Cours

Objectifs du programme officiel

Produit scalaire

• Définition

• Espace préhilbertion, espace euclidien

• Produit scalaire canonique sur \(\mathbb{R}^n\), sur \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\)

• Produit scalaire \(\langle f,g\rangle = \int_a^b fg\) sur \(C([a,b], \mathbb{R})\)

Norme associée à un produit scalaire

• Définition, distance

• Inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité

• Inégalité triangulaire, cas d'égalité

• Identité remarquable \(\lVert x+y\rVert^2 = \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2 + 2 \langle x,y\rangle\), formule de polarisation associée

Orthogonalité

• Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie

• Famille orthogonale, orthonormée (ou orthonormale)

• Théorème de Pythagore

• Algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Bases orthonormées

• Existence dans un espace euclidien

• Théorème de la base orthonormée incomplète

• Expression des coordonnées, du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée

Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie

• Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie \(F\), projection orthognale sur \(F\), expression du projeté orthogonal d'un vecteur \(x\) dans une base orthonormée de \(F\)

• Distance de \(x\) à \(F\)

• Le projeté orthogonal d'un vecteur \(x\) sur \(F\) est l'unique vecteur de \(F\) qui réalise la distance de \(x\) à \(F\)

I. Produit scalaire

Remarque

Dans tout ce chapitre on considère un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\).

Définition : Produit scalaire

On considère une application \(\langle ,\rangle : E\times E \longrightarrow \mathbb{R}\). Alors on dit que l'application \(\langle, \rangle\) est un produit scalaire sur l'espace \(E\) si l'application \(\langle,\rangle\) est :

• bilinéaire :

\[\forall x,y,z\in E, \lambda \in \mathbb{R}, \quad \langle \lambda x+y,z\rangle = \lambda \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle, \quad \langle x,\lambda y + z\rangle = \lambda \langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle,\]

• symétrique :

\[\forall x,y\in E, \quad \langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle,\]

• positive :

\[\forall x\in E, \quad \langle x,x\rangle \geq 0,\]

• définie :

\[\forall x\in E, \quad \langle x,x\rangle = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 0_E.\]

Dans ce cas on dit que l'espace \(E\) est un espace préhilbertien réel pour le produit scalaire \(\langle,\rangle\).

Exemple

Remarque

On le note également \((x\mid y)\) ou encore \(x.y\).

Remarque

En pratique on commence par montrer la symétrie puis la bilinéarité en ne montrant que la linéarité à gauche (ou à droite).

Définition : Espace euclidien

On dit que l'espace \(E\) est un espace euclidien s'il est de dimension finie et munie d'une produit scalaire.

Exemple

Proposition : Produits scalaires usuels

On considère les applications suivantes \(\langle,\rangle\) :

• sur \(\mathbb{R}^n\) par

\[\forall x= (x_1, ..., x_n), y = (y_1, ..., y_n) \in \mathbb{R}^n, \quad \langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i,\]

• sur \(\mathcal{M}_{np}(\mathbb{R})\) par

\[\forall A,B\in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{R}), \quad \langle A,B\rangle = \text{tr}(A B^T),\]

• sur \(C([a,b],\mathbb{R})\) par

\[\forall f,g\in C([a,b]), \quad \langle f,g\rangle = \int_a^b fg.\]

Alors ces applications sont des produits scalaires.

Démonstration

II. Norme associée

Remarque

Dans le reste du chapitre on considère une produit scalaire \(\langle,\rangle\) sur l'espace \(E\).

Définition : Norme et distance associées à un produit scalaire

• La norme associée au produit scalaire \(\langle,\rangle\) est l'application \(\lVert \rVert : E \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall x\in E, \quad \lVert x\rVert = \sqrt{\langle x,x\rangle}.\]

• La distance associée au produit scalaire \(\langle,\rangle\) (ou à la norme \(\lVert \rVert\)) est l'application \(d : E\times E\longrightarrow \mathbb{R}\) définie par

\[\forall x,y\in E, \quad d(x,y) = \lVert x-y\rVert = \langle x-y,x-y\rangle.\]

Exemples

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwartz

On considère deux vecteurs \(x,y\in E\). Alors

\[|\langle x,y\rangle| \leq \lVert x\rVert \lVert y\rVert,\]

avec égalité si et seulement si les vecteurs \(x\) et \(y\) sont colinéaires : il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(x = \lambda y\).

Démonstration

Exemples

Théorème : Inégalité triangulaire

On considère deux vecteurs \(x,y\in E\). Alors

\[\lVert x+y \rVert \leq \lVert x\rVert + \lVert y \rVert,\]

avec égalité si et seulement si les vecteurs \(x\) et \(y\) sont positivement colinéaires : il existe \(\lambda \in \mathbb{R}_+\) tel que \(x = \lambda y\).

Démonstration

Exemples

Proposition : Identité remarquable

On considère deux vecteurs \(x,y\in E\). Alors

\[\lVert x+y \rVert ^2 = \lVert x\rVert^2 + \lVert y \rVert^2 + 2 \langle x,y\rangle.\]

Démonstration

Corollaire

On considère deux vecteurs \(x,y\in E\). Alors

\[\lVert x-y\rVert^2 = \lVert x\rVert^2 + \lVert y \rVert^2 - 2 \langle x,y\rangle\]

et

\[\lVert x\rVert^2 - \lVert y \rVert^2 = \langle x+y, x-y\rangle.\]

Démonstration

Corollaire : Formules de polarisation

On considère deux vecteurs \(x,y\in E\). Alors nous avons :

• la première formule de polarisation :

\[\langle x,y\rangle = \dfrac{1}{2} (\lVert x+y\rVert^2 - \lVert x\rVert^2 - \lVert x \rVert^2),\]

• la seconde formule de polarisation :

\[\langle x,y\rangle = \dfrac{1}{4} (\lVert x+y\rVert^2 - \lVert x-y\rVert^2).\]

Démonstration

Exemples

Proposition

La norme vérifie également :

• La propriété de séparation :

\[\forall x\in E, \quad \lVert x \rVert = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 0.\]

• La propriété d'homogénéité :

\[\forall x\in E, \lambda \in \mathbb{R}, \quad \lVert \lambda x \rVert = |\lambda | \lVert x\rVert.\]

Démonstration

III. Orthogonalité

Définition : Vecteurs orthogonaux

On considère deux vecteurs \(x,y\in E\). Alors on dit que les vecteurs \(x,y\) sont orthogonaux si

\[\langle x,y\rangle = 0.\]

On le note alors \(x\perp y\).

Exemples

Définition : Orthogonal d'une partie

On considère une partie \(A\) de l'espace \(E\). Alors l'orthogonal de la partie \(A\) est la partie notée \(A^\perp\) de l'espace \(E\) définie par

\[A^\perp = \{x\in E, \quad \forall a\in A, \langle x,a\rangle = 0\}.\]

Exemples

Proposition

On considère une partie \(A\) de l'espace \(E\). Alors son orthogonal \(A^\perp\) est un sous-espace vectoriel de l'espace \(E\).

Démonstration

Exemples

Définitions : Famille orthogonale, famille orthonormée (ou orthonormale)

On considère une famille de vecteurs \((x_1, ..., x_n) \in E^n\).

• On dit que la famille \((x_1, ..., x_n)\) est orthogonale si les vecteurs \(x_1, ..., x_n\) sont orthogonaux deux à deux :

\[\forall i,j\in \{1, ..., n\}, \quad i\neq j\quad \Longrightarrow \quad \langle x_i,x_j\rangle = 0.\]

• On dit que la famille \((x_1, ..., x_n)\) est orthonormée (ou orthornormale) si elle est orthogonale et si les vecteur \(x_1, ..., x_n\) sont unitaires (i.e. de normes 1) :

\[\forall i\in \{1, ..., n\}, \quad \lVert x_i \rVert = 1.\]

Exemples

Proposition

Une famille orthogonale est libre. En particulier une famille orthonormale est libre.

Démonstration

Exemple

Remarque

La réciproque de la proposition précédente n'est pas vérifiée.

Exemple

Théorème de Pythagore

On considère deux vecteurs \(x,y\in E\). Alors les vecteurs \(x\) et \(y\) sont orthogonaux si et seulement si

\[\lVert x+y\rVert^2 = \lVert x\rVert^2 + \lVert y\rVert^2.\]

Démonstration

Exemples

Corollaire

On considère une famille de vecteurs \((x_1, ..., x_n) \in E^n\). Si la famille \((x_1, ..., x_n)\) est orthogonale alors

\[\left\lVert \sum_{i=1}^n x_i \right\rVert^2 = \sum_{i=1}^n \lVert x_i \rVert^2.\]

Démonstration

Remarque

La réciproque du corollaire précédent n'est pas vérifiée.

Exemple

Théorème : Algorithme d'orthonormalisation de Graam-Schmidt

On considère une famille de vecteurs \((x_1, ..., x_n) \in E^n\). Si la famille \((x_1, ..., x_n)\) est libre alors il existe une famille orthonormée \((e_1, ..., e_n) \in E^n\) telle que

\[\forall i\in \{1, ..., n\}, \quad \text{Vect}(e_1, ..., e_i) = \text{Vect}(x_1, ..., x_i), \quad \text{et} \quad \langle x_i, e_i\rangle \geq 0.\]

On obtient la famille orthonormée \((e_1, ..., e_n)\) de la façon suivante :

• \(e_1 = \dfrac{x_1}{\lVert x_1\rVert}\),

• pour tout \(i \in \{2, ..., n\}\),

\[v_i = x_i - \sum_{j=1}^{i-1} \langle x_i,e_j\rangle e_j, \quad e_i = \dfrac{v_i}{\lVert v_i\rVert}.\]

Démonstration

Exemples

IV. Bases orthonormées

Théorème

Si l'espace \(E\) est de dimension finie, autrement dit euclidien, alors l'espace \(E\) admet une base orthonormée.

Démonstration

Exemples

Corollaire : Théorème de la base orthonormée incomplète

On considère une famille de vecteurs \((x_1, ..., x_r) \in E^r\). Si l'espace \(E\) est euclidien et la famille \((x_1, ..., x_r)\) est orthonormée alors elle est peut être complétée en une base orthonormée de l'espace \(E\).

Démonstration

Exemples

Proposition

On considère une base orthonormée \((e_i)_{i\in I}\) de l'espace \(E\) et deux vecteurs \(x,y\in E\). Alors :

• les coordonnées du vecteur \(x\) dans la base \((e_i)_{i\in I}\) sont données par

\[x = \sum_{i\in I} x_i e_i = \sum_{i\in I} \langle x,e_i\rangle e_i,\]

• le produit scalaire \(\langle x,y\rangle\) est donnée par

\[\langle x,y\rangle = \sum_{i\in I} x_i y_i = \sum_{i\in I} \langle x,e_i\rangle \langle y,e_i\rangle,\]

• la norme du vecteur \(x\) est donnée par

\[\lVert x\rVert^2 = \sum_{i\in I} x_i^2 = \sum_{i\in I}\langle x,e_i\rangle^2.\]

Démonstration

Exemples

V. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie

Remarque

Pour cette dernière section on suppose que l'espace \(E\) est euclidien et on considère un sous-espace vectoriel \(F\) de l'espace \(E\).

Définition : Somme directe orthogonale, supplémentaires orthogonaux

On considère un autre sous-espace vectoriel \(G\) de l'espace \(E\).

• On dit que les sous-espaces \(F\) et \(G\) sont en somme directe orthgonale si

\[\forall x\in F, y\in G, \quad \langle x,y\rangle = 0.\]

On le note alors \(F \overset{\perp}{\oplus} G\).

• On dit que les sous-espaces \(F\) et \(G\) sont supplémentaires orthogonaux s'ils sont en somme directe orthogonale et de somme égale à l'espace \(E\). On le note alors \(E = F \overset{\perp}{\oplus} G\).

Exemple

Proposition

L'orthogonal \(F^\perp\) est un supplémentaire du sous-espace \(F\) :

\[E = F \oplus F^\perp.\]

En particulier \(\dim(F^\perp) = \dim(E) - \dim(F)\).

Démonstration

Exemples

(hyperplan et droite vectorielle)

Définition : Projection orthogonale

La projection orthogonale sur le sous-espace \(F\) est l'application \(p_F : E \longrightarrow F\) définie par

\[\forall x = x_F + x_{F^\perp} \in E = F \overset{\perp}{\oplus} F^\perp, \quad p_F(x) = x_F.\]

Exemple

Proposition

On considère une base orthonormée \((e_1, ..., e_r)\) du sous-espace \(F\) et un vecteur \(x\in E\). Alors

\[p_F(x) = \sum_{i=1}^r \langle x,e_i\rangle e_i.\]

Démonstration

Exemples

Corollaire : Inégalité de Bessel

Soit \(x \in E\). Alors

\[\lVert p_F(x) \rVert \leq \lVert x \rVert.\]

Démonstration

Définition : Distance à un sous-espace vectoriel

On considère un vecteur \(x\in E\). Alors la distance entre le vecteur \(x\) et le sous-espace vectoriel \(F\) est le réel \(d(x,F)\) défini par

\[d(x,F) = \inf\{d(x,y), \quad y\in F\} = \inf\{\lVert x-y\rVert, \quad y\in F\}.\]

Exemple

Remarque

La définition précédente a bien du sens car l'ensemble \(\{d(x,y), \quad y\in F\}\) est une partie réelle minorée par \(0\).

Proposition

On considère un vecteur \(x \in E\). Alors

\[\forall y\in F, \quad d(x,y) = d(x,F) \quad \Longleftrightarrow \quad y = p_F(x).\]

Autrement dit le projeté \(p_F(x)\) est l'unique vecteur du sous-espace \(F\) qui réalise la distance entre le vecteur \(x\) et le sous-espace \(F\).

Démonstration

Exemples

(projeté orthogonal sur un hyperplan \((\text{Vect}(u))^\perp\), distance d'un vecteur \(x\) à \((\text{Vect}(u))^\perp\))