Cours

I. Définitions et extensions

Définition : Complexe

On considère un élément \(i\) tel que \(i^2 = -1\). Alors un nombre complexe \(z\) est un couple de réels \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) que l'on écrit

\[z = x+iy.\]

On note alors \(\mathbb{C}\) l'ensemble des nombres complexes. De plus l'élément \(x\) (respectivement \(y\)) est appelé partie réelle (respectivement imaginaire) du complexe \(z\) ce qu'on note

\[x = \text{Re}(z), \quad y = \text{Im}(z).\]

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Exemples

Nous avons \(1,-1,i,1+i, 2i, \in \mathbb{C}\).

Remarque

On étend les opérations \(+\) et \(\times\) sur l'ensemble des complexes \(\mathbb{C}\) en conservant les mêmes propriétés. Nous obtenons alors les mêmes propriétés que dans le cas réel comme le calcul de \(\sum_{k=0}^n z^k\), la factorisation de \(z^n - w^n\) et la formule du binôme de Newton pour \(n\in \mathbb{N}\) et \(z,w \in \mathbb{C}\).

Exemples

Addition et multiplicationSomme géométriqueFactorisationBinôme de Newton

Pour tout \(x+iy,a+ib\in \mathbb{B}\),

\[x+iy + a+ib = x+a + i(y+b), \quad (x+iy)(a+ib) = xa-yb + i(ya+xb).\]

Pour tout \(z\in \mathbb{C}\) et \(n\in \mathbb{N}\),

\[\sum_{k=0}^n z^k = \begin{cases} n+1 & \text{si } z = 1 \\ \dfrac{1 - z^{n+1}}{1-z} & \text{sinon} \end{cases}.\]

Pour tout \(z,w\in \mathbb{C}\) et \(n\in \mathbb{N}\),

\[z^n - w^n = (z-w) \sum_{k=0}^{n-1} z^k w^{n-k}.\]

Pour tout \(z,w\in \mathbb{C}\) et \(n\in \mathbb{N}\),

\[(z+w)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} z^k w^{n-k}.\]

Remarque

En termes de vocabulaire on dit que le point \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) est associé au complexe \(z = x+iy\), et réciproquement on dit que le complexe \(z\) est l'affixe du point ou du vecteur \((x,y)\). De plus si \(y = 0\) alors on dit que le complexe \(z\) est un imaginaire pur et on note \(i\mathbb{R} = \{iy, \quad y\in \mathbb{R}\}\) leur ensemble.

Théorème

Contrairement à l'ensembles des réels \(\mathbb{R}\), l'ensemble des complexes \(\mathbb{C}\) n'admet pas de relation d'ordre totale \(\preceq\) telle que pour tout \(a,b,c \in \mathbb{C}\)

\[a\preceq b \Longrightarrow a+c \preceq b+c \quad \text{et} \quad [0\preceq a,0\preceq b] \Longrightarrow 0\preceq ab.\]

Démonstration

Proposition

On considère deux complexes \(z,w\in \mathbb{C}\) et un réel \(\lambda \in \mathbb{R}\). Alors :

• \(z = w \quad \Longleftrightarrow \quad \text{Re}(z) = \text{Re}(w),\text{Im}(z) = \text{Im}(w).\)

• \(\text{Re}(z+w) = \text{Re}(z) + \text{Re}(w), \text{Im}(z+w) = \text{Im}(z)+\text{Im}(w).\)

• \(\text{Re}(\lambda z) = \lambda \text{Re}(z), \text{Im}(\lambda z) = \lambda \text{Im}(z).\)

• \(\text{Re}(zw) = \text{Re}(z) \text{Re}(w) - \text{Im}(z)\text{Im}(w), \text{Im}(zw) = \text{Re}(z) \text{Im}(w) + \text{Im}(z) \text{Re}(w).\)

Démonstration

II. Conjugaison et module

Définition : Conjugué d'un complexe

On considère un complexe \(z = x+iy \in \mathbb{C}\). Alors le conjugué du complexe \(z\) est le complexe \(\overline{z}\) défini par

\[\overline{z} = x - iy.\]

Exemples

Nous avons \(\overline{1} = 1, \overline{i} = -i, \overline{2+2i} = 2 - 2i\).

Remarque

Géométriquement la conjugué d'un complexe est son symétrique par rapport à l'axe des abcisses.

Proposition

On considère deux complexes \(z,w\in \mathbb{C}\). Alors

\[\text{Re}(\overline{z}) = \text{Re}(z), \quad \text{Im}(\overline{z}) = \text{Im}(z), \quad \overline{\overline{z}} = z, \quad \overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}, \quad \overline{-z} = - \overline{z}, \quad \overline{z w} = \overline{z} ~\overline{w}, \quad \overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} = \dfrac{1}{\overline{z}},\]

où l'on suppose dans la dernière égalité \(z\neq 0\).

Démonstration

Corollaire

On considère un complexe \(z\in \mathbb{C}\). Alors

\[\text{Re}(z) = \dfrac{z+\overline{z}}{2}, \quad \text{Im}(z) = \dfrac{z-\overline{z}}{2i},\]

et

\[z\in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \overline{z} = z \quad \text{et} z\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \overline{z} = -z.\]

Démonstration

Définition : "Module d'un complexe

On considère un complexe \(z = x+iy \in \mathbb{C}\). Alors le module du complexe \(z\) est le réel \(|z|\) défini par

\[|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.\]

Exemples

Nous avons \(|1| = |i| = 1, |1+i| = \sqrt{2}\).

Remarque

Dans ce cas il s'agit de la distance entre le point \((x,y)\) du plan \(\mathbb{R}^2\) associé au complexe \(z\) et le point \((0,0)\) associé au complexe \(0\). De même, pour \(w\in \mathbb{C}\), le module \(|z-w|\) correspond à la distance entre les points associés.

Remarque

La notation est cohérente avec la valeur absolue pour les réels car le module d'un réel est sa valeur absolue.

Définitions : Cercle et disque

On considère un complexe \(z_0 \in \mathbb{C}\) et un réel strictement positif \(r\in \mathbb{R}_+^*\). Alors le cercle \(C(z_0,r)\), le disque ouvert \(D(z_0,r)\) et le disque fermé \(\overline{D}(z_0,r)\) sont des parties de \(\mathbb{C}\) définies par

\[C(z_0,r) = \{z\in \mathbb{C}, \quad |z-z_0| = r\}, \quad D(z_0,r) = \{z \in \mathbb{C}, \quad |z-z_0| < r\}, \quad \overline{D}(z_0,r) = \{z \in \mathbb{C}, \quad |z-z_0| \leq r\}.\]

Exemple

CercleDisque ouvertDisque fermé

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Proposition : Propriétés du module

On considère deux complexes \(z,w\in \mathbb{C}\). Alors :

\[|z| = 0 \Longleftrightarrow z = 0, \quad |z|^2 = z\overline{z}, \quad |-z| = |z|, \quad |\overline{z}| = |z|, \quad |zw| = |z||w|, \quad \left| \dfrac{1}{z} \right| = \dfrac{1}{|z|},\]

où l'on suppose dans la dernière égalité \(z\neq 0\). De plus

\[|\text{Re}(z)| \leq |z|,\]

avec égalité si et seulement si \(z \in \mathbb{R}\). Et

\[|\text{Im}(z)| \leq |z|,\]

avec égalité si et seulement si \(z \in i\mathbb{R}\).

Démonstration

Proposition : Inégalité triangulaire

On considère deux complexes \(z,w\in \mathbb{C}\). Alors nous avons

\[|z+w| \leq |z| + |w|,\]

avec égalité si et seulement si les complexes \(z\) et \(w\) sont positivement liés : il existe \(\lambda \in \mathbb{R}_+\) tel que \(z = \lambda w\) ou \(w = \lambda z\). De plus nous avons l'inégalité triangulaire gauche

\[||z|-|w|| \leq |z-w|.\]

Démonstration

Remarque

Géométriquement l'inégalité triangulaire signifie que la distance entre l'origine \(0\) et le point d'affixe \(z+w\) est inférieure à la somme de la distance entre l'origine \(0\) et le point d'affixe \(z\) et de la distance entre le point d'affixe \(z\) et le point d'affixe \(w\).

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III. Nombres complexes de module 1 et trigonométrie

Définition : Cercle unité

On définit le cercle uniité comme l'ensemble des affixes des points du cercle trigonométrique dans \(\mathbb{R}^2\) :

\[\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C}, \quad |z| = 1\}.\]

Définition : Nombre complexe de module 1

On considère \(t\in \mathbb{R}\). Alors on définit \(e^{it}\) le complexe d'affixe \((\cos(t),\sin(t))\) :

\[e^{it} = \cos(t) + i\sin(t).\]

Exemple

Nous avons

\[e^{i0} = 1, \quad e^{i \frac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + i \dfrac{1}{2}, \quad e^{i \frac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad e^{i\frac{\pi}{3}} = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\qrt{3}}{2}, \quad e^{i \frac{\pi}{2}} = i.\]

Remarque

Avec les définitions précédentes on obtient alors pour tout \(z\in \mathbb{C}\)

\[z \in \mathbb{U} \quad \Longleftrightarrow \quad \exists t\in \mathbb{R}, z = e^{it} = \cos(t) + i\sin(t).\]

Proposition

On considère \(t,t' \in \mathbb{R}\). Alors

\[e^{i(t+t')} = e^{it} e^{it'} \quad \text{et} \quad (e^{it})^{-1} = e^{-it}.\]

Démonstration

Proposition : Formules d'Euler

On considère \(t\in \mathbb{R}\). Alors nous avons

\[\cos(t) = \dfrac{e^{it} + e^{-it}}{2}, \quad \sin(t) = \dfrac{e^{it} - e^{-it}}{2i}.\]

Démonstration

Remarque : Technique de l'angle moitié

On considère \(t,t'\in \mathbb{R}\). Alors nous avons

\[e^{it} + e^{it'} = e^{i \frac{t+t'}{2}} \left( e^{i \frac{t-t'}{2}} + e^{-i\frac{t-t'}{2}} \right) = 2 e^{i \frac{t+t'}{2}} \cos\left( \dfrac{t-t'}{2} \right),\]

\[e^{it} - e^{it'} = e^{i \frac{t+t'}{2}} \left( e^{i \frac{t-t'}{2}} - e^{-i\frac{t-t'}{2}} \right) = 2 i e^{i \frac{t+t'}{2}} \sin\left( \dfrac{t-t'}{2} \right).\]

En particulier

\[1+e^{it} = e^{i\frac{t}{2}} \cos\left(\dfrac{t}{2}\right), \quad 1 - e^{it} = - 2 i e^{i \frac{t}{2}} \sin \left( \dfrac{t}{2} \right).\]

Démonstration

Corollaire

Grâce aux formes d'Euler, nous pouvons retrouver les formules de \(\cos(x) \pm \cos(y)\) et \(\sin(x) \pm \sin(y)\) pour tout \(x,y\in \mathbb{R}\).

Démonstration

Remarque

On considère \(t\in \mathbb{R}\) et \(n\in \mathbb{N}\). Alors nous pouvons également exprimer \((\cos(t))^n, (\sin(t))^n, \sum_{k=0}^n \cos(kt), \sum_{k=0}^n \sin(kt)\) en fonction de \(\cos(\alpha t),\sin(\beta t), \alpha, \beta \in \mathbb{R}\).

Exemples

\(\cos(t)^4\)\(\sin(t) + \sin(2t) + \sin(3t)\)

Nous avons grâce aux formules d'Euler et du binôme de Newton

\[\cos(t)^4 = \dfrac{1}{16} (e^{it} + e^{-it})^4 = \dfrac{1}{16} (e^{i4t} + 4 e^{i2t} + 6 + 4e^{-i2t} + e^{-i4t}) = \dfrac{1}{8} \cos(4t) + \dfrac{1}{2} \cos(2t) + \dfrac{3}{8}.\]

Nous avons par somme géométrique et technique de l'angle moitié, pour \(t \not\equiv 0[2\pi]\),

\[\begin{align*} \sin(t) + \sin(2t) + \sin(3t) & = \text{Im}(e^{it}) + \text{Im}(e^{i2t}) + \text{Im}(e^{i3t}) \\ & = \text{Im}(0+e^{it} + e^{i2t} + e^{i3t}) \\ & = \text{Im}\left( \dfrac{1-e^{i4t}}{1-e^{it}} \right) \\ & = \text{Im}\left( e^{i\frac{3t}{2}} \dfrac{\sin(2t)}{\sin\left(\dfrac{t}{2}\right)} \right) \\ & = \dfrac{\sin \left( \dfrac{3t}{2} \right) \sin\left( 2t \right)}{\sin \left(\dfrac{t}{2}\right)}. \end{align*}\]

Proposition : Formules de Moivre

On considère \(t\in \mathbb{R}\). Alors

\[(\cos(t) + i \sin(t))^n = \cos(nt) + i\sin(nt).\]

Démonstration

Remarque

On considère \(t\in \mathbb{R}\) et \(n\in \mathbb{N}\). Alors nous pouvons exprimer \(\cos(nt), \sin(nt)\) en fonction de \(\cos(t)\) et \(\sin(t)\).

Exemple

Nous avons pour tout \(t\in \mathbb{R}\)

\[\begin{align*} \cos(3t) & = \text{Re}(e^{i3t}) = \text{Re}((\cos(t) + i\sin(t))^3) \\ & = \text{Re}((\cos(t))^3 - 3\cos(t) (\sin(t))^2 + i(3\cos(t)^2 \sin(t) - (\sin(t))^3)) \\ & = (\cos(t))^3 - 3 \cos(t) (\sin(t))^2 \\ & = (\cos(t))^3 - 3 \cos(t) (1-(\cos(t))^2) \\ & = 4(\cos(t))^3 - 3 \cos(t). \end{align*}\]

Remarque

La formule de Moivre ne s'applique qu'avec \(n\) entier.

Exemple

Nous avons

\[e^{i 2 \pi \frac{1}{2}} = e^{i\pi} = -1 \neq 1 = \left(\cos\left( 2 \pi \right) + i\sin(2\pi) \right)^{\frac{1}{2}}.\]

IV. Formes trigonométriques

Théorème : Forme trigonométrique d'un complexe

On considère un complexe non nul \(z \in \mathbb{C}^*\). Alors il existe un réel \(\theta \in \mathbb{R}\) et un unique réel strictement positif \(r\in \mathbb{R}^*_+\) tels que

\[z = re^{i\theta}.\]

Démonstration

Exemple

La forme trigonométrique de \(1 + i\) est donnée par

\[1+i = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}.\]

Remarque

Le réel strictement positif \(r\) est en fait le module du complexe \(z\) : \(r = |z|\).

Définition : Un argument d'un complexe

On considère un complexe non nul \(z \in \mathbb{C}^*\). Alors un argument du complexe \(z\) est un réel \(\theta\) de la définition précédente.

Exemple

Un argument du complexe \(1-i\) est \(-\dfrac{\pi}{4}\) mais aussi \(\dfrac{7\pi}{4}\) ou encore \(\dfrac{47 \pi}{4}\).

Remarque

Un complexe non nul admet une infinité d'arguments mais un seul dans \([0,2\pi[\) que l'on note \(\theta = \text{Arg}(z)\).

Proposition

On considère deux complexes non nuls \(z,w \in \mathbb{C}^*\). Alors \(z = w\) si et seulement si \(|z| = |w|\) et \(\text{Arg}(z) = \text{Arg}(w)\).

Démonstration

Remarque

Si l'on considère des arguments quelconques \(\theta_z\) et \(\theta_w\) des complexes \(z\) et \(w\) alors \(z = w\) si et seulement si \(|z| = |w|\) et \(\theta_z \equiv \theta_w [2\pi]\).

Proposition

On consdière deux complexes non nuls \(z,w\in \mathbb{C}^*\). Alors

\[\text{Arg}(zw) \equiv \text{Arg}(z) \text{Arg}(w) ~[2\pi], \quad \text{Arg}\left(\dfrac{z}{w}\right) \equiv \dfrac{\text{Arg}(z)}{\text{Arg(w)}} ~[2\pi].\]

Démonstration

Remarque

Il n'est pas toujours facile de passer de la forme algébrique d'un complexe non nul \(z = a+ib \in \mathbb{C}^*\) à sa forme trigonométrique \(z = re^{i\theta}\) mais quand cela est possible il faut savoir le faire. En effet nous avons

\[z = a+ib = |z| \bigg(\dfrac{a}{|z|} + i \dfrac{b}{|z|}\bigg) = r e^{i\theta},\]

avec \(\dfrac{a}{|z|} + i \dfrac{b}{|z|} \in \mathbb{U}\) et donc \(\theta \in \mathbb{R}\) tel que \(\cos(\theta) = \dfrac{a}{|z|}\) et \(\sin(\theta) = \dfrac{b}{|z|}\).

Exemples

On considère le complexe \(z = 3 + 3\sqrt{3} i\). Alors \(|z|^2 = 3^2 + 3^2 \times 3 = 36\) autrement dit \(|z| = 6\). Puis

\[z = 6 \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} i\right) = 6 \left( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right) = 6e^{i \frac{\pi}{3}}.\]

Proposition

On considère trois réels \(a,b,t\in \mathbb{R}\). Alors

\[a \cos(t) + b\sin(t) = A \cos(t-\varphi),\]

avec \(A = \sqrt{a^2 + b^2}\) et \(\varphi \in \mathbb{R}\) tel que \(\cos(\varphi) = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) et \(\sin(\varphi) = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\), autrement dit tel que

• \(\tan(\varphi) = \dfrac{b}{a}\) si \(a \neq 0,\)

• \(\varphi = \dfrac{\pi}{2}\) si \(a = 0\) et \(b \geq 0\),

• \(\varphi = - \dfrac{\pi}{2}\) si \(a = 0\) et \(b < 0\).

Démonstration

Exemple

On considère de plus une constante \(\omega \in \mathbb{R}\). Alors pour tout \(t \in \mathbb{R}\)

\[\sqrt{3} \cos(\omega t) + \sin(\omega t) = A \cos(\omega t - \varphi),\]

avec \(A = \sqrt{3 + 1} = 2\) et \(\varphi \in \mathbb{R}\) tel que \(\cos(\varphi) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin(\varphi) = \dfrac{1}{2}\) autrement dit \(\varphi = \dfrac{\pi}{6}\) par exemple. En conclusion

\[\sqrt{3} \cos(\omega t) + \sin(\omega t) = 2 \cos\left(\omega t - \dfrac{\pi}{6}\right).\]

V. Equations algébriques

Définition : Fonction polynomiale complexe

Considère une fonction complexe \(f : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}\). Alors on dit que la fonction \(f\) est polynomiale s'il existe \(n \in \mathbb{N}\) et \(a_0, ..., a_n \in \mathbb{C}\) tels que

\[\forall z\in \mathbb{C}, \quad f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + ... + a_1 z + a_0 = \sum_{k=0}^n a_k z^k.\]

De plus si \(a_n \neq 0\) alors on dit que la fonction \(f\) est polynomiale de degré \(n\).

Exemple

La fonction \(f\) définie par \(f(z) = z^3 + z^2 + z + 1, z\in \mathbb{C}\), est polynomiale de degré 3. Les fonctions constantes, linéaires ou affines également.

Définition : Racine

On considère une fonction polynomiale \(f\) et un complexe \(a\). Alors on dit que le complexe \(a\) est racine de la fonction polynomiale \(f\) si \(f(a) = 0\).

Exemple

Pour tout \(a \in \mathbb{C}^*, b\in \mathbb{C}\), la fonction \(f\) défine par \(f(z) = az+b, z\in \mathbb{C}\), admet une unique racine donnée par \(-\dfrac{b}{a}.\)

Remarque

On dit aussi que le complexe \(a\) est solution de l'équation \(f(z) = 0\).

Proposition

On considère une fonction polynomiale \(f\) et un complexe \(a\in \mathbb{C}\). Alors le complexe \(a\) est racine de la fonction polynomiale \(f\) si et seulement si la fonction \(z \longmapsto z-a\) divise la fonction \(f\) au sens où il existe une fonction polynomiale \(g\) tel que

\[\forall z\in \mathbb{C}, \quad f(z) = (z-a) g(z).\]

Dans ce cas le degré de la fonction \(g\) est celui de la fonction \(f\) moins 1.

Démonstration

Exemple

Le complexe \(i\) est racine de la fonction \(f\) donnée par \(f(z) = z^3 - (1+2i)z^2 + (-1 + 2i) z + 1, z\in \mathbb{C},\) donc

\[f(z) = (z-i) (az^2 + bz + c) = (z-i)(z-i)(z-1).\]

Proposition

On considère un complexe \(a\in \mathbb{C}\). Alors la fonction polynomiale \(f : z\longmapsto z^2 - a\) admet deux racines opposées que l'on appelle les racines carrées du complexes \(a\).

Démonstration

Exemple

Les racines carrées de \(-1\) sont exactement \(i\) et \(-i\).

Remarque

On ne note pas \(\sqrt{a}\) pour une racine carrée d'un complexe \(a \in \mathbb{C}\) non réel positif. Etant donné que le complexe \(a\) admet deux racines carrées, on ne peut pas faire de choix entre les deux racines carrées.

Remarque

Il est facile de déterminer les racines carrées d'un complexe à partir de sa forme trigonométrique. Pour déterminer la racine carrée d'un complexe écrit en forme algébrique, nous passerons par sa forme trigonométrique.

Exemples

Forme trigonométriqueForme algébrique

Les racines carrées du complexe \(e^{i \frac{2\pi}{3}}\) sont exactement \(e^{i \frac{\pi}{3}}\) et \(-e^{i\frac{\pi}{3}} = e^{i\frac{4\pi}{3}}.\)

Nous avons vu que \(\sqrt{3}+i = 2 e^{i \frac{\pi}{6}}\). Donc les racines carrées du complexe \(\sqrt{3}+i\) sont exactement

\[\sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{12}} \quad \text{et} \quad - \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{12}} = \sqrt{2} e^{i \frac{13\pi}{12}}.\]

Proposition

On considère une fonction polynomiale \(f\) du second degré : il existe trois complexes \(a,b,c \in \mathbb{C}\) avec \(a\neq 0\) tel que

\[\forall z\in \mathbb{C}, \quad f(z) = az^2 + bz + c.\]

Alors, en notant \(\Delta = b^2 - 4ac \in \mathbb{C}\) le discriminant de la fonction \(f\),

• si \(\Delta = 0\) alors la fonction \(f\) admet une unique racine donnée par \(z_0 = -\dfrac{b}{2a}\),

• si \(\Delta \neq 0\) alors la fonction \(f\) admet deux racines distinctes données par, en notant \(\delta\) une racine carrée du complexe \(\Delta\),

\[z_1 = \dfrac{-b+ \delta}{2a}, \quad z_2 = \dfrac{-b- \delta}{2a}.\]

Démonstration

Exemples

Avec un discriminant nulleAvec un discriminant réel positifAvec un discriminant réel négatifAvec un discriminant complexe non réel

Si \(f(z) = z^2 - 2iz -1\) alors \(\Delta = (-2i)^2 - 4\times (-1) = 0\) et la fonction \(f\) admet uniquement la racine \(z_0 = - \dfrac{-2i}{2} = i\).

Si \(f(z) = 2z^2 - 2z -4\) alors \(\Delta = (-2)^2 - 4\times 2 \times (-4) = 36\). Une racine carrée est \(6\) et ainsi les racines sont comme dans le cas réel \(z_1 = \dfrac{-(-2)+6}{2\times 2} = 2\) et \(z_2 = \dfrac{-(-2)-6}{2\times 2} = -1\).

Si \(f(z) = z^2 - 4z + 7\) alors \(\Delta = (-4)^2 - 4\times 7 = -12\). Une racine carrée est alors \(i2\sqrt{3}\) et ainsi les racines sont \(z_1 = \dfrac{-(-4) + i2\sqrt{3}}{2} = 2 + i\sqrt{3}\) et \(z_2 = 2 - i\sqrt{3}\).

Si \(f(z) = z^2 + 2i - \sqrt{3} i\) alors \(\Delta = (2i)^2 - 4 \times (-\sqrt{3} i) = -4 + i 4 \sqrt{3} \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}\). Or \(|\Delta| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 \times 3} = 8\), donc \(\Delta = 8\left( - \dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 8e^{i \frac{2\pi}{3}}\). Ainsi une racine carrée de \(\Delta\) est \(\delta = 2\sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{3}} = \sqrt{2} + i \sqrt{6}\) et les racines sont \(z_1 = \dfrac{-2i + \sqrt{2}+i\sqrt{6}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} +i \dfrac{\sqrt{6} - 2}{2}\) et \(z_2 = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} -i \dfrac{\sqrt{6} + 2}{2}\).

Remarque

Le choix de la racine carrée \(\delta\) dans la proposition précédente n'est pas important étant donné que l'autre racine carrée est \(-\delta\) et donc on obtient les mêmes racines pour la fonction \(f\).

Remarque

Si \(a,b,c \in \mathbb{R}\) et \(\Delta < 0\) alors une racine carrée de \(\Delta\) est \(i\sqrt{-\Delta} \in i\mathbb{R}\) et les racines sont conjuguées :

\[z_1 = \dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}, \quad z_2 = \dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \overline{z_1}.\]

Proposition : Relations coefficients-racines

On considère une fonction polynomiale du second degré \(f : z \longmapsto az^2 + bz + c\). Alors les racines \(z_1\) et \(z_2\) de la fonction \(f\) vérifient

\[z_1 + z_2 = - \dfrac{b}{a}, \quad z_1z_2 = \dfrac{c}{a}.\]

Réciproquement si l'on considère deux complexes \(z,w \in \mathbb{C}\) alors, en notant leur somme \(s = z_1 + z_2\in \mathbb{C}\) et leur produit \(p = z_1 z_2 \in \mathbb{C}\), les complexes \(z,w\) sont les racines de la fonction polynomiale du second degré \(f\) donnée par

\[\forall z\in \mathbb{C}, \quad f(z) = z^2 - s z + p.\]

Démonstration

VI. Racines n-ièmes

Proposition

On considère un entier naturel non nul \(n\in \mathbb{N}^*\). Alors les solutions de l'équation \(z^n = 1\) sont exactement les \(n\) complexes données par

\[z_k = e^{i\frac{2k \pi}{n}}, \quad \forall k\in \{0, ..., n-1\}.\]

On les appelle les racines \(n\)-ièmes de l'unité et on note \(\mathbb{U}_n \subset \mathbb{U}\) leur ensemble.

Démonstration

Exemples

La \(1\)-ième de l'unité est \(1\). Les racines \(2\)-ième de l'unité sont \(1,-1\). Les racines \(3\)-ième de l'unité sont \(1, e^{i \frac{2\pi}{3}}, e^{i \frac{4\pi}{3}}\) que l'on note \(1,j,\overline{j}\). Les racines \(4\)-ième de l'unité sont \(1,i,-1,-i\).

Remarque

Géométriquement les \(n\) racines \(n\)-ièmes de l'unité forment le polygône régulier à \(n\) côtés dont les sommets sont sur le cerle unité avec un exactement au point d'affixe 1.

(ajouter une image)

Corollaire

On considère un entier naturel non nul \(n\in \mathbb{N}^*\) et un complexe non nul \(a \in \mathbb{C}^*\). Alors les solutions de l'équation \(z^n = a\) sont exactement les \(n\) complexes données par

\[z_k = ~^n \sqrt{|a|} e^{i \frac{\text{Arg(a)} + 2k \pi}{n}}, \quad \forall k\in \{0, ..., n-1\}.\]

On les appelles les racines \(n\)-ièmes du complexe \(a\).

Démonstration

Exemple

Les racines \(2\)-ième du complexe \(i\) sont \(e^{i \frac{\pi}{4}}, e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2}} = e^{i \frac{5 \pi}{4}}\) et les racines \(3\)-ième du complexe \(i\) sont \(e^{i \frac{\pi}{3}}, e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+ 2\pi}{3}} = e^{i \frac{5\pi}{6}}, e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+ 4\pi}{3}} = e^{i\frac{13\pi}{6}}\).

Remarque

Géométriquement les \(n\) racines \(n\)-ième du complexe \(a\) forment le polygône régulier à \(n\) côtés dont les sommets sont sur le cercle \(C\left(0, ~^n \sqrt{|a|}\right)\) avec un exactement au point d'affixe \(^n \sqrt{|a|} e^{i \frac{\text{Arg}(a)}{n}}\).

(insérer une image)

VII. Exponentielle complexe

Définition : Exponentielle d'un complexe

On considère un complexe \(z \in \mathbb{C}\). Alors son exponentielle est le complexe \(\exp(z) = e^z\) défini par

\[e^z = e^{\text{Re}(z)} e^{i \text{Im}(z)}.\]

Remarque

Cette notation est cohérente avec l'exponentielle réelle car coïncide sur l'ensemble des réels.

Proposition

On considère un complexe \(z\in \mathbb{C}\). Alors le module de son exponentielle \(e^z\) est \(|e^z| = e^{\text{Re}(z)}\) et un argument est \(\text{Arg}(z) = \text{Im}(z)\).

Démonstration

Proposition

On considère deux complexes \(z,w\in \mathbb{C}\). Alors

\[e^{z+w} = e^z e^w.\]

Démonstration

Proposition

On considère deux complexes \(z,w \in \mathbb{C}\). Alors

\[e^z = e^w \quad \Longleftrightarrow \quad z-z' \in 2i\pi \mathbb{Z} = \{2i\pi k, \quad k\in \mathbb{Z}\}.\]

Démonstration

Remarque

Autremment dit la fonction exponentielle complexe n'est pas injective contrairement à la fonction exponentielle réelle qui est strictement croissante.

Proposition

On considère un complexe non nul \(a\in \mathbb{C}^*\). Alors l'équation \(e^z = a\) d'inconnue \(z \in \mathbb{C}\) admet une infinité de solutions données par

\[z_k = \ln(|a|) + i \left(\text{Arg}(a) + 2k\pi\right), \quad k\in \mathbb{Z}.\]

Démonstration

Exemple

Les solutions de \(e^z = 3\sqrt{3} - 3i\) sont

\[z_k = \ln(6) + i \left( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right), \quad k\in \mathbb{Z}.\]

VIII. Interprétation géométrique

Proposition

On considère trois points \(A,B,C\) du plan \(\mathbb{R}^2\) tels que \(A\neq B\) d'affixes respectives \(a,b,c\in \mathbb{C}\). Alors :

• les points \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si \(\dfrac{c-a}{b-a} \in \mathbb{R}\),

• les vecteurs \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\) du plan \(\mathbb{R}^2\) sont orthogonaux si et seulement si \(\dfrac{c-a}{b-a} \in i\mathbb{R}\).

Démonstration

Exemple

AlignementOrthogonalité

On considère trois points de \(\mathbb{R}^2\) :

\[A = (3,1), \quad B = (4,1), \quad C = (5,9).\]

Alors les affixes de \(\mathbb{C}\) correspondant sont

\[a = 3 +i, \quad b = 4+i, \quad c = 5 + 9i.\]

Donc

\[\dfrac{c-a}{b-a} = \dfrac{2+8i}{1} = 2+8i\notin \mathbb{R}.\]

Ainsi les points \(A,B,C\) ne sont pas alignés.

On considère trois points de \(\mathbb{R}^2\) :

\[A = (1,1), \quad B = (0,2), \quad C = (2,2).\]

Alors les affixes de \(\mathbb{C}\) correspondant sont

\[a = 1+i, \quad b = 2i, \quad c = 2+2i.\]

Donc

\[\dfrac{c-a}{b-a} = \dfrac{1+i}{-1+i} = \dfrac{1}{2}(1+i)(-1-i) = -2i \in i\mathbb{R}.\]

Ainsi les vecteurs \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\) sont orthogonaux.

Définition : Translation, rotation, homothétie, similitude directe

On considère une application \(f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2\). Alors on dit que l'application \(f\) est :

• une translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\) si pour tout \(M\in \mathbb{R}^2\), l'image \(f(M)\) est définie par \(\overrightarrow{Mf(M)} = \overrightarrow{u}\), autrement dit \(f(M) = M + \overrightarrow{u}\),

• une rotation d'angle \(\theta \in \mathbb{R}\) et de centre \(C\) si pour tout \(M \in \mathbb{R}^2\), l'image \(f(M)\) est définie par \(\left\lVert \overrightarrow{Cf(M)} \right\rVert = \left\lVert \overrightarrow{CM} \right\rVert\) et l'angle entre \(\overrightarrow{CM}\) et \(\overrightarrow{Cf(M)}\) est égal à \(\theta\) modulo \(2\pi\),

• une homothétie de rapport \(k \in \mathbb{R}^*\) et de centre \(C\) si pour tout \(M \in \mathbb{R}^2\), l'image \(f(M)\) est définie par \(\overrightarrow{Cf(M)} = k \overrightarrow{CM}\),

• une similitude directe de rapport \(k \in \mathbb{R}^*_+\) si pour tout \(M,M' \in \mathbb{R}^2\), les images \(f(M),f(M')\) vérifient \(\left\lVert \overrightarrow{f(M)f(M')} \right\rVert = k \left\lVert \overrightarrow{MM'}\right\rVert\).

Exemples

Translation

(insérer une image)

Rotation

(insérer une image)

Homothétie

(insérer une image)

Similitude directe

(insérer une image)

Remarque

Une translation ou une rotation conserve les distances (\(\forall M,M'\in \mathbb{R}^2, d(M,M') = d(f(M),f(M'))\)), une homothétie conserve les angles et une similitude directe conserve le rapport des distances (\(\forall M,M'\in \mathbb{R}^2, M\neq M'\Longrightarrow \dfrac{d(f(M),f(M'))}{d(M,M')} = k\)).

Définition : Application correspondante

On considère une application \(f : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}\). Alors l'application correspondante \(f_\mathbb{R}\) est l'application sur \(\mathbb{R}^2\) définie par

\[\begin{array}{rcl} f_\mathbb{R} : \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ (x,y) & \longmapsto & (\text{Re}(f(x+iy)), \text{Im}(f(x+iy))) \end{array} .\]

On associe de même à une application \(f_\mathbb{R} = (f_1,f_2) : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2\) une application \(f : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}\) par

\[\begin{array}{rcl} f : \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ z = x+iy & \longmapsto & f_1(x,y) + i f_2(x,y) \end{array} .\]

Remarque

La définition précédente fournit une correspondance entre les applications sur \(\mathbb{C}\) et les applications sur \(\mathbb{R}^2\) : à chaque application on lui associe une unique application correspondante.

Proposition

On considère un vecteur \(\overrightarrow{u} \in \mathbb{R}^2\) d'affixe \(z_u\), un point \(C \in \mathbb{R}^2\) d'affixe \(z_0 \in \mathbb{C}\), un angle \(\theta \in \mathbb{R}\) et un réel strictement positif \(k\in \mathbb{R}_+^*\). Alors :

• la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\) correspond à l'application complexe \(t : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}\) définie par

\[\forall z\in \mathbb{C}, \quad t(z) = z+z_u.\]

• la rotation d'angle \(\theta\) et de centre \(C\) correspond à l'application complexe \(r : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}\) définie par

\[\forall z\in \mathbb{C}, \quad r(z) = e^{i\theta}(z-z_0) + z_0,\]

• l'homothétie de rapport \(k\) et de centre \(C\) correspond à l'application complexe \(h : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}\) définie par

\[\forall z\in \mathbb{C}, \quad h(z) = k(z-z_0) + z_0.\]

Démonstration

Exemples

TranslationRotationHomothétie

Si \(f(z) = z+1+i\) pour tout \(z\in \mathbb{C}\) alors l'application \(f_\mathbb{R}\) est la translation de vecteur \((1,1)\) :

\[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad f_\mathbb{R}(x,y) = (x+1,y+1) = (x,y) + (1,1).\]

Si \(f(z) = iz\) pour tout \(z\in \mathbb{C}\) alors l'application \(f_\mathbb{R}\) est la rotation de centre \(0\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) :

\[\forall z = x+iy \in \mathbb{C}, \quad f(z) = -y + ix.\]

Donc

\[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad f_\mathbb{R}(x,y) = (-y,x).\]

Ainsi pour tout \(M = (x,y) \in \mathbb{R}^2\)

\[\left\lVert \overrightarrow{Of(M)} \right\rVert^2 = y^2 +x^2 = \left\lVert \overrightarrow{OM} \right\rVert,\]

et

\[\widehat{\overrightarrow{OM},\overrightarrow{Of(M)}} = \arccos\left( \dfrac{\langle \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{Of(M)}\rangle}{\left\lVert \overrightarrow{OM} \right\rVert \left\lVert \overrightarrow{Of(M)} \right\rVert} \right) = \arccos\left( \dfrac{x(-y) + yx}{\sqrt{x^2+y^2} \sqrt{(-y)^2 + x^2}} \right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2}.\]

Si \(f(z) = 2z + 1\) pour tout \(z\in \mathbb{C}\) alors l'application \(f_\mathbb{R}\) est l'homothétie de centre \((-1,0)\) et de rapport 2 :

\[\forall z = x+iy \in \mathbb{C}, \quad f(z) = 2(z+1) - 1.\]

Donc

\[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad f_\mathbb{R}(x,y) = (2(x+1) - 1, 2y) = (2x+1, 2y).\]

Ainsi pour tout \(M = (x,y) \in \mathbb{R}^2\)

\[\overrightarrow{Cf(M)} = \binom{2y}{2x+1 -(- 1)} = 2\binom{y}{x} = 2 \binom{y-0}{x-(-1)} = 2 \overrightarrow{CM}.\]

Corollaire

On considère un complexe non \(a \in \mathbb{C}^*\). Alors l'application \(z \longmapsto az\) correspond à la composée de l’homothétie de centre \((0,0)\) et de rapport \(|a|\) et de la rotation de centre \((0,0)\) et d’angle \(\text{Arg}(a)\).

Démonstration

Proposition

On considère deux complexes \(a,b \in \mathbb{C}\) tels que \(a\neq 0\). Alors l'application \(z \longmapsto az+b\) correspond à une similtude directe de rapport \(|a|\).

Démonstration

Proposition

On considère deux complexes \(a,b\in \mathbb{C}\) tels que \(a\neq 0\), et l'application \(f : z \longmapsto az+b\). Alors :

• si \(a = 1\) et \(b = 0\), alors \(f = \text{id}_{\mathbb{C}}\) et \(f_\mathbb{R} = \text{id}_{\mathbb{R}^2}\),

• si \(a = 1\) et \(b \neq 0\), alors la fonction \(f\) correspond à la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\) d’affixe \(b\) :

\[f_\mathbb{R} = t_{\overrightarrow{u}},\]

• si \(a \neq 1\) alors il existe un unique point fixe de la fonction \(f\), autrement dit un unique complexe \(z_0 \in \mathbb{C}\) de point \(C\) correspondant tel que \(f(z_0) = z_0\), et l'application \(f\) correspond à la composée de la rotation \(r_{\text{Arg}(a),C}\) d'angle \(\text{Arg}(a)\) et de centre \(C\) et de l'homothétie \(h_{|a|,C}\) de rapport \(|a|\) et de centre \(C\) :

\[f_\mathbb{R} = r_{\text{Arg}(a),C} \circ h_{|a|,C} = h_{|a|,C} \circ r_{\text{Arg}(a),C}.\]

Démonstration

Exemple

Si \(f(z) = (1+i\sqrt{3})z + \sqrt{3}(1-i)\) pour tout \(z\in \mathbb{C}\) alors il existe \(z_0 = x_0 + iy_0 \in \mathbb{C}\) (unique) tel que \(f(z_0) = z_0\) i.e.

\[x_0 + iy_0 = (1+i\sqrt{3})(x_0 +iy_0) + \sqrt{3}(1-i) = x_0 - y_0 \sqrt{3} + \sqrt{3} + i(x_0 \sqrt{3} + y_0 - \sqrt{3}).\]

Donc, par unicité des parties réelles et imaginaires, \(x_0 = y_0 = 1\) i.e. \(z_0 = 1+i\). On considère alors le point \(C = (1,1)\), l'homothétie \(h_\mathbb{R}\) de \(\mathbb{R}^2\) de rapport \(|1+i\sqrt{3}| = 2\) et de centre \(C\) et la rotation \(r_\mathbb{R}\) de \(\mathbb{R}^2\) d'angle \(\text{Arg}(1+i\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3}\) et de centre \(C\). Ainsi pour tout \(z\in \mathbb{C}\)

\[\begin{align*} (r \circ h)(z) & = r(2(z-z_0) + z_0) \\ & = e^{i \frac{\pi}{3}} (2(z-z_0) + z_0 - z_0) + z_0 \\ & = 2e^{i \frac{\pi}{3}} z + z_0(1-2e^{i\frac{\pi}{3}}) \\ & = (1+i\sqrt{3}) z - (1+i)i\sqrt{3} \\ & = (1+i\sqrt{3}) z + \sqrt{3}(1-i) \\ & = f(z). \end{align*}\]

Remarque

En particulier dans le dernier cas nous avons également

\[\forall z\in \mathbb{C}, \quad f(z) = a(z-z_0) + z_0 = |a|e^{i\text{Arg}(a)}(z-z_0) + z_0.\]

Proposition

La conjugaison complexe correspond à la simitrie d'axe des abcisses :

\[\begin{array}{rcl} \overline{\cdot}_{\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ (x,y) & \longmapsto & (x,-y) \end{array}.\]

Démonstration