée de la proposition est utile pour montrer qu'une suite est divergente.

Exemple

Proposition

On considère une suite $u \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$. Si les suites extraites $(u_{2n})_{n\in \mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n\in \mathbb{N}}$ convergent vers la même limite $l\in \mathbb{R}$ alors la suite $u$ converge vers $l$.

Démonstration

Exemple

Théorème de Bolzano-Weierstrass

On considère une suite $u \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$. Si la suite $u$ est bornée alors il existe une suite extraite $u_\varphi$ convergente.

Démonstration

Exemple

VII. Utilisation séquentielle⚓︎

Proposition : Caractérisation séquentielle de la densité

On considère une partie $A \subset \mathbb{R}$. Alors la partie $A$ est dense dans $\mathbb{R}$ si et seulement si pour tout $a \in \mathbb{R}$, il existe une suite $u \in A^\mathbb{N}$ convergente vers $a$.

Démonstration

Exemple

(densité de $\mathbb{D}$ dans $\mathbb{R}$)

Proposition : Caractérisation séquentielle des bornes supérieures et inférieures

On considère une partie $A \subset \mathbb{R}$ non vide. Alors

si la partie $A$ majorée (respectivement minorée) alors il existe une suite $u \in A^\mathbb{N}$ convergente vers $\sup A$ (respectivement $\inf A$),
si la partie $A$ est non majorée (respectivement non minorée) alors il existe une suite $u\in A^\mathbb{N}$ divergente vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$).

Démonstration

Exemples

Partie majoréePartie non minorée

VIII. Suites complexes⚓︎

Remarque

On peut étendre toutes les notions précédentes sur les suites à valeurs dans $\mathbb{C}$, sauf celles qui font intervenir les notions de croissance ou décroissance étant donné qu'il n'y a pas de relation d'ordre sur les complexes $\mathbb{C}$. On remplace alors la valeur absolue par le module.

Exemple

Proposition

On considère une suite complexe $u \in \mathbb{C}^\mathbb{N}$. Alors la suite $u$ converge si et seulement si sa partie réelle $\text{Re}(u)$ et sa partie imaginaire $\text{Im}(u)$ convergent. Dans ce cas

\[\lim_{n\to +\infty} u_n = \lim_{n\to +\infty} \text{Re}(u_n) + i \lim_{n\to +\infty} \text{Im}(u_n).\]

Démonstration

Exemple

Théorème de Bolzano-Weierstrass

On considère une suite complexe $u\in \mathbb{C}^\mathbb{N}$. Si la suite $u$ est bornée alors il existe une suite extraite $u_\varphi$ convergente.

Démonstration

Exemple

Remarque

On notera $\mathbb{K}$ l'ensemble $\mathbb{R}$ ou l'ensemble $\mathbb{C}$ dans la suite.

IX. Suites particulières⚓︎

Définition : Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques

On considère une suite $u\in \mathbb{K}^\mathbb{N}$. Alors on dit que la suite $u$ est :

arithmétique s'il existe $a \in \mathbb{K}$ tel que $u_{n+1} = u_n + a$ pour tout $n\in \mathbb{N}$,
géométrique s'il existe $q\in \mathbb{K}$ tel que $u_{n+1} = q u_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$,
arithmético-géométrique s'il existe $a,q\in \mathbb{K}$ tels que $u_{n+1} = q u_n + a$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Exemple

Proposition

On considère une suite $u \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$. Alors :

si la suite $u$ est arithmétique de paramètre $a$ alors $u_n = n u_0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$,
si la suite $u$ est géométrique de paramètre $q$ alors $u_n = u_0^q$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Démonstration

Corollaire

On considère une suite $u \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$. Alors :

si la suite $u$ est arithmétique de paramètre $a$ alors la suite $u$ convergent vers $0$ si $a = 0$, diverge vers sinon,
si la suite $u$ est géométrique de paramètre $q$ alors la suite $u$ est constante égale à $u_0$ si $q = 1$, converge vers $0$ si $|q|<1$, diverge sinon.

Exemple

Propositon

On considère une suite $u\in \mathbb{K}^\mathbb{N}$ arithmético-géométrique de paramètres $a,q$ avec $q \neq 1$. Alors il exise un unique $l \in \mathbb{K}$ tel que

\[l = q l + a,\]

il est donné par

\[l = \dfrac{a}{1-q}.\]

Ainsi, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

\[u_n = q^n(u_0 - l) + l = q^n\left(u_0 - \dfrac{a}{1-q} \right) + \dfrac{a}{1-q}.\]

Démonstration

Exemple

Corolaire

On considère une suite $u\in \mathbb{K}^\mathbb{N}$ arithmético-géométrique de paramètres $a,q$ avec $q \neq 1$. Alors la suite $u$ converge si $|q| < 1$ et diverge sinon.

Démonstration

Exemple

Définition : Suite récurrente linéaire d'ordre 2

On considère une suite $u \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$. Alors on dit que la suite $u$ est récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe $a,b \in \mathbb{K}$ tels que

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad u_{n+2} = a u_{n+1} + bu_n.\]

Dans ce cas on définit l'équation caractéristique associée

\[r^2 = ar + b.\]

Exemple

Proposition : Cas complexe

On considère une suite $u \in \mathbb{C}^\mathbb{N}$ récurrente linéaire d'ordre 2 de paramètres $a,b\in \mathbb{C}$. Alors :

si l'équation caractéristique associée admet une unique solution $r_0 \in \mathbb{C}$$ alors il existe $\lambda,\mu \in \mathbb{C}$ tels que

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad u_n = (\lambda + \mu n) r_0^n,\]

si l'équation caratéristique associée admet deux solutions $r_1,r_2 \in \mathbb{C}$ alors il existe $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ tels que

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad u_n = \lambda_1 r_1^n + \lambda_2 r_2^n.\]

Démonstration

Exemples

Avec une unique solutionAvec deux solutions

Proposition : Cas réel

On considère une suite $u \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ récurrente linéaire d'ordre 2 de paramètres $a,b\in \mathbb{R}$. Alors :

si l'équation caractéristique associée admet une unique solution $r_0 \in \mathbb{R}$$ alors il existe $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ tels que

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad u_n = (\lambda + \mu n) r_0^n,\]

si l'équation caratéristique associée admet deux solutions $r_1,r_2 \in \mathbb{R}$ alors il existe $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ tels que

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad u_n = \lambda_1 r_1^n + \lambda_2 r_2^n,\]

si l'équation caractéristique associée n'admet pas de solutions réelles alors elle admet deux solutions complexes conjuguées $re^{i\theta}$ et $re^{-i\theta}$, ainsi il existe $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ tels que

\[\forall n\in \mathbb{N}, \quad u_n = \lambda_1 r^n \cos(n \theta) + \lambda_2 r^n \sin(n\theta).\]

Démonstration

Exemples

Avec une unique solution réelleAvec deux solutions réellesAvec deux solutions complexes conjuguées

Remarque

On peut également étudier les suites définies par une relation de récurrence plus générale.

Proposition

On considère une suite $u \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ définie par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ avec $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ et $I$ intervalle réel stable par la fonction $f$. Si pour tout $x\in I$, $f(x) \geq x$ (respectivement $f(x) \leq x$), alors la suite $u$ est croissante (respectivement décroissante).

Démonstration

Exemple

Proposition

On considère une suite $u \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ définie par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ avec $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ et $I$ intervalle réel stable par la fonction $f$. Alors :

si la fonction $f$ est croissante alors la suite $u$ est monotone,
si la fonction $f$ est décroissante alors les suites extraites $(u_{2n})_{n\in \mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n\in \mathbb{N}}$ sont monotones de monotonies contraires

Démonstration

Exemples

Proposition

On considère une suite $u \in \mathbb{C}^\mathbb{N}$ définie par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ avec $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ continue et $I\subset \mathbb{C}$ stable par la fonction $f$. Si la suite $u$ converge vers $l\in \mathbb{C}$ alors le complexe $l$ est un point fixe de la fonction $f$ : $f(l) = l$.

Démonstration

Exemple

Remarque

La proposition précédente est utile pour déterminer la limite d'une suite quand on sait qu'elle converge.

Exemple

Remarque

La conntinuité de la fonction $f$ est importante dans la proposition précédente.

Exemple

Remarque

On peut résumer les propriétés précédentes de façon graphique.

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